2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：重難點突破 數(shù)列的綜合應(yīng)用（十三大題型）（學(xué)生版+解析）

重難點突破01數(shù)列的綜合應(yīng)用

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................3

題型一：數(shù)列在數(shù)學(xué)文化與實際問題中的應(yīng)用........................................3

題型二：數(shù)列不動點與遞推問題....................................................4

題型三：數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題............................................5

題型四：數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用..................................................6

題型五：數(shù)列不等式的證明........................................................7

題型六：公共項問題..............................................................8

題型七：插項問題...............................................................10

題型八：蛛網(wǎng)圖問題.............................................................11

題型九：整數(shù)的存在性問題（不定方程）...........................................12

題型十：數(shù)列與函數(shù)的交匯問題...................................................14

題型十一：數(shù)列與導(dǎo)數(shù)的交匯問題.................................................15

題型十二：數(shù)列與概率的交匯問題.................................................16

題型十三：數(shù)列與幾何的交匯問題.................................................18

03過關(guān)測試....................................................................19

方法技巧旦

1、解決數(shù)列與數(shù)學(xué)文化相交匯問題的關(guān)鍵

I讀懂題意|~4套監(jiān)丟藪孚■花缸膂?「漆播更最：

際上詬n—f由施森丁麗蓬等親藪疥最蜃正裝布戢福派I

I構(gòu).模型L關(guān)系式的模型：

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用福利用所學(xué)知識求解數(shù)列的相關(guān)信息，如求：

出暨里旦「指定項、通項公式或前“項和的公式：

2、新定義問題的解題思路

遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦

事”，逐條分析、運算、驗證，使問題得以解決.

3、數(shù)列與函數(shù)綜合問題的主要類型及求解策略

①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題.

②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項公式、前力項和公式、求和方

法等對式子化簡變形.

注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時要注意這一特殊

性.

4、數(shù)列與不等式綜合問題的求解策略

解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，若是證明題，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、

分析法、放縮法等；若是含參數(shù)的不等式恒成立問題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究最值問題來解決.

利用等價轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為最值問題.

a＞尸(")恒成立oa＞尸(〃)max；

a＜尸⑺恒成立＜=＞a＜F(n)m-a.

5、現(xiàn)實生活中涉及銀行利率、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤、人口增長、產(chǎn)品產(chǎn)量等問題，常?？紤]用數(shù)列

的知識去解決.

(1)數(shù)列實際應(yīng)用中的常見模型

①等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定的數(shù)，則該模型是等差模型，這個固定的數(shù)就是公差；

②等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)，則該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就

是公比；

③遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關(guān)系不固定，隨項的變化而變化，則應(yīng)考慮是第

"項％與第〃+1項an+i的遞推關(guān)系還是前〃項和S“與前〃+1項和S“M之間的遞推關(guān)系.

在實際問題中建立數(shù)列模型時，一般有兩種途徑：一是從特例入手，歸納猜想，再推廣到一般結(jié)論；

二是從一般入手，找到遞推關(guān)系，再進(jìn)行求解.一般地，涉及遞增率或遞減率要用等比數(shù)列，涉及依次增

加或減少要用等差數(shù)列，有的問題需通過轉(zhuǎn)化得到等差或等比數(shù)列，在解決問題時要往這些方面聯(lián)系.

（2）解決數(shù)列實際應(yīng)用題的3個關(guān)鍵點

①根據(jù)題意，正確確定數(shù)列模型；

②利用數(shù)列知識準(zhǔn)確求解模型；

③問題作答，不要忽視問題的實際意義.

6、在證明不等式時，有時把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明，我們稱這

種方法為放縮法.

放縮時常采用的方法有：舍去一些正項或負(fù)項、在和或積中放大或縮小某些項、擴大（或縮小）分式

的分子（或分母）.

放縮法證不等式的理論依據(jù)是：A>B,B>CnA>C；A<B,B<C^A<C.

放縮法是一種重要的證題技巧，要想用好它，必須有目標(biāo)，目標(biāo)可從要證的結(jié)論中去查找.

題型一：數(shù)列在數(shù)學(xué)文化與實際問題中的應(yīng)用

【典例1-1】（2024?重慶九龍坡?三模）正整數(shù)123,…,〃的倒數(shù)的和1+g+:+…+!已經(jīng)被研究了幾百年，

23n

但是迄今為止仍然沒有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，當(dāng)”很大時，

1+工+!+…+」wln"+7.其中/稱為歐拉-馬歇羅尼常數(shù)，0.577215664901…，至今為止都不確定/是

23n

有理數(shù)還是無理數(shù).設(shè)田表示不超過X的最大整數(shù)，用上式計算1+：+：+.一+焉的值為（）

（參考數(shù)據(jù)：In2?0.69,ln3*1.10,lnl0-2.30）

A.10B.9C.8D.7

【典例1-2】（2024?黑龍江佳木斯?三模）《算法統(tǒng)宗》是一部中國古代數(shù)學(xué)名著，全稱為《新編直指算法統(tǒng)

宗》，由明代數(shù)學(xué)家程大位所著.該書在萬歷二十一年（即公元1593年）首次刊行，全書共有17卷.其主

要內(nèi)容涵蓋了數(shù)學(xué)名詞、大數(shù)與小數(shù)的解釋、度量衡單位以及珠算盤式圖和各種算法的口訣等基礎(chǔ)知

識.同時，書中還按照“九章”的次序列舉了多種應(yīng)用題及其解法，并附有圖式說明.此外，《算法統(tǒng)宗》還

包括了難題解法的匯編和不能歸入前面各類別的雜法算法等內(nèi)容.其中有一首詩，講述了“竹筒容米”問

題.詩云：’家有九節(jié)竹一莖，為因盛米不均平，下頭三節(jié)三升九，上稍四節(jié)貯三升，唯有中間兩節(jié)竹，要

將米數(shù)次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明‘（【注釋】三升九：3.9升，次第盛：盛米容積依次相差

同一數(shù)量）用你所學(xué)數(shù)學(xué)知識求該九節(jié)竹一共盛米多少升？（）

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