2024-2025學(xué)年廣西柳州市高三上冊9月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣西柳州市高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）.1.的虛部為（）A. B. C. D.2.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.48 B.42 C.24 D.213.已知，是兩個平面，m，n是兩條直線，則下列命題正確的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，則4.函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，得到的圖象，則（）A B. C. D.5.已知圓臺的體積為，母線長為3，高為，則圓臺的側(cè)面積為（）A. B. C. D.6已知向量，滿足，且，則（）A. B. C. D.7.在棱長為4的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.8.直角三角形中，，分別為的中線，角平分線，若線段的長度成等差數(shù)列，公差，則等于（）A.5 B. C.2 D.二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）.9.下列運(yùn)算中正確的是（）A. B.C. D.10.如圖所示，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則（）A.B.直線，，交于同一點(diǎn)C.直線與直線所成角正切值為D.平面截正方體所得的截面周長為11.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，其前項(xiàng)和為，若，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，最大B.使得成立的最小自然數(shù)C.D.數(shù)列中的最小項(xiàng)為三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）.12.已知是公比為的等比數(shù)列，若，則______.13.直三棱柱的各個頂點(diǎn)都在球O的球面上，且．若球O的表面積為，則這個三棱柱的體積是_________．14.若存在正實(shí)數(shù)x，使得不等式成立，則a的最大值為______．四?解答題（本題共5小題；共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）.15.已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）探究最小值.16.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和.17.如圖，在四棱錐中，底面直角梯形，，，.（1）點(diǎn)在側(cè)棱上，且平面，確定在側(cè)棱上的位置；（2）若平面平面，且，求二面角的余弦值.18.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點(diǎn)為，且該橢圓過點(diǎn)，直線（1）求橢圓E的方程；（2）若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線l的方程；（3）若直線l方程為，過A、B作直線的垂線，垂足分別為P、Q，點(diǎn)R為線段PQ的中點(diǎn)，求證：四邊形ARQF為梯形.19.在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點(diǎn)生產(chǎn)口罩?防護(hù)服?消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國際社會上贏得一片贊譽(yù).我國某口罩生產(chǎn)廠商在加大生產(chǎn)的同時，狠抓質(zhì)量管理，不定時抽查口罩質(zhì)量?該廠質(zhì)檢人員從某日生產(chǎn)的口罩中隨機(jī)抽取了100個，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下五組：，得到如下頻率分布直方圖.規(guī)定：口罩的質(zhì)量指標(biāo)值越高，說明該口罩質(zhì)量越好，其中質(zhì)量指標(biāo)值低于130的為二級口罩，質(zhì)量指標(biāo)值不低于130的為一級口罩.（1）求該廠商生產(chǎn)口罩質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和第60百分位數(shù)；（2）現(xiàn)從樣本口罩中利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8個口罩，再從中抽取3個，記其中一級口罩個數(shù)為，求的分布列及方差；（3）在2024年“五一”勞動節(jié)前，甲?乙兩人計劃同時在該型號口罩的某網(wǎng)絡(luò)購物平臺上分別參加兩店各一個訂單“秒殺”搶購，其中每個訂單由個該型號口罩構(gòu)成.假定甲?乙兩人在兩店訂單“秒殺”成功的概率分別為，記甲?乙兩人搶購成功的口罩總數(shù)量為，求當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)期望取最大值時正整數(shù)的值.2024-2025學(xué)年廣西柳州市高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）.1.的虛部為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡得，再根據(jù)虛部的定義即可求解．【詳解】，則所求虛部為.故選：A．2.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.48 B.42 C.24 D.21【正確答案】B【分析】利用等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)求出的值，再由等差數(shù)列的求和公式即可求得.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列，故，則.故選：B.3.已知，是兩個平面，m，n是兩條直線，則下列命題正確的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，則【正確答案】B【分析】對于A，若，，，不一定；對于B，先由和得，再由結(jié)合面面垂直的判定定理即可得解；對于C，若，，，則與相交或或；對于D，若，，由面面垂直的性質(zhì)得或.【詳解】對于A，若，，，則與相交或，故A錯誤；對于B，若，，則，又，則，故B正確；對于C，若，，，則與相交或或，故C錯誤；對于D，若，，則或，故D錯誤.故選：B.4.函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，得到的圖象，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移即可求解.【詳解】的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，再把橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，得到的圖象故選：A．5.已知圓臺的體積為，母線長為3，高為，則圓臺的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用母線長和高，求出上底面半徑和下底面半徑的等式關(guān)系，然后利用體積求出上底面半徑和下底面半徑的另一個等式關(guān)系，然后求出上下底面半徑，再用側(cè)面積公式即可求解.【詳解】設(shè)上底面半徑為，下底面半徑為，如圖，根據(jù)題意，在中，，即，又因?yàn)閳A臺的體積為，所以，即由①②方程可得：，所以圓臺的側(cè)面積為.故選：D.6.已知向量，滿足，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用平面向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】由得，兩式相減得，，所以，則.故選：A.7.在棱長為4的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量和，再利用點(diǎn)到平面距離的向量法，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎襟w的棱長為4，則，所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，由，得到，取，得到，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為，故選：C.8.直角三角形中，，分別為的中線，角平分線，若線段的長度成等差數(shù)列，公差，則等于（）A.5 B. C.2 D.【正確答案】B【分析】利用等差中項(xiàng)可得，即可利用正弦定理求解.【詳解】設(shè)，由題意可得,由成等差數(shù)列，得，則，故,由正弦定理可得，即故,故選：B二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）.9.下列運(yùn)算中正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】ABD【分析】利用對數(shù)運(yùn)算計算判斷A；利用誘導(dǎo)公式計算判斷B；利用二次根式化簡判斷C；利用輔助角公式計算判斷D.【詳解】對于A，，A正確；對于B，，B正確；對于C，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：ABD10.如圖所示，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則（）A.B.直線，，交于同一點(diǎn)C.直線與直線所成角的正切值為D.平面截正方體所得的截面周長為【正確答案】AC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，得出各點(diǎn)坐標(biāo)，由直線的方向向量知識逐一分析ABC,找到截面判斷D即可.【詳解】由題意，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，正方體的棱長為，，則，，即，故正確；由題意，如圖，與共面且相交，設(shè)，則，，可得與不平行，即不共線，故直線，，不交于同一點(diǎn)，故錯誤；，則，，則，故正確；如圖，延長，與所在直線分別交于，連接分別交于，則五邊形即為所得截面，分別為的中點(diǎn)，得，，又，，故為三等分點(diǎn)，，，故平面截正方體所得的截面周長為，故錯誤.故選：AC.11.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，其前項(xiàng)和為，若，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，最大B.使得成立的最小自然數(shù)C.D.數(shù)列中的最小項(xiàng)為【正確答案】ACD【分析】利用等差數(shù)列及，判斷出，，再利用等差數(shù)列和等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】若，則，所以，即等差數(shù)列an為遞減數(shù)列，對于A，由，知等差數(shù)列an前7項(xiàng)為正數(shù)，其余項(xiàng)為負(fù)數(shù)，故當(dāng)時，最大，故A正確；對于B，，故所以使得成立的最小自然數(shù)不是，故B錯誤；對于C，，則，故C正確；對于D，當(dāng)或時，；當(dāng)時，；由，所以中最小項(xiàng)為，故D正確.故選：ACD三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）.12.已知是公比為的等比數(shù)列，若，則______.【正確答案】25【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)樗怨?513.直三棱柱的各個頂點(diǎn)都在球O的球面上，且．若球O的表面積為，則這個三棱柱的體積是_________．【正確答案】【分析】由已知直三棱柱的底面為直角三角形，所以其外接球的球心位于側(cè)面的中心，根據(jù)球的半徑計算棱柱的高即可求出棱柱的體積．【詳解】解：，，，直三棱柱外接球的球心即為側(cè)面的中心，設(shè)球半徑為，則，，即，直三棱柱的高，直三棱柱的體積，故．14.若存在正實(shí)數(shù)x，使得不等式成立，則a的最大值為______．【正確答案】【分析】利用同構(gòu)法先把不等式化為，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為，再分離參數(shù)得，再求函數(shù)的最大值即可.【詳解】由，又，所以.設(shè)，則，所以在0,+∞上單調(diào)遞增.所以（）.設(shè)（），則，由；由.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以.因?yàn)榇嬖谡龑?shí)數(shù)x，使得不等式成立，所以.即的最大值為.故方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．四?解答題（本題共5小題；共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）.15.已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）探究的最小值.【正確答案】（1）（2）答案見解析.【分析】（1）當(dāng)時，求出f1=0，求導(dǎo)，得到，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程；（2）對求定義域，求導(dǎo)，根據(jù)取不同的值得到函數(shù)單調(diào)性，即可求出最小值.【小問1詳解】當(dāng)時，，則f1=0，由，得.因此所求的切線方程為.即.【小問2詳解】由題意得的定義域?yàn)?,+∞.由，得.當(dāng)時，f'x>0，則在0,+∞當(dāng)時，令f'x<0，得，令0，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以16.設(shè)為數(shù)列前項(xiàng)和，滿足.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式.（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用的關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；（2）為奇數(shù)時，．為偶數(shù)時，,利用等比求和公式以及裂項(xiàng)相消法，結(jié)合分組求和即可得解．【小問1詳解】由，，兩式相減得，得，又，解得．故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．故．【小問2詳解】為奇數(shù)時，．為偶數(shù)時，，17.如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，.（1）點(diǎn)在側(cè)棱上，且平面，確定在側(cè)棱上的位置；（2）若平面平面，且，求二面角的余弦值.【正確答案】（1）為側(cè)棱上靠近處的三等分點(diǎn)；（2）【分析】（1）根據(jù)平面，得出，結(jié)合底面是直角梯形，，且，得出，即可求解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的一個法向量，利用向量夾角公式即可求解.小問1詳解】連接，設(shè)，連接，則平面平面，平面，面，底面是直角梯形，，且，，則，為側(cè)棱上靠近處的三等分點(diǎn)；【小問2詳解】平面平面，且，，平面平面，平面，平面，（為中點(diǎn)）如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，依題意有A1,0,0，，，，則，，，顯然是平面一個法向量，設(shè)是平面的一個法向量，則，取得，，二面角的大小的余弦值為.18.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點(diǎn)為，且該橢圓過點(diǎn)，直線（1）求橢圓E的方程；（2）若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線l的方程；（3）若直線l方程為，過A、B作直線的垂線，垂足分別為P、Q，點(diǎn)R為線段PQ的中點(diǎn)，求證：四邊形ARQF為梯形.【正確答案】（1）（2）（3）證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的方程.（2）利用點(diǎn)差法求得直線的斜率，進(jìn)而求得直線的方程.（3）聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，計算，以及AF與RQ，從而判斷出四邊形ARQF為梯形.【小問1詳解】由題得，將代入得：，橢圓E的方程為.【小問2詳解】設(shè)Ax1,y且，兩式相減得：，可得，l方程為，即.【小問3詳解】由得：，且，，∴，又直線的斜率存在，AF與RQ不平行，∴四邊形ARQF為梯形.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知條件求得，和是兩個未知參數(shù)，要求出兩個參數(shù)的值，需要兩個已知條件，如本題中“橢圓的右焦點(diǎn)以及橢圓所過點(diǎn)”兩個已知條件，再結(jié)合即可求得，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.19.在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點(diǎn)生產(chǎn)口罩?防護(hù)服?消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國際社會上贏得一片贊譽(yù).我國某口罩生產(chǎn)廠商在加大生產(chǎn)的同時，狠抓質(zhì)量管理，不定時抽查口罩質(zhì)量?該廠質(zhì)檢人員從某日生產(chǎn)的口罩中隨機(jī)抽取了100個，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下五組：，得到如下頻率分布直方圖.規(guī)定：口罩的質(zhì)量指標(biāo)值越高，說明該口罩質(zhì)量越好，其中質(zhì)量指標(biāo)值低于130的為二級口罩，質(zhì)量指標(biāo)值不低于130的為一級口罩.（1）求該廠商生產(chǎn)口罩質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和第60百分位數(shù)；（2）現(xiàn)從樣本口罩中利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8個口罩，再從中抽取3個，記其