2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項(xiàng)突破：函數(shù)問(wèn)題過(guò)程性學(xué)習(xí)探究型（解析版）

突破03函數(shù)問(wèn)題過(guò)程性學(xué)習(xí)探究型

3中考解密

函數(shù)過(guò)程性學(xué)習(xí)是一種以學(xué)生為中心設(shè)計(jì)執(zhí)行函數(shù)過(guò)程性學(xué)習(xí)方法.函數(shù)過(guò)程性學(xué)習(xí)要求學(xué)生從真實(shí)世界

的基本問(wèn)題出發(fā)，圍繞復(fù)雜的、來(lái)自真實(shí)情境的主題，在精心設(shè)計(jì)任務(wù)、活動(dòng)的基礎(chǔ)上，以小組方式進(jìn)行

開(kāi)放性探究，并將學(xué)習(xí)結(jié)果以作品的形式表現(xiàn)出來(lái)，最終達(dá)到知識(shí)建構(gòu)與自身能力提高.這個(gè)也是落實(shí)課

程標(biāo)準(zhǔn)中的活動(dòng)建議，函數(shù)過(guò)程性學(xué)習(xí)更能有效提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，此類題

可以是純函數(shù)性質(zhì)探究，也可以結(jié)合幾何動(dòng)點(diǎn)探究函數(shù)性質(zhì)，屬于創(chuàng)新題.

3重點(diǎn)考向

=一.選擇題

1.(2023?青海)生物興趣小組探究酒精對(duì)某種魚(yú)類的心率是否有影響，實(shí)驗(yàn)得出心率與酒精濃度的關(guān)系如

B.酒精對(duì)這種魚(yú)類的心率沒(méi)有影響

C.當(dāng)酒精濃度是10%時(shí)，心率是168次/分

D.心率與酒精濃度是反比例函數(shù)關(guān)系

解：由圖象可知，酒精濃度越大，心率越低，故A錯(cuò)誤；

酒精濃度越大，心率越低，酒精對(duì)這種魚(yú)類的心率有影響，故2錯(cuò)誤；

由圖象可知，當(dāng)酒精濃度是10%時(shí)，心率是168次/分，故C正確；

任意取兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)(5%,192),(10%,168),因?yàn)?92*5%彳168乂10%,所以心率與酒精濃度不是反

比例函數(shù)關(guān)系，故。錯(cuò)誤.

故選：C.

2.（2021?蘭州）如圖，小明探究課本“綜合與實(shí)踐”板塊“制作視力表”的相關(guān)內(nèi)容：當(dāng)測(cè)試距離為5小時(shí),

標(biāo)準(zhǔn)視力表中最大的“E”字高度為72.7%利，當(dāng)測(cè)試距離為3機(jī)時(shí)，最大的“E”字高度為（）

A.121.17mmB.43.62mmC.29.08mmD.4.36mm

解：由題意得：

DFAD

前詞

VAD=3m,AB=5m,BC=72Jmm,

DF二3

72.7

Z)F=43.62(mm),

故選：B.

也*9=畫(huà)且

3.（2023?晉城模擬）觀察式子：04X9=每=6,yx、/§=2x3=6；

1004V40020

7?號(hào);VO.25X0.04=V0.01=0.1-VO.25X^O.04=0.5X0.2=0.L由

10

此猜想后=4-Vb（e0,feO）.上述探究過(guò)程蘊(yùn)含的思想方法是（）

A.特殊與一般B.整體

C.轉(zhuǎn)化D.分類討論

解：探究過(guò)程蘊(yùn)含的思想方法是特殊與一般，

故選：A.

4.（2023?遷安市二模）如圖1和圖2是在數(shù)學(xué)課上甲組和乙組在探究用不同方法：過(guò)直線外一點(diǎn)P作直

線/的平行線，用尺規(guī)作圖保留痕跡，關(guān)于兩組的作法下列說(shuō)法正確的是（）

B.甲組作法不正確，乙組作法正確

C.甲組和乙組作法都不正確

D.甲組和乙組作法都正確

解：圖1中，A3是/B4c的平分線,

：.ZPAB=ZBAC,

'：PA=PB,

：.ZPAB=ZPBA,

：.ZPBA^ZBAC,

J.PB//1,

.?.甲組作法正確;

圖2中，A、C分別為PB、的中點(diǎn),

，AC是APB。的中位線，

：.AC//PQ,

J.PQ//1,

.?.乙組作法正確;

故選：D.

5.（2022?百色）活動(dòng)探究：我們知道，己知兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.如

已知AABC中，ZA=30%AC=3,/A所對(duì)的邊為滿足已知條件的三角形有兩個(gè)（我們發(fā)現(xiàn)其中

如圖的AABC是一個(gè)直角三角形），則滿足已知條件的三角形的第三邊長(zhǎng)為（）

C.2百或?D.2y或2我-3

解：如圖，CD=CB,作C”_LA8于H,

A

DHB

：.DH=BH,

/A=30°,

：.CH=^AC=—,A

22

在RtACBH中，由勾股定理得BH=7BC2-CH

：.AB=AH+BH=^^-

2V3.AD=AH-

222

故選：c.

6.（2023?山西模擬）數(shù)學(xué)中，常對(duì)同一個(gè)量（圖形的面積、點(diǎn)的個(gè)數(shù)等）用兩種不同的方法計(jì)算，從而建

立相等關(guān)系.我們把這種思想叫“算兩次”“算兩次"也稱作富比尼原理，是一種重要的數(shù)學(xué)思想.由它可

以推導(dǎo)出很多重要的公式.如圖，兩個(gè)直角邊分別為。，。的直角三角形和一個(gè)兩條直角邊都是c的直角

三角形拼成一個(gè)梯形，用“算兩次”的方法，探究a,b,c之間的數(shù)量關(guān)系，可以驗(yàn)證的是（

B.平方差公式

D.比例的性質(zhì)

解：第一次利用梯形的面積公式,圖形面積為：￡（a+b）2.

第二次利用圖形的面積和計(jì)算為:2xXC2.

2

2=2x2

?"-y(a+b)yc，

整理得：a2+2aZ?+c2=2ab+<?,

.".a2+b2=cz.

故選：A.

7.（2023?金昌）如圖1,漢代初期的《淮南萬(wàn)畢術(shù)》是中國(guó)古代有關(guān)物理、化學(xué)的重要文獻(xiàn)，書(shū)中記載了

我國(guó)古代學(xué)者在科學(xué)領(lǐng)域做過(guò)的一些探索及成就.其中所記載的“取大鏡高懸，置水盆于其下，則見(jiàn)四鄰

矣”，是古人利用光的反射定律改變光路的方法，即“反射光線與入射光線、法線在同一平面上；反射光

線和入射光線位于法線的兩側(cè)；反射角等于入射角”.為了探清一口深井的底部情況，運(yùn)用此原理，如圖

在井口放置一面平面鏡可改變光路，當(dāng)太陽(yáng)光線A8與地面C。所成夾角/A8C=50。時(shí)，要使太陽(yáng)光線

經(jīng)反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調(diào)整平面鏡所與地面的夾角NE3C=（）

工

淮

南-*

9*

履

苒

#

<

圖2

?：BM_LCD,

???NCW=90。，

ZABC=50°,

：.ZABE+ZFBM=1SO°-90°-50°=40°,

ZABE=NFBM,

：.ZABE=ZFBM=20°,

???ZEBC=20°+50°=70°.

故選：B.

8.（2022?無(wú)錫）雪花、風(fēng)車……展示著中心對(duì)稱的美，利用中心對(duì)稱，可以探索并證明圖形的性質(zhì),請(qǐng)思

考在下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形但不一定是軸對(duì)稱圖形的為（）

A.扇形B.平行四邊形

C.等邊三角形D.矩形

解：A.扇形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意;

B.平行四邊形不一定是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

C.等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

D.矩形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

故選：B.

9.(2023?德陽(yáng))在“點(diǎn)燃我的夢(mèng)想，數(shù)學(xué)皆有可能”數(shù)學(xué)創(chuàng)新設(shè)計(jì)活動(dòng)中，“智多星”小強(qiáng)設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)探

究活動(dòng)；對(duì)依次排列的兩個(gè)整式相，〃按如下規(guī)律進(jìn)行操作：

第1次操作后得到整式中m,n,n-m-,

第2次操作后得到整式中m,n,n-m,-m-,

第3次操作后……

其操作規(guī)則為：每次操作增加的項(xiàng)，都是用上一次操作得到的最末項(xiàng)減去其前一項(xiàng)的差，小強(qiáng)將這個(gè)活

動(dòng)命名為“回頭差”游戲.

則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式串各項(xiàng)之和是()

A.m+nB.mC.n-mD.2n

解:第1次操作后得到的整式串m,n,n-m；

第2次操作后得到的整式串機(jī)，n,n-m,-m；

第3次操作后得到的整式串機(jī)，n,n-m,-m,-n；

第4次操作后得到的整式串機(jī)，n,n-m,-m,-n,-n+m；

第5次操作后得到的整式串加，n,n-m,-m,-n,-n+m,m；

第6次操作后得到的整式串機(jī)，n,n-m,-m,-n,-n+m,m,九；

第7次操作后得到的整式串機(jī)，n,n-m,-m,-n,-n+m,m,n,n-m；

第2023次操作后得到的整式串機(jī)，n,n-m,-m,-n,-n+m,...m,n,n-m；共2025個(gè)整式；

歸納可得，以上整式串每六次一循環(huán).每6個(gè)整式的整式之和為：m+n+(?-m)+(-m)+(-n)+

(-n+m)=0,

；2025+6=337...3,

.?.第2023次操作后得到的整式中，求最后三項(xiàng)之和即可.

??.這個(gè)和為wi+〃+(n-in)=2n.

故選：D.

10.(2023?東湖區(qū)校級(jí)二模)數(shù)學(xué)小組將兩塊全等的含30。角的三角尺按較長(zhǎng)的直角邊重合的方式擺放，

并通過(guò)平移對(duì)特殊四邊形進(jìn)行探究.如圖1,其中NADB=NCB￡)=30。，ZABD=ZBDC^90°,AB=

0)=3,將RtABCD沿射線方向平移，得到RtAB'C。.分別連接Ab,(如圖2所示)，下列

有關(guān)四邊形ABC。的說(shuō)法正確的是()

B.先是平行四邊形，平移?個(gè)單位長(zhǎng)度后是矩形，再平移2a個(gè)單位長(zhǎng)度后是菱形

C.先是平行四邊形，平移我個(gè)單位長(zhǎng)度后是矩形，再平移個(gè)單位長(zhǎng)度后是正方形

D.在RtABC。平移的過(guò)程中，依次出現(xiàn)平行四邊形、矩形、菱形、正方形

解：A.在R3ABB中，AB=3,BB'=M，

；?A"=VAB2+BB/2=Vs2+（Vs）2=2心

在R3A8O中，/ADB=30。，

???A￡>=2A8=2x3=6,

，BD=4AD2-AB2=3?，

AABD”叢CDB,

:?CD=AB=3,BC=AD=6,

:?BC=6,

:?AB?B，C,

???四邊形AQCO是平行四邊形，但不是菱形，故A選項(xiàng)不符合題意；

B.當(dāng)89=%時(shí)，

'：tanZAB'B=三二百，

V3

ZAB'B=60°,

VZCBD=30°,BC//B'C',

：.ZCB'D'=30°,

：.ZAB'C'^9Q°,四邊形AB'CD是平行四邊形，

四邊形ABC。是矩形，

當(dāng)88'=3?時(shí)，AB'=7AB2+BB72=V32+（3^3）2=6=BC,

四邊形ABC。是菱形，故B選項(xiàng)符合題意；

C.由8可知先是平行四邊形，平移?個(gè)單位長(zhǎng)度后是矩形，

當(dāng)88=4?時(shí)，AB，r/+BB，2r32+（如）2=歷冊(cè),

...四邊形AQC。不是正方形，故C選項(xiàng)不符合題意；

D.由8知，RtABCZ）平移逐個(gè)單位長(zhǎng)度后是矩形，移動(dòng)的其它位置不是矩形，故一定不是正方形，故

。選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

二.填空題

11.(2023?福山區(qū)一模)3月28日電28日，我國(guó)首單以人民幣結(jié)算的進(jìn)口液化天然氣(LNG)采購(gòu)交易

達(dá)成，標(biāo)志著我國(guó)在油氣貿(mào)易領(lǐng)域的跨境人民幣結(jié)算交易探索邁出實(shí)質(zhì)性一步，數(shù)據(jù)顯示，2022年上海

石油天然氣交易中心天然氣雙邊交易量達(dá)到928.58億立方米.928.58億用科學(xué)記數(shù)法表示為

9.2858x101°.

解：928.58億=92858000000=9.2858x101°.

故答案為：9.2858X1O10.

12.(2023?杭州)在“探索一次函數(shù)了=丘+6的系數(shù)左，6與圖象的關(guān)系”活動(dòng)中，老師給出了直角坐標(biāo)系中

的三個(gè)點(diǎn)：A(0,2),B(2,3),C(3,1).同學(xué)們畫(huà)出了經(jīng)過(guò)這三個(gè)點(diǎn)中每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)的一次函數(shù)的

圖象，并得到對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)i=/ix+6i，y2=k2x+b^>y^—kix+b-i.分別計(jì)算a1+61，kz+b”Z3+63的值，

其中最大的值等于5.

>

x

解：解法一：設(shè)直線AB的解析式為力=紅計(jì)仇,

bl=2

將點(diǎn)A(0,2),B(2,3)代入得，，

2k<+bi=3

1

解得：〈1節(jié),

i=2

/.ki+bi=—>

2

設(shè)直線AC的解析式為y2=k^+b2,

b2=2

將點(diǎn)A(0,2),C(3,1)代入得，，

3k2+b2=l

1

解得：，3

'?ki+b2=—t

3

設(shè)直線BC的解析式為y3=k3x+b3,

2kq+bo=3

將點(diǎn)8(2,3),C(3,1)代入得，?

3k3+b3=l

k=-2

解得：，

7

b3=

.*.fe+&3=5,

.??i+d=a,k2+b2=—，k3+b3=5,其中最大的值為5.

23

解法二：如圖，作直線AB、AC,BC,作直線x=l,

|X=1

I

設(shè)直線AB的解析式為以=左1%+。1，直線AC的解析式為丁2=左亦+。2，直線的解析式為”=%31+。3,

由圖象可知，直線％=1與直線3C的交點(diǎn)最高，

即當(dāng)X=1時(shí)，kl+bl，心+岳，依+加其中最大的值為總+。3,

2k3+b3=3

將點(diǎn)3(2,3),C(3,1)代入得，，

3k3+b3=1

k3=-2

解得：＜

b3=7

.".k3+b3=5,

kl+bl，%2+歷，％3+匕3其中最大的值為左3+63=5.

故答案為：5.

13.(2023?杏花嶺區(qū)校級(jí)模擬)我省積極探索保障糧食安全，做強(qiáng)精品糧油，始終堅(jiān)持“藏糧于地、藏糧于

技”戰(zhàn)略，穩(wěn)定糧食面積，提升基礎(chǔ)保障能力，增強(qiáng)科技支撐能力，牢牢把飯碗端在自己手中，某農(nóng)科所

在相同條件下做某種作物種子發(fā)芽率的試驗(yàn)，結(jié)果如表所示：

種子個(gè)數(shù)n10001500250040008000150002000030000

發(fā)芽種子個(gè)數(shù)m8991365224536447272136801816027300

發(fā)芽種子頻率螞0.8990.9100.8980.9110.9090.9120.9080.910

n

則該作物種子發(fā)芽的概率約為0.91.(結(jié)果保留兩位小數(shù))

解：觀察表格發(fā)現(xiàn)，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，種子發(fā)芽的頻率逐漸穩(wěn)定在0.91附近，

所以估計(jì)該作物種子發(fā)芽的概率約為0.91.

故答案為：0.91.

14.(2023?榆樹(shù)市校級(jí)模擬)在“探索函數(shù)y=^+6x+c的系數(shù)a,b,c與圖象的關(guān)系“活動(dòng)中，師給出了直

角坐標(biāo)系中的四個(gè)點(diǎn)A(0,2),B(1,0),C(3,1),D(2,3).同學(xué)們探索了經(jīng)過(guò)這四個(gè)點(diǎn)中

的三個(gè)點(diǎn)的二次函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)運(yùn)些圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式各不相同，其中。的最大值為$.

-2-

解：由圖象知，A、B、。組成的二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上，。>0；

A、B、C組成的二次函數(shù)開(kāi)口向上，a>0；

B、C、D三點(diǎn)組成的二次函數(shù)開(kāi)口向下，a<0；

A、D、C三點(diǎn)組成的二次函數(shù)開(kāi)口向下，a<0；

即只需比較A、B、。組成的二次函數(shù)和A、B、C組成的二次函數(shù)即可.

設(shè)A、B、。組成的二次函數(shù)為yiMaif+bix+ci，

4=2

把A(0,2),B(1,0),C(3,1)代入上式得，ai+bi+^l=O，

9a]+3b]+C[=l

解得ai=@;

5

設(shè)A、B、。組成的二次函數(shù)為〉=加+法+°,

"c=2

把A(0,2),B(1,0),Z)(2,3)代入上式得，a+b+c=O，

4a+2b+c=3

解得a=S,

2

即。最大的值為

2

故答案為：

2

15.(2020?安徽)在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，敏敏進(jìn)行了如下操作：如圖，將四邊形紙片A8C。沿過(guò)點(diǎn)A的直線

折疊，使得點(diǎn)B落在CD上的點(diǎn)Q處.折痕為AP；再將APCQ,^ADQ分別沿PQ,AQ折疊，此時(shí)點(diǎn)C,

。落在AP上的同一點(diǎn)R處.請(qǐng)完成下列探究：

(1)NB4。的大小為30。;

(2)當(dāng)四邊形APCD是平行四邊形時(shí)，地的值為V3

QR-

解：（1）由折疊的性質(zhì)可得：ZB=ZAQPfZDAQ=ZQAP=APAB,/DQA=NAQR,ZCQP=Z

PQR,ZD=ZARQ,NC=NQRP,

???NQM+NQ?尸=180。，

AZD+ZC=180°,

：.XD//BC,

：.ZB+ZDAB=180°,

ZDQR+ZCQR=1SO°,

：.NDQ4+NCQP=90。，

JNA。尸=90。，

：.ZB=ZAQP=90°,

：.ZDAB=90°,

：.ZDAQ=ZQAP=ZFAB=30°,

故答案為：30；

(2)由折疊的性質(zhì)可得：AD=AR,CP=PR,

???四邊形APCD是平行四邊形，

：.AD=PC,

：?AR=PR,

又「ZAQP=90°,

.??QR=」AP,

2

VZB4B=30°,ZB=90°,

:,AP=2PB,AB=MPB,

：.PB=QR,

:里=M，

QR

故答案為：Vs-

16.（2023?臨淄區(qū)一模）華羅庚說(shuō)過(guò)：“復(fù)雜的問(wèn)題要善于，退’，足夠地，退‘，‘退'到最原始而不失重要性的

地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅.”可見(jiàn)，復(fù)雜的問(wèn)題有時(shí)要“退”到本質(zhì)上去研究.如圖，已知拋物線y=

-$+2x-I的圖象與/的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，我們把探索線的變化規(guī)律“退”到探索點(diǎn)的變化規(guī)律上

去研究，可以得到圖象/所對(duì)應(yīng)的關(guān)于x與y的關(guān)系式為x=-y2+2y-l.若拋物線y=-x2+2x-1與g

J.x—y1+ly+V,

故答案為：x=y2+2y+l.

17.（2022?鋼城區(qū)）利用圖形的分、和、移、補(bǔ)探索圖形關(guān)系，是我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一種重要方法.如圖1,

BD是矩形ABCD的對(duì)角線，將△8。分割成兩對(duì)全等的直角三角形和一個(gè)正方形，然后按圖2重新擺

放，觀察兩圖，若a=4,b=2,則矩形的面積是16.

A,__________A______D

圖1圖2

解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x,

。=2,

；?80=2+4=6,

在RtABCD中，DC2+BC2=DB2,

即(4+x)2+(尤+2)2=62,

整理得，f+6x-8=0,

而長(zhǎng)方形面積為=(x+4)(x+2)=/+6x+8=8+8=16

該矩形的面積為16,

解法二：由題意得第一個(gè)矩形的左上角的三角形面積=第二個(gè)矩形左上角的長(zhǎng)方形的面積=4x2=8,所

以原矩形面積為16

故答案為：16.

圖1圖2

18.（2023?十堰）在某次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小明將一張斜邊為4的等腰直角三角形ABC（NA=90。）硬紙

片剪切成如圖所示的四塊（其中。，E,尸分別AB,AC,的中點(diǎn)，G,X分別為。E,的中點(diǎn)），

小明將這四塊紙片重新組合拼成四邊形（相互不重疊，不留空隙），則所能拼成的四邊形中周長(zhǎng)的最小

值為8,最大值為8+2點(diǎn).

解：如圖,

BC=4,AC=4x返=2M，CI=BD=CE=LAC=?DI=BC=4,

22

四邊形BCID周長(zhǎng)=4+4+2&=8+2&；

如圖，

AF=AI=IC=FC=2,

四邊形AFCI周長(zhǎng)為2x4=8；

故答案為：8,8+2^2.

19.（2021?大慶）已知，如圖①，若AZ）是AABC中NBAC的內(nèi)角平分線，通過(guò)證明可得嶇=坨，同理，

ACCD

若AE是AABC中/B4C的外角平分線，通過(guò)探究也有類似的性質(zhì).請(qǐng)你根據(jù)上述信息，求解如下問(wèn)題：

如圖②，在AABC中，BD=2,CD=3,A。是AABC的內(nèi)角平分線，貝以48。的BC邊上的中線長(zhǎng)/的取

AB=BD

ACCD，

,:BD=2,CD=3,

?.?-A-B-_-2-,

AC3

作/8AC的外角平分線AE,與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,

.AB=BE

"AC而''

.BE2

"5+BE

：.BE=IO,

：.DE=12,

：AO是NR4c的角平分線，AE是/R4c外角平分線

：.ZEAD=90°,

...點(diǎn)A在以DE為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

取2C的中點(diǎn)為R

：.DF<AF<EF,

；■</<生，

22

故答案為：工</<空.

22

解法2：是A48C的內(nèi)角平分線，

.AB=BD

"ACCD，

,:BD=2,CD=3,

.AB_2

??-----,

AC3

可設(shè)AB=2億AC=3匕

在AABC中，BC=5,

：.5k>5,k<5,

：.l<k<5,

E是8C邊的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AE至A,使得AE=AE,連結(jié)AC,

：.A'C=AB,

：.k<2l<5k,

圖②

A

OB4FC

三.解答題

20.(2023?廣西)【探究與證明】折紙，操作簡(jiǎn)單，富有數(shù)學(xué)趣味，我們可以通過(guò)折紙開(kāi)展數(shù)學(xué)探究，探

索數(shù)學(xué)奧秘.

【動(dòng)手操作】如圖1，將矩形紙片ABC。對(duì)折，使與重合，展平紙片，得到折痕斯：折疊紙片，

使點(diǎn)B落在所上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)4得到折痕AM,點(diǎn)、B,E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為F展平紙片，連接

AB',BB',BE'.請(qǐng)完成：

(1)觀察圖1中/I,/2和/3,試猜想這三個(gè)角的大小關(guān)系；

(2)證明(1)中的猜想；

【類比操作】如圖2,N為矩形紙片A3。的邊AD上的一點(diǎn)，連接BN,在AB上取一點(diǎn)P,折疊紙片，

使8,尸兩點(diǎn)重合，展平紙片，得到折痕ER折疊紙片，使點(diǎn)2,P分別落在ERBNk,得到折痕/,

點(diǎn)B,尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為9，P',展平紙片，連接3夕，P'B'.請(qǐng)完成：

(3)證明是NNBC的一條三等分線.

(2)證明：如圖1,

（圖1）

設(shè)AM,EF交于點(diǎn)、O,

由題意得：EP是A2的垂直平分線，AM是89的垂直平分線，AB^AB',

：.AB'=BB',OA=OB=OB',

：.AB'=BB'=AB,。為外心，

ZABB'=60°,

.*.Zl=Z2=30°,

???四邊形ABC。是矩形，

ZABC=90°,

：.Z3=90°-60°=30°,

.\Z1=Z2=Z3；

(3)證明：如圖2,

（圖2）

同理（2）得：OB=OB'=OP=OP',BP'=PB'=BB',

：.ZP'BO=NB'BO,ZOBB'=ZBB'O,

'：EF//BC,

：.ZOB'B^ZB'BC,

：.ZP'BO=ZB'BO=ZB'BC,

:.BB，是/NBC的一條三等分線.

21.(2023?綿陽(yáng))如圖，拋物線經(jīng)過(guò)△AO。的三個(gè)頂點(diǎn)，其中O為原點(diǎn)，A(2,4),D(6,0),點(diǎn)尸

在線段AO上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G在直線AO上方的拋物線上，GF//AO,GE，。。于點(diǎn)E,交AO于點(diǎn)/,A”平

分NQ4。，C(-2,-4),AH_LC8于點(diǎn)X,連接切.

C1)求拋物線的解析式及AA。。的面積；

(2)當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)至拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求△AFH的面積；

(3)試探究四的值是否為定值？如果為定值，求出該定值；不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)設(shè)拋物線的解析式為丫二辦耳匕無(wú)(存0).

將A(2,4),D(6,0)代入，得(4a+2b=4,

I36a+6b=0

f1

解得：2,

b=3

.*.y=-—,v+3x.

,2

設(shè)點(diǎn)0到AD的距離為d,點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為明，

9

**?S^AOD~~~~A,Dd—--0D9SA——~X6X4—12.

222

(2):尸--X2+3X=-—(x-3)2+—,

222

拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3.

當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)至對(duì)稱軸上時(shí)，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為3,

則AF=3-2=1,

AD6-24

即AF=-^AD.

4

如圖，連接OC、OH,

...點(diǎn)A、O、C三點(diǎn)共線，且。為AC的中點(diǎn).

"：AH±CH,

：.OH=-^AC=OA,

2

：.ZOAH=ZAHO.

「AH平分NCA￡),

：.NOAH=NDAH,

：.ZAHO=ZDAH,

：.HO//AD,

：.H0與AD間的距離為d,

點(diǎn)H到AD的距離為d.

?SAAOZ)=12,

22

S^AFH=—xAFx<7=Ax—ADxd=Ax(』xADxd)=—xl2=3.

224424

.?.當(dāng)點(diǎn)廠運(yùn)動(dòng)至拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，AAEF/的面積為3；

(3)如圖，過(guò)點(diǎn)A作ACOD于點(diǎn)L過(guò)點(diǎn)尸作雁_LGE于點(diǎn)K.

???0A=VAL2-K)L2=^42+22=2疾.

：.DL=OD-OL=6-2=4,

在RtZkADL中，AL=DL,

：.ZAZ)L=45°,

,:GE1D0,

：.ZFIK=45°,即AF/K為等腰直角三角形.

設(shè)FK=m,則K/=m,

在RtAAOL和RtAGFK中，

?.*GF//AO,

：.ZAOL=NGFK,

tanZAOL=tanZGFK,

.AL=GK

"OLFK"

即全雪

2m

:?GK=2m,

GI=GK+KI=2m+m=3m.

又sinNAO￡=sinNGFK,

.AL=GK

*,AOFG，

?—VsmVs

3m

...里的值是定值，定值為

GI3

22.(2023?甘孜州)如圖，在RtAABC中，AC=BC=3&，點(diǎn)。在AB邊上，連接C。，將CD繞點(diǎn)C逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90。得到CE,連接BE,DE.

(1)求證：4CAD冬ACBE；

(2)若4。=2時(shí)，求CE的長(zhǎng);

(3)點(diǎn)。在A3上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究的值是否存在最小值，如果存在，求出這個(gè)最小值；如果

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

C

：.ZACB-ZDCB=ZDCE-ZDCB.

即/ACO=NBCE.

在△C4O和ACSE中，

rCA=CB

，ZACD=ZCBE

CD=CE

.,?△CAD^ACBE(SAS)；

(2)解：?.?在RtAABC中，AC=BC=3&，

：.ZCAB=ZCBA=45°,AB=V2AC=6>

：.BD=AB-AD=6-2=4.

'：/\CAD^ACBE(SAS),

：.BE=AD^2fZCBE=ZCAD=45°,

：.ZABE=ZABC+ZCBE=90°.

?*-DE=VBD2+BE2=2V5>

...在RtACDE中，CE=CD=^=~=Vw;

V2

（3）解：存在，理由：

由（2）可知，AI^+BD2=BE^BD2=DE2=2CD2,

...當(dāng)CO最小時(shí)，有AD^+BD2的值最小，此時(shí)CD±AB.

???△ABC為等腰直角三角形，

CD-|AB=1x6=3-

AD^+BD-=2CD2>2X32=18.

即AD^+BD2的最小值為18.

23.（2023?淄博）在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開(kāi)展探究活動(dòng).

（1）操作判斷

小紅將兩個(gè)完全相同的矩形紙片ABC。和CEFG拼成乜”形圖案，如圖①.試判斷："CB的形狀為等

腰直角三角形.

（2）深入探究

小紅在保持矩形A8CZ）不動(dòng)的條件下，將矩形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，若A8=2,AD=4.

探究一：當(dāng)點(diǎn)尸恰好落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)CG與。尸相交于點(diǎn)如圖②.求ACMF的面積.

探究二：連接AE,取AE的中點(diǎn)H,連接DH,如圖③.求線段DH長(zhǎng)度的最大值和最小

在RtACFG中，CF={CG2+GF2>

\'AB^GF,BC=CG,

：.AC^CF,

...△ACT是等腰三角形，

'：AB^GF,/PGC=/ABC=90°.BC=CG,

AAABC^AFGC(SAS),

ZACG=ZGFC,

VZGCF+ZGFC=90°,

ZACG+ZGCF=9O°,

：.ZACF=90°,

...△ACF是等腰直角三角形，

故答案為：等腰直角三角形；

(2)探究一：'：CD=GF,ZFMG=ZDMC,ZG=ZCDF=90°,

：.4CDMmA^FGM(A4S),

'：AC=CF,CD±AF,

：.AD=DF,

"：AB=CD=2,AD=DF=4,

：.DM=4-CM,

在RtZiCDM中，CM-=CD1+DM2,

：.CM2=21+(4-CM)2,

解得CM=^~,

2

2

:ZMF的面積=▲x2XA=A；

222

探究二：連接。E,取。E的中點(diǎn)尸，連接HP,取A。、3c的中點(diǎn)為M、N,連接血W,MH,NH,

?.,〃是AE的中點(diǎn)，

：.MH//DE,且

2

"：CD=CE,

：.CP±DE,DP=PE,

'JMH//DP,且MH=DP,

四邊形MHPD是平行四邊形，

:.MD=HP,MD//HP,

'：AD//BC,MD=CN,

：.HP//CN,HP=CN,

...四邊形HNCP是平行四邊形，

J.NH//CP,

ZMHN=90°,

：.H點(diǎn)在以MN為直徑的圓上，

設(shè)MN的中點(diǎn)為T(mén),

：.DT=N]2+。2=遙,

的最大值為返+1,最小值為泥-1.

方法二：設(shè)AC的中點(diǎn)為T(mén),連接"T,

是AACE的中位線，

:.HT=LCE=L

2

在以T為圓心，1為半徑的圓上，

"：DT=4]2+。2=遙,

二?！钡淖畲笾禐槟?1,最小值為遙-1.

圖③

圖③

24.（2023?青海）如圖，二次函數(shù)＞=-f+6x+c的圖象與x軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)C（1,0）,交y軸于點(diǎn)8

（0,3）.

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為P,對(duì)稱軸與無(wú)軸交于點(diǎn)。，求四邊形AOBP的面積（請(qǐng)?jiān)趫D1中探索）；

（3）二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)使得是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求

出滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（請(qǐng)?jiān)趫D2中探索）.

f-l+b+c=O

Ic=3，

.42,

Ic=3

.\y="%2-2x+3；

(2)如圖，

連接OP,

?；y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

：.P(-1,4),

???尸。=4,0。=1,

由-f-2x+3=0得，

X\=lfX2=~3?

???0A=3,

,Swi形AOBP=SAAOP+SABOP=^A-PQ+^OB?OQ=^X3X4TX3X1=卷

乙乙乙乙乙

(3)設(shè)M(-1,加，

由4〃2=即產(chǎn)得，

[(-3)-(-1)]~+n^—(-1)2+(MJ-3)2,

??m=1,

25.（2023?鹽城）綜合與實(shí)踐

【問(wèn)題情境】

如圖1,小華將矩形紙片ABC。先沿對(duì)角線2。折疊，展開(kāi)后再折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線2。上，點(diǎn)、B

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為8，折痕與邊A。，8C分別交于點(diǎn)E,F.

【活動(dòng)猜想】

(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)夕與點(diǎn)。重合時(shí)，四邊形2瓦不是哪種特殊的四邊形？答：菱形.

【問(wèn)題解決】

(2)如圖3,當(dāng)AB=4,AD=S,8/=3時(shí)，求證：點(diǎn)4,B',C在同一條直線上.

【深入探究】

(3)如圖4,當(dāng)AB與8C滿足什么關(guān)系時(shí)，始終有49與對(duì)角線AC平行？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(4)在(3)的情形下，設(shè)AC與B。，EP分別交于點(diǎn)。，P,試探究三條線段4P,B'D,所之間滿足

(1)解：當(dāng)點(diǎn)夕與點(diǎn)。重合時(shí)，四邊形BE/m是菱形.

理由：設(shè)與8D交于點(diǎn)0,如圖，

；.NBOF=/DOE=90。,

???四邊形ABC。是矩形，

J.AD//BC,

：.ZOBF=ZODE,

:.△BFO沿ADEO(ASA),

：.0E=0F,

四邊形2EDF是菱形.

故答案為：菱形.

(2)證明：?.,四邊形ABC。是矩形，AB=4,AD=8,BF=3,

???3C=AO=8,CD=A3=4,/BCD=90。,

：.CF=BC-BF=8-3=5,

:,BD=VBC2-CD2=VS2+42=4疾，

如圖，設(shè)叱與2。交于點(diǎn)Af,過(guò)點(diǎn)夕作HKLBC于K,

由折疊得：ZA'B'F=ZABF=ZBMF=ZB'MF=90°,B'F=BF=3,BB'=2BM,

：./BMF=ZBCD,

"：ZFBM=ZDBC,

：.ABFMsABDC,

即

ABM=BF；BM_3

*'BCED'8475'

5

A

???PDPD,_-1-2---/-5-,

5

'：ZBKB'=ZBCD,ZB'BK=ZDBC,

:.△BB'Ks/XBDC,

12V5

.ByK_BK_BBy即B，K_BK__T"

CDBCBD4T475

.?.8K=衛(wèi)，BK=建，

55

VB,F2+B,C2=32+42=25,CF2=52=25,

：.B'F2+B'C2=CF2,

：.ZCB'F=90°,

：.ZA'B'F+ZCB'F=90°+90°=180°,

.?.點(diǎn)4,B',C在同一條直線上.

(3)解：當(dāng)時(shí)，始終有49與對(duì)角線AC平行.

理由：如圖，設(shè)AC、BD交于點(diǎn)0,

A

B

.四邊形A2CD是矩形，

：.OA=OB,ZABC=90°,

?：BC=MAB,

，tanNBAC=W=F，

AB

AZBAC=60°,

：.AOAB是等邊三角形，

/ABO=/AOB=60°,

由折疊得：ZA'B'B=ZABO=60°,

：.ZA'B'B=ZAOB,

：.A'B'//AC,

故當(dāng)時(shí)，始終有4夕與對(duì)角線AC平行.

(4)解：MEF=2(AP+B'D),理由如下：

如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG_LBC于G,設(shè)EF交BD于H,

由折疊得：EF±BD,B'F=BF,ZBFE=ZB'FE,

設(shè)人七二m，EF=n,

由（3）得：ZBAC=60°=ZABD.

???NBB'F=NDBC=3。。,

???ZBFE=ZBrFE=60°,

ZEAB=ZABG=/BGE=90。,

???四邊形ABGE是矩形,

：.AB=EG=^-n,BG=AE=m,AD//BC,

2

：.BF=B'F=m+^n,

2

:.BH=BF*cos3Q°=叵Cm+^n）,

22

：.BB'=2BH=y[3（m+—H）,

2

■:BD=2AB=Mn,

：,B'D=BD-BB'=y/3n-M（m+—n）=返〃-V3m,

22

U：AD//BC,

:?/DEF=/EFG=60。,

：.ZAPE=ZDEF-ZDAC=60°-30°=30°=ZDACf

AP=2AE*cos30°=,

：.AP+B'D^y/3m+（等”-百=耳〃，

：.AP+B'D=^-EF,

2

即我E尸=2{AP+B'D）.

26.（2023?呼和浩特）探究函數(shù)y=-2奸+4|x|的圖象和性質(zhì)，探究過(guò)程如下：

（1）自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，x與y的幾組對(duì)應(yīng)值列表如下：

尤..._5-2_3-1_1o11325

J...503m3o323o_5

其中，1n=2.根據(jù)如表數(shù)據(jù),在圖1所示的平面直角坐標(biāo)系中，通過(guò)描點(diǎn)畫(huà)出了函數(shù)圖象的一部分,

請(qǐng)畫(huà)出該函數(shù)圖象的另一部分.觀察圖象，寫(xiě)出該函數(shù)的一條性質(zhì)；

(2)點(diǎn)/是函數(shù)y=-2|肝+4國(guó)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A(2,0),點(diǎn)8(-2,0),當(dāng)心隨B=3時(shí)，請(qǐng)

直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(3)在圖2中，當(dāng)尤在一切實(shí)數(shù)范圍內(nèi)時(shí)，拋物線y=-2/+4x交x軸于O,A兩點(diǎn)(點(diǎn)。在點(diǎn)A的左

邊)，點(diǎn)尸是點(diǎn)。(1,0)關(guān)于拋物線頂點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，不平行y軸的直線/分別交線段。尸，AP(不含端

點(diǎn))于M,N兩點(diǎn).當(dāng)直線/與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，與PN的和是否為定值？若是，求出此定

圖1圖2

解：(1)當(dāng)x=-1時(shí)，y=-2x(-1)2+4x|-1|=2,

:?m=2,

圖1

由圖象可得該函數(shù)的性質(zhì)：該函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱；當(dāng)xV-1或時(shí)，y隨工的增大而增大；當(dāng)7夕

<0或正1時(shí)，y隨x的增大而減??；

故答案為：2；

(2)當(dāng)x<0時(shí)，y=--4x,

2

當(dāng)x>0時(shí)，y=-2x+4xf

VA(2,0),B(-2,0),

???A3=4,

,*,SAFAB=3,

.?.lx4|yF|=3,

：.yF=+—,

,2

當(dāng)〉F=旦時(shí)，若x<0,貝I」-2/-4X=3,

22

解得：彳=-3或一1,

22

若xK),則-2P+4X=3,

2

解得：x=S或工，

22

：.F（一旦，2）或（--1,旦）或（旦，旦）或（工，旦）；

22222222

當(dāng)■時(shí)，若無(wú)<0,則-2/-4X=-3,

22

解得：X=-1一近或X=-1+五（舍去），

22

若定0,則-2f+4x=-2,

2

解得：尤=1-近（舍去）或X=1+近，

22

：.F（-1+2ZL,-S）或（-1-近，-3）或（一近，-旦）或（1+近，-2）；

22222222

綜上所述，所有滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-3,旦）或（-工，S）或（&，1）或（工，3）或

22222222

一冬號(hào)或小冬專;

（3）與尸N的和是定值;

如圖2,連接直線尸。,

：.O(0,0),A(2,0),

".'y--2x2+4x=-2(x-1)2+2,

拋物線y=-2f+4x的頂點(diǎn)為(1,2),

???點(diǎn)P是點(diǎn)。(1,0)關(guān)于拋物線頂點(diǎn)(1,2)的對(duì)稱點(diǎn)，故點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,4),

由點(diǎn)P、。的坐標(biāo)得，直線。尸的表達(dá)式為y=4x①，

同理可得，直線AP的表達(dá)式為>=-4尤+8②，

設(shè)直線I的表達(dá)式為y=tx+n,

聯(lián)立y=Zx+"和y=-"+標(biāo)并整理得：2^+(f-4)x+n—0,

???直線/與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，

故A=(r-4)2-8〃=0,解得〃=[(r-4)2,