2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：排列、組合（十九大題型）（練習(xí)）（學(xué)生版+解析）

第02講排列、組合

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡(jiǎn)和計(jì)算.......................................2

題型二：直接法.................................................................2

題型三：間接法.................................................................3

題型四：捆綁法.................................................................4

題型五：插空法.................................................................4

題型六：定序問(wèn)題（先選后排）...................................................5

題型七：列舉法.................................................................6

題型八：多面手問(wèn)題.............................................................6

題型九：錯(cuò)位排列...............................................................6

題型十：涂色問(wèn)題...............................................................7

題型十一：分組問(wèn)題.............................................................7

題型十二：分配問(wèn)題.............................................................8

題型十三：隔板法...............................................................9

題型十四：數(shù)字排列.............................................................9

題型十五：幾何問(wèn)題.............................................................9

題型十六：分解法模型與最短路徑問(wèn)題............................................10

題型十七：排隊(duì)問(wèn)題............................................................11

題型十八：構(gòu)造法模型和遞推模型................................................11

題型十九：環(huán)排問(wèn)題............................................................12

02重難創(chuàng)新練.................................................................12

03真題實(shí)戰(zhàn)練.................................................................14

題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡(jiǎn)和計(jì)算

1.已知3A；=4A/,則x等于()

A.6B.13C.6或13D.12

2.已知A；“=100A：(/ieN+,〃N2),貝=)

A.11B.12C.13D.14

3.下列等式不正確的是()

m4-1

A—'c機(jī)B,零'-父=/熠

nn+1n+

C.父=心D.yi)c『+嘮

題型二：直接法

4.沈陽(yáng)二中24屆籃球賽正如火如荼地進(jìn)行中，全年級(jí)共20個(gè)班，每四個(gè)班一組，如1—4班為一組，5—8

班為二組……進(jìn)行單循環(huán)小組賽（沒(méi)有并列），勝出的5個(gè)班級(jí)和從余下隊(duì)伍中選出的數(shù)據(jù)最優(yōu)秀的1個(gè)

班級(jí)共6支球隊(duì)按抽簽的方式進(jìn)行淘汰賽，最后勝出的三個(gè)班級(jí)再進(jìn)行單循環(huán)賽，按積分的高低（假設(shè)沒(méi)

有并列）決出最終的冠亞季軍，請(qǐng)問(wèn)此次籃球賽學(xué)校共舉辦了多少場(chǎng)比賽？（）

A.51B.42C.39D.36

5.在含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，則恰好取到1件次品的不同方法數(shù)共有（）

A.C；C：7B.C；C*C.C；C：9D.C；C：7+C；C：7

6.（2024?貴州貴陽(yáng)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）2022年9月3日貴陽(yáng)市新冠疫情暴發(fā)以來(lái)，某住宿制中學(xué)為做好疫

情防控工作，組織6名教師組成志愿者小組，分配到高中三個(gè)年級(jí)教學(xué)樓樓門(mén)口配合醫(yī)生給學(xué)生做核酸.由

于高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)較多，要求高三教學(xué)樓志愿者人數(shù)均不少于另外兩棟教學(xué)樓志愿者人數(shù)，若每棟教學(xué)

樓門(mén)至少分配1名志愿者，每名志愿者只能在1個(gè)樓門(mén)進(jìn)行服務(wù)，則不同的分配方法種數(shù)為（）

A.240B.150C.690D.180

7.（多選題）2022年在全世界范圍內(nèi)，氣溫升高是十分顯著的，世界氣象組織預(yù)測(cè)2022年到2026年間,

有93%的概率平均氣溫會(huì)超過(guò)2016年，達(dá)到歷史上最高氣溫紀(jì)錄.某校環(huán)保興趣小組準(zhǔn)備開(kāi)展一次關(guān)于全

球變暖的研討會(huì)，現(xiàn)有10名學(xué)生，其中5名男生5名女生，若從中選取4名學(xué)生參加研討會(huì)，則（）

A.選取的4名學(xué)生都是女生的不同選法共有5種

B.選取的4名學(xué)生中恰有2名女生的不同選法共有400種

C.選取的4名學(xué)生中至少有1名女生的不同選法共有420種

D.選取的4名學(xué)生中至多有2名男生的不同選法共有155種

8.（多選題）新高考按照“3+1+2”的模式設(shè)置，其中“3”為全國(guó)統(tǒng)考科目語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，所有考生必考：

“1”為首選科目，考生須在物理、歷史兩科中選擇一科；“2”為再選科目，考生可結(jié)合自身特長(zhǎng)興趣在化學(xué)、

生物、政治、地理四科中選擇兩科.下列說(shuō)法正確的是（）

A.若任意選科，選法總數(shù)為C；C；

B.若化學(xué)必選，選法總數(shù)為C；C；

C.若政治和地理至多選一門(mén)，選法總數(shù)為C；C；C；+C；

D.若物理必選，化學(xué)、生物至少選一門(mén)，選法總數(shù)為C；C；+C；

題型三：間接法

9.中園古代中的“禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)''合稱(chēng)"六藝“禮”主要指德育；“樂(lè)”主要指美育；"射''和"御’'就

是體育和勞動(dòng)；“書(shū)，，指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”指數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“六藝，，講座活動(dòng)，每周安排一次講

座，共講六次.講座次序要求“射”不在第一次，“數(shù)”和“樂(lè)”兩次不相鄰，貝I“六藝”講座不同的次序共有（）

A.408種B.240種C.1092種.D.120種

10.中國(guó)古代中的“禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)”，合稱(chēng)“六藝”.“禮”主要指德育；“樂(lè)”主要指美育；“射”和“御”

就是體育和勞動(dòng)；“書(shū)”指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”指數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“六藝”講座活動(dòng)，每次講一藝.

講座次序要求“數(shù)”不在第一次也不在第六次，“禮”和“樂(lè)”不相鄰，貝心六藝”講座不同的次序共有（）

A.480種B.336種C.144種D.96種

11.紅五月，某校團(tuán)委決定舉辦慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年“百年榮光，偉大夢(mèng)想”聯(lián)歡會(huì)，經(jīng)過(guò)初賽，共

有6個(gè)節(jié)目進(jìn)入決賽，其中2個(gè)歌舞類(lèi)節(jié)目，2個(gè)小品類(lèi)節(jié)目，1個(gè)朗誦類(lèi)節(jié)目，1個(gè)戲曲類(lèi)節(jié)目.演出時(shí)

要求同類(lèi)節(jié)目不能相鄰，則演出順序的排法總數(shù)是（）

A.96B.326C.336D.360

12.2022年6月17日，我國(guó)第三艘航母“福建艦”正式下水.現(xiàn)要給“福建艦”進(jìn)行航母編隊(duì)配置科學(xué)試驗(yàn),

要求2艘攻擊型核潛艇一前一后，3艘驅(qū)逐艦和3艘護(hù)衛(wèi)艦分列左右，每側(cè)3艘，同側(cè)不能都是同種艦艇，

則艦艇分配方案的方法數(shù)為（）

A.72B.324C.648D.1296

題型四：捆綁法

13.A,B,C,D,E,尸六人站成一排，如果bC必須相鄰，那么排法種數(shù)為（）

A.240B.120C.96D.60

14.（2024.高三.廣東.開(kāi)學(xué)考試）從2023年伊始，各地旅游業(yè)爆火，少林寺是河南省旅游勝地.某大學(xué)一

個(gè)寢室6位同學(xué)A,8,C,D,E,尸慕名而來(lái)，游覽結(jié)束后，在門(mén)前站一排合影留念，要求A,8相鄰，C在。的

左邊，則不同的站法共有（）

A.480種B.240種C.120種D.60種

15.某平臺(tái)設(shè)有“人物”“視聽(tīng)學(xué)習(xí)”等多個(gè)欄目.假設(shè)在這些欄目中，某時(shí)段“人物”更新了2篇文章，“視聽(tīng)

學(xué)習(xí)”更新了4個(gè)視頻.一位學(xué)習(xí)者準(zhǔn)備從更新的這6項(xiàng)內(nèi)容中隨機(jī)選取3個(gè)視頻和2篇文章進(jìn)行學(xué)習(xí)，則

這2篇文章學(xué)習(xí)順序相鄰的學(xué)法有（）

A.192種B.168種C.72種D.144種

16.北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)擁有世界上最大的單一航站樓，并擁有機(jī)器人自動(dòng)泊車(chē)系統(tǒng)，解決了停車(chē)滿(mǎn)、找車(chē)

難的問(wèn)題.現(xiàn)有3輛車(chē)停放在7個(gè)并排的泊車(chē)位上，要求4個(gè)空位必須相鄰，箭頭表示車(chē)頭朝向，則不同

的泊車(chē)方案有（）種.

A.16B.18C.24D.32

17.（2024?江西九江?三模）考古發(fā)現(xiàn)在金字塔內(nèi)有一組神秘的數(shù)字“142857”，我們把它和自然數(shù)1到6依

次相乘，得142857X1=142857,142857x2=285714,142857x3=428571,142857x4=571428,

142857x5=714285,142857x6=857142,結(jié)果是同樣的數(shù)字，只是調(diào)換了位置.若將這組神秘?cái)?shù)字“142857”

進(jìn)行重新排序，其中偶數(shù)均相鄰的排法種數(shù)為（）

A.24B.36C.72D.144

題型五：插空法

18.（2024?內(nèi)蒙古包頭?三模）一個(gè)小型聯(lián)歡會(huì)要安排1個(gè)詩(shī)詞朗誦類(lèi)節(jié)目，2個(gè)獨(dú)唱類(lèi)節(jié)目，2個(gè)歌舞類(lèi)

節(jié)目，則同類(lèi)節(jié)目不相鄰的安排方式共有（）

A.44種B.48種C.72種D.80種

19.一場(chǎng)文藝匯演中共有2個(gè)小品節(jié)目、2個(gè)歌唱類(lèi)節(jié)目和3個(gè)舞蹈類(lèi)節(jié)目，若要求2個(gè)小品類(lèi)節(jié)目演出順

序不相鄰且不在第一個(gè)表演，則不同的演出順序共有（）

A.480種B.1200種C.2400種D.5040種

20.某班畢業(yè)晚會(huì)有唱歌、跳舞、小品、雜技、相聲五個(gè)節(jié)目制成一個(gè)節(jié)目單.其中小品、相聲不相鄰且相

聲、跳舞相鄰，這樣的節(jié)目單有（）種

A.36B.40C.32D.42

21.（2024?江西新余?二模）兩個(gè)大人和4個(gè)小孩站成一排合影，若兩個(gè)大人之間至少有1個(gè)小孩，則不同

的站法有（）種.

A.240B.360C.420D.480

題型六：定序問(wèn)題（先選后排）

22.某次數(shù)學(xué)獲獎(jiǎng)的6名高矮互不相同的同學(xué)站成兩排照相，后排每個(gè)人都高于站在他前面的同學(xué)，則共

有多少種站法（）

A.36B.90C.360D.720

23.由高矮不同的3名女生和4名男生站成一排，要求女生按從高到低的順序排列，則不同的排列方法有

（）

A.720B.840C.1120D.1440

24.元宵節(jié)燈展后，懸掛有8盞不同的花燈需要取下，如圖所示，每次取1盞，則不同的取法共有（）.

A.32種B.70種C.90種D.280種

25.貼春聯(lián)、掛紅燈籠是我國(guó)春節(jié)的傳統(tǒng)習(xí)俗.現(xiàn)準(zhǔn)備在大門(mén)的兩側(cè)各掛四盞一樣的紅燈籠，從上往下掛,

可以一側(cè)掛好后再掛另一側(cè)，也可以?xún)蓚?cè)交叉著掛，則掛紅燈籠的不同方法數(shù)為（）

A.8B.1680C.140D.70

26.如圖所示，某貨場(chǎng)有兩堆集裝箱，一堆2個(gè)，一堆3個(gè)，現(xiàn)需要全部裝運(yùn)，每次只能從其中一堆取最

上面的一個(gè)集裝箱，則在裝運(yùn)的過(guò)程中不同取法的種數(shù)是

A.6B.10C.12D.24

題型七：列舉法

27.定義：“各位數(shù)字之和為7的四位數(shù)叫幸運(yùn)數(shù)”，比如“1006,2023”，則所有“幸運(yùn)數(shù)”的個(gè)數(shù)為（）

A.20B.56C.84D.120

28.設(shè)X],4，x3e{-1,0,1,2）,那么滿(mǎn)足0V尤:+考+尤;<8的所有有序數(shù)組（不,々，不）的組數(shù)為（）

A.45B.46C.47D.48

29.將一個(gè)三位數(shù)的三個(gè)數(shù)字順序顛倒，將所得到的數(shù)與原數(shù)相加，若和中沒(méi)有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)，則稱(chēng)這

個(gè)數(shù)為“奇和數(shù)”.那么，所有的三位數(shù)中，奇和數(shù)有（）個(gè).

A.100B.120C.160D.200

題型八：多面手問(wèn)題

30.在11名工人中，有5人只當(dāng)鉗工，4人只當(dāng)車(chē)工，另外2人既會(huì)鉗工又會(huì)車(chē)工，現(xiàn)從11人中選出4人當(dāng)鉗工,

4人當(dāng)車(chē)工,則共有（）種不同的選法.

A.120B.125C.180D.185

31.某公園有P,Q,R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，現(xiàn)有3個(gè)大

人和2個(gè)小孩打算同時(shí)分乘若干只小船，規(guī)定有小孩的船必須有大人，共有不同的乘船方法為

A.36種B.33種C.27種D.21種

32.有6名學(xué)生，其中有3名會(huì)唱歌，2名會(huì)跳舞，1名既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞，現(xiàn)從中選出2名會(huì)唱歌的，

1名會(huì)跳舞的，去參加文藝演出，求所有不同的選法種數(shù)為

A.18B.15C.16D.25

33.我校去年11月份，高二年級(jí)有9人參加了赴日本交流訪(fǎng)問(wèn)團(tuán)，其中3人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞，其

余4人既能唱歌又能跳舞.現(xiàn)要從中選6人上臺(tái)表演，3人唱歌，3人跳舞，有種不同的選法

題型九：錯(cuò)位排列

34.若5個(gè)人各寫(xiě)一張卡片（每張卡片的形狀、大小均相同），現(xiàn)將這5張卡片放入一個(gè)不透明的箱

子里，并攪拌均勻，再讓這5人在箱子里各摸一張，恰有1人摸到自己寫(xiě)的卡片的方法數(shù)有（）

A.20B.90C.15D.45

35.5個(gè)人站成一列，重新站隊(duì)時(shí)各人都不站在原來(lái)的位置上，共有種不同的站法（）

A.42B.44C.46D.48

36.若5個(gè)人按原來(lái)站的位置重新站成一排，恰有1個(gè)人站在自己原來(lái)的位置，則不同的站法共有（）

A.45種B.40種C.55種D.60種

37.若4個(gè)人按原來(lái)站的位置重新站成一排，恰有一個(gè)人站在自己原來(lái)的位置，則共有（）種不同的

站法.

A.4B.8C.12D.24

題型十：涂色問(wèn)題

38.（2024?陜西寶雞?一模）七巧板是古代勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶.如圖是某同學(xué)用木板制作的七巧板，它包括

5個(gè)等腰直角三角形、一個(gè)正方形和一個(gè)平行四邊形.若用四種顏色給各板塊涂色,要求正方形板塊單獨(dú)一色,

其余板塊兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊不同色，則不同的涂色方案有種.

39.用4種不同顏色給一個(gè)正四面體涂色，每個(gè)面涂一種顏色，4個(gè)顏色都要用到，共有種涂色的

方法.

40.（2024?高三.安徽合肥?期末）如圖所示的A,B,C,D按照下列要求涂色,若恰好用3種不同顏色給A,B,C,D

個(gè)區(qū)域涂色，且相鄰區(qū)域不同色，共有種不同的涂色方案？

ABCD

41.有三種不同顏色供選擇，給圖中六個(gè)格子涂色，相鄰格子顏色不能相同，共有種不同的涂色

方案.

題型十一：分組問(wèn)題

42.按下列要求分配6本不同的書(shū)，各有多少種不同的分配方式?

（1）分成三份,1份1本』份2本,1份3本；

（2）甲、乙、丙三人中,一人得I本,一人得2本,一人得3本；

（3）平均分成三份，每份2本；

（4）平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；

（5）分成三份,1份4本,另外兩份每份1本；

(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本，另外兩人每人得1本;

(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本.

43.將4個(gè)編號(hào)為1、2、3、4的不同小球全部放入4個(gè)編號(hào)為1、2、3、4的4個(gè)不同盒子中.求：

(1)每個(gè)盒至少一個(gè)球，有多少種不同的放法？

(2)恰好有一個(gè)空盒，有多少種不同的放法？

(3)每盒放一個(gè)球，并且恰好有一個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，有多少種不同的放法？

(4)把已知中4個(gè)不同的小球換成四個(gè)完全相同的小球(無(wú)編號(hào))，其余條件不變，恰有一個(gè)空盒，有多少

種不同的放法？

44.設(shè)有編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)球和編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)盒子，現(xiàn)將這5個(gè)球放入5個(gè)盒

子內(nèi).

(1)只有1個(gè)盒子空著，共有多少種投放方法？

(2)沒(méi)有1個(gè)盒子空著，但球的編號(hào)與盒子編號(hào)不全相同，有多少種投放方法？

(3)每個(gè)盒子內(nèi)投放1球，并且至少有2個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同，有多少種投放方法？

題型十二：分配問(wèn)題

45.(2024?安徽?一模)樹(shù)人學(xué)校開(kāi)展學(xué)雷鋒主題活動(dòng)，某班級(jí)5名女生和2名男生，分配成兩個(gè)小組去兩

地參加志愿者活動(dòng)，每小組均要求既要有女生又要有男生，則不同的分配方案有()

A.20種B.40種C.60種D.80種

46.(2024.安徽安慶?三模)A、B、C、D、E5所學(xué)校將分別組織部分學(xué)生開(kāi)展研學(xué)活動(dòng)，現(xiàn)有甲、乙、丙

三個(gè)研學(xué)基地供選擇，每個(gè)學(xué)校只選擇一個(gè)基地，且每個(gè)基地至少有1所學(xué)校去，則A校不去甲地，乙地

僅有2所學(xué)校去的不同的選擇種數(shù)共有()

A.36種B.42種C.48種D.60種

47.將5本不同的書(shū)分給3位同學(xué)，則每位同學(xué)至少有1本書(shū)的不同分配方式共有（）種.

A.25B.75C.150D.300

48.（2024?高三?山西?開(kāi)學(xué)考試）基礎(chǔ)學(xué)科對(duì)于一個(gè)國(guó)家科技發(fā)展至關(guān)重要，是提高核心競(jìng)爭(zhēng)力，保持戰(zhàn)略

領(lǐng)先的關(guān)鍵.其中數(shù)學(xué)學(xué)科尤為重要.某雙一流大學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開(kāi)設(shè)了“九章算術(shù)”,

，，古今數(shù)學(xué)思想”，“數(shù)學(xué)原理，，，“世界數(shù)學(xué)通史”，“算術(shù)研究”五門(mén)選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至

多選三門(mén)，至少選一門(mén)，且已選過(guò)的課程不能再選，大一到大三三學(xué)年必須將五門(mén)選修課程選完，則每位

同學(xué)的不同選修方式種數(shù)為（）.

A.150種B.210種C.240種D.540種

題型十三：隔板法

49.現(xiàn)有6個(gè)三好學(xué)生名額，計(jì)劃分到三個(gè)班級(jí)，則恰有兩個(gè)班分到三好學(xué)生名額的概率為.

50.以N表示把「件相同的物件分給〃（〃4r）個(gè)人的不同方法數(shù)，則N=.

51.已知集合4={（工,、/）|x+y+z=99,x,y,zeN},則A中的元素的個(gè)數(shù)為.

52.各數(shù)位數(shù)字之和等于6（數(shù)字可以重復(fù)）的四位數(shù)個(gè)數(shù)為（請(qǐng)用數(shù)字作答）.

題型十四：數(shù)字排列

53.（2024?上海.三模）用屋9這九個(gè)數(shù)字組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，各個(gè)數(shù)位上數(shù)字和為偶數(shù)的奇數(shù)

共有個(gè)

54.（2024?陜西.模擬預(yù)測(cè)）各位數(shù)字之積為8的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為.

55.（2024.河北石家莊.二模）各位數(shù)字之和為4的三位正整數(shù)的個(gè)數(shù)為.

題型十五：幾何問(wèn)題

56.若一個(gè)正方體繞著某直線(xiàn)/旋轉(zhuǎn)不到一周后能與自身重合，那么這樣的直線(xiàn)/的條數(shù)為（）

A.3B.4C.6D.13

57.正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中，選取4個(gè)共面的頂點(diǎn)，有種不同選法

58.以三棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)共可組成個(gè)不同的三棱錐？

59.在如圖所示的7x4的方格紙上（每個(gè)小方格均為正方形），共有個(gè)矩形、個(gè)正方形.

題型十六：分解法模型與最短路徑問(wèn)題

60.某小區(qū)的道路網(wǎng)如圖所示，則由A到C的最短路徑中，經(jīng)過(guò)8的走法有（）

B

A

A.6種B.8種

C.9種D.10種

61.如圖為3x3的網(wǎng)格圖，甲、乙兩人均從A出發(fā)去8地，每次只能向上或向右走一格，并且乙到達(dá)任何

一個(gè)位置（網(wǎng)格交點(diǎn)處）時(shí)向右走過(guò)的格數(shù)不少于向上走過(guò)的格數(shù)，記甲、乙兩人所走路徑的條數(shù)分別為M、

N,則M—N的值為（）

A.10B.14C.15D.16

62.（多選題）在某城市中，A,3兩地之間有如圖所示的道路網(wǎng).甲隨機(jī)沿路網(wǎng)選擇一條最短路徑，從A

地出發(fā)去往B地.下列結(jié)論正確的有（）

A

A.不同的路徑共有31條

B.不同的路徑共有61條

C.若甲途經(jīng)C地，則不同的路徑共有18條

D.若甲途經(jīng)C地，且不經(jīng)過(guò)。地，則不同的路徑共有9條

63.5400的正約數(shù)有個(gè)

題型十七：排隊(duì)問(wèn)題

64.隨著北京冬殘奧會(huì)的開(kāi)幕，吉祥物“雪容融”火遍國(guó)內(nèi)外，現(xiàn)有3個(gè)完全相同的“雪容融”，甲、乙、丙3位

運(yùn)動(dòng)員要與這3個(gè)“雪容融”站成一排拍照留念，則有且只有2個(gè)“雪容融”相鄰的排隊(duì)方法數(shù)為.

65.某醫(yī)院對(duì)9個(gè)人進(jìn)行核酸檢測(cè)，為了防止排隊(duì)密集，將9人分成兩組，第一組5人，排隊(duì)等候，由于

甲、乙兩人不熟悉流程，故無(wú)論在哪一組，排隊(duì)都不在第一位，則第一組的不同排法種數(shù)為.（用數(shù)

字作答）

66.甲、乙、丙三人相約一起去做核酸檢測(cè)，到達(dá)檢測(cè)點(diǎn)后，發(fā)現(xiàn)有A,3兩支正在等待檢測(cè)的隊(duì)伍，則甲、

乙、丙三人不同的排隊(duì)方案共有種.

67.（2024.四川廣元.三模）有4名男生、3名女生排隊(duì)照相，7個(gè)人排成一排.①如果4名男生必須連排在

一起，那么有720種不同排法；②如果3名女生按確定的某種順序，那么有840種不同的排法；③如果女生

不能站在兩端，那么有1440種不同排法；④如果3名女生中任何兩名不能排在一起，那么有1440種不同排

法；則以上說(shuō)法正確的有.

68.有七名同學(xué)排隊(duì)進(jìn)行核酸檢測(cè)，其中小王站在正中間，并且小李、小張兩位同學(xué)要站在一起，則不同的

排隊(duì)法有種.

題型十八：構(gòu)造法模型和遞推模型

69.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）從1,2,3,…，15中選取三個(gè)不同的數(shù)組成三元數(shù)組（x,y,z）,且滿(mǎn)足尤-，25,

y-z>4,則這樣的數(shù)組共有個(gè).（用數(shù)字作答）

70.（2024?上海長(zhǎng)寧?高三海市延安中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）從集合｛1,2,3,…,10｝中選出4個(gè)數(shù)組成的子集，使得

這4個(gè)數(shù)中的任何兩個(gè)數(shù)的和不等于11,則這樣的子集個(gè)數(shù)是.

71.16名社區(qū)志愿者組成4行4列的方陣，現(xiàn)從中選出2人，要求他們既不在同一行又不在同一列，則不

同的選法種數(shù)為.

72./個(gè)人排成一個(gè)〃行，〃列的方陣，現(xiàn)要從中選出"個(gè)代表，要使得每一行，每一列都有代表，則有

種不同的選法.

73.某活動(dòng)中，有42人排成6行7歹！J,現(xiàn)從中選出3人進(jìn)行禮儀表演，要求這3人中的任意2人不同行也

不同列，則不同的選法種數(shù)為（用數(shù)字作答）.

題型十九：環(huán)排問(wèn)題

74.8人圍桌而坐，共有種坐法.

75.5個(gè)女孩與6個(gè)男孩圍成一圈，任意2個(gè)女孩中間至少站1個(gè)男孩，則不同排法有種（填數(shù)字）.

76.10位男生10位女生.男女相間隔圍成一圈，則其所有不同的排列數(shù)為

77.4個(gè)人圍坐在如圖所示的8張椅子中的4張椅子上聚餐，其中甲、乙兩人不能相對(duì)（如1與8叫做相

對(duì)）而坐，共有種不同的坐法（用數(shù)字作答）

H00Q

1.將6棵高度不同的景觀(guān)樹(shù)種植在道路兩側(cè)，要求每一側(cè)種植3棵，且每一側(cè)中間的景觀(guān)樹(shù)都要比兩邊的

高，則不同的種植方法共有（）

A.20種B.40種C.80種D.160種

2.（2024?高三?重慶涪陵?開(kāi)學(xué)考試）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模比賽，決出了第1名到

第5名的名次（無(wú)并列情況）.甲、乙、丙去詢(xún)問(wèn)成績(jī).老師對(duì)甲說(shuō)：“你不是最差的.”對(duì)乙說(shuō)：“很遺憾，你和甲

都沒(méi)有得到冠軍.”對(duì)丙說(shuō)：“你不是第2名.”從這三個(gè)回答分析，5名同學(xué)可能的名次排列情況種數(shù)為（）

A.44B.46C.48D.54

3.（2024?江西新余?模擬預(yù)測(cè)）甲、乙等5人排成一行，則甲不站在5人正中間位置且乙不站在最左端的

不同的排列方式共有（）種.

A.48B.66C.72D.78

4.下列命題不正確的是（）

A.正十二邊形的對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)是54；

B.身高各不相同的六位同學(xué)，三位同學(xué)從左到右按照由高到矮的順序站，共有120種站法；

C.有5個(gè)元素的集合的子集共有32個(gè)；

D.6名同學(xué)被邀請(qǐng)參加晚會(huì)（至少一人參加），其中甲和乙兩位同學(xué)要么都去，要么都不去，共有32

種去法.

5.（2024?高三?海南省直轄縣級(jí)單位?開(kāi)學(xué)考試）小明將1,4,0,3,2,2這六個(gè)數(shù)字的一種排列設(shè)為自己

的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個(gè)2不相鄰，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為（）

A.144B.72C.36D.24

6.（2024?四川德陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）甲乙等6名數(shù)學(xué)競(jìng)賽國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)隊(duì)員站成一排合影，若甲乙兩名同學(xué)中間

恰有1人，則不同的站法數(shù)為（）

A.144B.192C.360D.480

7.（2024?高三?廣東深圳?開(kāi)學(xué)考試）三名籃球運(yùn)動(dòng)員甲、乙、丙進(jìn)行傳球訓(xùn)練（不能傳給自己），由丙開(kāi)

始傳，經(jīng)過(guò)5次傳遞后，球又被傳回給丙，則不同的傳球方式共有（）

A.6種B.10種C.11種D.12種

8.北京時(shí)間2023年10月26日19時(shí)34分，神舟十六號(hào)航天員乘組（景海鵬，杜海潮，朱楊柱3人）順

利打開(kāi)“家門(mén)”，歡迎遠(yuǎn)道而來(lái)的神舟十七號(hào)航天員乘組（湯洪波，唐勝杰，江新林3人）人駐“天宮”.隨后，

兩個(gè)航天員乘組拍下“全家?！?，共同向全國(guó)人民報(bào)平安.若這6名航天員站成一排合影留念，唐勝杰與江新

林相鄰，景海鵬不站最左邊，湯洪波不站最右邊，則不同的排法有（）

A.144種B.204種C.156種D.240種

9.（多選題）現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊這5名同學(xué)參加志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工

作可以安排，且每人只安排一個(gè)工作，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.不同安排方案的種數(shù)為5"

B.若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同安排方案的種數(shù)為C；A：

C.若司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同安排方案的種數(shù)為（C；C；+C；C；）A；

D.若每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲不能從事司機(jī)工作，則不同安排方案的種數(shù)為C；C：A；+CjA；

10.（多選題）定義“圓排列”：從〃個(gè)不同元素中選機(jī)個(gè)元素圍成一個(gè)圓形，稱(chēng)為圓排列，所有圓排列的

方法數(shù)計(jì)為H：圓排列是排列的一種，區(qū)別于通常的“直線(xiàn)排列”，既無(wú)“頭”也無(wú)“尾"，所以=今一現(xiàn)有2

m

個(gè)女生4個(gè)男生共6名同學(xué)圍坐成一圈，做擊鼓傳花的游戲，則（）

A.共有H：種排法B.若兩名女生相鄰，則有2H；種排法

C.若兩名女生不相鄰，共有4H：種排法D.若男生甲位置固定，則有5H；種排法

11.（多選題）臨沂動(dòng)植物園舉行花卉展覽，某花卉種植園有2種蘭花，2種三角梅共4種精品花卉，其中

“綠水晶”是培育的蘭花新品種，4種精品花卉將全部去48展館參展，每種只能去一個(gè)展館，每個(gè)展館至

少有1種花卉參展，下列選項(xiàng)正確的是（）

A.若A展館需要3種花卉，有4種安排方法

1.（2020年山東省春季高考數(shù)學(xué)真題）現(xiàn)從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，分別擔(dān)任

5門(mén)不同學(xué)科的課代表，則不同安排方法的種數(shù)是（）

A.12B.120C.1440D.17280

2.（2020年新高考全國(guó)卷H數(shù)學(xué)試題（海南卷））要安排3名學(xué)生到2個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選

擇去一個(gè)村，每個(gè)村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（）

A.2種B.3種C.6種D.8種

3.（2020年新高考全國(guó)卷I數(shù)學(xué)試題（山東卷））6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只

去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有（）

A.120種B.90種

C.60種D.30種

4.（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)II））如圖，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為⑷，

.設(shè)1勺勺.＜姓12.若㈢=3且則稱(chēng)出，aj,。左為原位大三和弦；若七/=4且j-i=3,則稱(chēng)ai,aj,ak

為原位小三和弦.用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為（）

02a4a-tos)an

IV____F_人___人F_IF___AH___人__I_)

A.5B.8C.10D.15

5.（2002年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試題（蘇豫粵））從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面

不相鄰的選法共有（）.

A.20種B.16種C.12種D.8種

6.（2024年新課標(biāo)全國(guó)H卷數(shù)學(xué)真題）在如圖的4x4的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)

方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值

是

11213140

12223342

13223343

15243444

7.（2024年上海秋季高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)集合A中的元素皆為無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩個(gè)

不同元素之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值____.

8.（2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門(mén)體育類(lèi)選修課和4門(mén)藝術(shù)類(lèi)選修課，學(xué)生需從這

8門(mén)課中選修2門(mén)或3門(mén)課，并且每類(lèi)選修課至少選修1門(mén)，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作

答）.

9.（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)H））4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類(lèi)宣傳活動(dòng)，

每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有種.

10.（2003年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試題（遼寧卷））某城市在中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃分為6

個(gè)部分.現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方

法有種.（用數(shù)字作答）

第02講排列、組合

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡(jiǎn)和計(jì)算.......................................2

題型二：直接法.................................................................2

題型三：間接法.................................................................3

題型四：捆綁法.................................................................4

題型五：插空法.................................................................4

題型六：定序問(wèn)題（先選后排）...................................................5

題型七：列舉法.................................................................6

題型八：多面手問(wèn)題.............................................................6

題型九：錯(cuò)位排列...............................................................6

題型十：涂色問(wèn)題...............................................................7

題型十一：分組問(wèn)題.............................................................7

題型十二：分配問(wèn)題.............................................................8

題型十三：隔板法...............................................................9

題型十四：數(shù)字排列.............................................................9

題型十五：幾何問(wèn)題.............................................................9

題型十六：分解法模型與最短路徑問(wèn)題............................................10

題型十七：排隊(duì)問(wèn)題............................................................11

題型十八：構(gòu)造法模型和遞推模型................................................11

題型十九：環(huán)排問(wèn)題............................................................12

02重難創(chuàng)新練.................................................................12

03真題實(shí)戰(zhàn)練.................................................................14

I,或擬基砒罐N

題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡(jiǎn)和計(jì)算

1.已知3A；=4A1則x等于()

A.6B.13C.6或13D.12

【答案】C

8191

［解析］由題意得3xf=4x后r，

7(8r-x)!(10-x)!

9

化簡(jiǎn)可得3=4x解得工=13或6,

(10-x)(9-x)

fx<8

因?yàn)?lt;所以x<8且XEN*，故％=6.

x-l<9

2.已知A；“=100A"〃eN+,〃N2),貝”=()

A.IlB.12C.13D.14

【答案】C

【解析】因?yàn)橛谩?100A*eN+,“N2）,

則272（2〃_1）（2〃_2）=1OO〃（72_1）,

整理可得2〃-1=25,

解得〃=13,經(jīng)檢驗(yàn)，滿(mǎn)足題意.

3.下列等式不正確的是（

m+1

A.C=-C；：lB.a甯-父=杭娼

c.6”噌:;D.<=(ui)cr+^

【答案】C

m+1_m+1(幾+1)!_m+1n\_m+1

【解析】C〃m+i-.,故A錯(cuò)誤;

n+1n+1m!(n+l-m)!n+l-mm\{n-m)\n+l-m

nn\

n?=n?廣然,C正確;

(n-m)!(n—m)!

m-l

心JM=伽+1)A"A7=詞=/A%；—1，B正確;

n\n\(n-k)

(%+i)c3+4=(%+i)+kC：=+kC：=nC：,D正確.

(k+iy.(n-k-l)\k\(n-k)\

題型二：直接法

4.沈陽(yáng)二中24屆籃球賽正如火如荼地進(jìn)行中，全年級(jí)共20個(gè)班，每四個(gè)班一組，如1一班為一組，5—8

班為二組……進(jìn)行單循環(huán)小組賽（沒(méi)有并列），勝出的5個(gè)班級(jí)和從余下隊(duì)伍中選出的數(shù)據(jù)最優(yōu)秀的1個(gè)

班級(jí)共6支球隊(duì)按抽簽的方式進(jìn)行淘汰賽，最后勝出的三個(gè)班級(jí)再進(jìn)行單循環(huán)賽，按積分的高低（假設(shè)沒(méi)

有并列）決出最終的冠亞季軍，請(qǐng)問(wèn)此次籃球賽學(xué)校共舉辦了多少場(chǎng)比賽？（）

A.51B.42C.39D.36

【答案】B

【解析】先進(jìn)行單循環(huán)賽，有5c=30場(chǎng)，

勝出的5個(gè)班級(jí)和從余下隊(duì)伍中選出的數(shù)據(jù)最優(yōu)秀的1個(gè)班級(jí)共6支球隊(duì)按抽簽的方式進(jìn)行淘汰賽，

6支球隊(duì)打3場(chǎng)，決出最后勝出的三個(gè)班，

最后3個(gè)班再進(jìn)行單循環(huán)賽，由C；=3場(chǎng).

所以共打了30+3+3=36場(chǎng).

故選：D.

5.在含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，則恰好取到1件次品的不同方法數(shù)共有（）

A.C；C\B.C；C*C.C；C%D.C；C%+C；C：7

【答案】C

【解析】在50件產(chǎn)品中含有3件次品，所以有47件不是次品，

任取2件，則恰好取到1件次品的不同方法數(shù)共有C；C1.

故選:A.

6.（2024?貴州貴陽(yáng)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）2022年9月3日貴陽(yáng)市新冠疫情暴發(fā)以來(lái)，某住宿制中學(xué)為做好疫

情防控工作，組織6名教師組成志愿者小組，分配到高中三個(gè)年級(jí)教學(xué)樓樓門(mén)口配合醫(yī)生給學(xué)生做核酸.由

于高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)較多，要求高三教學(xué)樓志愿者人數(shù)均不少于另外兩棟教學(xué)樓志愿者人數(shù)，若每棟教學(xué)

樓門(mén)至少分配1名志愿者，每名志愿者只能在1個(gè)樓門(mén)進(jìn)行服務(wù)，則不同的分配方法種數(shù)為（）

A.240B.150C.690D.180

【答案】C

【解析】第一種：當(dāng)高三的志愿者有3人時(shí)，其他兩個(gè)年級(jí)有1個(gè)年級(jí)1人，有1個(gè)年級(jí)2人，則有C：C；A；=120

種；

第二種：當(dāng)高三的志愿者有2人時(shí)，其他兩個(gè)年級(jí)也分別有2人，則有C犯;C；=90種；

第三種：當(dāng)高三的志愿者有4人時(shí)，其他兩個(gè)年級(jí)分別有1人，則有C[A；=30種，

所以不同的分配方法有：120+90+30=240種，

7.（多選題）2022年在全世界范圍內(nèi)，氣溫升高是十分顯著的，世界氣象組織預(yù)測(cè)2022年到2026年間，

有93%的概率平均氣溫會(huì)超過(guò)2016年，達(dá)到歷史上最高氣溫紀(jì)錄.某校環(huán)保興趣小組準(zhǔn)備開(kāi)展一次關(guān)于全

球變暖的研討會(huì)，現(xiàn)有