2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：新情景、新定義下的立體幾何問(wèn)題（六大題型）（學(xué)生版+解析）

拔高點(diǎn)突破04新情景、新定義下的立體幾何問(wèn)題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：曲率問(wèn)題...............................................................2

題型二：斜坐標(biāo)系與定義新運(yùn)算...................................................3

題型三：定義新概念.............................................................4

題型四：空間平面方程與直線方程.................................................5

題型五：三面角問(wèn)題.............................................................6

題型六：數(shù)學(xué)文化...............................................................8

03過(guò)關(guān)測(cè)試....................................................................10

亡法牯自與.柒年

//\\

面對(duì)新情景、新定義，首先要深入理解并分析這些新元素，將其與已知的立體幾何知識(shí)相結(jié)合。明確

解題目標(biāo)后，靈活運(yùn)用基本定理和性質(zhì)，如平行、垂直的判定與性質(zhì)，以及空間角、距離的計(jì)算公式。在

解題過(guò)程中，合理構(gòu)造輔助線和面，以揭示隱藏的空間關(guān)系，簡(jiǎn)化問(wèn)題。對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題，可嘗試建立空間

直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行計(jì)算和證明。同時(shí)，要善于將空間問(wèn)題平面化，通過(guò)截面、投影等方式轉(zhuǎn)化

求解對(duì)象。最后，解題后要進(jìn)行驗(yàn)證和反思，確保結(jié)論的正確性，并總結(jié)所使用的方法和技巧，以便在未

來(lái)遇到類(lèi)似問(wèn)題時(shí)能夠迅速應(yīng)對(duì)。

題型一：曲率問(wèn)題

【典例1-1]（2024?黑龍江大慶?模擬預(yù)測(cè)）北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用，

在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫(huà)空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點(diǎn)的曲率等于2兀與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多

面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率

等于該多面體各項(xiàng)點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是所以正四面體

7r

在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為如-3x§=7t,故其總曲率為4兀.已知多面體的頂點(diǎn)數(shù)匕棱數(shù)E,面數(shù)尸滿(mǎn)足

【典例1-2】閱讀數(shù)學(xué)材料：“設(shè)尸為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)尸處的離散曲率為

1一尸Q+NQPQ+NQ尸2+aP。），其中2。=1，2，，k,左23）為多面體/

的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面Q/Q,平面QP2，…，平面。1尸以和平面&尸。為多面體〃的所

有以尸為公共點(diǎn)的面已知在直四棱柱ABC。-ABG2中，底面A3。為菱形(角的運(yùn)算均采

用弧度制)

(1)若AC=%>,求四棱柱ABCD-4瓦￡2在頂點(diǎn)A處的離散曲率；

(2)若四棱柱ABC。-A4G2在頂點(diǎn)A處的離散曲率為:，求BC］與平面ACQ的夾角的正弦值；

、.7

⑶截取四面體4-A3。，若該四面體在點(diǎn)4處的離散曲率為五，AG與平面4友)交于點(diǎn)G,證明：

AG_1

而I

【變式1-1】設(shè)尸為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)尸處的離散曲率為

l-^-(ZQlPQ^+ZQ2PQ3++ZQklPQk+ZQkPQl),其中。，(z=l,2,k,k>3)為多面體M的所

271

有與點(diǎn)尸相鄰的頂點(diǎn)，且平面。|尸。2,平面。2尸。3，…，平面以T尸以和平面以尸。為多面體M的所有以尸

為公共點(diǎn)的面.已知在直四棱柱ABC。-ABG2中，底面ABCD為菱形，且A4,=AB=1.

(1)求直四棱柱ABC。-AACR在各個(gè)頂點(diǎn)的離散曲率之和；

(2)若直四棱柱ABC。-4汨2在點(diǎn)A處的離散曲率為無(wú)，直四棱柱ABCD-AB^D,體積為,求函數(shù)

y=〃”的解析式及單調(diào)區(qū)間.

題型二：斜坐標(biāo)系與定義新運(yùn)算

【典例2-1］(多選題)設(shè)。尤,Oy,Oz是空間中兩兩夾角均為的三條數(shù)軸，與e；,e；分別是與

x，y，z軸正方向同向的單位向量，若。尸=彳4+”;2+zq(x,y,zeR),則把有序數(shù)對(duì)(x,y,z)@叫作向量0尸在

坐標(biāo)系。孫z中的坐標(biāo)，則下列結(jié)論正確的是()

A.若向量4=(—1,3,—7%,向量4=(3,—2,4%,則￡+1=(2,1,3%

B.若向量0=(2,6,-3%,向量6=(3,-1,0%,貝|］心6=0

22

TT

c.若向量a=(x,y,O)〃向量b=(l,2,0%,則當(dāng)且僅當(dāng)x：>=1：2時(shí)，0=-

o

D.若向量°A=(1，°，°)E，向量°3=(°，1，%,向量℃=(°，°，%,則二面角O-AB-C的余弦值為:

3333

【典例2-2】(2024?高三?上海徐匯?期末)已知。=(%,%,4),5=(x2,y?,z2),c=(x3,y3,z3),定義一

種運(yùn)算：(。、6>。=無(wú)[乃23+尤2%Z1+X3ylz2-XJ3Z2-尤2ylz3-尤3%Z1,已知四棱錐尸一ABCD中，底面ABCD

是一個(gè)平行四邊形，AB=(2,-1,4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,1)

(1)試計(jì)算(ABxAD).AP的絕對(duì)值的值，并求證PA_L面ABC。；

(2)求四棱錐P-ABCD的體積，說(shuō)明(ABxADAAP的絕對(duì)值的值與四棱錐尸-ABCD體積的關(guān)系，并由

此猜想向量這一運(yùn)算(ABxADYAP的絕對(duì)值的幾何意義.

【變式2-1］已知a=a，M，zJ,b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3),定義一種運(yùn)算：

(ax6).c=X1%Z3+%為4+x3yxz2-xxy3z2-x2ytz3-x3y2z},在平行六面體ABCD-AqGR中，AB=(1,1,0),

AZ)=(0,2,2),知=(1,-1,1).

(1)證明：平行六面體ABCD-A與GR是直四棱柱；

(2)計(jì)算|(ABXAD)-AA|,并求該平行六面體的體積，說(shuō)明|(ABXAO).AA|的值與平行六面體

ABCD-ASGR體積的關(guān)系.

題型三：定義新概念

【典例3-1](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))若干個(gè)能確定一個(gè)立體圖形的體積的量稱(chēng)為該立體圖形的“基本

量”.已知長(zhǎng)方體A8CZ)-A瓦GQ,下列四組量中，一定能成為該長(zhǎng)方體的“基本量”的是()

A.AB】,AC,Aj的長(zhǎng)度

B.AC,B.D,的長(zhǎng)度

C.gC,\D,BR的長(zhǎng)度

D.AC,,BD,CG的長(zhǎng)度

【典例3-2】(2024?河南?二模)等腰四面體是一種特殊的三棱錐，它的三組對(duì)棱分別相等.已知一個(gè)長(zhǎng)方

體的體積為12,則用長(zhǎng)方體其中的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的等腰四面體的體積為（）

A.3B.4C.6D.8

【變式3-1]（2024?青海?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方體ABC。-A4Goi中，￡,F,M,N,G,"分

別為棱AB,BC,AD,CD,A耳，GA的中點(diǎn)，。為?！钡闹悬c(diǎn)，連接E”,FG.對(duì)于空間任意兩點(diǎn)

I,J,若線段〃上不存在也在線段石〃，萬(wàn)G上的點(diǎn)，則稱(chēng)/,J兩點(diǎn)“可視”，則與點(diǎn)與“可視”的點(diǎn)為

C.MD.N

【變式3-2]（2024?安徽合肥?三模）幾何中常用表示圖的測(cè)度，當(dāng)乙為曲線、平面圖形和空間幾何體時(shí),

|4分別對(duì)應(yīng)其長(zhǎng)度、面積和體積.在VABC中,AS=3,BC=4,AC=5,0為VA5C內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)（含邊

界），在空間中，到點(diǎn)尸的距離為1的點(diǎn)的軌跡為L(zhǎng),則國(guó)等于（)

c22乃,C.爭(zhēng)+12立各12

A.6萬(wàn)+12B.-----+6

3

題型四：空間平面方程與直線方程

【典例4-1】（1）在空間直角坐標(biāo)系中，已知平面&的法向量&=（。,及c）（必cwO）,且平面a經(jīng)過(guò)點(diǎn)

用（%,%,z。）,設(shè)點(diǎn)P（尤,y,z）是平面內(nèi)a任意一點(diǎn).求證：a（x-/）+b（y-y0）+c（z-z0）=0.

（2）我們稱(chēng)（1）中結(jié)論a（x-x（））+）（y-%）+c（z-Zo）=。為平面a的點(diǎn)法式方程，若平面a過(guò)點(diǎn)

（2,-1,4）,M2（-l,3,-2）,M3（0,2,3）,求平面a的點(diǎn)法式方程.

【典例4-2】空間直角坐標(biāo)系。-孫z中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（%,%,Zo）,且法向量為加=（A,3,C）的平面方程為

A（x-xo）+fi（_y-yo）+C（z-zo）=O,經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（%,為?）且一個(gè)方向向量為〃=（〃,。,0）（〃口070）的直線/

的方程為三七=匕應(yīng)=三為，閱讀上面的材料并解決下面問(wèn)題：現(xiàn)給出平面a的方程為

piVCO

3x-5y+z-7=0,經(jīng)過(guò)（0,0,0）的直線/的方程為g,則直線/與平面。所成角的正弦值為（）

AVioRViorVionV5

A.-------B.-------C.-------U.

103557

【變式4-1］三個(gè)“臭皮匠”在閱讀一本材料時(shí)發(fā)現(xiàn)原來(lái)空間直線與平面也有方程.即過(guò)點(diǎn)P（%,%,z°）且一

個(gè)法向量為〃=（。力,c）的平面”的方程為a（x-Xo）+Ny-%）+c（z-Zo）=。，過(guò)點(diǎn)P（為,為/。）且方向向量為

尸（加祖）（相加NO）的直線/的方程為三”三個(gè)“臭皮匠”利用這一結(jié)論編了一道題：“已

知平面a的方程為x-y+z+l=0,直線/是兩個(gè)平面x-y+2=0與2x-z+l=0的交線，則直線/與平面a所

成的角的正弦值是多少？”想著這次可以難住“諸葛亮”了.誰(shuí)知“諸葛亮”很快就算出了答案.請(qǐng)問(wèn)答案

是—.

【變式4-2］在空間直角坐標(biāo)系中，定義：平面a的一般方程為

品+為+。2+。=0（4,8,。,￡>€民42+32+。270）,點(diǎn)p（M，yo，Zo）到平面a的距離

I+By+Cz°+D\

d」/,n,,，則在底面邊長(zhǎng)與高都為2的正四棱錐中，底面中心。到側(cè)面的距離等于—.

VA2+B2+C2

題型五：三面角問(wèn)題

【典例5-1】類(lèi)比于二維平面中的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理；如圖1,由射線E4,PB,

PC構(gòu)成的三面角「一ABC,ZAPC=a,NBPC=/3,ZAPB=y,二面角A-PC—3的大小為夕，貝ij

cosy=cosacos￡+sinasin/3cos0.

（1）當(dāng)a、/時(shí)，證明以上三面角余弦定理;

（2）如圖2,平行六面體ABCO-ABC2中，平面44CCL平面A5C。，幺47=60。，4c=45。,

①求NAAB的余弦值；

②在直線CG上是否存在點(diǎn)P，使3尸〃平面D4tG?若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，說(shuō)明理由.

【典例5-21類(lèi)比思想在數(shù)學(xué)中極為重要，例如類(lèi)比于二維平面內(nèi)的余弦定理，有三維空間中的三面角余

弦定理：如圖1,由射線上4,PB,尸C構(gòu)成的三面角P-ABC,記/APC=a,^BPC=p,NAPB=y,

二面角A—PC—3的大小為e,則cos/=cosacos￡+sinesin尸cos。.如圖2,四棱柱ABC￡>-44Cq中,

ABCD為菱形，ZR4D=60°,AA±=2V3,AB=2,且A點(diǎn)在底面ABC。內(nèi)的射影為AC的中點(diǎn)。.

⑴求cos/AAB的值；

TT7T

(2)直線AA與平面ABC。內(nèi)任意一條直線夾角為。，證明：

(3)過(guò)點(diǎn)8作平面〃，使平面〃〃平面AG。，且與直線CG相交于點(diǎn)P,若C』=4GC,求幾值.

【變式5-1](2024?高三?河北?期末)由空間一點(diǎn)。出發(fā)不共面的三條射線。4,OB,OC及相鄰兩射

線所在平面構(gòu)成的幾何圖形叫三面角，記為O-ABC.其中0叫做三面角的頂點(diǎn)，面AO3,BOC,COA

叫做三面角的面，ZAOB,ZBOC,NAOC叫做三面角的三個(gè)面角，分別記為夕，Y,二面角

A-OB-C,B-OA-C,A-OC-3叫做三面角的二面角，設(shè)二面角A-OC-3的平面角大小為x,則一

定成立的是()

COS6T-COS^COS/cosa+COS尸cos/

A.cosx=----------------------B.cosx二--------------

sin6sin/sin/?siny

sin6z-sin^sinysin6z+sin/?sin/

C.cosx=--------------------D.cosx=--------------------

cos尸cos/cos/?cos/

題型六：數(shù)學(xué)文化

【典例6-1】我國(guó)南北朝時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家祖瞄原提出了祖眶原理：“幕勢(shì)既同，則積不容異.”意思是，夾

在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意一個(gè)平面所截，若截面面積都相等，則這

兩個(gè)幾何體的體積相等.運(yùn)用祖晅原理計(jì)算球的體積時(shí)，構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，

與半球（如圖①）放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底

面的圓錐后得到一新幾何體（如圖②），用任何一個(gè)平行于底面的平面去截它們時(shí)，可證得所截得的兩個(gè)

1117

截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等，即萬(wàn)％=7R2.R-］萬(wàn)氏5/=§》&.現(xiàn)將橢圓

22

土+匕=1繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體（如圖③），類(lèi)比上述方法，運(yùn)用祖啪原理可求得其體積

49

圖1圖2圖3

A.32兀B.24萬(wàn)C.18〃D.16%

【典例6-2】胡夫金字塔的形狀為四棱錐，1859年，英國(guó)作家約翰?泰勒孫/”,1781-1846）在其

《大金字塔》一書(shū)中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔時(shí)利用黃金比例［上］5“L618,泰勒還引用了古

希臘歷史學(xué)家希羅多德的記載：胡夫金字塔的每一個(gè)側(cè)面的面積都等于金字塔高的平方.如圖，若/=改,

則由勾股定理，as^s2-a2,ipf-T---l=O,因此可求得士為黃金數(shù)，已知四棱錐底面是邊長(zhǎng)約為856

\nJaa

英尺的正方形（2。=856）,頂點(diǎn)P的投影在底面中心0,H為3C中點(diǎn)，根據(jù)以上信息，P”的長(zhǎng)度（單位:

英尺）約為（）.

p

A.611.6B.481.4C.692.5D.512.4

【變式6-1］球面三角學(xué)是球面幾何學(xué)的一部分，主要研究球面多邊形（特別是三角形）的角、邊、面積等問(wèn)題,

其在航海、航空、衛(wèi)星定位等方面都有廣泛的應(yīng)用.定義：球的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)稱(chēng)為球的一對(duì)對(duì)徑點(diǎn)；過(guò)球心

的平面與球面的交線稱(chēng)為該球的大圓；對(duì)于球面上不在同一個(gè)大圓上的點(diǎn)A,B,C,過(guò)任意兩點(diǎn)的大圓

上的劣弧A3，BC，C4所組成的圖形稱(chēng)為球面VA5C,記其面積為%面9BC.易知：球的任意兩個(gè)大圓均

可交于一對(duì)對(duì)徑點(diǎn)，如圖1的A和A；若球面上A,B,C的對(duì)徑點(diǎn)分別為A,e，C,則球面AB'C

與球面VABC全等.如圖2,己知球。的半徑為R,圓弧和AC所在平面交成的銳二面角3-AO-C的大

小為a,圓弧BA和BC所在平面、圓弧CA和所在平面交成的銳二面角的大小分別為夕，7.記

7171

(1)請(qǐng)寫(xiě)出S(i),S,S的值，并猜測(cè)函數(shù)5（a）的表達(dá)式;

(2)求S球面a.(用a,p,y,R表示).

【變式6-2】球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門(mén)學(xué)科.如圖，球。的半徑為R.A、B、C

為球面上三點(diǎn)，劣弧BC的弧長(zhǎng)記為。，設(shè)表示以。為圓心，且過(guò)3、C的圓，同理，圓。3,2的劣弧

AC、AB的弧長(zhǎng)分別記為6,c,曲面48c（陰影部分）叫做球面三角形.若設(shè)二面角

C-OA-B,A-OB-C,B-OC-A^\^ja,p,y,則球面三角形的面積為S球面.弱0=（/+,+7一冷尺？.

（1）若平面。48、平面。AC、平面03c兩兩垂直，求球面三角形A8C的面積；

（2）若平面三角形A8C為直角三角形，AC±BC,設(shè)NAOC=%NBOC=a，/AOB=%.貝I：

①求證：COS0J+COS02-COS03=1；

②延長(zhǎng)AO與球。交于點(diǎn)。，若直線ZM,DC與平面ABC所成的角分別為:5，BE=2BD,2e（O,l],S

為AC中點(diǎn)，T為BC中點(diǎn)，設(shè)平面OBC與平面EST的夾角為仇求sin8的最小值，及此時(shí)平面AEC截球

。的面積.

0

過(guò)關(guān)測(cè)試

1.設(shè)4、P八…、匕為平面a內(nèi)的〃個(gè)點(diǎn)，在平面。內(nèi)的所有點(diǎn)中，若點(diǎn)尸到片、P2...匕點(diǎn)的距離

之和最小，則稱(chēng)點(diǎn)尸為片、2.........2點(diǎn)的一個(gè)“中位點(diǎn)”，有下列命題：①A、B、C三個(gè)點(diǎn)共線，C在

線段A3上，則C是A、B、C的中位點(diǎn)；②直角三角形斜邊的中點(diǎn)是該直線三角形三個(gè)頂點(diǎn)的中位點(diǎn)；

③若四個(gè)點(diǎn)A、8、C、。共線，則它們的中位點(diǎn)存在且唯一；④梯形對(duì)角線的交點(diǎn)是該梯形四個(gè)頂點(diǎn)的

唯一中位點(diǎn)；其中的真命題是（）

A.②④B.①②C.①④D.①③④

2.（多選題）（2024?江西?三模）球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門(mén)學(xué)科.如圖，球。

的半徑為R,A,B,C為球面上三點(diǎn)，劣弧BC的弧長(zhǎng)記為。，設(shè)Q表示以。為圓心，且過(guò)8,C的圓，

同理，圓0”。0的劣弧AC,48的弧長(zhǎng)分別記為瓦c,曲面ABC（陰影部分）叫做曲面三角形，a=b=c,

則稱(chēng)其為曲面等邊三角形，線段OB,OC與曲面VABC圍成的封閉幾何體叫做球面三棱錐，記為球

面。―ABC.設(shè)Z8OC=cr,NAOC=",NAaB=7,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若平面VABC是面積為且火2的等邊三角形，則，=〃=。=K

4

B.a2+b2=c2,貝!J/+尸2=,2

C.若a=b=c=3R,則球面O—ABC的體積v＞正R3

312

JT

D.若平面VABC為直角三角形，MZACB=p則/+加=/

3.（多選題）設(shè)尸為多面體/的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體/在點(diǎn)尸處的離散曲率為

1一;（NQPQ2+NQ，P03++NQJ尸以+NQ/Q），其中Q,（i=l，2,一.,左次23）為多面體〃的所有與點(diǎn)

271

尸相鄰的頂點(diǎn)，且平面QZ2,平面&尸0，，平面以一,2和平面以尸2為多面體/的所有以尸為公共

點(diǎn)的面.已知在直四棱柱ABC。-A4CB中，四邊形ABC。為菱形，AAl=AB,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.四棱柱ABCD-AACR在其各頂點(diǎn)處的離散曲率都相等

B.若AC=3D,則四棱柱在頂點(diǎn)A處的離散曲率為:

7

c.若四面體AA5O在點(diǎn)4處的離散曲率為F，則AG，平面A3。

D.若四棱柱4BCD-A瓦G2在頂點(diǎn)A處的離散曲率為g,則直線BG與平面ACC1所成的角的正弦值

為叵

4

4.（多選題）所有頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體叫作擬柱體，擬柱體的側(cè)面是三角形、梯形或平行四

邊形，其體積是將上下底面面積、中截面（與上下底面距離相等的截面）面積的4倍都相加再乘以高（上下底

面的距離）的），在擬柱體A4G2-482G中，平面4與GR〃平面A,B2C2,E,F,G,H分別是

0

44,3也,。6，〃4的中點(diǎn)，。為四邊形EFGHr內(nèi)一點(diǎn)，設(shè)四邊形A8CR的面積Sr.482G的面積為§2,面

EFGH截得擬柱體的截面積為S,平面481GA與平面482a的距離為/?,下列說(shuō)法中正確的有（）

A.直線4A與巴瓦是異面直線

B.四邊形4GB2G的面積是一員FG的面積的4倍

C.挖去四棱錐。-A用G2與三棱錐。-4約，2后，擬柱體剩余部分的體積為;2

D.擬柱體4耳C2-4B2c2的體積為:〃6+S2+S）

yvj

5.（多選題）如果一個(gè)凸〃面體共有機(jī)個(gè)面是直角三角形，那么我們稱(chēng)這個(gè)凸〃面體的直度為一，則

n

（）

A.三棱錐的直度的最大值為1

B.直度為一的三棱錐只有一種

4

C.四棱錐的直度的最大值為1

4

D.四棱錐的直度的最大值為方

6.（多選題）（2024?安徽滁州?模擬預(yù)測(cè)）閱讀數(shù)學(xué)材料：“設(shè)尸為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體

M在點(diǎn)P處的離散曲率為1一二（/。1尸。2十/。2尸。3+…+/2/以+/4P。1），其中21=1,2,…兒上23）

為多面體M的所有與點(diǎn)尸相鄰的頂點(diǎn)，且平面平面2尸。3，…，平面Qi尸以和平面2尸2為多

面體”的所有以尸為公共點(diǎn)的面?”解答問(wèn)題：已知在直四棱柱ABCD-中，底面ABC。為菱形，

AA=AB,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.四棱柱AG在其各頂點(diǎn)處的離散曲率都相等

B.若AC=3D,則四棱柱AG在頂點(diǎn)A處的離散曲率為:

C.若四面體AABD在點(diǎn)兒處的離散曲率為A，則平面45。

D.若四棱柱AG在頂點(diǎn)A處的離散曲率為則BG與平面ACG的夾角為1

7.（多選題）（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)尸為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率

為i--J-（ze,pa+ZQ2PQ3+…+NQk-FQk+/QkPQj，其中Q（i=L2,…/發(fā)23）為多面體”的所有與點(diǎn)

P相鄰的頂點(diǎn)，且平面Q/2,平面&P03,…，平面尸以和平面QjQl為多面體M的所有以P為公共

點(diǎn)的面.已知在直四棱柱中，底面ABCD為菱形，AAI=AB,則下列結(jié)論正確的是（

A.直四棱柱A5CD-A瓦GR在其各頂點(diǎn)處的離散曲率都相等

B.若AC=9，則直四棱柱ABCD-A與G2在頂點(diǎn)A處的離散曲率為l

2

C.若AB=BD,則直四棱柱ABC。-A耳GR在頂點(diǎn)A處的離散曲率為：

7

D.若四面體AABD在點(diǎn)A處的離散曲率為石，則AG，平面48。

8.將（2〃+D（〃eN*）個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體如圖放置，其中上層正方體下底面的頂點(diǎn)與下層正方體上底面棱

的中點(diǎn)重合.設(shè)最下方正方體的下底面A3CD的中心為0,過(guò)。的直線/與平面ABC。垂直，以0為頂點(diǎn)，/

為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線y=tu2(OVy?〃+l)可以被完全放入立體圖形中.若”=1,則。的最小值為；若。

有解，則〃的最大值為.

9.設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體〃在點(diǎn)尸處的離散曲率為:

1一4(/。尸3+/。,尸。3++NQk.FQk+NQkPQ)，其中2(i=i，2,…，k,k>3)為多面體〃的所

171

有與點(diǎn)p相鄰的頂點(diǎn)，且平面9尸&,平面。2尸。3,…，平面以-PQ*和平面以尸。1遍歷多面體/的所有

以尸為公共點(diǎn)的面.

(1)任取正四面體的一個(gè)頂點(diǎn)，在該點(diǎn)處的離散曲率為—；

(2)已知長(zhǎng)方體ABCR-ABCD,AB=BC=1,44]=走，點(diǎn)P為底面A4GR內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則四

2

棱錐尸一ABC。在點(diǎn)P處的離散曲率的最小值為.

10.(2024?高三?云南保山?期末)刻畫(huà)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫(huà)空

間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點(diǎn)的曲率等于27r與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差(多面體的面的內(nèi)角叫做多

面體的面角，角度用弧度制)，多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的

曲率之和.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是三，所以正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為

27T-3x|=7I,故其總曲率為47r.根據(jù)曲率的定義，正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為,四棱錐的總曲率

為.

11.18世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家辛卜森運(yùn)用定積分，推導(dǎo)出了現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中柱、錐、球、臺(tái)等幾何體Q的統(tǒng)

一體積公式卜=J〃(L+4M+N)(其中分別為。的高、上底面面積、中截面面積、下底面面積)，

我們也稱(chēng)為“萬(wàn)能求積公式”.例如，已知球的半徑為R,可得該球的體積為

23

V=-x2/?(0+4x7t/?+0)=-7r7?;已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為。，高為/z,可得該正四棱錐的體積為

2

V=^xh0+4x^jj+a類(lèi)似地，運(yùn)用該公式求解下列問(wèn)題:如圖，已知球。的表面積為36Tlem之，

若用距離球心。都為1cm的兩個(gè)平行平面去截球0,則夾在這兩個(gè)平行平面之間的幾何體。的體積為

12.設(shè)尸為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)尸處的離散曲率為

1（NQPQ?+ZQ2PQ3+ZQklPQk+N&PQJ,其中Q（i=1,2,?，左，左23,左eN）為多面體M的所有

與點(diǎn)尸相鄰的頂點(diǎn)，且平面2/Q，平面QPQ”…，平面Qi尸以和平面以尸。為多面體M的所有以「

為公共點(diǎn)的面.已知在直四棱柱4BCD-A再G2中，底面ABC。為菱形，AAi=AB.

①直四棱柱ABC。-在其各頂點(diǎn)處的離散曲率都相等；

②若AC=BD,則直四棱柱ABCD-在頂點(diǎn)A處的離散曲率為:；

③若AB=BD,則直四棱柱ABCD-A耳G2在頂點(diǎn)A處的離散曲率為1;

④若四面體\ABD在點(diǎn)A處的離散曲率為點(diǎn)，貝IJAG1平面\BD.

上述說(shuō)法正確的有—（填寫(xiě)序號(hào)）

13.（2024?江西南昌?三模）球面幾何學(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)重要分支，在航海、航空、衛(wèi)星定位等面都有

廣泛的應(yīng)用，如圖，A,B,C是球面上不同的大圓（大圓是過(guò)球心的平面與球面的交線）上的三點(diǎn)，經(jīng)過(guò)

這三個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的大圓的劣弧分別為由這三條劣弧圍成的圖形稱(chēng)為球面VABC.已知地

球半徑為R,北極為點(diǎn)N,P,。是地球表面上的兩點(diǎn)若P,。在赤道上，且|尸。=同，則球面△NPQ的

面積為—；若NP=PQ=QN=^R,則球面△NPQ的面積為一.

14.北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用.刻畫(huà)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)

容.用曲率刻畫(huà)空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2兀與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的

面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該

多面體各頂點(diǎn)的曲率之和，例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是:，所以正四面體在各頂

7T

點(diǎn)的曲率為271-3x1=71,故其總曲率為4兀，則四棱錐的總曲率為

15.（2024?山東日照?一模）若點(diǎn)M在平面。外，過(guò)點(diǎn)M作面a的垂線，則稱(chēng)垂足N為點(diǎn)M在平面。

內(nèi)的正投影，記為N=L（M）.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體A2CD-A5G2中，記平面ABC。為夕，平面

ABCD為7,點(diǎn)P是棱CG上一動(dòng)點(diǎn)（與C,C不重合）弓=力［力（尸）］,2=力［力（尸）］.給出下列三個(gè)

結(jié)論：

①線段尸。2長(zhǎng)度的取值范圍是

②存在點(diǎn)p使得PQ//平面/;

③存在點(diǎn)尸使得尸QJP02；

其中正確結(jié)論的序號(hào)是—.

16.（2024?高三?浙江?開(kāi)學(xué)考試）己知。是棱長(zhǎng)為血的正四面體ABCD,設(shè)。的四個(gè)頂點(diǎn)到平面a的

距離所構(gòu)成的集合為若河中元素的個(gè)數(shù)為％,則稱(chēng)a為。的上階等距平面，M為。的左階等距集.

（1）若a為。的1階等距平面且1階等距集為{a},求。的所有可能值以及相應(yīng)的a的個(gè)數(shù)；

（2）已知￡為。的4階等距平面，且點(diǎn)A與點(diǎn)民C。分別位于p的兩側(cè).若。的4階等距集為也2b,3bAb},

其中點(diǎn)A到夕的距離為匕,求平面BCD與。夾角的余弦值.

17.（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè)）已知頂點(diǎn)為S的圓錐面（以下簡(jiǎn)稱(chēng)圓錐S）與不經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)S的平面a相

交，記交線為C,圓錐S的軸線/與平面a所成角。是圓錐S頂角（圓S軸截面上兩條母線所成角。的一半,

為探究曲線C的形狀，我們構(gòu)建球T,使球T與圓錐S和平面a都相切，記球T與平面a的切點(diǎn)為F，直

線/與平面a交點(diǎn)為A,直線與圓錐S交點(diǎn)為。，圓錐S的母線OS與球T的切點(diǎn)為“卜a,

\MS\=b.

（1）求證：平面S04_L平面a,并指出a,b,。關(guān)系式;

⑵求證：曲線C是拋物線.

18.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）峰房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示.蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截

去三個(gè)相等的三棱錐ABC,J-CDE,K-EFA,再分別以AC,CE,必為軸將AAC〃，ACE7,

AE4K分別向上翻轉(zhuǎn)180。，使H,J,K三點(diǎn)重合為點(diǎn)S所圍成的曲頂多面體（下底面開(kāi)口），如圖2所

示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來(lái)刻畫(huà)，定義其度量值等于蜂房頂端三個(gè)菱形的各個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和,

而每一頂點(diǎn)的曲率規(guī)定等于2萬(wàn)減去蜂房多面體在該點(diǎn)的各個(gè)面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)

角，用弧度制表示）.

圖1

（1）求蜂房曲頂空間的彎曲度；

（2）若正六棱柱的側(cè)面積一定，當(dāng)蜂房表面積最小時(shí)，求其頂點(diǎn)S的曲率的余弦值.

19.設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為

1一工-（/。田。,+/。,尸。3++/0"巧2+/。"。|）,其中Qi（i=l,2,k,校3）為多面體M的所有

與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面QPQ,平面Q2P0,…，平面Qk」PQk和平面QkPQi遍歷多面體M的所有以

產(chǎn)為公共點(diǎn)的面.

圖2

(1)如圖1,已知長(zhǎng)方體ABC。，AB=BC=\,AA.=^-,點(diǎn)尸為底面A/B/GG內(nèi)的一個(gè)動(dòng)

12

點(diǎn)，則求四棱錐P-ABC。在點(diǎn)尸處的離散曲率的最小值；

(2)圖2為對(duì)某個(gè)女孩面部識(shí)別過(guò)程中的三角剖分結(jié)果，所謂三角剖分，就是先在面部取若干采樣點(diǎn)，

然后用短小的直線段連接相鄰三個(gè)采樣點(diǎn)形成三角形網(wǎng)格.區(qū)域a和區(qū)域￡中點(diǎn)的離散曲率的平均值更大

的是哪個(gè)區(qū)域？(確定“區(qū)域a”還是“區(qū)域￡”)

20.(1)如圖，對(duì)于任一給定的四面體A&A3A4，找出依次排列的四個(gè)相互平行的平面%,%,%,&4,

使得Aea,(z=l,2,3,4),且其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離都相等；

(2)給定依次排列的四個(gè)相互平行的平面%,%,%,?4,其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離為1,若一個(gè)

正四面體A&A3A4的四個(gè)頂點(diǎn)滿(mǎn)足：4eq(i=l,2,3,4),求該正四面體AAAA,的體積.

21.離散曲率是刻畫(huà)空間彎曲性的重要指標(biāo).設(shè)尸為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離

散曲率為①，=](/QPQ,+NQ,PQ+??2。1尸2+/。*尸。3其中2。=1，2,…,仁％23)為多面體M的

2兀

所有與點(diǎn)尸相鄰的頂點(diǎn)，且平面QZQ,平面Q/Q，…，平面以一/2和平面為多面體加的所有

以尸為公共點(diǎn)的面.

(1)求三棱錐p-ABC在各個(gè)頂點(diǎn)處的離散曲率的和；

(2)如圖，已知在三棱錐P-A5C中，R4,平面ABC,ACLBC,AC=BC,三棱錐尸-ABC在頂點(diǎn)C處

的離散曲率為;.

P

B

①求直線PC與直線AB所成角的余弦值；

②若點(diǎn)。在棱PB上運(yùn)動(dòng)，求直線CQ與平面ABC所成的角的最大值.

22.離散曲率是刻畫(huà)空間彎曲性的重要指標(biāo).設(shè)尸為多面體：T的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體「在點(diǎn)尸處的離散

曲率為0戶(hù)=1一1(/0/02+/。22。3++/&-/a+NQ/Q)，其中2G=1,2,?以女23)為多面體r的

Z71

所有與點(diǎn)尸相鄰的頂點(diǎn)，且平面&尸2,平面&P03,…，平面以一丁以和平面以尸。為多面體：r的所有以

尸為公共點(diǎn)的面.

(1)求四棱錐S-ABCD在各個(gè)頂點(diǎn)處的離散曲率的和；

(2)如圖，現(xiàn)已知四棱錐S-ABCD的底面A2CD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且AC=2,頂點(diǎn)S在底面的射影。為

AC的中點(diǎn).

①若OS=&+幣,求該四棱錐在S處的離散曲率0s；

②若該四棱錐在S處的離散曲率0s=g，求直線OS與平面5AB所成角的正弦值.

s

拔高點(diǎn)突破04新情景、新定義下的立體幾何問(wèn)題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：曲率問(wèn)題...............................................................2

題型二：斜坐標(biāo)系與定義新運(yùn)算...................................................3

題型三：定義新概念.............................................................4

題型四：空間平面方程與直線方程.................................................5

題型五：三面角問(wèn)題.............................................................6

題型六：數(shù)學(xué)文化...............................................................8

03過(guò)關(guān)測(cè)試....................................................................10

亡法牯自與.柒年

//\\

面對(duì)新情景、新定義，首先要深入理解并分析這些新元素，將其與已知的立體幾何知識(shí)相結(jié)合。明確

解題目標(biāo)后，靈活運(yùn)用基本定理和性質(zhì)，如平行、垂直的判定與性質(zhì)，以及空間角、距離的計(jì)算公式。在

解題過(guò)程中，合理構(gòu)造輔助線和面，以揭示隱藏的空間關(guān)系，簡(jiǎn)化問(wèn)題。對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題，可嘗試建立空間

直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行計(jì)算和證明。同時(shí)，要善于將空間問(wèn)題平面化，通過(guò)截面、投影等方式轉(zhuǎn)化

求解對(duì)象。最后，解題后要進(jìn)行驗(yàn)證和反思，確保結(jié)論的正確性，并總結(jié)所使用的方法和技巧，以便在未

來(lái)遇到類(lèi)似問(wèn)題時(shí)能夠迅速應(yīng)對(duì)。

題型一：曲率問(wèn)題

【典例1-1]（2024?黑龍江大慶?模擬預(yù)測(cè)）北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用，

在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫(huà)空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點(diǎn)的曲率等于2兀與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多

面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率

等于該多面體各項(xiàng)點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是:，所以正四面體

7T

在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為271-3、鼻=兀，故其總曲率為4兀.己知多面體的頂點(diǎn)數(shù)V,棱數(shù)E,面數(shù)尸滿(mǎn)足

【答案】C

【解析】設(shè)每個(gè)面記為“（左[1]]）邊形,

則所有的面角和為Z(4—2)兀=兀Z4一2兀/二兀?2E-27iF=27i(E-F),

Z=1Z=1

根據(jù)定義可得該類(lèi)多面體的總曲率2兀"2兀(石-尸)=27t(V-E+F)=4兀.

故選：C.

【典例1-2】閱讀數(shù)學(xué)材料：“設(shè)尸為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體/在點(diǎn)尸處的離散曲率為

1-(ZQPa+ZQ2PQ3+ZQ3PQ4++ZQk_lPQk+ZQkPQl),其中Q?=l,2,，k,左23)為多面體M

的所有與點(diǎn)p相鄰的頂點(diǎn)，且平面QZQ,平面QP2,…，平面以一/2和平面2尸。為多面體M的所

有以尸為公共點(diǎn)的面己知在直四棱柱ABC。-A與G2中，底面ABCD為菱形.A4,=AB.(角的運(yùn)算均采

用弧度制)

(1)若AC=3D,求四棱柱ABC。-在頂點(diǎn)A處的離散曲率；

(2)若四棱柱ABCD-A^QD,在頂點(diǎn)A處的離散曲率為g,求BQ與平面ACCt的夾角的正弦值；

⑶截取四面體A-A3。，若該四面體在點(diǎn)4處的離散曲率為，，AC1與平面交于點(diǎn)G,證明：

AG_1

而一§,

【解析】(1)若AC=5。，則菱形ABCD為正方形，即

因?yàn)槊鱛L平面ABCD,AB,AOu平面ABC。，所以AA.1AD,

1I7T7T冗、I

所以直四棱柱ABCD-A與G2,在頂點(diǎn)A處的離散曲率為1-丁彳+7+彳=小

(2)因?yàn)槊鳎矫鍭5cD,AB,ADu平面ABC。，所以明LABA^IAD,

直四棱柱ABCD-ABCQi在頂點(diǎn)A處的離散曲率為1-+W+=

2兀122)3

7T

則NDA8=§,即是等邊三角形，

ABCD為菱形AC_L5D,又直四棱柱ABCD-AlBlClDl,

;.CG_L平面ABCD,50匚平面488,；9弓_13。，

又AC,CGu平面ACG,ACr>CCt=C:.BD1平面ACQ,

設(shè)ACBD=O,則/BC0即為DC與平面ACC1所成的角，

在iBCQ中，==BQ=^2BC=A/2AB,

sin/BCO=—=2絲=立,所以BC與平面ACC,的夾角的正弦值為叵.

'BQ及AB44

(3)在四面體A-A3。中AA.LAD,=AB=AD,

所以ZA41g=44。=（,AB=AO=及AB,

所以四面體4-48。在點(diǎn)4處的離散曲率為1-1（：+：+/網(wǎng)。

2兀144

所以N%O=g，所以，BAQ為等邊三角形，所以及）=AO=0