2024-2025學(xué)年甘肅省金昌市永昌縣高三上冊第一次月考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年甘肅省金昌市永昌縣高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試卷考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：高考范圍．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.3.已知向量，，若，則（）A B. C.3 D.4.已知圓錐的表面積為，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面直徑為（）A. B. C. D.5.已知雙曲線的漸近線方程為，且經(jīng)過點，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.6.“四書五經(jīng)”是我國9部經(jīng)典名著《大學(xué)》《論語》《中庸》《孟子》《周易》《尚書》《詩經(jīng)》《禮記》《春秋》的合稱．為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校計劃在讀書節(jié)活動期間舉辦“四書五經(jīng)”知識講座，每部名著安排1次講座，若要求《大學(xué)》《論語》《周易》均不相鄰，則排法種數(shù)為（）A. B. C. D.7.已知，則（）A. B. C. D.8.已知定義在上的偶函數(shù)滿足且，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，，且，，若則下列不等式可能成立的是（）A. B.C. D.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)最小正周期為B.函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程為C.函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到D.函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增11.已知曲線的方程為是以點為圓心?1為半徑的圓位于軸右側(cè)的部分，則下列說法正確的是（）A.曲線的焦點坐標(biāo)為B.曲線過點C.若直線被所截得的線段的中點在上，則的值為D.若曲線在的上方，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.一組數(shù)據(jù)24，78，47，39，60，18，28，15，53，23，42，36的第75百分位數(shù)是____________．13.若命題“，使得”是假命題，則的取值范圍是__________．14.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點距離之比為定值（且）的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，圓：，若圓上存在點，使得，則的取值范圍是______.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的內(nèi)角的對邊分別為.（1）求角；（2）若的面積為，求的長.16.人工智能（英語：Artificialintelligence，縮寫為）亦稱智械、機(jī)器智能，指由人制造出來的可以表現(xiàn)出智能的機(jī)器．通常人工智能是指通過普通計算機(jī)程序來呈現(xiàn)人類智能的技術(shù)．人工智能的核心問題包括建構(gòu)能夠跟人類似甚至超卓的推理、知識、規(guī)劃、學(xué)習(xí)、交流、感知、移物、使用工具和操控機(jī)械的能力等．當(dāng)前有大量的工具應(yīng)用了人工智能，其中包括搜索和數(shù)學(xué)優(yōu)化、邏輯推演．而基于仿生學(xué)、認(rèn)知心理學(xué)，以及基于概率論和經(jīng)濟(jì)學(xué)的算法等等也在逐步探索當(dāng)中．思維來源于大腦，而思維控制行為，行為需要意志去實現(xiàn)，而思維又是對所有數(shù)據(jù)采集的整理，相當(dāng)于數(shù)據(jù)庫．某中學(xué)計劃在高一年級開設(shè)人工智能課程．為了解學(xué)生對人工智能是否感興趣，隨機(jī)從該校高一年級學(xué)生中抽取了400人進(jìn)行調(diào)查，整理得到如下列聯(lián)表：感興趣不感興趣合計男生18040220女生12060180合計300100400（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為對人工智能是否感興趣與性別有關(guān)聯(lián)？（2）從對人工智能感興趣的學(xué)生中按性別采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行采訪，記隨機(jī)變量表示抽到的3人中女生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，其中．0.10.050010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817.如圖，已知平行六面體的所有棱長均相等，平面，為的中點，且.（1）求證：；（2）求平面與平面的夾角的正弦值.18.已知橢圓左、右焦點分別為，，右頂點為，且，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，是上兩點（點，不同于點），直線，分別交直線于，兩點，若，證明：直線過定點．19.已知函數(shù)（）．（1）若，求的圖象在處的切線方程；（2）若對于任意的恒成立，求a的取值范圍；（3）若數(shù)列an滿足且（），記數(shù)列an的前n項和為，求證：．2024-2025學(xué)年甘肅省金昌市永昌縣高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試卷考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：高考范圍．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)并集和補集的含義即可得到答案.【詳解】由題意，得，所以.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式運算求解.【詳解】因為，則，所以.故選：A.3.已知向量，，若，則（）A. B. C.3 D.【正確答案】D【分析】根據(jù)向量平行，建立坐標(biāo)關(guān)系，求出x.再利用模長公式求出模長.【詳解】因為，所以，即.因為，所以.故選：D.4.已知圓錐的表面積為，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面直徑為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】設(shè)圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，由圓錐的側(cè)面展開圖為半圓可得出，再利用圓錐的表面積公式可求出的值，即可得解.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，所以，所以，所以，解得，所以該圓錐的底面直徑為.故選：B.5.已知雙曲線的漸近線方程為，且經(jīng)過點，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程，可設(shè)雙曲線方程，將點的坐標(biāo)代入，求得參數(shù)，即可得答案.【詳解】因為雙曲線的漸近線方程為，故可設(shè)雙曲線方程為，又經(jīng)過點，故，故雙曲線方程為，故選：A6.“四書五經(jīng)”是我國9部經(jīng)典名著《大學(xué)》《論語》《中庸》《孟子》《周易》《尚書》《詩經(jīng)》《禮記》《春秋》的合稱．為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校計劃在讀書節(jié)活動期間舉辦“四書五經(jīng)”知識講座，每部名著安排1次講座，若要求《大學(xué)》《論語》《周易》均不相鄰，則排法種數(shù)為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】采用插空法排列，先排《中庸》《孟子》《尚書》《詩經(jīng)》《禮記》《春秋》這6次講座，再將《大學(xué)》《論語》《周易》這3次講座插空，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得答案.【詳解】先排《中庸》《孟子》《尚書》《詩經(jīng)》《禮記》《春秋》這6次經(jīng)典名著的講座，共有種排法；再從7個空位中選3個，排《大學(xué)》《論語》《周易》這3次講座，有種排法，故總共有種排法；故選：D.7.已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用角之間的關(guān)系由二倍角公式帶入計算即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，，利用二倍角公式可得，因此.故選：A8.已知定義在上的偶函數(shù)滿足且，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性與對稱性可得解.【詳解】由，令，得，又令得，再令，，又，所以，又，，所以，為的一個周期，，即，故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，，且，，若則下列不等式可能成立的是（）A B.C. D.【正確答案】ABD【分析】分和兩種情況，結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性以及不等式的性質(zhì)分析判斷.【詳解】若，因為，所以，則，則，，故D正確；當(dāng)時，則，可得，故A正確；當(dāng)時，則，可得，故B正確；若，因為，所以；則，則，，故D正確；綜上所述：不能得到，故C錯誤；故選：ABD．10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程為C.函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【正確答案】ABC【分析】利用二倍角公式和輔助角公式化簡得到，然后根據(jù)判斷A選項；利用整體代入得方法得到的對稱軸，即可判斷B選項；根據(jù)圖象的平移變換判斷C選項；根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷D選項.【詳解】，函數(shù)的最小正周期為，故A正確；由，得，當(dāng)時，，故B正確；由的圖象向左平移個單位長度，得，故C正確．因為，函數(shù)在上不單調(diào)，故D錯誤．故選：ABC．11.已知曲線方程為是以點為圓心?1為半徑的圓位于軸右側(cè)的部分，則下列說法正確的是（）A.曲線的焦點坐標(biāo)為B.曲線過點C.若直線被所截得的線段的中點在上，則的值為D.若曲線在的上方，則【正確答案】BCD【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，可得判定A錯誤；把點代入圓的方程，可判定B正確；，所以圓過點，所以B正確；設(shè)被所截得的線段為，中點為，聯(lián)立方程組，求得的坐標(biāo)，代入，可判定C正確；根據(jù)圓與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立方程組，結(jié)合，可判定D正確.【詳解】對于A中，由曲線，拋物線的焦點坐標(biāo)為，所以A錯誤；對于B中，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，點代入圓的方程得，所以圓過點，所以B正確；對于C中，設(shè)被所截得的線段為，中點為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，則，故，所以，代入，可得，解得，所以C正確；對于D中如圖所示，曲線在的上方時，拋物線和圓無交點，聯(lián)立方程組，整理得，由，解得，所以D正確.故選：BCD.方法點睛：解決拋物線問題的方法與策略：1、涉及拋物線的定義問題：拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化．如果問題中涉及拋物線的焦點和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題．因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點到準(zhǔn)線的距離，這樣就可以使問題簡單化．2、涉及直線與拋物線的綜合問題：通常設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，合理進(jìn)行轉(zhuǎn)化運算求解，同時注意向量、基本不等式、函數(shù)及導(dǎo)數(shù)在解答中的應(yīng)用.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.一組數(shù)據(jù)24，78，47，39，60，18，28，15，53，23，42，36的第75百分位數(shù)是____________．【正確答案】50【分析】由百分位數(shù)的概念求解即可.【詳解】先按照從小到大排序：15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78．共12個數(shù)據(jù)，，第9，10個數(shù)據(jù)分別為47，53，則第75百分位數(shù)為．故5013.若命題“，使得”是假命題，則的取值范圍是__________．【正確答案】【分析】由題意知原命題的否定為真，將問題轉(zhuǎn)換成立二次不等式在定區(qū)間上的恒成立問題了，對對稱軸的位置進(jìn)行討論即可求解.【詳解】由題意原命題的否定“，使得”是真命題，不妨設(shè)，其開口向上，對稱軸方程為，則只需在上的最大值即可，我們分以下三種情形來討論：情形一：當(dāng)即時，在上單調(diào)遞增，此時有，解得，故此時滿足題意的實數(shù)不存在；情形二：當(dāng)即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時有，只需，解不等式組得，故此時滿足題意的實數(shù)的范圍為；情形三：當(dāng)即時，在上單調(diào)遞減，此時有，解得，故此時滿足題意的實數(shù)不存在；綜上所述：的取值范圍是.故答案為.14.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點距離之比為定值（且）的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，圓：，若圓上存在點，使得，則的取值范圍是______.【正確答案】【分析】先根據(jù)求出點的軌跡是一個圓，再根據(jù)該圓與已知圓有交點列不等式求出的取值范圍.【詳解】設(shè)，因為，所以，整理得，所以點在以為圓心，2為半徑的圓上，所以圓與圓有公共點，所以，又，所以，解得，即的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的內(nèi)角的對邊分別為.（1）求角；（2）若的面積為，求的長.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和的性質(zhì)，以及正弦定理，得到，結(jié)合余弦定理，即可求解；（2）根據(jù)題意，利用面積公式，求得，結(jié)合余弦定理，即可求解.【小問1詳解】解：由，可得，因為所以，又由正弦定理得，根據(jù)余弦定理得，又因為，所以.【小問2詳解】解：因為的面積為，可得，所以，由余弦定理可知，所以.16.人工智能（英語：Artificialintelligence，縮寫為）亦稱智械、機(jī)器智能，指由人制造出來的可以表現(xiàn)出智能的機(jī)器．通常人工智能是指通過普通計算機(jī)程序來呈現(xiàn)人類智能的技術(shù)．人工智能的核心問題包括建構(gòu)能夠跟人類似甚至超卓的推理、知識、規(guī)劃、學(xué)習(xí)、交流、感知、移物、使用工具和操控機(jī)械的能力等．當(dāng)前有大量的工具應(yīng)用了人工智能，其中包括搜索和數(shù)學(xué)優(yōu)化、邏輯推演．而基于仿生學(xué)、認(rèn)知心理學(xué)，以及基于概率論和經(jīng)濟(jì)學(xué)的算法等等也在逐步探索當(dāng)中．思維來源于大腦，而思維控制行為，行為需要意志去實現(xiàn)，而思維又是對所有數(shù)據(jù)采集的整理，相當(dāng)于數(shù)據(jù)庫．某中學(xué)計劃在高一年級開設(shè)人工智能課程．為了解學(xué)生對人工智能是否感興趣，隨機(jī)從該校高一年級學(xué)生中抽取了400人進(jìn)行調(diào)查，整理得到如下列聯(lián)表：感興趣不感興趣合計男生18040220女生12060180合計300100400（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為對人工智能是否感興趣與性別有關(guān)聯(lián)？（2）從對人工智能感興趣的學(xué)生中按性別采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行采訪，記隨機(jī)變量表示抽到的3人中女生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【正確答案】（1）答案見解析（2）分布列見解析；.【分析】（1）根據(jù)兩個條件概率值求出列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，利用卡方公式計算的值，再與對應(yīng)的小概率值比較即得結(jié)論；（2）先利用分層抽樣確定所抽取男生、女生人數(shù)，再利超幾何概率公式計算即得分布列與期望；【小問1詳解】零假設(shè)為：學(xué)生對人工筸能是否感興趣與性別無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表計算可得：，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認(rèn)為學(xué)生對人工筸能是否感興趣與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于.【小問2詳解】從對人工智能感興趣的學(xué)生中按性別采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取10人，其中抽取男生人，抽取女生人；根據(jù)已知條件的可能取值為：；，，，；.17.如圖，已知平行六面體的所有棱長均相等，平面，為的中點，且.（1）求證：；（2）求平面與平面的夾角的正弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）設(shè)是的中點，先根據(jù)題目條件得出，，進(jìn)而得出；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和平行六面體的性質(zhì)得出；再根據(jù)線面垂直的判定定理得出平面；最后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得出.（2）先建立空間直角坐標(biāo)系，寫出平面與平面的法向量；再根據(jù)空間面面所成角的向量計算方法求出平面與平面的夾角的余弦值，進(jìn)而可得夾角的正弦值.【小問1詳解】設(shè)是的中點，連接，因為是的中點，則.因為，所以，所以.因為平面，平面，所以，由平行六面體的性質(zhì)可得：，所以.又因，平面，所以平面.又平面，所以.【小問2詳解】因為平面，平面，所以，則四邊形是正方形，結(jié)合（1）的結(jié)論可知，，兩兩垂直，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：不妨設(shè)，則，，，，所以，，，.設(shè)平面的一個法向量為m=x,y,z則令，可得.設(shè)平面的一個法向量為n=a,b,c則，令，可得設(shè)平面與平面的夾角為，則.所以，即平面與平面的夾角的正弦值為.18.已知橢圓的左、右焦點分別為，，右頂點為，且，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，是上兩點（點，不同于點），直線，分別交直線于，兩點，若，證明：直線過定點．【正確答案】（1）（2）證明過程見解析【分析】（1）