2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)高三上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、選擇題共10小題,每小題4分,共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知全集，集合，則（）A. B.C. D.2.若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，，則的公比為（）A.2 B. C.4 D.3.在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于直線對(duì)稱．若，則（）A. B. C. D.4.若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則直線的方程是（）A. B.C. D.5.已知是邊長(zhǎng)為的正△邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.6.若，則①；②；③．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③7.若命題“”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A B. C. D.8.“”是“函數(shù)具有奇偶性”的（）A充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知函數(shù)，則（）A.在R上單調(diào)遞增 B.對(duì)恒成立C.不存在正實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)為奇函數(shù) D.方程只有一個(gè)解10.如圖為某無(wú)人機(jī)飛行時(shí)，從某時(shí)刻開始15分鐘內(nèi)的速度（單位：米/分鐘）與時(shí)間（單位：分鐘）的關(guān)系．若定義“速度差函數(shù)”為無(wú)人機(jī)在時(shí)間段內(nèi)的最大速度與最小速度的差，則的圖像為（）A B.C. D.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.函數(shù)的定義域是____________.12.直線截圓的弦長(zhǎng)=___________.13.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，平面AEF與平面PBC____________（填“垂直”或“不垂直”）；的面積的最大值為_____________．14.設(shè)函數(shù)①若，則的最小值為__________.②若有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.15.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．給出下列四個(gè)結(jié)論：①是遞增數(shù)列；②都不是等差數(shù)列；③當(dāng)時(shí)，是中的最小項(xiàng)；④當(dāng)時(shí)，．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.在中，角所對(duì)的邊分別為已知.（1）求A的大??；（2）如果，求的面積.17.已知函數(shù)，是函數(shù)的對(duì)稱軸，且在區(qū)間上單調(diào)．（1）從條件①、條件②、條件③中選一個(gè)作為已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)；條件②：是對(duì)稱中心；條件③：是的對(duì)稱中心.（2）根據(jù)（1）中確定的，求函數(shù)的值域．18.如圖，矩形ABCD和梯形，平面ABEF平面ABCD，且，過DC的平面交平面ABEF于MN.（1）求證:;（2）當(dāng)M為BE中點(diǎn)時(shí)，求平面ABCD與平面的夾角的余弦值；（3）當(dāng)M為BE中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離;19.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線的方程；（2）若函數(shù)在處取得極大值，求的取值范圍；（3）若函數(shù)存在最小值，直接寫出的取值范圍.20.已知．（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）求證：；（3）若在恒成立，求的最小值．21.若數(shù)列的子列均為等差數(shù)列，則稱為k階等差數(shù)列．（1）若，數(shù)列的前15項(xiàng)與的前15項(xiàng)中相同的項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列，寫出的各項(xiàng)，并求的各項(xiàng)和；（2）若數(shù)列既是3階也是4階等差數(shù)列，設(shè)的公差分別為．（?。┡袛嗟拇笮￡P(guān)系并證明；（ⅱ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列．2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、選擇題共10小題,每小題4分,共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知全集，集合，則（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】由補(bǔ)集定義可直接求得結(jié)果.詳解】，，.故選：B.2.若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，，則的公比為（）A.2 B. C.4 D.【正確答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的基本量運(yùn)算可得，然后利用等比數(shù)列的概念結(jié)合條件即得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，所以，∴，，所以.故選：B.3.在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于直線對(duì)稱．若，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)對(duì)稱關(guān)系可得，利用誘導(dǎo)公式可求得結(jié)果.【詳解】的傾斜角為，與滿足，.故選：D.4.若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則直線的方程是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】由垂徑定理可知，求出直線斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程方程為，，即點(diǎn)在圓內(nèi)，圓心，，由垂徑定理可知，則，故直線的方程為，即.故選：C.5.已知是邊長(zhǎng)為的正△邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義可得，再由即可求范圍.【詳解】由在邊上運(yùn)動(dòng)，且△為邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以，則，由.故選：D6.若，則①；②；③．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【正確答案】A【分析】對(duì)①，由兩邊同除ab化簡(jiǎn)即可判斷；對(duì)②，由得，兩邊同除化簡(jiǎn)即可判斷；對(duì)③，先移項(xiàng)得，可化為，即可比較分母大小判斷【詳解】對(duì)①，，即，①對(duì)；對(duì)②，由，則，②對(duì)；對(duì)③，由，則，與矛盾，③錯(cuò)；故選：A7.若命題“”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】不等式能成立，等價(jià)于方程有實(shí)數(shù)解，用判別式計(jì)算求參數(shù)即可.【詳解】由題可知，不等式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解，等價(jià)于方程有實(shí)數(shù)解，即，解得.故選：B.8.“”是“函數(shù)具有奇偶性”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)充分、必要性的定義，及奇偶性的定義求參數(shù)a，判斷題設(shè)條件間的關(guān)系即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，則定義域?yàn)?，，故為奇函?shù)，充分性成立；若具有奇偶性，當(dāng)為偶函數(shù)，則，所以恒成立，可得；當(dāng)為奇函數(shù)，則，所以恒成立，可得或a=?1；所以必要性不成立；綜上，“”是“函數(shù)具有奇偶性”的充分而不必要條件.故選：A9.已知函數(shù)，則（）A.在R上單調(diào)遞增 B.對(duì)恒成立C.不存在正實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)為奇函數(shù) D.方程只有一個(gè)解【正確答案】B【分析】對(duì)求導(dǎo)，研究在、上的符號(hào)，結(jié)合指數(shù)冪的性質(zhì)判斷零點(diǎn)的存在性，進(jìn)而確定單調(diào)性區(qū)間、最小值，進(jìn)而判斷A、B的正誤；利用奇偶性定義求參數(shù)a判斷C；由、即可排除D.【詳解】由，而，當(dāng)時(shí)，即上遞增，且恒成立；而，令，可得，所以使，綜上，上，遞減；上，遞增；故在R上不單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤；所以時(shí)，有最小值，而，，所以，故恒成立，B正確；令為奇函數(shù)且，則恒成立，所以恒成立，則滿足要求，C錯(cuò)誤；顯然，故為一個(gè)解，且，即為另一個(gè)解，顯然不止有一個(gè)解，D錯(cuò)誤.故選：B關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：A、B判斷注意分類討論的符號(hào)，結(jié)合指數(shù)冪的性質(zhì)確定導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)位置，C、D應(yīng)用奇偶性定義得到等式恒成立求參、特殊值法直接確定的解.10.如圖為某無(wú)人機(jī)飛行時(shí)，從某時(shí)刻開始15分鐘內(nèi)的速度（單位：米/分鐘）與時(shí)間（單位：分鐘）的關(guān)系．若定義“速度差函數(shù)”為無(wú)人機(jī)在時(shí)間段內(nèi)的最大速度與最小速度的差，則的圖像為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)速度差函數(shù)的定義，分四種情況，分別求得函數(shù)解析式，從而得到函數(shù)圖像.【詳解】由題意可得，當(dāng)時(shí)，無(wú)人機(jī)做勻加速運(yùn)動(dòng)，，“速度差函數(shù)”；當(dāng)時(shí)，無(wú)人機(jī)做勻速運(yùn)動(dòng)，，“速度差函數(shù)”；當(dāng)時(shí)，無(wú)人機(jī)做勻加速運(yùn)動(dòng)，，“速度差函數(shù)”；當(dāng)時(shí)，無(wú)人機(jī)做勻減速運(yùn)動(dòng)，“速度差函數(shù)”，結(jié)合選項(xiàng)C滿足“速度差函數(shù)”解析式，故選：C.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.函數(shù)的定義域是____________.【正確答案】.【分析】根據(jù)分母不為零、真數(shù)大于零列不等式組，解得結(jié)果.【詳解】由題意得，故答案為.本題考查函數(shù)定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.12.直線截圓的弦長(zhǎng)=___________.【正確答案】【分析】由圓的弦長(zhǎng)與半徑、弦心距的關(guān)系，求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)．【詳解】線l的方程為，圓心到直線l的距離．∴此時(shí)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為．故答案為.13.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，平面AEF與平面PBC____________（填“垂直”或“不垂直”）；的面積的最大值為_____________．【正確答案】①.垂直②.【分析】根據(jù)線面垂直的的性質(zhì)定理，判定定理，可證平面PBC，根據(jù)面面垂直的判定定理，即可得證.分析可得，當(dāng)點(diǎn)F位于點(diǎn)C時(shí)，面積最大，代入數(shù)據(jù)，即可得答案.【詳解】因?yàn)榈酌鍭BCD，平面ABCD，所以，又底面ABCD為正方形，所以，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以為等腰直角三角形，且E為線段PB的中點(diǎn)，所以，又，平面PBC，所以平面PBC，因?yàn)槠矫鍭EF，所以平面AEF與平面PBC.因?yàn)槠矫鍼BC，平面PBC，所以，所以當(dāng)最大時(shí)，的面積的最大，當(dāng)F位于點(diǎn)C時(shí)，最大且，所以的面積的最大為.故垂直；14.設(shè)函數(shù)①若，則的最小值為__________.②若有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【正確答案】①.②.【分析】對(duì)①，分別計(jì)算出每段的范圍或最小值即可得；對(duì)②，由指數(shù)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)沒有最小值，可得存在最小值則最小值一定在段，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得.【詳解】①當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的最小值為；②由，則當(dāng)時(shí)，，由有最小值，故當(dāng)時(shí)，的最小值小于等于，則當(dāng)且時(shí)，有，符合要求；當(dāng)時(shí)，，故不符合要求，故舍去.綜上所述，.故；.15.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．給出下列四個(gè)結(jié)論：①是遞增數(shù)列；②都不是等差數(shù)列；③當(dāng)時(shí)，是中的最小項(xiàng)；④當(dāng)時(shí)，．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________．【正確答案】③④【分析】利用特殊數(shù)列排除①②，當(dāng)時(shí)顯然有，對(duì)數(shù)列遞推關(guān)系變形得到，再判斷③④即可.【詳解】當(dāng)數(shù)列為常數(shù)列時(shí)，，不是遞增數(shù)列，是公差為的等差數(shù)列，①②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，顯然有，所以，又因?yàn)?，所以由遞推關(guān)系得，所以，故數(shù)列是遞增數(shù)列，是中的最小項(xiàng)，③正確；當(dāng)時(shí)，由③得，所以由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，④正確.故選：③④.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.在中，角所對(duì)的邊分別為已知.（1）求A的大??；（2）如果，求的面積.【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）利用余弦定理的變形：即可求解.（2）利用正弦定理求出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和性質(zhì)以及兩角和的正弦公式求出，由三角形的面積公式即可求解.【詳解】（1）。由余弦定理可得，又因?yàn)?，所?（2）由，，所以，在中，由正弦定理可得，所以，，所以的面積.本題考查了余弦定理、正弦定理解三角形、三角形的面積公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.17.已知函數(shù)，是函數(shù)的對(duì)稱軸，且在區(qū)間上單調(diào)．（1）從條件①、條件②、條件③中選一個(gè)作為已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)；條件②：是的對(duì)稱中心；條件③：是的對(duì)稱中心.（2）根據(jù)（1）中確定的，求函數(shù)的值域．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意得到和，再根據(jù)選擇的條件得到第三個(gè)方程，分析方程組即可求解；（2）先求出所在的范圍，再根據(jù)圖像求出函數(shù)值域即可.【小問1詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，所以，因?yàn)?，且，解得；又因?yàn)槭呛瘮?shù)的對(duì)稱軸，所以；若選條件①：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，?dāng)時(shí)，，滿足題意，故.若選條件②：因?yàn)槭堑膶?duì)稱中心，所以，所以，此方程無(wú)解，故條件②無(wú)法解出滿足題意得函數(shù)解析式.若條件③：因?yàn)槭菍?duì)稱中心，所以，所以，解得，所以.【小問2詳解】由（1）知，，所以等價(jià)于，，所以，所以，即函數(shù)的值域?yàn)?18.如圖，矩形ABCD和梯形，平面ABEF平面ABCD，且，過DC的平面交平面ABEF于MN.（1）求證:;（2）當(dāng)M為BE中點(diǎn)時(shí)，求平面ABCD與平面的夾角的余弦值；（3）當(dāng)M為BE中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離;【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量求二面角即可；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)關(guān)系求解點(diǎn)到平面的距離即可.【小問1詳解】因?yàn)榫匦?，所以，平面，平面，所以平面．因?yàn)檫^的平面交平面于，由線面平行性質(zhì)定理，得；【小問2詳解】由平面平面ABCD其交線為，平面所以⊥平面，又四邊形為矩形，所以以A為原點(diǎn)，以、、為軸建立空間直角坐標(biāo)系.由，得，，則設(shè)平面法向量，則即，取得.因?yàn)槠矫?，設(shè)平面法向量，記平面與平面的夾角為，所以，即平面ABCD與平面的夾角的余弦值為.【小問3詳解】因?yàn)槠矫娣ㄏ蛄?又因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離；19.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線的方程；（2）若函數(shù)在處取得極大值，求的取值范圍；（3）若函數(shù)存在最小值，直接寫出的取值范圍.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）先求導(dǎo)后求出切線的斜率，然后求出直線上該點(diǎn)的坐標(biāo)即可寫出直線方程；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值分類討論；（3）分情況討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極限求解.【小問1詳解】解：由題意得：，故曲線在點(diǎn)處的切線的方程.【小問2詳解】由（1）得要使得在處取得極大值，在時(shí)應(yīng)該，在時(shí)應(yīng)該，故①且，解得②且，解得當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；綜上：的取值范圍為.【小問3詳解】可以分三種情況討論：①②③若，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，無(wú)最小值；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，趨向時(shí)，趨向于0；當(dāng)，要使函數(shù)取得存在最小值，解得，故處取得最小值,故的取值范圍.若時(shí)，在趨向時(shí)，趨向于0，又故無(wú)最小值；綜上所述函數(shù)存在最小值，的取值范圍.20.已知．（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）求證：；（3）若在恒成立，求的最小值．【正確答案】（1）一個(gè)零點(diǎn)（2）證明見解析（3）【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)得在R上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋纯汕蟪隽泓c(diǎn)的個(gè)數(shù).（2）設(shè)，求導(dǎo)得在上單調(diào)遞增，則，即可證明.（3）解法一:當(dāng)時(shí)，由（2）得，恒成立．當(dāng)時(shí)，設(shè)，判斷是否成立，即可求出答案.解法二：在恒成立，令，轉(zhuǎn)化為求.小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增，，只有一個(gè)零點(diǎn)；【小問2詳解】設(shè)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，.【小問3詳解】解法一：當(dāng)時(shí)，由（2）得，恒成立．當(dāng)時(shí)，