四川省廣安市2024屆高三二模理科數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

廣安市高2021級(jí)第二次診斷性考試數(shù)學(xué)（理科）本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號(hào)和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)，則（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算結(jié)合模長公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：D.2.某公司收集了某商品銷售收入（萬元）與相應(yīng)的廣告支出（萬元）共10組數(shù)據(jù)（），繪制出如下散點(diǎn)圖，并利用線性回歸模型進(jìn)行擬合.若將圖中10個(gè)點(diǎn)中去掉點(diǎn)后再重新進(jìn)行線性回歸分析，則下列說法正確的是（）A.決定系數(shù)變小 B.殘差平方和變小C.相關(guān)系數(shù)的值變小 D.解釋變量與預(yù)報(bào)變量相關(guān)性變?nèi)酢敬鸢浮緽【解析】【分析】從圖中分析得到去掉點(diǎn)后，回歸效果更好，再由決定系數(shù)，殘差平方和，相關(guān)系數(shù)和相關(guān)性的概念和性質(zhì)作出判斷.【詳解】從圖中可以看出點(diǎn)較其他點(diǎn)，偏離直線遠(yuǎn)，故去掉點(diǎn)后，回歸效果更好，故決定系數(shù)會(huì)變大，更接近于1，殘差平方和變小，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值，即會(huì)更接近于1，由圖可得與正相關(guān)，故會(huì)更接近于1，即相關(guān)系數(shù)的值變大，解釋變量與預(yù)報(bào)變量相關(guān)性變強(qiáng)，故A、C、D錯(cuò)誤，B正確.故選：B.3.的展開式中的系數(shù)為（）A.80 B.40 C.10 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，求得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，結(jié)合通項(xiàng)確定的值，代入即可求解.【詳解】由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，令，可得，所以展開式中的系數(shù)為.故選：B.4.已知數(shù)列滿足，（），則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】列舉出數(shù)列的前幾項(xiàng)，即可找到規(guī)律，從而得解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，，，，又，所以故選：A5.已知，分別為的邊，的中點(diǎn)，若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算，向量坐標(biāo)與終點(diǎn)、始點(diǎn)的關(guān)系可解.【詳解】因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，設(shè)，又，所以即，解得.故選：A6.已知平面區(qū)域圓C：，若圓心，且圓C與y軸相切，則最大值為（）A.10 B.4 C.2 D.0【答案】B【解析】【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用圓與y軸相切，得到在直線上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)利用數(shù)形結(jié)合確定的取值即可得到結(jié)論【詳解】作出如圖所示的可行域（陰影部分），由于圓C與y軸相切，，所以，故在直線上運(yùn)動(dòng)，聯(lián)立得，即，，故當(dāng)最大時(shí)，最大，故當(dāng)圓心在時(shí)，此時(shí)最大時(shí)為3，故的最大值為4，故選：B7.某校甲、乙、丙、丁4個(gè)小組到A，B，C這3個(gè)勞動(dòng)實(shí)踐基地參加實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組選擇一個(gè)基地，則每個(gè)基地至少有1個(gè)小組的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分組分配以及分步乘法技術(shù)原理即可求解個(gè)數(shù),由古典概型概率公式求解即可.【詳解】每個(gè)小組選擇一個(gè)基地，所有的選擇情況有種，每個(gè)基地至少有1個(gè)小組的情況有,故概率為，故選：C8.已知函數(shù)，則下列說法中，正確的是（）A.的最小值為B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位得到【答案】D【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式得，即可根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解ABC，根據(jù)函數(shù)平移，以及誘導(dǎo)公式可判斷D.【詳解】，的最小值為,故A錯(cuò)誤，時(shí)，，所以函數(shù)在不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；，故的圖象關(guān)于對(duì)稱，C錯(cuò)誤，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得，故D正確．故選：D．9.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，EF是的中位線，AC與EF交于點(diǎn)G，已知是繞EF旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形，且．給出下列結(jié)論：①平面；②平面平面；③二面角的平面角是直線OP與平面ABCD所成角的2倍．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為（）A.①②③ B.①② C.①③ D.②③【答案】A【解析】【分析】借助線面平行的判定定理，面面垂直的判定定理與二面角及線面角的定義逐項(xiàng)判斷即可得.【詳解】對(duì)①，由是的中位線，故，又平面，平面，故平面，故①正確；對(duì)②，連接、、，菱形ABCD中，，即，由折疊的性質(zhì)可知，，即，又、平面，，故平面，又平面，故平面平面，故②正確；對(duì)③，連接，由是的中位線，故為中點(diǎn)，故，即，，由，，故為二面角的平面角，由平面平面，故點(diǎn)在平面的投影必在線段上，故為直線OP與平面ABCD所成角，故③正確.故選：A.10.已知函數(shù)，給出下列4個(gè)圖象：其中，可以作為函數(shù)的大致圖象的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】對(duì)的情況進(jìn)行分類討論，借助于導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分析即可判斷函數(shù)的大致圖象.【詳解】由題意知，定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)單調(diào)遞增，可對(duì)應(yīng)①；當(dāng)時(shí)，，令可得：，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)先減后增，且當(dāng)時(shí)，，此時(shí)可對(duì)應(yīng)②；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)先增后減，當(dāng)時(shí)，，且此時(shí)，所以可對(duì)應(yīng)③，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以可對(duì)應(yīng)④.故選：D.11.已知，分別是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，過的直線與圓相切，與C在第一象限交于點(diǎn)P，且軸，則C的離心率為（）A.3 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)得到垂直關(guān)系求得，結(jié)合直角三角形中正切的定義得到關(guān)于的齊次式即可得解.【詳解】設(shè)圓心為，直線與圓相切于點(diǎn)，則故，由于，所以，故，因此在，由，故，即.故選：D12.已知a，b，c均為正數(shù)，且，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】可將所給式子變形成、、，則可構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)研究其交點(diǎn)橫坐標(biāo)，借助函數(shù)單調(diào)性畫出圖象即可得.【詳解】由，可得，由，可得，由可得，令，，故在0,+∞上單調(diào)遞增，令，，故在0,+∞上單調(diào)遞增，令，，故hx在0,+∞上單調(diào)遞減，令，則，則x∈0,1時(shí)，，x∈1,+∞，故在0,1上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞減，，，，，，，，，為函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，為函數(shù)與函數(shù)hx的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，為函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象可得.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于利用所給式子，將其變形成、、，從而可構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)研究其交點(diǎn)橫坐標(biāo)，借助函數(shù)單調(diào)性畫出圖象即可得.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知集合，，，則______．【答案】【解析】【分析】借助集合交并補(bǔ)的概念計(jì)算即可得.【詳解】由，，故，故.故答案為：.14.已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為______．【答案】【解析】【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得.【詳解】，則，又，故切線方程為，即.故答案為：.15.已知等差數(shù)列的公差為，集合有且僅有兩個(gè)元素，則這兩個(gè)元素的積為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個(gè)元素分析、推理作答.【詳解】，則，其周期為，而，即最多3個(gè)不同取值，集合有且僅有兩個(gè)元素，設(shè)，則在中，或，或，又，即，所以一定會(huì)有相鄰的兩項(xiàng)相等，設(shè)這兩項(xiàng)分別為,于是有，即有，解得，不相等的兩項(xiàng)為，故，.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題關(guān)鍵是通過周期性分析得到相等的項(xiàng)為相鄰的兩項(xiàng)，不相等的兩項(xiàng)之間隔一項(xiàng)，從而求得答案.16.一個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面圓都在半徑為2的球體表面上，當(dāng)圓錐的體積最大時(shí)，其側(cè)面積為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)圓錐高為，底面半徑為，推出，求出體積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求解函數(shù)的最值，即可根據(jù)側(cè)面積公式得到結(jié)果．【詳解】設(shè)圓錐高為，底面半徑為，則，，，，令得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，．函數(shù)是減函數(shù)，因此當(dāng)，時(shí)函數(shù)取得極大值也最大值，此時(shí)圓錐體積最大．故側(cè)面積為故答案為：．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.某校在課外活動(dòng)期間設(shè)置了文化藝術(shù)類活動(dòng)和體育鍛煉類活動(dòng)，為了解學(xué)生對(duì)這兩類活動(dòng)的參與情況，統(tǒng)計(jì)了如下數(shù)據(jù)：文化藝術(shù)類體育鍛煉類合計(jì)男100300400女50100150合計(jì)150400550（1）通過計(jì)算判斷，有沒有90%的把握認(rèn)為該校學(xué)生所選擇課外活動(dòng)的類別與性別有關(guān)系？（2）“投壺”是中國古代宴飲時(shí)做的一種投擲游戲，也是一種禮儀．該校文化藝術(shù)類課外活動(dòng)中，設(shè)置了一項(xiàng)“投壺”活動(dòng)．已知甲、乙兩人參加投壺活動(dòng)，投中1只得1分，未投中不得分，據(jù)以往數(shù)據(jù)，甲每只投中的概率為，乙每只投中的概率為，若甲、乙兩人各投2只，記兩人所得分?jǐn)?shù)之和為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附表及公式：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635其中，．【答案】（1）有90%的把握認(rèn)為該校學(xué)生所選擇課外活動(dòng)的類別與性別有關(guān)，（2）分布列見解析，期望為【解析】【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算卡方，即可求解，（2）根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式即可求解概率，進(jìn)而可求解分布列以及期望.【小問1詳解】零假設(shè)沒有90%的把握認(rèn)為該校學(xué)生所選擇課外活動(dòng)的類別與性別有關(guān)，，故有90%的把握認(rèn)為該校學(xué)生所選擇課外活動(dòng)的類別與性別有關(guān)，【小問2詳解】的可能取值為，,，，，，故的分布列為：01234數(shù)學(xué)期望18.如圖，在三棱錐中，M為AC邊上的一點(diǎn)，，，，．（1）證明：平面平面；（2）若直線PA與平面ABC所成角的正弦值為，且二面角為銳二面角，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合題意，借助線面垂直的判定定理與面面垂直的判定定理即可得.（2）借助題目所給線面角，可計(jì)算出各邊長度，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后借助空間向量計(jì)算即可得.【小問1詳解】因在中，，，，所以，又因?yàn)?，所以，則，，在中，由余弦定理可得，所以，于是，，又，，、平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問2詳解】因?yàn)槎娼菫殇J二面角，平面平面，平面平面，過點(diǎn)作平面于點(diǎn)，則點(diǎn)必在線段上，連接，可知為與平面所成的角，在中，，，得，在中，，，得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則有，，，設(shè)平面、平面的法向量分別為m=x1,y1,z1令，，可得，，設(shè)二面角的平面角為，所以，即，故二面角的正弦值為.19.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求角C；（2）若CD是的角平分線，，的面積為，求c的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化角為邊，結(jié)合和差角公式以及弦切互化可得，即可求解，（2）由，可得，根據(jù)等面積法可求，由余弦定理即可求的值．【小問1詳解】由可得故，進(jìn)而，由于所以小問2詳解】由面積公式得，解得，，，即，，又，，．20.在直角坐標(biāo)系中，設(shè)為拋物線：的焦點(diǎn)，為上位于第一象限內(nèi)一點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，的面積為1．（1）求的方程；（2）當(dāng)時(shí)，如果直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率滿足，試探究點(diǎn)到直線的距離的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合題意計(jì)算即可得；（2）設(shè)出點(diǎn)，由題意計(jì)算可得，設(shè)出直線聯(lián)立曲線，借助韋達(dá)定理計(jì)算可得直線恒過定點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離有最大值.【小問1詳解】由題意得，由，，即，從而的面積，則，所以，拋物線的方程為；【小問2詳解】設(shè)（），則，，由，得，即，所以，此時(shí)，由題意可知，斜率必不等于0，于是可設(shè)：，由，可得，上述方程的判別式滿足，即，設(shè)，，根據(jù)韋達(dá)定理有：，，因?yàn)椋?，，于是，所以，，即，故直線的方程為，即，所以直線恒過定點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離有最大值，且最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.21.已知函數(shù)．（1）若在區(qū)間存在極值，求的取值范圍；（2）若，，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）對(duì)分類討論研究單調(diào)性后，結(jié)合極值的定義計(jì)算即可得；（2）設(shè)，原問題即為gx>0在x∈0,+∞時(shí)恒成立，多次求導(dǎo)后，對(duì)時(shí)及時(shí)分類討論，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理與函數(shù)的單調(diào)性即可得解【小問1詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，f′x>0，則單調(diào)遞增，不存在極值，當(dāng)時(shí)，令，則，若，則f′x<0，若，則f′x>0，所以是的極小值點(diǎn)，因?yàn)樵趨^(qū)間0,1存在極值，則，即，所以，在區(qū)間0,1存在極值時(shí)，取值范圍是；【小問2詳解】由在x∈0,+∞即在x∈0,+∞設(shè)，則gx>0在x∈0,+∞時(shí)恒成立，令，則，令，則，x∈0,1時(shí)，，則，時(shí)，，則，所以x∈0,+∞時(shí)，，則即單調(diào)遞增，所以，則即單調(diào)遞增，所以，①當(dāng)時(shí)，，故x∈0,+∞，，則單調(diào)遞增，所以，所以在x∈0,+∞②當(dāng)時(shí)，，，故在區(qū)間上函數(shù)存在零點(diǎn)，即，由于函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，則x∈0,x0故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)x∈0,x0綜上所述，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問關(guān)鍵點(diǎn)在于多次求導(dǎo)后，得到，從而通過對(duì)及進(jìn)行分類討論.（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為