2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值（七大題型）（講義）（學(xué)生版+解析）

第03講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

目錄

01考情透視目標(biāo)導(dǎo)航.............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖思維引航.............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究.............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：函數(shù)的極值...........................................................................4

知識(shí)點(diǎn)2:函數(shù)的最大（?。┲?..................................................................5

解題方法總結(jié)...................................................................................5

題型一：求函數(shù)的極值與極值焉..................................................................6

題型二：根據(jù)極值、極值點(diǎn)求參數(shù)................................................................7

題型三：求函數(shù)的最值（不含參）................................................................8

題型四：求函數(shù)的最值（含參）..................................................................9

題型五：根據(jù)最值求參數(shù).......................................................................10

題型六：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的綜合應(yīng)用.....................................................10

題型七：不等式恒成立與存在性問(wèn)題.............................................................12

04真題練習(xí)?命題洞見(jiàn)............................................................12

05課本典例高考素材............................................................13

06易錯(cuò)分析答題模板............................................................14

易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)/（X0）為極值的充要條件理解不清......................................................14

答題模板：求可導(dǎo)函數(shù)/（x）的極值...............................................................15

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

2024年I卷第10題，6分

2024年n卷第16題，15分高考對(duì)最值、極值的考查相對(duì)穩(wěn)定，屬于重

2024年n卷第11題,6分點(diǎn)考查的內(nèi)容.高考在本節(jié)內(nèi)容上無(wú)論試題怎樣

2024年甲卷第21題，12分變化，我們只要把握好導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)的有力

(1)函數(shù)的極值

2023年乙卷第21題，12分工具這一點(diǎn)，將函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等本

(2)函數(shù)的最值

2023年n卷第22題，12分質(zhì)問(wèn)題利用圖像直觀明了地展示出來(lái)，其余的就

2022年乙卷第16題，5分是具體問(wèn)題的轉(zhuǎn)化了.最終的落腳點(diǎn)一定是函數(shù)

2022年I卷第10題，5分的單調(diào)性與最值，因?yàn)樗鼈兪菍?dǎo)數(shù)永恒的主題.

2022年甲卷第6題，5分

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要和充分條件.

(2)會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值.

(3)會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值.

考點(diǎn)突確.題理輝寶

「知識(shí)育親

知識(shí)點(diǎn)1:函數(shù)的極值

(1)函數(shù)的極小值

如果對(duì)飛附近的所有點(diǎn)都有力>)>/(%),而且在點(diǎn)x=x0附近的左側(cè)廣(x)<0,右側(cè)r(x)>0,則稱(chēng)

/(X。)是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作y極小值=/(x0).

(2)函數(shù)的極大值

函數(shù)/(%)在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)尤。附近的所有點(diǎn)都有f(x)</(不)，而且在點(diǎn)尤=/附近的左側(cè)

r(x)>0,右側(cè)廣(x)<0,則稱(chēng)/(X。)是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作y極大值=/(%).

(3)極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱(chēng)為極值.

(4)求/(>)極值的步驟

①先確定函數(shù)/(%)的定義域；

②求導(dǎo)數(shù)f'(x);

③求方程尸(x)=0的解；

④檢驗(yàn)了'(X)在方程((幻=0的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，

那么函數(shù)y=/(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)

y=/(x)在這個(gè)根處取得極小值.

②((無(wú)。)=0是尤。為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如/(x)=V,尸(0)=0,但%=0不是極值

點(diǎn).另外，極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)/(x)=W，在極小值點(diǎn)無(wú)。=0是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論:

%為可導(dǎo)函數(shù)/(X)的極值點(diǎn)=>/'(不)=0；但/'(Xo)=o￡xo為了(尤)的極值點(diǎn).

【診斷自測(cè)】(2024?遼寧?三模)下列函數(shù)中，既是定義域上的奇函數(shù)又存在極小值的是()

A./(x)=:vsinxB.〃x)=x+—

c.”x)=e*+，D./(x)=|x+l|-|x-l|

知識(shí)點(diǎn)2：函數(shù)的最大(小)值

(1)函數(shù)/(%)在區(qū)間［a,b］上有最值的條件：

如果在區(qū)間3,切上函數(shù)y=/(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.

(2)求函數(shù)y=/(x)在區(qū)間儂,田上的最大(小)值的步驟：

①求y=/(x)在(〃z,〃)內(nèi)的極值(極大值或極小值)；

②將y=/(?的各極值與/(㈤和/(〃)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.

【診斷自測(cè)】函數(shù)/(幼=/—%彳?—2,2］的最小值為一.

解題方法總結(jié)

(1)若函數(shù)/⑺在區(qū)間。上存在最小值"XL和最大值"磯1貝U

不等式/(尤)>4在區(qū)間。上恒成立u>“X)1mli>a；

不等式2a在區(qū)間Z)上恒成立o/(x)m,n>a；

不等式/(x)<6在區(qū)間。上恒成立o/(%)_<&；

不等式〃x)。在區(qū)間。上恒成立o<b；

(2)若函數(shù)“力在區(qū)間。上不存在最大(小)值，且值域?yàn)?加，”)，則

不等式〃x)>a(或f(x)2a)在區(qū)間D上恒成立omNa.

不等式/(x)〈“或/(x)/)在區(qū)間。上恒成立OWIV/P.

(3)若函數(shù)〃x)在區(qū)間。上存在最小值/(x)1nhi和最大值"Mm—即〃尤)則對(duì)不等式有

解問(wèn)題有以下結(jié)論：

不等式a</(x)在區(qū)間。上有解oa</⑺鵬；

不等式a<〃無(wú))在區(qū)間。上有解oaV/⑺1mx；

不等式a>/(x)在區(qū)間。上有解0。>/(力同；

不等式a2在區(qū)間。上有解血口；

(4)若函數(shù)/(x)在區(qū)間O上不存在最大(小)值，如值域?yàn)?加，”)，則對(duì)不等式有解問(wèn)題有以下結(jié)

論:

不等式a</(彳)(或@4/(訓(xùn)在區(qū)間。上有解

不等式)〉/(x)(或b2/(X))在區(qū)間￡)上有解0匕>7"

(5)對(duì)于任意的％e[a,可，總存在々e[m,n],使得了(xjVg(%)o/(xj1mx<；

(6)對(duì)于任意的國(guó)e[a,可，總存在々ejm,n],使得/■(%)2g(%)O〃%)1nto2g(尤2)1nhi;

⑺若存在石e[a,b],對(duì)于任意的々?[m,n],使得/(xj<g(%)o/(々L(g(%)而口；

(8)若存在玉e[a,b],對(duì)于任意的々ejm,n\,使得了(xj2g(%)o"xj1mx2g(尤2)1n；

(9)對(duì)于任意的百句。，b],x2e[m,可使得“xjWg(x?)o"%)1mxWg(%L；

(10)對(duì)于任意的尤je[a,b],x2e[m,)使得2g^)o“占)皿潼；

(11)若存在存e[a,可,總存在尤2?[m,n\,使得Vg(%)o〃%)1nhiVg(%)111ax

(12)若存在％e[a,b],總存在％e[m,n],使得2g(%)o〃%)111ax2g(%)血》?

(題甄察J]

題型一：求函數(shù)的極值與極值點(diǎn)

【典例1-1]“％是函數(shù)”X)的一個(gè)極值點(diǎn)”是“〃尤)在看處導(dǎo)數(shù)為0”的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【典例1-2】如圖，可導(dǎo)函數(shù)>=/(尤)在點(diǎn)P(Xo，“％))處的切線為/：y=g。)，設(shè)6(元)=〃尤)-g(x),則

下列說(shuō)法正確的是()

B.VXGR,hr(x)<0

C.//(%)=0,工=%是/z(x)的極大值點(diǎn)D."(5)=。,犬=不是，(X)的極小值點(diǎn)

【方法技巧】

1、因此，在求函數(shù)極值問(wèn)題中，一定要檢驗(yàn)方程尸(x)=0根左右的符號(hào)，更要注意變號(hào)后極大值與

極小值是否與已知有矛盾.

2、原函數(shù)出現(xiàn)極值時(shí)，導(dǎo)函數(shù)正處于零點(diǎn)，歸納起來(lái)一句話：原極導(dǎo)零.這個(gè)零點(diǎn)必須穿越x軸，否

則不是極值點(diǎn).判斷口訣：從左往右找穿越（導(dǎo)函數(shù)與x軸的交點(diǎn)）；上坡低頭找極小，下坡抬頭找極大.

【變式1-1］（2024.遼寧鞍山二模）〃%）=公b的極大值為—.

【變式1-2］（2024.河南.三模）已知函數(shù)/（x）=ox-lnx,且/（刈在x=l處的切線方程是x-y+6=0.

⑴求實(shí)數(shù)。，人的值；

（2）求函數(shù)/（元）的單調(diào)區(qū)間和極值.

【變式1-3］（2024?北京東城?二模）已知函數(shù)/'（尤）=xsin2尤+cos2尤.

⑴求曲線y=在卜：,4-3）處的切線方程；

27rSjr

（2）求函數(shù)/（x）在區(qū)間-y,不上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

【變式1-4】已知函數(shù)/（x）=a*-elog“x-e,其中a>l.討論/O）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

題型二：根據(jù)極值、極值點(diǎn)求參數(shù)

【典例2-1］（2024.廣西.模擬預(yù)測(cè)）設(shè)用工0,若x為函數(shù)〃*）=4（彳°）2（廠6）的極大值點(diǎn)，則（

A.a<bB.a>bC.ab<b2D.ab>b2

【典例2-2】（2024?高三?陜西咸陽(yáng)?期中）若函數(shù)/（元）=alnx」+3（aw0）既有極大值也有極小值，貝心的

XX

取值范圍是（）

A.（-川B.C.（。,力D.（0,1］

【方法技巧】

根據(jù)函數(shù)的極值（點(diǎn)）求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)

（1）列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；

（2）驗(yàn)證：求解后驗(yàn)證根的合理性.

【變式2-1］已知函數(shù)/。）=6111尤+1/+2以+/-34在x=l處取得極小值則2的值為一.

22a

【變式2-2］（2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃到=幽吧譽(yù)型+x在（0,兀）上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

e

。的取值范圍是（）

（5口（5三、

A.0,^-e4B.（一叫匕兀）C.（0僧兀）D.（e'+oo

V2JI2）

【變式2-3］（2024.四川.模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/⑺的導(dǎo)函數(shù)（（x）=（x+D（尤2+4x+a）,若-1不是了⑺的

極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。=.

【變式2-4］若函數(shù)/（尤）=疣，-（〃7-%2，存在唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

【變式2-5］（2024?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）若小三是函數(shù)=；辦2-/+1（℃2的兩個(gè)極值點(diǎn)且無(wú)2、2占，

則實(shí)數(shù)”的取值范圍為一.

【變式2-6】已知函數(shù)/（可二任+力期X，若x=0是的極大值點(diǎn)，則a的取值范圍是.

【變式2-7】已知七和巧分別是函數(shù)/（尤）=2優(yōu)-ed（a>0且中1）的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn).若再<多，

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是—.

題型三：求函數(shù)的最值（不含參）

【典例3-1］函數(shù)/（x）=；x2-（e-l）x-elnx的最小值為

【典例3-2】函數(shù)/（x）=2d—6f+=（優(yōu)為常數(shù)）在-2,3］上有最大值3,則/⑺在［-2,3］上的最小值

為一

【方法技巧】

求函數(shù)“X）在閉區(qū)間匕,句上的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值/（a）,f（b）

與/（%）的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值.

一爐+3x+2

【變式3-1］（2024?浙江杭州.二模）函數(shù)〃尤）=的最大值為一.

Jx+1

【變式3-2］當(dāng)％=2時(shí)，函數(shù)〃力=X3+加_12］取得極值，則/⑴在區(qū)間［T4］上的最大值為

einy64

【變式3-3］（2024?高三.山東青島?開(kāi)學(xué)考試）已知0<x<兀，則―匚+—^的最小值為_(kāi)______.

1-COSX1+cosX

題型四：求函數(shù)的最值(含參)

【典例4-1】已知函數(shù)/(x)=eX-ox-l.

(1)當(dāng)。=1時(shí),求/(X)的單調(diào)區(qū)間與極值;

(2)求/(%)在［1,+8)上的最小值.

【典例4-2】(2024?四川南充?二模)設(shè)函數(shù)八x)=±|e，，g(x)=至上竿二絲.

(1)求函數(shù)/(X)的單調(diào)性區(qū)間；

2

⑵設(shè)04根＜2,證明函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+e)上存在最小值A(chǔ),且IvAW?

【方法技巧】

若所給的閉區(qū)間團(tuán)，句含參數(shù)，則需對(duì)函數(shù)〃無(wú))求導(dǎo)，通過(guò)對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從

而得到函數(shù)的最值.

【變式4-1］(2024?四川自貢.一模)函數(shù)〃x)=e'-Inx的最小值為機(jī).

⑴判斷機(jī)與2的大小，并說(shuō)明理由：

⑵求函數(shù)g(x)=hu:-J的最大值.

【變式4-2］已知函數(shù)/(x)=(x—%—1)如=eR).

⑴當(dāng)左=1時(shí)，求/⑺在(0,-2)處的切線方程;

⑵討論了(%)在區(qū)間［0,3］上的最小值.

【變式4-3］已知函數(shù)/'(乃=2/_辦2+2,當(dāng)0＜。＜3時(shí)，記/(X)在區(qū)間［0』的最大值為M,最小值為加,

求以一利的取值范圍.

【變式4-4】已知函數(shù)/(同=；d+等/+2辦.

⑴當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)/⑺在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線方程;

(2)求函數(shù)/⑺的單調(diào)區(qū)間和極值；

⑶當(dāng)ae(1,2)時(shí)，求函數(shù)/(x)在［-2a,可上的最大值.

題型五：根據(jù)最值求參數(shù)

【典例5-1］(2024.河南南陽(yáng).一模)已知函數(shù)“力=31-211?+(4-1)尤+3在區(qū)間。,2)上有最小值，則整

數(shù)。的一個(gè)取值可以是—.

【典例5-2］已知awO,若函數(shù)〃x)=,?有最小值，則實(shí)數(shù)”的最大值為一.

【方法技巧】

已知函數(shù)最值，求參數(shù)的范圍，列出有關(guān)參數(shù)的方程或不等式，然后求其參數(shù)值或范圍.

【變式5-1］(2024?廣西南寧.一模)已知函數(shù)/(力=(%-1盧+加的最小值為-1,則實(shí)數(shù)“的取值范圍

為一

【變式5-2］(2024?廣東?二模)已知函數(shù)“x)=x(e'i-2a)-lnx的最小值為0,則a的值為.

【變式5-3】已知函數(shù)/(x)=/ex+alnx的最小值為1,則。的取值范圍為.

【變式5-4］若函數(shù)〃x)=ar+xe-"-lnx-1的最小值為0,則實(shí)數(shù)。的最大值為一.

題型六：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的綜合應(yīng)用

【典例6-1】已知/(x)=?(2-lnx),g(x)=/(x)+ax-3,其中aG(0,+oo).

(1)判斷了(無(wú))的單調(diào)性并求其最值；

(2)若g(無(wú))存在極大值，求。的取值范圍，并證明此時(shí)g(x)的極大值小于0.

【典例6-2】(2024?高三.湖南.期末)已知函數(shù)〃元)=1內(nèi)+1-247+0有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)為三.

X

(1)求。的取值范圍.

(2)求/(幻的極大值與極小值之和的取值范圍.

(3)若me,,：)則/(附-/(九)是否有最小值？若有，求出最小值；若沒(méi)有，說(shuō)明理由.

【方法技巧】

函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的綜合應(yīng)用通常會(huì)用到分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.

【變式6-1】設(shè)/⑺=勁”-

X

⑴若。=0,討論“X)的單調(diào)性；

(2)若a20,求的最大值(用。表示)；

(3)若〃x)恰有三個(gè)極值點(diǎn)，直接寫(xiě)出。的取值范圍.

【變式6-2](2024.海南.模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)〃x)==-eX+MaeR).

(1)若函數(shù)/(x)在區(qū)間(T?,ln2)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

(2)設(shè)函數(shù)/(x)有一個(gè)極大值為一個(gè)極小值為N,試問(wèn)：N-朋■是否存在最小值？若存在最小值，求

出最小值；若不存在最小值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型七：不等式恒成立與存在性問(wèn)題

【典例7-1】已知函數(shù)〃x）=xlnx-依+1,若存在而e（o,+8）,使得了?。?lt;0成立，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍___.

【典例7-2】已知函數(shù)/（x）=（x-1）-+mx2,g（x）=x3---/7ZX,（XG（0,2],0</W<6）.若

^￡（0,2],使/GJvgG）成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為.

【方法技巧】

在不等式恒成立或不等式有解條件下求參數(shù)的取值范圍，一般利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最

值或值域問(wèn)題加以求解，可采用分離參數(shù)或不分離參數(shù)法直接移項(xiàng)構(gòu)造輔助函數(shù).

【變式7-1】函數(shù)/（x）=e*—26-e+匕20對(duì)任意xeR成立，則1的最小值為（）

A.4B.3C.-D.2

2

【變式7-2]（2024?山東泰安?二模）己知函數(shù)無(wú)）=（。>0）.

⑴若“X）的極大值為1」，求。的值；

e

⑵當(dāng)時(shí),若我e[l,”o）,切?F,0]使得/&）+『（馬）=0,求〃的取值范圍.

【變式7-3]（2024?高三?陜西商洛?期中）已知函數(shù)7'（x）=l+lnx,g（x）=e\若/&）=g（/）成立,則

%的最小值為（）

A.1B.2C.eD.In2

1.（2024年新課標(biāo)全國(guó)H卷數(shù)學(xué)真題）（多選題）設(shè)函數(shù)F（x）=2x3-3a/+l,則（）

A.當(dāng)a>l時(shí)，/⑴有三個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)。＜0時(shí)，x=0是/(x)的極大值點(diǎn)

C.存在。，6,使得x=b為曲線y=/(x)的對(duì)稱(chēng)軸

D.存在a,使得點(diǎn)為曲線y=/(x)的對(duì)稱(chēng)中心

2.(多選題)(2024年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)設(shè)函數(shù)/(乃=。-1)2。-4),則(

A.x=3是/(X)的極小值點(diǎn)B.當(dāng)0。<1時(shí)，f(x)<f(x2)

C.當(dāng)l<x<2時(shí)，-4</(2x-l)<0D.當(dāng)-l<x<0時(shí)，/(2-%)>/(%)

3.(2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(文)真題)函數(shù)/(x)=cosx+(x+l)sinx+l在區(qū)間［0,2兀］的最小值、最大

值分別為()

,兀兀-3兀兀e3兀兀小

A.—，一B.-----,一Y+2D.-----,—F2

222222

b

4.(2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)當(dāng)X=1時(shí)，函數(shù)/(x)=alnx+—取得最大值—2,貝U-⑵=

X

)

A.-1B-4D.1

5.(多選題)(2023年新課標(biāo)全國(guó)H卷數(shù)學(xué)真題)若函數(shù)/(x)=alnx+g+5(aw0)既有極大值也有極小

值，貝I().

A.bc>0B.ab>0C.b2+Sac>0D.ac<0

1.將一個(gè)邊長(zhǎng)為。的正方形鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)均為尤的小正方形，做成一個(gè)無(wú)蓋方盒.

(1)試把方盒的容積V表示為尤的函數(shù)；

(2)x多大時(shí)，方盒的容積V最大？

2.用測(cè)量工具測(cè)量某物體的長(zhǎng)度，由于工具的精度以及測(cè)量技術(shù)的原因，測(cè)得w個(gè)數(shù)據(jù)%,出，

1〃

證明：用九個(gè)數(shù)據(jù)的平均值x=表示這個(gè)物體的長(zhǎng)度，能使這"個(gè)數(shù)據(jù)的方差

幾;=1

1〃

〃X)=*(f)2最小.

4

3.已知某商品進(jìn)價(jià)為。元/件，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)售價(jià)是＞32元/件時(shí)，可賣(mài)出c件.市場(chǎng)調(diào)查表明,

當(dāng)售價(jià)下降10%時(shí)，銷(xiāo)量可增加40%.現(xiàn)決定一次性降價(jià)，銷(xiāo)售價(jià)為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？

4.已知函數(shù)/（犬）=/+必+4，試確定〃，4的值，使得當(dāng)x=l時(shí)，f（尤）有最小值4.

5.已知函數(shù)/（x）=x（x-c）2在x=2處有極大值，求c的值.

6.已知A,2兩地的距離是130km、根據(jù)交通法規(guī)，兩地之間的公路車(chē)速應(yīng)限制在50?100km/h,假設(shè)油

價(jià)是7元/L,以x"的速度行駛時(shí)，汽車(chē)的耗油率為「總卜h,司機(jī)每小時(shí)的工資是35元.那么最

經(jīng)濟(jì)的車(chē)速是多少？如果不考慮其他費(fèi)用，這次行車(chē)的總費(fèi)用是多少？

㈤6

/4錯(cuò)分柝二答題模粒v

易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)大X0）為極值的充要條件理解不清

易錯(cuò)分析：對(duì)/（X）為極值的充要條件理解不清，導(dǎo)致出現(xiàn)多解.

答題模板：求可導(dǎo)函數(shù)八X）的極值

1、模板解決思路

解決求可導(dǎo)函數(shù)“X）的極值的問(wèn)題，關(guān)鍵是檢驗(yàn)定義域內(nèi)導(dǎo)數(shù)值為。的點(diǎn)左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值是否異號(hào),

若異號(hào)，則該點(diǎn)為極值點(diǎn)，否則不為極值點(diǎn).

2、模板解決步驟

第一步：先確定函數(shù)八＞）的定義域；

第二步：求導(dǎo)數(shù)/（X）;

第三步：求方程_f（x）=O的解；

第四步：檢驗(yàn)尸（x）在方程（（x）=0的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近

為負(fù)，那么函數(shù)y=/（x）在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)

y=f（x）在這個(gè)根處取得極小值.

【易錯(cuò)題1】已知函數(shù)〃x）=31nx-；ox2+（3a-l）x,其中"0,若x=3是/⑺的極小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍為

【易錯(cuò)題2】函數(shù)/。）=尤3-3/尤2_3以在戶1取得極值，則實(shí)數(shù).

第03講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

目錄

01考情透視目標(biāo)導(dǎo)航.............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖思維引航.............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究.............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：函數(shù)的極值...........................................................................4

知識(shí)點(diǎn)2:函數(shù)的最大（?。┲?..................................................................5

解題方法總結(jié)...................................................................................5

題型一：求函數(shù)的極值與極值舄..................................................................6

題型二：根據(jù)極值、極值點(diǎn)求參數(shù)................................................................7

題型三：求函數(shù)的最值（不含參）................................................................8

題型四：求函數(shù)的最值（含參）..................................................................9

題型五：根據(jù)最值求參數(shù).......................................................................10

題型六：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的綜合應(yīng)用.....................................................10

題型七：不等式恒成立與存在性問(wèn)題.............................................................12

04真題練習(xí)?命題洞見(jiàn)............................................................12

05課本典例高考素材............................................................13

06易錯(cuò)分析答題模板............................................................14

易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)外⑹為極值的充要條件理解不清......................................................14

答題模板：求可導(dǎo)函數(shù)/(*)的極值...............................................................15

春情目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

2024年I卷第10題，6分

2024年n卷第16題，15分高考對(duì)最值、極值的考查相對(duì)穩(wěn)定，屬于重

2024年n卷第11題,6分點(diǎn)考查的內(nèi)容.高考在本節(jié)內(nèi)容上無(wú)論試題怎樣

2024年甲卷第21題，12分變化，我們只要把握好導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)的有力

(1)函數(shù)的極值

2023年乙卷第21題，12分工具這一點(diǎn)，將函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等本

(2)函數(shù)的最值

2023年n卷第22題，12分質(zhì)問(wèn)題利用圖像直觀明了地展示出來(lái)，其余的就

2022年乙卷第16題，5分是具體問(wèn)題的轉(zhuǎn)化了.最終的落腳點(diǎn)一定是函數(shù)

2022年I卷第10題，5分的單調(diào)性與最值，因?yàn)樗鼈兪菍?dǎo)數(shù)永恒的主題.

2022年甲卷第6題，5分

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要和充分條件.

(2)會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值.

(3)會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值.

考點(diǎn)突破■題型探究

知識(shí)固本

知識(shí)點(diǎn)1:函數(shù)的極值

(1)函數(shù)的極小值

如果對(duì)不附近的所有點(diǎn)都有f(x)>f(x0),而且在點(diǎn)x=X。附近的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)r(x)>0,則稱(chēng)

f(x。)是函數(shù)的一■個(gè)極小值，記作>極小值=/(%).

(2)函數(shù)的極大值

函數(shù)/(X)在點(diǎn)與附近有定義，如果對(duì)與附近的所有點(diǎn)都有了(無(wú))<y(尤0),而且在點(diǎn)x=x0附近的左側(cè)

f'(x)>o,右側(cè)r(x)<o,則稱(chēng)/(/)是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作y極大值=/(%).

(3)極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱(chēng)為極值.

(4)求,(x)極值的步驟

①先確定函數(shù)/(%)的定義域；

②求導(dǎo)數(shù)廣⑺;

③求方程/'(x)=0的解；

④檢驗(yàn)尸(x)在方程((x)=0的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，

那么函數(shù)y=/(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)

y=f(x)在這個(gè)根處取得極小值.

注：①可導(dǎo)函數(shù)/(無(wú))在點(diǎn)X。處取得極值的充要條件是：X。是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，即/(尤。)=0,且在

%左側(cè)與右側(cè)，廣(尤)的符號(hào)導(dǎo)號(hào).

②尸(%)=0是％為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如/(x)=V,尸(0)=0,但%=0不是極值

點(diǎn).另外，極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)/(x)=|x|,在極小值點(diǎn)x0=0是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論:

X。為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)=>f'(xo)=O；但/'(X。)=0幺/為f(x)的極值點(diǎn).

【診斷自測(cè)】(2024.遼寧?三模)下列函數(shù)中，既是定義域上的奇函數(shù)又存在極小值的是()

A.f(^)=xsinxB./(x)=x+—

c.”x)=e*+，D./(x)=|x+l|-|x-l|

【答案】B

【解析】對(duì)A,xeR,f(—x)=(-x)sin(—元)=xsinx=f(X),故/(x)為偶函數(shù)，不符題意；

對(duì)B,xe(-oo,0)o(0,+co),y(_x)=-x-L=-/(x)為奇函數(shù)，

X

=1y=0,得％=±1,

當(dāng)X￡(0,l)時(shí)尸(芯)<0,%￡(1,+00)時(shí)/(%)>0,

故了⑴的極小值，故B正確；

對(duì)C,〃-尤)=尸+'7=/+，7=/(尤)為偶函數(shù)，不符題意；

ee

2,x>1

對(duì)D,/(x)=2x—2,—l?x<l無(wú)極值，不符題意，

—2,x<一1

故選：B

知識(shí)點(diǎn)2：函數(shù)的最大(小)值

(1)函數(shù)/(x)在區(qū)間切上有最值的條件：

如果在區(qū)間值切上函數(shù)y=/(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.

(2)求函數(shù)y=/(x)在區(qū)間值切上的最大(小)值的步驟：

①求y=/(x)在(〃?，〃)內(nèi)的極值(極大值或極小值)；

②將y=/(x)的各極值與7'(九)和/(")比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.

注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最

值是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；

②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開(kāi)區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；

③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.

【診斷自測(cè)】函數(shù)/(耳=丁一%工4_2,2］的最小值為一.

【答案】-6

【解析】函數(shù)尸(x)=3為2—1,

當(dāng)尤e-2,-日時(shí)，r(x)>0,/(無(wú))單調(diào)遞增，

當(dāng)尤e冬2時(shí),f(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)時(shí)，f(x)<0,“X)單調(diào)遞減,

所以“X)的最小值為-6.

故答案為：-6.

解題方法總結(jié)

(1)若函數(shù)八可在區(qū)間。上存在最小值"x*和最大值"力厘，貝I

不等式“力>。在區(qū)間。上恒成立O/CQmm>。；

不等式“X)2a在區(qū)間。上恒成立o/(x)mjn>a；

不等式<6在區(qū)間。上恒成立o〃x)2<b；

不等式〃x)。在區(qū)間。上恒成立o1mx<b；

(2)若函數(shù)“可在區(qū)間。上不存在最大(小)值，且值域?yàn)?犯”)，則

不等式/(x)>a(或/'⑺2a)在區(qū)間￡>上恒成立<=>m>a.

不等式/(x)<b(或/(%)<6)在區(qū)間D上恒成立<^>m<b.

(3)若函數(shù)在區(qū)間。上存在最小值“X)1nhi和最大值1n,即”尤)式幾句,則對(duì)不等式有

解問(wèn)題有以下結(jié)論：

不等式a</(x)在區(qū)間。上有解oa〈/⑺鵬；

不等式。</(尤)在區(qū)間。上有解尤)a；

不等式a>/(x)在區(qū)間。上有解0心/⑴訕；

不等式a2在區(qū)間。上有解疝°；

(4)若函數(shù)/(x)在區(qū)間。上不存在最大(小)值，如值域?yàn)?皿〃)，則對(duì)不等式有解問(wèn)題有以下結(jié)

論：

不等式”/(x)(^a<在區(qū)間。上有解oa<"

不等式>>/(x)(或b2/(x))在區(qū)間O上有解加

(5)對(duì)于任意的”川,總存在〃],使得〃%)Vg(%)o〃1MxMg(3)1KH;

(6)對(duì)于任意的％e[a,可，總存在％e[m,n],使得〃%)2g(%)。/(再).2;

(7)若存在/e[a,b],對(duì)于任意的/ejm,n],使得/(%)4g(%)o/(%)1nhi《g^)1nhi;

(8)若存在再e[a,b],對(duì)于任意的々?[m,n],使得"%)2g^)u>"xj1mxg(%)1mlx;

⑼對(duì)于任意的菁e[a,b],x2G[m,〃]使得〃占)Vg(%)o<gHL；

(10)對(duì)于任意的xte[a,b],x2e[m,n]使得“xj2g(%)o2g(%葉;

(11)若存在xe[a,可,總存在々e[m,n],使得Vg(%)oVg(%)1rax

(12)若存在b],總存在々?[m,n],使得g(3)o1mxNg(%)1nto.

[J]

題型一：求函數(shù)的極值與極值點(diǎn)

【典例1-1]“%是函數(shù)”X）的一個(gè)極值點(diǎn)”是“〃尤）在％處導(dǎo)數(shù)為0”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】當(dāng)/（x）=X3時(shí)，r（x）=3x2,則/（x）在x=。處導(dǎo)數(shù)為0,但0不是它的極值點(diǎn)；

當(dāng)〃x）=W時(shí)，則/'（X）在x=0處導(dǎo)數(shù)不存在，但0是它的極值點(diǎn)；

因此題干兩條件是既不充分也不必要條件.

故選：D.

【典例1-2】如圖，可導(dǎo)函數(shù)＞=/（尤）在點(diǎn)尸（飛,〃/））處的切線為/:y=g（x）,設(shè)人（元）=”尤）-g（x）,則

A.3xeR,h(x)>0B.VXGR,/I'(N)VO

c.〃'(%)=O,x=Xo是〃(X)的極大值點(diǎn)D.〃(%0)=0,%=不是/i(x)的極小值點(diǎn)

【答案】C

【解析】因函數(shù)y=/(X)在點(diǎn)P(Xo，〃X。))處的切線為，-/(%)=尸@)57。),

即g(x)=f'(xo)x-xof\xo)+/(x0),則以>)=f(x)-g(x)=f(x)-f'(xo)x+xof'(xo)-f(x0),

于是,"(x)=r(x)--(%)i由圖知，當(dāng)了</時(shí)，戶》>廣(9),此時(shí)/i'(x)>0,

當(dāng)X>/時(shí)，f'(x)</'(X。),此時(shí)h\x)<0.

對(duì)于B項(xiàng)，由上分析，B項(xiàng)顯然錯(cuò)誤；

對(duì)于C,D項(xiàng)，由上分析，當(dāng)苫<七時(shí)，〃(x)單調(diào)遞增；當(dāng)X〉/時(shí)，力(尤)單調(diào)遞減，

即當(dāng)尤=不時(shí)，/z(x)取得極大值，且〃(%)=0,故C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于A項(xiàng)，由上分析x=/時(shí)，力(x)取得極大值〃(%)=0,也是最大值，

則有VxeR,〃0)W0,故A項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

【方法技巧】

1、因此，在求函數(shù)極值問(wèn)題中，一定要檢驗(yàn)方程((x)=0根左右的符號(hào)，更要注意變號(hào)后極大值與

極小值是否與已知有矛盾.

2、原函數(shù)出現(xiàn)極值時(shí)，導(dǎo)函數(shù)正處于零點(diǎn)，歸納起來(lái)一句話：原極導(dǎo)零.這個(gè)零點(diǎn)必須穿越x軸，否

則不是極值點(diǎn).判斷口訣：從左往右找穿越(導(dǎo)函數(shù)與x軸的交點(diǎn))；上坡低頭找極小，下坡抬頭找極大.

【變式1-1](2024.遼寧鞍山二模)/(力=/1的極大值為—.

【答案】4

e

【解析】/'(X)=2xe-A+X2^-e~x^=(2x-x2^e^x=-x(%-2)e-1:,

當(dāng)X?YO,0)(2,+oo)時(shí),/,(x)<0,當(dāng)x?0,2)時(shí)，>0,

故在(-90)、(2,+s)上單調(diào)遞減，在(0,2)上單調(diào)遞增，

故有極大值/⑵=2?e-2=*

，――，4

故答案為：—.

e

【變式1-2](2024?河南?三模)已知函數(shù)/(%)=依-Inx,且了⑺在％=1處的切線方程是％->+匕=。.

⑴求實(shí)數(shù)。，人的值；

⑵求函數(shù)〃%)的單調(diào)區(qū)間和極值.

【解析】(1)因?yàn)?(x)=ox-lnx,所以尸=

又Ax)在x=l處的切線方程為y=x+6,

所以八=f(y)=a=\+b,

解得a=2,b=l.

1Or_1

(2)由(1)可得/(%)=2x—In%定義域?yàn)?O,+8),則廣(%)=2——=——,

XX

當(dāng)時(shí)，尸(x)<0,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(g,+co1時(shí)，f\x)>0,此時(shí)函數(shù)/(無(wú))單調(diào)遞增，

則〃幻在x=；處取得極小值，

所以fM的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為J,

因此極小值為7[g]=l+ln2,無(wú)極大值.

【變式1?3】(2024.北京東城.二模)已知函數(shù)/(x)=xsin2x+cos2x.

⑴求曲線y=在修"TJ處的切線方程；

2冗57r

(2)求函數(shù)/(x)在區(qū)間-y,不上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

【解析】(1)因?yàn)?(%)=xsin2x+cos2%

則/'(%)=sin2x+2%cos2x—2sin2x=2%cos2x-sin2x,

可知切點(diǎn)坐標(biāo)為切線斜率左=1,

所以曲線y=/(x)在卜處的切線方程為了一>+：，即x-y+]=o.

(2)令r=2x,則無(wú)=:1,令g?)=，sinf+cosr,

因?yàn)間(r)的定義域?yàn)镽,且g(T)=:(T)sin(V)+cos(V)=sinf+cosf=g⑺,

可知g⑺為偶函數(shù),

tcost-

2兀5兀4兀5兀

若貝Ijfe

xeT，-6"

取d吟

,構(gòu)建M0=￡cosT-sin.,貝!J(Z)=cost-tsint-cost=-tsint,

當(dāng)fe（O,兀）時(shí)，〃⑺<0；當(dāng)時(shí)，〃⑺>0；

私g）內(nèi)單調(diào)遞增,

可知咐）在（0,兀）內(nèi)單調(diào)遞減，在

4兀2兀73571

則/?(7t)</?(0)=Q,h---1---

32-3

故碎）在（o，g

內(nèi)存在唯一零點(diǎn)辦

當(dāng)f?Ojo)時(shí)，h(t)<0,即g'?)<0；當(dāng)re,,g)時(shí)，/z(r)>0,即g'?)>0；

可知g⑺在（。區(qū)）內(nèi)單調(diào)遞減，在，,內(nèi)單調(diào)遞增,

對(duì)于fe--,y,結(jié)合偶函數(shù)對(duì)稱(chēng)性可知：

g⑺在（。,/°）內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)