2023年流體力學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

流體力學(xué)

11.1流體的基本性質(zhì)

1）壓縮性

流體是液體與氣體的總稱。從宏觀上看，流體也可當(dāng)作一種持續(xù)媒質(zhì)。與

彈性體相似，流體也可發(fā)生形狀的變化，所不一樣的是靜止流體內(nèi)部不存在

剪切應(yīng)力，這是由于假如流體內(nèi)部有剪應(yīng)力口勺話流體必然會(huì)流動(dòng)，而對(duì)靜止口勺流

體來(lái)說(shuō)流動(dòng)是不存在的。如前所述，作用在靜止流體表面的壓應(yīng)力的變化會(huì)引起

流體的體積應(yīng)變，其大小可由胡克定律

..Av

Ap=-K---

V

描述。大量日勺試驗(yàn)表明，無(wú)論氣體還是液體都是可以壓縮日勺，但液體的可壓

縮量一般很小。例如在500個(gè)大氣壓下，每增長(zhǎng)一種大氣壓，水H勺體積減少許不

到原體積的兩萬(wàn)分之一。同樣的條件下，水銀的體積減少許不到原體積的百萬(wàn)分

之四。由于液體的壓縮量很小，一般可以不計(jì)液體日勺壓縮性。氣體的可壓縮性體

現(xiàn)口勺十分明顯，例如用不大的力推進(jìn)活塞就可使氣缸內(nèi)口勺氣體明顯壓縮。但在可

流動(dòng)的狀況下，有時(shí)也把氣體視為不可壓縮的，這是由于氣體密度小在受壓時(shí)體

積尚未來(lái)得及變化就已迅速地流動(dòng)并迅速到達(dá)密度均勻。物理上常用馬赫數(shù)M

來(lái)鑒定可流動(dòng)氣體的壓縮性，其定義為M二流速/聲速，若M2<<1,可視氣體為不

可壓縮日勺。由此看出，當(dāng)氣流速度比聲速小許多時(shí)可將空氣視為不可壓縮的，而

當(dāng)氣流速度靠近或超過(guò)聲速時(shí)氣體應(yīng)視為可壓縮H勺?？傊趯?shí)際問(wèn)題中若不考慮

流體時(shí)可壓縮性時(shí)，可將流體抽象成不可壓縮流體這一理想模型。

2）粘滯性

為理解流動(dòng)時(shí)流體內(nèi)部日勺力學(xué)性

質(zhì)，設(shè)想如圖10.1.1所示口勺試驗(yàn)。在

兩個(gè)靠得很近的大平板之間放入流

體，下板固定，在上板面施加一種沿

流體表而切向日勺力F。此時(shí)上板面下

的流體將受到一種平均剪應(yīng)力F/AH勺作用，式中A是上板的面枳。

試驗(yàn)表明，無(wú)論力F多么小都能引起兩板間日勺流體以某個(gè)速度流動(dòng)，這正是流

體日勺特性，當(dāng)受到剪應(yīng)力時(shí)會(huì)發(fā)生持續(xù)形變并開(kāi)始流動(dòng)。通過(guò)觀測(cè)可以發(fā)現(xiàn)，在

流體與板面直接接觸處H勺流體與板有相似的速度。若圖10.1.1中H勺上板以速度u

沿x方向運(yùn)動(dòng)下板靜止，那么中間各層流體H勺速度是從0（下板）至h（上板）的

一種分布，流體內(nèi)各層之間形成流速差或速度梯度。試驗(yàn)成果表明，作用在流體

上口勺切向力F正比與板的面積和流體上表面口勺速度u反比與板間流體的厚度/,因

此F可寫(xiě)成

因而流體上表面H勺剪應(yīng)力可以寫(xiě)成

1。

式中%是線段ab繞a點(diǎn)的角速度或者說(shuō)是單位時(shí)間內(nèi)流體的角形變。若用微

分形式表達(dá)更具有普遍性，這時(shí)上式可以改寫(xiě)成

du

T=LI------

dl,

mdU…

dF=Li----dA

或

dlo

上式就是剪應(yīng)力所引起的一維流體角形變關(guān)系式，比例系數(shù)日稱為流體的粘滯

系數(shù)，上式叫做牛頓粘滯性定律?？跒槌?shù)日勺流體稱為牛頓流體，它反應(yīng)了切應(yīng)

力與角形變是線性關(guān)系，口不是常數(shù)日勺流體稱為非牛頓流體。

流體歐J粘滯系數(shù)N是反應(yīng)流體粘滯性的大小日勺物理量，在國(guó)際單位制中，粘

滯系數(shù)H勺單位是牛頓?秒/米2。所謂粘滯性是指當(dāng)流體流動(dòng)時(shí)，由于流體內(nèi)各流動(dòng)

層之間日勺流速不一樣，引起各流動(dòng)層之間有障礙相對(duì)運(yùn)動(dòng)的內(nèi)“摩擦”，而這個(gè)內(nèi)

摩擦力就是上式中口勺切向力，物理學(xué)中把它稱為粘滯阻力。因此上式實(shí)際上是流

體內(nèi)部各流動(dòng)層之間的粘滯阻力。

試驗(yàn)表明，任何流體流動(dòng)時(shí)其內(nèi)部或多或少口勺存在粘滯阻力。例如河流中心的

水流動(dòng)的較快，而靠近岸邊的水卻幾乎不動(dòng)就是水口勺粘滯性導(dǎo)致時(shí)。在實(shí)際處

理流體的流動(dòng)問(wèn)題時(shí)，若流動(dòng)性是重要日勺粘滯性作用影響不大，則可認(rèn)為流體

是完全沒(méi)有粘滯性H勺，這種理想的模型叫做非粘滯性流體。

3）壓力與壓強(qiáng)

從前面日勺討論懂得靜止流體表面上沒(méi)有剪應(yīng)力，因此容器壁作用在靜止流體

表面上的力是與液體表面正交口勺，按牛頓第三定律流體作用在容器壁上口勺力也與

容器壁表面正交，這一點(diǎn)對(duì)靜止液體內(nèi)部也成立。在靜止液體內(nèi)過(guò)某一點(diǎn)作一假

想平面，平面一方流體作用該平面日勺力也總是垂直于該假想平面。流體表面與流

體內(nèi)各點(diǎn)H勺壓力一般是不一樣樣的，在流體表面壓力的I方向只能是垂直于液體表面

,而流體內(nèi)部某點(diǎn)的壓力沿各個(gè)方向均有，由于過(guò)流體內(nèi)部一點(diǎn)我們可以取任意

方向日勺平面。在流體力學(xué)中為了描述流體內(nèi)部日勺作用力，引入一種叫做壓強(qiáng)的物

理量，規(guī)定壓強(qiáng)是作用于流體內(nèi)單位面積上垂直力的數(shù)值，它是一標(biāo)量。為了計(jì)

算流體內(nèi)某一點(diǎn)口勺壓強(qiáng)，我們應(yīng)當(dāng)設(shè)想通過(guò)該點(diǎn)的假想平面As是無(wú)限小的，若該

面上口勺正壓力為AF,則定義該點(diǎn)口勺壓強(qiáng)

AF

p=lrim——

A。ASO

在國(guó)際單位制中壓強(qiáng)歐J單位是牛頓/米2,也稱為帕用Pa表達(dá)。在實(shí)際應(yīng)用中壓

強(qiáng)也有用等價(jià)歐I流體柱高表達(dá)的，如醫(yī)用測(cè)量血壓的儀器就是用水銀柱高作為壓

強(qiáng)H勺單位。流體力學(xué)中壓強(qiáng)是標(biāo)量但力是矢量，面元H勺法向也是矢量。既然流體

內(nèi)部的力總是垂直于假想平面，因此可定義流體內(nèi)某點(diǎn)力的方向與它所作用平面

的內(nèi)法線方向一致，這樣作用流體內(nèi)任一面元上的力AF可寫(xiě)成dF=-pdso由于

流體內(nèi)部每一點(diǎn)均有壓強(qiáng)因此說(shuō)流體內(nèi)每一點(diǎn)都存在壓力，至于壓力的方向由所

考慮平面的法線決定，可以是任何口勺方向，當(dāng)流體流動(dòng)時(shí)壓強(qiáng)與壓力的關(guān)系不變。

4）流體的密度和比重

在流體力學(xué)中常用密度來(lái)描述流體的）動(dòng)力學(xué)規(guī)律，其定義和固體定義同樣為

單位體積流體的J質(zhì)量，即流體內(nèi)某點(diǎn)的密度為

「Amdm

p=lim-----=——

AV->O

Avdvo

對(duì)均勻不可壓縮H勺流體密度是常數(shù)，一般狀況下流體內(nèi)部各點(diǎn)H勺密度是不相似

的。單位體積流體的重量稱為流體的比重。設(shè)想在流體內(nèi)部取一小體積△▽，Av

中包括流體H勺質(zhì)量為Am,因而Av內(nèi)流體區(qū)J重量為Amg,由定義該流體區(qū)I比重

Amg

Y=lrim——-=pg

Av<-0Av

11.2流體靜力學(xué)方程

1）靜止流體內(nèi)任一點(diǎn)的壓強(qiáng)

靜止流體內(nèi)過(guò)一點(diǎn)可以沿許多不一樣的方向取面元，目前來(lái)研究這些不一樣

取向的面元上壓強(qiáng)有什么關(guān)系。在靜止日勺流體內(nèi)部取一種很小的四面體ABC包圍

該點(diǎn)，如圖1021所示c設(shè)面元ABC法線H勺方向余弦為a、［3、

Y，周圍流體對(duì)該點(diǎn)作用力（壓力）可以用壓強(qiáng)Pl、P2、P3和

P表達(dá)，當(dāng)流體靜止時(shí)所受到口勺合外力為零，即

PASCOB-PASABCa=0

,P2ASOAC-PASABC-0=0

P3ASOAB-PASABC-y=0

由于

△SABC,a=ASCOB

'ASABC=AS°AC

.△SABC.y=ASOAB

由上式得到

P=Pl=P2=P3o

由于四面體是任意選用H勺，于是我們可以得出結(jié)論：靜止流體內(nèi)部任一點(diǎn)上

沿各個(gè)方向的壓強(qiáng)都相等，與過(guò)這點(diǎn)所取面元法線口勺方向無(wú)關(guān)。正由于如此，流

體力學(xué)中壓強(qiáng)只與流體內(nèi)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)而不必強(qiáng)調(diào)壓強(qiáng)是對(duì)哪一種面的。

2）流體靜力學(xué)方程

處理流體靜力學(xué)問(wèn)題時(shí)，常常取流體內(nèi)部一-種小流體元作為研究對(duì)象。作

用在小流體元上的力大體可分為兩類。一類是作用在小流體元外表面上的壓力，

我們稱之為面力，如液體表面日勺正壓力Pds。另一類是作用在整個(gè)小流體元上與

流體元日勺體積成正比的力，如重力pgdv、慣性力等，我們稱為體力。下面從牛頓

定律出發(fā)推導(dǎo)流體靜力學(xué)滿足的普遍方程。當(dāng)流體處在靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，流體內(nèi)任一

小流體元受到的面力與體力之和必然為零，即平衡條件為

ZF面+ZF體=0

O

f占

與壓強(qiáng)類似，我們引入一種體力密度dv,它

表達(dá)作用在單位體積流體上的體力。例如在只有重力

作用下，體力密度擔(dān)勺大小就是比重陛，方向沿重力方

向，而在慣性力的作用下，體力密度就是f=—pa。為

了建立流體靜力學(xué)方程，我們?cè)陟o止流體內(nèi)部取如圖1022所示的立方體流體元,

根據(jù)平衡條件有

PxASyz-(Px+APx)ASyz+Zf'Av=0

PyAS"—(Py+2^\)八50+ZfyAv=0

PzASxy-(Pz+APz)ASxy+ZfzAv=0

整頓后得

—APx.ASyz+Zf0v=O

一APyAs^+ZfyAv=0

一卸2樂(lè)丫+ZfzAv=0

運(yùn)用

△p、—=A…七

AAAPyAA9A

△Py.AS"=—^-As^Ay=—^-Av,

.AyAy

△Pz.As.=W?ASxy?Az=W?Av,

AzAz

可將前式簡(jiǎn)化成

△Px

+Ef)-Av=O

Axx

△Py

+￡fy)?AV=O

△y

維+Zfz)-Av=O

Azz

顯然體積AvWO,因此只能是

-羋+〃=0，-卓+「=0,-普+。=。

AxAy"

在上面日勺式子中取極限Ax—°，Ayf°，AzTo,就可得靜止流體內(nèi)

任一點(diǎn)都

必須滿足口勺方程

啜+江=。-凱西=。，卷+小=。

借助梯度算符

V=2在亙j+

dxdy

上式可以改寫(xiě)成更簡(jiǎn)潔的形式

Ef=vP

這就是流體靜力學(xué)的普遍方程，它表明若流體內(nèi)任一點(diǎn)的總體力密度等于該

點(diǎn)

處壓強(qiáng)的梯度則流體一定處在靜止?fàn)顟B(tài)。

3）重力場(chǎng)中流體內(nèi)部壓強(qiáng)分布

i）液體：我們先來(lái)討論靜止液體內(nèi)部的壓強(qiáng)分布。設(shè)

液體日勺密度為p放置在一長(zhǎng)方

形的容器內(nèi)，液面日勺柱面高為Z0,液體表面內(nèi)壓強(qiáng)為Po

如圖10.2.3所示。

在重力場(chǎng)中液體受到的體力密度為一pgk,由流體靜

力學(xué)普遍方程得

Sp6p3p

—=0,—=0,—=-pg

dxdydz

由上述方程知液體內(nèi)部壓強(qiáng)與坐標(biāo)x、y無(wú)關(guān)，只是深度日勺函數(shù)。積分第三

式得

p=-pgz+c,

當(dāng)z=zo時(shí)P=Po/"=Po+pgzo,因此液體內(nèi)部壓強(qiáng)隨深度變化的J關(guān)系為

P=pg(zo-z)+Po=pgh+Po.

式中h為液面下的深度。上式表明靜止液體內(nèi)部日勺壓強(qiáng)只與距離液面下的

深度

有關(guān)與液體內(nèi)部水平位置無(wú)關(guān)。

ii）氣體：目前來(lái)討論重力場(chǎng)中空氣壓強(qiáng)隨高度變化的規(guī)律。為簡(jiǎn)樸起見(jiàn),

假

定空氣FI勺溫度是不隨高度變化的并且空氣可以當(dāng)作理想氣體。假如在地

面處

空氣日勺壓強(qiáng)為Po、密度為po,則理想氣體的狀態(tài)方程可表達(dá)成

工堞

pPoo

以地面為坐標(biāo)系原點(diǎn)所在處，Z軸垂直地面向上，由流體靜力學(xué)方程

dp=-pgdz,o

將理想氣體狀態(tài)方程代入上式消除p得到

八八

dp=——PP°gdz

Po

分離變最后

LnR二-腌z

完畢上面的積分得P。P。

因此壓強(qiáng)隨高度日勺變化

p=poexp[-pgz/po]j,

這表明空氣壓強(qiáng)隨高度日勺變化滿足波爾茲曼分布。

4）帕斯卡原理

假如將不可壓縮液體放在一種密閉口勺容器內(nèi)，容器上端與一種可移動(dòng)的

活

塞相連。當(dāng)活塞對(duì)液體表面施加的壓強(qiáng)為Po時(shí)，按照重力場(chǎng)中液體內(nèi)部

壓強(qiáng)

公式，在液面卜深度為h處II勺壓強(qiáng)為

P=Po+pgho

假如把活塞對(duì)液體表面的壓強(qiáng)增大至Po+APo,液面下h深處日勺壓強(qiáng)也會(huì)變

化，

按照液體內(nèi)部壓強(qiáng)公式，此時(shí)液體下h深處口勺壓強(qiáng)變?yōu)?/p>

P'=P（）+AP+pgh=P+AP

（）（）o

這就是說(shuō)當(dāng)液體表面壓強(qiáng)增長(zhǎng)AP。時(shí)液體內(nèi)任一點(diǎn)（h是任意）日勺壓強(qiáng)也增

大了

APo,因此可以形象地說(shuō)不可壓縮液體可將作用在其表面啊壓強(qiáng)傳遞到液

體

內(nèi)的各個(gè)部份包括寄存液體的器壁，這?結(jié)論稱之為帕斯卡原理，是初期

由

帕斯卡從試驗(yàn)中總結(jié)出來(lái)日勺，從現(xiàn)代觀點(diǎn)看它是流體靜力學(xué)方程日勺一種椎

論。

5）阿基米德定律

任何形狀n勺物體置于密度為P口勺液體中都會(huì)受到液體口勺浮力，浮力［I勺大

小等

于物體排開(kāi)液體日勺重量。這是一種試驗(yàn)規(guī)律稱為阿基米德定律。從現(xiàn)代

觀點(diǎn)

看，它也是流體靜力學(xué)方程的推論。

如圖1024所示，物體完全浸沒(méi)在密度為plKj液體

中。由于物體在液體中處

于平衡狀態(tài)，因此它受到日勺浮力與同體積的液體所受

到合外力相似，這樣我們可以將此物體用同體積的液體

置換，置換部份液體受到H勺重力是-pgdv。耍使液體保持

平衡，周圍的液體必然對(duì)它有一種向上H勺面力（浮力）作用于它。由流體靜

力學(xué)方程

-pgk=Vp

dpdFdF

—pg=—=---------=—

得dzdxdydzdv

或者。

dF=-pgdv積分后得Ff,=F2-Fi=-pgv.于是得到浮力大小

F浮=FLF2=pgv

這就是說(shuō)浮力是鉆直向上的其大小等于物體排開(kāi)液體日勺重量。

例一；在密閉的容器內(nèi)盛滿密度為pi歐I液缽，在液體中浸放一長(zhǎng)為L(zhǎng)、密

度為

p2的l物體，如圖10.2.5所示。設(shè)p2<pi,則它必然浮于液體表面，當(dāng)容器以

加

速度a向前運(yùn)動(dòng)時(shí)物體相對(duì)液體向哪一方向運(yùn)動(dòng)？

解：為了弄清物體向哪個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，先用同體積的液體

置換物體。容器運(yùn)動(dòng)時(shí)，置換部分的液體必然與其他部份

保持平衡。若將容器取為參照系，可運(yùn)用流體靜力學(xué)方程

求H1液體整體運(yùn)動(dòng)時(shí)內(nèi)部壓力分布。

由f=Vp,

f慣=2，黑="重力

得dxdy

由于無(wú)沿y方向運(yùn)動(dòng)H勺也許性，故只討論上式的第一種方程，其中

f產(chǎn)—pia

因此液體內(nèi)部沿x軸壓強(qiáng)分布為p=-piax+c（c為常量），置換液體相對(duì)其他

部份液體靜止時(shí)兩端口勺壓強(qiáng)差為即=piLa,對(duì)應(yīng)的壓力差為AF=piav（v為置換部

份口勺體積），在所選擇仙J參照系看來(lái)，合外力E=AF+F懼=piav-piav=0,液體相對(duì)

靜止。對(duì)實(shí)際物體來(lái)說(shuō)，受到的慣性力為-p2av,而物體兩端的J壓力差不變

仍然為AF,因此實(shí)際物體受至IJ的合夕卜力F'=AF+F?=piav-p2av>（）,由此可知，實(shí)

際物體必然會(huì)相對(duì)液體沿x軸方向運(yùn)動(dòng)。

例二；密度為P日勺不可壓縮液體置于一開(kāi)口的圓柱形容器

內(nèi)，若此容器繞對(duì)稱軸作高速旋轉(zhuǎn)，求液體內(nèi)壓強(qiáng)分布和液

體表面H勺形狀。

解：以容器為參照系，此時(shí)流體內(nèi)任一流體元都受到

重力與慣性力的作用，

對(duì)應(yīng)H勺體力密度為pgk和-pa。由流體靜力學(xué)方程

Vp=-pgk-pa=-pgk+pco2xi+pco2yj

得至1J

5P29p2

—=pojx,—=pcoy,

因此有

22

dx+—dy+一dz=pcoxdx+pcoydy-pgdz

6x6y6z

=—pco2d(x24-y2)-pgdz=—pco2dr2-pgdz,

積分后得

p=—pco-r-pgz+c

如附圖10.2.6所示，當(dāng)r=0時(shí),z=h,p=po（po是液體表面的壓強(qiáng)），因此c=po

+pgh,

最終求得液體內(nèi)壓強(qiáng)分布

p①2/L\

P=Po+虧r-pg(z-h)

o

又取液體表面上任一點(diǎn)為研究對(duì)象，由于流體相對(duì)坐標(biāo)系處在靜止?fàn)顟B(tài),

液體

表面上任一點(diǎn)口勺合力必然沿曲線的法線方向或者說(shuō)曲線的斜率滿足下式

dz八parrarr

drPggo

積分后

32r2

z=------+c

2g,

當(dāng)r=0時(shí)z=h,故c=h。最終得到液體表面日勺曲線方程

29

3r1

z=-------bh

2g.

由此式懂得液體表面為一旋轉(zhuǎn)拋物線。

11.3流體運(yùn)動(dòng)學(xué)描述

1）流體運(yùn)動(dòng)分類

流體流動(dòng)H勺分類有許多種，這里簡(jiǎn)介常常碰到H勺幾種。

理想流體；流體流動(dòng)過(guò)程中不計(jì)流體的內(nèi)摩擦力，不計(jì)流體的體積壓縮，把

流體當(dāng)作是無(wú)粘滯性、不可壓縮的理想模型，因此理想流體日勺流動(dòng)過(guò)程是無(wú)能耗

的可逆過(guò)程。穩(wěn)定流動(dòng)；流體內(nèi)任何一點(diǎn)的物理量不隨時(shí)間變化的流動(dòng)稱為穩(wěn)定

流動(dòng)，這意味著穩(wěn)定流動(dòng)過(guò)程中，流體內(nèi)任一點(diǎn)『、J流速、密度、溫度等物理量不

隨時(shí)間變化。

例如在穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，假如流體內(nèi)某點(diǎn)日勺速度是沿x軸方向，其量值為3cm/s,則

在流體后來(lái)日勺流動(dòng)中該點(diǎn)的流速永遠(yuǎn)保持這個(gè)方向與量值。若用v、p、T分別表

3Vdp5T八

達(dá)流體內(nèi)部速度、密度以及溫度日勺分布，則穩(wěn)定洸動(dòng)時(shí)滿足5t6toto

史=0

反之若流體內(nèi)任一點(diǎn)的速度不滿足5t就說(shuō)流動(dòng)不是穩(wěn)定的），例如變速水泵

噴出的水流就是如此。

均勻流動(dòng)：流體流動(dòng)過(guò)程中假如任意時(shí)刻流體內(nèi)空間各點(diǎn)速度矢量完全相

史=0

似，不隨空間位置的變化就稱流動(dòng)是均勻口勺。用公式表達(dá)可寫(xiě)成31，其中/

表達(dá)沿任意方向求導(dǎo)數(shù)。反之，若某一時(shí)刻流體內(nèi)部各點(diǎn)的速度不全相似的流動(dòng)

稱為非均勻流動(dòng)。例如流體以恒定速率通過(guò)一均勻長(zhǎng)管日勺流動(dòng)是穩(wěn)定日勺均勻流

動(dòng)，而流體以恒定速率通過(guò)一喇叭形長(zhǎng)管的流動(dòng)是穩(wěn)定日勺非均勻流動(dòng)，流體加速

通過(guò)一喇叭形長(zhǎng)管H勺流動(dòng)是不穩(wěn)定的非均勻流動(dòng)。

層流與湍流；在流體流動(dòng)過(guò)程中假如流體內(nèi)的所有微粒均在各自的層面上作

定向運(yùn)動(dòng)就叫做層流。由于各流動(dòng)層之間的速度不一樣樣，因此各流動(dòng)層之訶存

在阻礙相對(duì)運(yùn)動(dòng)的內(nèi)摩擦，這個(gè)內(nèi)摩擦力就是粘滯力它滿足牛頓粘滯性定律。層

流在低粘滯性，高速度及大流量的狀況下是不穩(wěn)定日勺，它會(huì)使各流動(dòng)層之間日勺微

粒發(fā)生大量H勺互換從而完全破壞流動(dòng)層，使流體內(nèi)日勺微粒運(yùn)動(dòng)變得不規(guī)則，這種

現(xiàn)象叫做湍流，湍流發(fā)生時(shí)流體內(nèi)有很大的縱向力（垂直流動(dòng)層的力），引起更

多口勺能量損耗。

有旋流動(dòng)：在流體的某一區(qū)域內(nèi)，假如所有微粒都繞著某一轉(zhuǎn)軸作旋轉(zhuǎn)就稱

流體是作有旋流動(dòng)。最直觀歐I有旋流動(dòng)是渦流，但不是僅僅J

「A

只有渦流才是有旋流動(dòng)，物理上判斷流體與否作有旋流動(dòng)是__廣

---------A

用所謂日勺環(huán)量來(lái)刻畫(huà)的。設(shè)想在流體內(nèi)10.3.0

取一任意日勺閉合回路C,將流速V沿此回路日勺線積分定義為環(huán)量「，用公式表

達(dá)就是

屋=v?dl=Jvcos0dl

cc。

流體內(nèi)部環(huán)量不為零的流動(dòng)叫做有旋流動(dòng)，環(huán)量到處為零口勺流動(dòng)稱為無(wú)旋流

動(dòng)。按照上面的定義，層流也是有旋流動(dòng)，參見(jiàn)圖10.3.0。

2）流線與流管

研究流體的運(yùn)動(dòng)，可以觀測(cè)流體內(nèi)微粒通過(guò)空間各點(diǎn)時(shí)區(qū)I流速。一般狀況

下，流體內(nèi)各點(diǎn)的速度是隨時(shí)間和空間位置變化的，因此流體內(nèi)各點(diǎn)的速度分布

是時(shí)間與空間的I函數(shù)，即

V=V(X,y,z,t)o

物理學(xué)中常把某個(gè)物理量的時(shí)空分布叫做場(chǎng)，因此流體內(nèi)各點(diǎn)流速分布就可

以當(dāng)作速度場(chǎng)。描述場(chǎng)的幾何措施是引入所謂H勺場(chǎng)線，就像靜電場(chǎng)中引入電力線,

磁場(chǎng)中引入磁力線同樣，在流速場(chǎng)中可以引入流線。流線是這樣規(guī)定日勺，流線為

流體內(nèi)日勺一條持續(xù)日勺有向曲線，流線上每一點(diǎn)日勺切線方向代表流體內(nèi)微粒通過(guò)該

點(diǎn)時(shí)的速度方向，圖10.3.1(a)給出了幾種常見(jiàn)的流線。

一般狀況卜空間各點(diǎn)的流速隨時(shí)間t變化，因此流線也是隨時(shí)間變化的。由

于流線分布與一定口勺瞬時(shí)相對(duì)應(yīng)

(參見(jiàn)圖10.3.1(c)),因此在一般狀況

下，流線并不代表流體中微粒運(yùn)動(dòng)的軌道,

只有在穩(wěn)定流動(dòng)中，流線不隨時(shí)間變化，此

時(shí)流線才表達(dá)流體中微粒實(shí)際通過(guò)的行跡。

10.3.1

此外，由于流線的切線表達(dá)流體內(nèi)微粒運(yùn)動(dòng)

的方向，因此流線永遠(yuǎn)不會(huì)相交，由于假如流線在空間某處相交就表達(dá)流體中的

微粒通過(guò)該點(diǎn)時(shí)同步具有兩個(gè)不一樣的速度，這當(dāng)然是不也許的。

假如在流體內(nèi)部取一微小的封閉曲線，通過(guò)曲線上各點(diǎn)的流線所圍成的

細(xì)管就稱為流管，如圖10.3.1(b)所示。由于流線不會(huì)相

交，因此流管內(nèi)、外內(nèi)流體都不具有穿過(guò)流管的速度，也就

是說(shuō)流管內(nèi)部的流體不能流到流管外面，流管外H勺流體也不

能流入流管內(nèi)。

3）流量

流體力學(xué)中用流量來(lái)描述流體流動(dòng)的快慢，工業(yè)上也稱流量為排泄量。設(shè)想在流

體內(nèi)部截取一種面A,定義單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)截面A流體的體積為通過(guò)截面A的（體

積）流量。如圖10.3.2.所示，在流體內(nèi)部取一小面元dA通過(guò)它日勺邊界作一流管，

在流管上截取長(zhǎng)度為流速v的一段體積，由于單位時(shí)間內(nèi)該體積內(nèi)的流體會(huì)所有

通過(guò)面元dA,因此通過(guò)面元dA『、J流量就是dQ=vcosOdA。假如把面元定義為矢

量，取其外法線方向?yàn)槊嬖狧勺正方向即dA=dAn,那么通過(guò)面元dA的流量可以表

達(dá)成dQ=v.dA,而通過(guò)整個(gè)截面A的流量就可以表達(dá)成更簡(jiǎn)潔日勺形式

Q=JdQ=JvcosOdA=Jv?dA

AAA

11.4流體力學(xué)基本方程

1)一般方程

在流體內(nèi)沿流管截取一小流體元，設(shè)在I時(shí)刻小流體元占有體積為V,邊界為S。

按照它的體形在速度場(chǎng)中選用一假想體積，使得在I時(shí)刻假想體積與截取流體元

的體積完全一致如圖1041(a)所示。圖中虛線表達(dá)實(shí)際的流體元，實(shí)線表達(dá)假

想的體積。流體會(huì)流動(dòng)，其體積與假想體積之間

-1

1

假象體積：1

會(huì)發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)變成圖10.4.1.(b)所示的狀I(lǐng)II;1T1T

I'IV?

況。流體元的一部分會(huì)穿出假想體積元的邊界，時(shí)刻io,4.

而周圍日勺流體會(huì)流入假想日勺體積元，使假想體積內(nèi)有流體流入也有流體流出。

設(shè)N是流體元所攜帶日勺某種物理量的總量，它可以是質(zhì)量、動(dòng)量，或者是能量。

n是單位體積流體中這種物理量的含量或者說(shuō)是NH勺密度。我們來(lái)考察流體流動(dòng)

時(shí)，物理量N隨時(shí)間日勺變化規(guī)律。注意到在t+及時(shí)刻流體元占據(jù)的體積是O+IV,

而在t時(shí)刻占據(jù)日勺體積是I或II+HI,因此在t到t+加時(shí)間內(nèi)流體元所攜帶物理量N的!

變化量

N+&-N=[Jndv+JndV'+出-[Jndv]t

II【VI

在上式右側(cè)加上零因子

Undvjt+At-[jndV]t+At

inin

重新組合，然后除以出得

上式口勺第一部分

jr)dV_jr)dV>/dt=—jr|dV

Lil+dtLi

是單位時(shí)間內(nèi)假想體積內(nèi)流體所攜帶N量的變化率。第二部分的第一、二項(xiàng)分

別為

UndV]t+dt[fndv]t+dt

—=1釉邊界川vdA,-一=-1_

dA

,表達(dá)單位時(shí)間內(nèi)流入流出假象邊界口勺物理量N,它10.4.2

們可以用密度n對(duì)流量的積分給出。選擇假想體積邊界

面的外法線為正方向，如圖10.4.2,上兩式合起來(lái)就是

J假象邊界nv,dA。將上面口勺成果代回方程得到

dN_ar.r"

—stJ假想體積n"+J假想邊界n,y?dA

o

上式闡明流體元日勺某個(gè)物理量N隨時(shí)間的變化可以化為假想體積內(nèi)流體的物

理

量N隨時(shí)間的變化，即等于假想體積內(nèi)N對(duì)時(shí)間的變化率（偏導(dǎo)數(shù)）加上從該

體

積邊界流入N量的凈增長(zhǎng)值。這是流體動(dòng)力學(xué)的一種普遍規(guī)律，由此可以推出

流

體動(dòng)力學(xué)H勺幾種重要方程。

2）持續(xù)性方程

若考察流體流動(dòng)過(guò)程中質(zhì)量變化規(guī)律，取N=m,這時(shí)n=P。由于流體流動(dòng)

駟=0

過(guò)程中質(zhì)量不變出,一般方程式化為

°

出J假想體積PdV+/假想邊界pv?dA=0

o

這就是流體力學(xué)日勺持續(xù)性方程（積分形式），它是以質(zhì)量守恒出發(fā)得到日勺，

其意義為在一種假想體積中，流體H勺質(zhì)量隨時(shí)間的變化等于單位時(shí)間從其邊界流

入該體積的凈質(zhì)量。運(yùn)用體積分化為面積分日勺公式

jV（pv）dV=jpv?dA

vs

持續(xù)性方程可化為

f—p.dV+|V(pv)dV=0

vStv

+V(pv)]dV=0

即

由于dVwO,因此只能

*pv)=。

上式就是持續(xù)性方程的微分形式，它對(duì)流體內(nèi)任一點(diǎn)都成立。

3）能量方程

假如我們討論流體H勺能量變化，可取N二E,此時(shí)n=Pe,式中e為單位質(zhì)量

流體

的能量。由一般方程式得

dEd

了二觀/f假想體積PedV+Jr假想邊界Pev?dA

9

上式就是流體內(nèi)部能量滿足口勺方程。它表達(dá)流體能量隨時(shí)間日勺變化可由假想

體積內(nèi)流體能量隨時(shí)間口勺變化與單位時(shí)間從邊界流入假想體積內(nèi)的凈能量確定。

4）動(dòng)量方程

假如我們討論的是流體動(dòng)量怎樣隨時(shí)間變化，可取N二p,此時(shí)”=pv。

將此關(guān)

系代入一般方程可得流體力學(xué)日勺動(dòng)量方程

三=及J假想體積PV,dV+J假想邊界pv（v.dA）

其意義為流體日勺動(dòng)量隨時(shí)間H勺變化率等于假想體積內(nèi)流體的動(dòng)量隨時(shí)訶的

變化加上從假想體積邊界流入該體積中口勺凈動(dòng)量。

5）方程的應(yīng)用

i）作為持續(xù)性方程的應(yīng)用，考慮在流管中穩(wěn)定流動(dòng)的流體。由于流動(dòng)是穩(wěn)

定日勺，流線的位置不隨時(shí)間變化，沿流管截取一假想體積如圖10.4.3所示，該體

曳二0

積由流管的邊界與上、下兩個(gè)面1和2包圍。對(duì)穩(wěn)定流動(dòng)式,這時(shí)持續(xù)性方程

退化成

［假想邊界PV?dA=O

O

這表明單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)假想體積邊界流入流出的凈

質(zhì)量為零，由于管內(nèi)外的流體均不能穿過(guò)管壁，因此流體

只能通過(guò)下截面1流入，上截面2流出。這意味著從截面1

流入內(nèi)流體質(zhì)量必然等于通過(guò)截面2流出假想體積口勺質(zhì)量,

JpMdA]=Jp2V2dA2

即siS20

假如用pl及p，2分別表達(dá)微面1與截面2處日勺豆均密度，用Ql、Q2表達(dá)通過(guò)截

面1與截面2日勺流量，上式可以表達(dá)成更以便日勺形式

pQ=PM,

對(duì)于不可壓縮的流體

Pi=P2,

上式退化為Q尸Q?o

成果表明，不可壓縮口勺流體在流動(dòng)時(shí)，沿流管的任意截面上流量均相似，

它是質(zhì)量守恒的必然成果。

ii）作為動(dòng)量方程的應(yīng)用，考慮在一彎管中穩(wěn)定流動(dòng)的流體，如圖10.4.4所示。

沿載流管截取一假想體積，該體積由載流管內(nèi)邊界與1、2兩1

史=0

個(gè)截面包圍，同樣地，對(duì)穩(wěn)定流動(dòng)有St且任意一點(diǎn)流速

10.4.4

v=常量因此動(dòng)量方程退化成

dp.

假想邊界pv(v.dA)

dt

由于在載流管的邊界處流速V垂直于載流管H勺內(nèi)表面，因此上式中對(duì)假象體

積H勺外表面積分實(shí)際上退化為對(duì)1、2兩個(gè)截面的面積分

dp

=JpM(V[.dA)+fp2v2(v2.dA)

dtsiS2

=P|VIfv1.dA+p2v2fv2.dA

SIS2

=-plVlQl+p2V2Q2

這里日勺PI、P2、VHV2是1、2兩個(gè)截面上的平均密度與平均速度。假如

流體是不可壓縮的且流動(dòng)過(guò)程中質(zhì)量守恒，這時(shí)pl=p2=p,Q1=Q2=Q,

成果簡(jiǎn)化成

^=pQ(v2-v1)

dt。

從圖10.4.4看出，流體在載流管內(nèi)動(dòng)量的變化是由于管壁施加給流體作用力

的緣故，其大小與方向由上式?jīng)Q定，因此由牛頓第三定律可以得到結(jié)論：流體對(duì)

載流管日勺作用力也由上式?jīng)Q定，但作用力的方向相反。

11.5理想流體的流動(dòng)

1）沿一條流線的歐拉方程

先來(lái)簡(jiǎn)介流體力學(xué)中一種十分重要的方程一歐

拉方程，它是流體動(dòng)力學(xué)的基本程之一。當(dāng)無(wú)黏滯

性的流體穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，取流體內(nèi)一根流線S,如圖

10.5.1所示。沿流線截取一橫截面為dA,氏為ds^J一

小流體元。該流體元受到來(lái)自沿流線前、后兩個(gè)截

面上的正壓力（以流線的方向?yàn)閰⒄辗较颍?/p>

-(p-Pj)dA喂"Ads-生dv

2ds

力的方向沿著流線口勺切向。這段流體元還受到重力日勺作用，其大小為Amg=

pgdv,方向豎直向下。設(shè)重力與流線之間日勺夾角為8,則重力沿著流線切線方向的

投影為（見(jiàn)圖10.5.1）

pgcosOdv=-pg—dv

ds

對(duì)所取MJ流體元，按牛頓第二定律寫(xiě)出沿流線切向的動(dòng)力學(xué)方程就是

-生dv-pg包dv=padv

dsds

式中a為流體元沿流線切向日勺加速度。將pg用比重y表達(dá)，并消除上式中dv得到

dp

---Y—=pa

Ssas0(i)

式中的切向加速度a可改寫(xiě)成

dv5vds6vSv6v

a=—=-------1----=v-----1----

dt3sStdtdsdi,

把上面的式子代回前面的式子（1）就可以得到

1dpdz5Vsyc

—--+g——+v——+——=0

p5sdsdsdt

史=0

這就是沿一條流線的歐拉方程。對(duì)于穩(wěn)定流動(dòng)St,歐拉方程退化成

1dpdzSv

4-g------FV——二0

p3sds8s

由于此時(shí)只有一種變量（空間變量s）,上式中的偏微分可用全微分替代，去

掉微分公因子ds后得

—+gdz+vdv=0

P-

2）柏努利方程

無(wú)粘滯性的流體穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，沿任何一條流線必然滿足上式。對(duì)理想流體,

由于不可壓縮上式中的密度p是常數(shù)。將上式沿流線積分，注意此時(shí)密度p為常量

就可以得到理想流體沿任何一條流線流動(dòng)時(shí)必須滿足的方程

PIgzI1丫2=常數(shù)

P2

上式就是著名的柏努利方程，式中的積分常數(shù)也稱柏努利數(shù)，它是伴隨不一樣

流線而變化的。式中每一項(xiàng)H勺量綱都是單位質(zhì)量的能量［M2S-2］。若將上式除以g,

每項(xiàng)就成為單位重量的能量，即

R+z+二=常數(shù)

Y2g

對(duì)液體來(lái)說(shuō)，用上式比較以便。若用pg乘上式就得到

p+pgz+-^pv2=常數(shù)

該式用于氣體顯得以便某些，由于對(duì)氣體來(lái)說(shuō)高度z日勺變化往往是不很重要

的，在精度規(guī)定不很高日勺狀況可將其略去，這樣方程顯得簡(jiǎn)樸。

目前來(lái)闡明一下柏努利方程中各項(xiàng)的物理意義。第一項(xiàng)p/p是單位質(zhì)量流

體流動(dòng)時(shí)對(duì)外做的功或者流功，也就是單位質(zhì)量流體對(duì)周圍環(huán)境所做

的功。為了弄清這一點(diǎn)可參見(jiàn)圖1052裝置，一種由葉片構(gòu)成的渦輪」

放置在水槽下端的出水口處，當(dāng)水流動(dòng)時(shí)液體會(huì)對(duì)渦輪施加一種力矩

使渦輪旋轉(zhuǎn)。作用在葉片上的力可近似地認(rèn)為是壓強(qiáng)乘以葉片的表面10.5.2

積dA,若再乘以壓力作用中心到渦輪轉(zhuǎn)軸的距離r,就是作用在渦輪轉(zhuǎn)軸上的力

矩。假定葉片在出時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)d0角度，則力矩對(duì)渦輪做功

dw=Nd0=PdArdO=PdAds

式中ds是壓力中心位移的大小，將上式除以dt時(shí)間內(nèi)流出液體日勺總質(zhì)量pdAds,

就是單位質(zhì)量的液體對(duì)渦輪所作日勺功

pdA?ds_p

pdA-dsp

第二項(xiàng)gz是單位質(zhì)量流體日勺勢(shì)能。由于質(zhì)量為Am日勺流體在重力場(chǎng)中提高z

高度時(shí)重力所做日勺功是-Amgz,這時(shí)流體日勺勢(shì)能增長(zhǎng)了Amgz,因此單位質(zhì)量

流體的I勢(shì)能就是gz。v2/2項(xiàng)是單位質(zhì)量流體日勺動(dòng)能。由于質(zhì)量為Am

的流體以速度v運(yùn)動(dòng)時(shí)它具有動(dòng)能是Amv2/2,故單位質(zhì)量流體的動(dòng)能為V2/2,從

上面日勺分析可以懂得，柏努利方程實(shí)際上是理想流體沿著流線運(yùn)動(dòng)時(shí)日勺能量方

程。

有關(guān)柏努利方程的應(yīng)用應(yīng)注意下面幾點(diǎn)，a）當(dāng)所有的流線都源于同一流

體庫(kù)，且能量到處相似，這時(shí)柏努利方程中時(shí)常數(shù)不會(huì)因流線不一樣而有所不一

樣。這時(shí)對(duì)所有的流線來(lái)說(shuō)柏努力數(shù)都相似，此時(shí)柏努力方程不限于對(duì)一條流線

的應(yīng)用。b）在通風(fēng)系統(tǒng)中口勺氣流，若壓強(qiáng)變化相對(duì)無(wú)氣流時(shí)變化不大，這時(shí)氣

體可以當(dāng)作不可壓縮的，柏努利方程仍可合用，不過(guò)氣流的密度應(yīng)取平均密度。

c）對(duì)漸變條件下日勺非穩(wěn)定流動(dòng)，也可用柏努利方程求解，這時(shí)引起日勺誤差不會(huì)很

大。d）對(duì)于實(shí)際流體的|穩(wěn)定流動(dòng)，可先忽視流體日勺粘滯性，用柏努利方程得到一

種理想日勺成果，然后再用試驗(yàn)作某些修正，也就是說(shuō)要加入能量損耗項(xiàng)。

例題，水正沿著如附圖所示日勺管內(nèi)流動(dòng)，管上端的直徑為2米，管內(nèi)流速

為3米/秒。管下端的直徑為1米，管內(nèi)流速為10米/秒。假定流體可視為理想流體,

沿著流線壓強(qiáng)不變，求管的上端相對(duì)地面的落差。

解：沿管日勺中心取一條流線，按柏努利方程在流線日勺兩端I、2處

22

VV

..Pl,7_2,P2+7

—十—十z1——i--------十Z?

2gy2gy

由已知P|二P2因此

(Zl-Z2)=7-(V2-Vi)

2g

設(shè)管上端與地面的落差為y,顯然y=zi-Z2-0.5,由此得到

y=；(v：_v；)_0.5

2g

將v尸3米/秒，V2=1O米/秒代入上式，解得尸3.64米。

11.6實(shí)際流體的流動(dòng)

1）斜面上穩(wěn)定的層流

在實(shí)際流體的流動(dòng)過(guò)程中必須考慮流體H勺粘滯

性。各流動(dòng)層之間日勺內(nèi)摩擦力使實(shí)際流體的流動(dòng)變

成不可逆過(guò)程，也導(dǎo)致流動(dòng)過(guò)程中能量的損耗。目

前考慮平行斜面的穩(wěn)定層流，如圖10.6.1所示。設(shè)

上平面口勺流速為v,它的流動(dòng)平行于斜面，下平面與

斜面接觸流速為零，整個(gè)流動(dòng)層口勺厚度為a,各流動(dòng)層之間存在速度梯度。為了

分析以便，在流體內(nèi)沿流動(dòng)層隔離出一種高度為cy、長(zhǎng)度為dl、單位寬度的薄片

狀流體元，如圖中央歐J長(zhǎng)方塊所示。在穩(wěn)定流動(dòng)條件下此薄片以恒定速度u沿斜

面向下流動(dòng)。在流動(dòng)過(guò)程中，該薄片狀流體元一共受到三個(gè)力的作用。a）平行于

斜面方向的壓力，其大小為（以流速方向?yàn)檎较颍?/p>

jzjdpjdpj

pdy-(pdy+—dy-dl)=—dydl

b）粘滯力，薄片流體元上、下兩面的剪應(yīng)力，由牛頓粘滯力定律知其大小

為

../clx,...(IT...

-rdl+(idlH----dydl)=—dydl

dydy

c）薄片狀流體元受到日勺重力，其大小為rgdldy方向豎直向下，設(shè)重力與斜

面法線

的夾角為q，則重力在沿斜面方向分量就是

pgsinOdldy=-pg(—)dldy

dl。

式中dl是流體元沿斜面H勺長(zhǎng)度，dh是流體元兩端距地面的高度差。由于討論

的是穩(wěn)定流動(dòng)，此薄片狀流體元沿斜面方向運(yùn)動(dòng)的加速度為零，其動(dòng)力學(xué)方程就

是

dp,,dx_』/dh、皿八

——-dydl+—dydl-pg(—)dldy=0

dldydl

將上式除以dydl,整頓后得

dxd..

d?=dl(zp+Yh)

另首先，運(yùn)用牛頓粘滯性定律

du

T=LI——

dy,

dxd2ud..

一=日—7=—(p+yh)x

2

可得dydydl

式中(p+gh)與y無(wú)關(guān)只是沿斜面/的函數(shù)，這是由于流體元沿著y方向無(wú)運(yùn)動(dòng)。

將上式對(duì)y積分一次后

dud,A

口礦y》p+yh)+A

再積分次就得到速度分布

u=—y2—(p+yh)+—y+B

211dl|LI

式中A與B都是積分常數(shù)，運(yùn)用邊界條件y二。時(shí)u二0及y二a時(shí)U7?？傻?/p>

B=0,

A|LIVId.

A=T-^(P+Yh)a0

將其代回到解式最終得到流體內(nèi)部速度分布

V1d.L、/2、

u=_y一丁刀(p+yh)(ay—y)

a2|idl

假如層流的寬度不是一種單位而是任意寬度上式仍然成立，這是由于流動(dòng)層

的速度與寬度無(wú)關(guān)可從方程中消除。從平面層流向速度分布函數(shù)可以看出，流體

沿斜面穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)其內(nèi)部的速度分布是拋物線形叢j,這意味著流速最大的流動(dòng)層

并不在上衣面而是在流體內(nèi)部的杲一層。將上式對(duì)y積分可以求出流體沿斜苴流

動(dòng)日勺平均速度

_1r,V1d

『尸丁用疝(P+Yh.2

因此沿斜面穩(wěn)定流動(dòng)過(guò)程中每米寬度的流量

C-va1d.仆3

Q=w=2(P+9

2）圓管內(nèi)穩(wěn)定層流。

當(dāng)流體在圓管內(nèi)穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，由于流體的流動(dòng)

具有圓柱形對(duì)稱性，故取一軸對(duì)稱圓柱殼形日勺流

體元作為研究對(duì)象，如圖10.6.2所示。圓柱薄殼

的半徑為r,

殼的厚度為dr,柱高為dl。作用在流體