2024-2025學(xué)年河北省邢臺市高三上冊10聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年河北省邢臺市高三上學(xué)期10聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、考場號、座位號、考生號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知命題，命題，，則（）A.和都是真命題B.和都是真命題C.和都是真命題D.和都是真命題2.已知全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B.C. D.3.已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則（）A.4 B.5 C.6 D.74.已知，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B.C. D.5.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.6.對數(shù)螺線在自然界中廣泛存在，比如鸚鵡螺的外殼就是精度很高的對數(shù)螺線，向日葵種子的排列方式、松子在松果上的排列方式都和對數(shù)螺線高度吻合.已知某種對數(shù)螺線的解析式可以用表示，其中，則（）AB.C.D.7.“”是“函數(shù)的值域?yàn)椤钡模ǎ〢.充要條件 B.必要不充分條件C充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)f'x的定義域均為R，若的圖象關(guān)于直線對稱，且，則（）A.10 B.20 C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知集合，則下列說法正確的是（）A. B.C.集合有15個(gè)真子集 D.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的圖象無對稱中心B.C.圖象與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱D.的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱11.記函數(shù)的零點(diǎn)為，則下列說法正確的是（）A.B.C.當(dāng)時(shí)，D.為函數(shù)的極值點(diǎn)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的定義域?yàn)開_____.13.已知，則最小值為______.14.若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)使得在處的切線與在處的切線的夾角為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.根據(jù)指數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解決下面兩個(gè)問題：（1）已知，證明：；（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.16.已知正數(shù)滿足.（1）求的取值范圍；（2）證明.17.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，比較與0的大小關(guān)系，并說明理由.18.一天中，區(qū)域的居民活動(dòng)類型（工作、學(xué)習(xí)和休閑）越豐富，活動(dòng)地點(diǎn)總數(shù)越多，區(qū)域之間人口流動(dòng)越頻繁，其活力越高.市基于大數(shù)據(jù)測算城市活力，發(fā)現(xiàn)該市一工作日中活力度與一日中時(shí)間的關(guān)系可以用函數(shù)來刻畫，其中，正午12點(diǎn)時(shí)，該市的活力度為20，是該工作日內(nèi)活力度的最高值.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求市該工作日內(nèi)活力度不大于10時(shí)長；（3）證明：市該工作日內(nèi)活力度升高時(shí)所對應(yīng)瞬時(shí)變化率的絕對值恒大于活力度降低時(shí)所對應(yīng)瞬時(shí)變化率的絕對值（附：）.19.有一種美，叫做對稱美，數(shù)學(xué)中的“對稱”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美，對稱性是數(shù)學(xué)美的最重要的特征.若函數(shù)的圖象在其定義域內(nèi)連續(xù)，在的定義域內(nèi)且函數(shù)的圖象上存在關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)，則稱直線為函數(shù)圖象的一條“準(zhǔn)對稱軸”.（1）已知二次函數(shù)，直線為函數(shù)圖象的“準(zhǔn)對稱軸”，請直接寫出的取值；（2）已知三次函數(shù)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，直線為函數(shù)圖象的一條“準(zhǔn)對稱軸”；（3）已知為函數(shù)的極值點(diǎn)，判斷直線是否是函數(shù)圖象的一條“準(zhǔn)對稱軸”，并說明理由.2024-2025學(xué)年河北省邢臺市高三上學(xué)期10聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、考場號、座位號、考生號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知命題，命題，，則（）A.和都是真命題B.和都真命題C.和都是真命題D.和都是真命題【正確答案】C【分析】先判斷出命題的真假，再結(jié)合命題的否定的概念可得結(jié)論．【詳解】，，因此恒成立，命題為真，則為假，由正弦函數(shù)性質(zhì)知命題為假，則為真，故選：C．2.已知全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】確定集合，然后根據(jù)文氏圖的概念及集合的運(yùn)算求解．【詳解】由題意，陰影部分為.故選：D．3.已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則（）A.4 B.5 C.6 D.7【正確答案】C【分析】直接由冪函數(shù)的定義列方程組即可求解.【詳解】由題意.故選：C.4.已知，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】對于ACD舉反例即可判斷；對于B，由作差法即可判斷.【詳解】對于A，取，滿足題意，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；對于B，，故B正確；對于C，取滿足題意，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；對于D，取滿足題意，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：B.5.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】時(shí)，遞增，因此時(shí)也必須遞增，由二次函數(shù)的性質(zhì)及臨界點(diǎn)的函數(shù)值的大小關(guān)系列不等式組求解可得．【詳解】時(shí)，遞增，時(shí)，，要使得在上單調(diào)遞增，則，解得，故選：B．6.對數(shù)螺線在自然界中廣泛存在，比如鸚鵡螺的外殼就是精度很高的對數(shù)螺線，向日葵種子的排列方式、松子在松果上的排列方式都和對數(shù)螺線高度吻合.已知某種對數(shù)螺線的解析式可以用表示，其中，則（）A.B.C.D.【正確答案】A【分析】分析得知，故只需比較的大小關(guān)系即可.【詳解】顯然，，若，則，所以若要比較的大小關(guān)系，只需要比較的大小關(guān)系即可，顯然，而，從而，所以，故A正確.故選：A.7.“”是“函數(shù)的值域?yàn)椤钡模ǎ〢.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】求出函數(shù)的值域?yàn)镽時(shí)的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷．【詳解】，時(shí)，，值域是，若，則（需要函數(shù)才存在），函數(shù)的值域不可能是，若，則的最小值是，因此，又，故解得，綜上有，因此“”是“函數(shù)的值域?yàn)镽”的充分不必要條件．故選：C．8.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)f'x的定義域均為R，若的圖象關(guān)于直線對稱，且，則（）A.10 B.20 C. D.【正確答案】A【分析】由對稱性得，結(jié)合已知式分別求導(dǎo)后得出，從而數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，用賦值法求得和后可計(jì)算出，再由已知與對稱性得出，利用遞推式求得，從而可得結(jié)論．【詳解】的圖象關(guān)于直線對稱，則，所以，又，則，所以，從而，因此及是公差為的等差數(shù)列，其中，又在中令得，即得，在中令得，則，因此，于是，，所以，又由及得，從而，而所以，所以，故選：A．方法點(diǎn)睛：由對稱性得出，與已知式比較可得的一個(gè)遞推關(guān)系式，從而可求得一些特殊的函數(shù)值，同樣對它們分別求導(dǎo)，又可得出關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的遞推式，即得出數(shù)列及都是等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求得結(jié)論．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知集合，則下列說法正確的是（）A. B.C.集合有15個(gè)真子集 D.【正確答案】ABD【分析】根據(jù)一元二次不等式，可得集合的元素，根據(jù)元素與集合關(guān)系、元素的個(gè)數(shù)、子集與真子集的定義，可得答案.【詳解】由，則，解得，所以，易知，故A正確；，故B正確；，故D正確；集合的真子集個(gè)數(shù)，故C錯(cuò)誤.故選：ABD.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的圖象無對稱中心B.C.的圖象與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱D.的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱【正確答案】BC【分析】由點(diǎn)的對稱性判斷圖象的對稱性，從而判斷AC，直接代入計(jì)算判斷B，利用反函數(shù)的解析式判斷D．【詳解】選項(xiàng)A，由已知的定義域是且，假設(shè)的圖象有對稱中心，取，其中，關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)是，但不在的定義域內(nèi)，即不是圖象上的點(diǎn)，與對稱性矛盾，因此假設(shè)錯(cuò)誤，所以A正確；選項(xiàng)B，，B正確；選項(xiàng)C，設(shè)是圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象上任一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為在的圖象上，因此，即，所以的圖象上任一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)在的圖象上，同理可證的圖象上任一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)都在的圖象上，C正確；選項(xiàng)D，由得，，所以的圖象關(guān)于直線對稱的圖象的函數(shù)式為，D錯(cuò)，故選：BC．11.記函數(shù)的零點(diǎn)為，則下列說法正確的是（）A.BC.當(dāng)時(shí)，D.為函數(shù)的極值點(diǎn)【正確答案】BC【分析】A選項(xiàng)，等價(jià)變形后可判斷選項(xiàng)正誤；B選項(xiàng)，利用零點(diǎn)存在性定理可判斷選項(xiàng)正誤；C選項(xiàng)，研究函數(shù)的單調(diào)性，后判斷0與大小即可判斷選項(xiàng)正誤；D選項(xiàng)，由題可得，后由AB選項(xiàng)分析可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】A選項(xiàng)，由題，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，則0,+∞上單調(diào)遞增，即在0,+∞上有唯一零點(diǎn).又，，因，則.則由零點(diǎn)存在性定理，，故B正確；C選項(xiàng)，令，x∈0,+∞則，得在0,+∞上單調(diào)遞增，，由B選項(xiàng)分析，則當(dāng)時(shí)，，故C正確；D選項(xiàng)，設(shè)，兩邊求導(dǎo)得.則，.由A選項(xiàng)分析，，又，則.又由B分析，，又，則，得，則不為函數(shù)的極值點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選：BC關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：A要注意指對轉(zhuǎn)化；B單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理常用來尋找函數(shù)零點(diǎn)；C將函數(shù)大小比較問題，轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)最小值是否大于零；D若一個(gè)函數(shù)指數(shù)中含有函數(shù)，常利用分析中所用方法求導(dǎo)數(shù).三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的定義域?yàn)開_____.【正確答案】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及分式的意義求解．【詳解】由題意，解得且，所以定義域?yàn)椋剩?3.已知，則的最小值為______.【正確答案】【分析】將變形為，換元，令，構(gòu)造均值不等式求解即可.【詳解】，令，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號.所以的最小值為.故答案為.14.若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)使得在處的切線與在處的切線的夾角為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【正確答案】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，得出切線斜率的最大值和最小值，由斜率最大和最小的兩條切線的夾角不小于可得參數(shù)范圍．【詳解】，，，設(shè)斜率最大與斜率最小的兩條切線的夾角為，，由題意，解得．故．方法點(diǎn)睛：從動(dòng)態(tài)角度看，斜率最大和最小的兩條切線的夾角不小于時(shí)，移動(dòng)其中一個(gè)切線的切點(diǎn)，則兩條切線的夾角隨之發(fā)生變化，當(dāng)兩切線重合時(shí)夾角變?yōu)?，由連續(xù)性的變化知中間一定存在夾角為的切線，由此得解法．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.根據(jù)指數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解決下面兩個(gè)問題：（1）已知，證明：；（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）證明見解析.（2）【分析】（1）整理不等式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得答案；（2）整理方程，根據(jù)一元二次方程根在情況，建立不等式組，可得答案.小問1詳解】證明：由，則，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，故.【小問2詳解】由方程，整理可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，由題意可知，方程有兩個(gè)不相等的正根，則，解得.16.已知正數(shù)滿足.（1）求的取值范圍；（2）證明.【正確答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）注意到，從而解不等式即可求解；（2）首先證明，然后結(jié)合即可得證.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，又,所以，故的取值范圍為；【小問2詳解】一方面：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，另一方面：，而，從而.17.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，比較與0的大小關(guān)系，并說明理由.【正確答案】（1）（2）,理由見解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）分別討論在上的單調(diào)性確定最值即可判斷.【小問1詳解】由得：所以，所以曲線y=fx在點(diǎn)處的切線方程.【小問2詳解】,,當(dāng)，顯然，此時(shí)在上單調(diào)遞增，令，則易知在單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，也即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，也即單調(diào)遞增，又，，所以f'x<0在上成立，即在遞減，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以在處取最小值所以.18.一天中，區(qū)域的居民活動(dòng)類型（工作、學(xué)習(xí)和休閑）越豐富，活動(dòng)地點(diǎn)總數(shù)越多，區(qū)域之間人口流動(dòng)越頻繁，其活力越高.市基于大數(shù)據(jù)測算城市活力，發(fā)現(xiàn)該市一工作日中活力度與一日中時(shí)間的關(guān)系可以用函數(shù)來刻畫，其中，正午12點(diǎn)時(shí)，該市的活力度為20，是該工作日內(nèi)活力度的最高值.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求市該工作日內(nèi)活力度不大于10的時(shí)長；（3）證明：市該工作日內(nèi)活力度升高時(shí)所對應(yīng)瞬時(shí)變化率的絕對值恒大于活力度降低時(shí)所對應(yīng)瞬時(shí)變化率的絕對值（附：）.【正確答案】（1），；（2）14；（3）證明見解析.【分析】（1）由求得，再由求得；（2）分段解不等式可得；（3）確定該工作日內(nèi)活力度升高時(shí)所對應(yīng)瞬時(shí)變化率的絕對值恒大于活力度降低時(shí)所對應(yīng)瞬時(shí)變化率的絕對值（用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解），然后證明.【小問1詳解】由已知，，，，解得；【小問2詳解】時(shí)顯然滿足要求，，，，，解得，，，該工作日內(nèi)活力度不大于10的時(shí)長為14小時(shí)；【小問3詳解】該工作日內(nèi)活力度升高時(shí)所對應(yīng)瞬時(shí)變化率為，活力度降低時(shí)，，活力度降低時(shí)所對應(yīng)瞬時(shí)變化率為，，所以.19.有一種美，叫做對稱美，數(shù)學(xué)中的“對稱”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美，對稱性是數(shù)學(xué)美的最重要的特征.若函數(shù)的圖象在其定義域內(nèi)連續(xù)，在的定義域內(nèi)且函數(shù)的圖象上存在關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)，則稱直線為函數(shù)圖象的一條“準(zhǔn)對稱軸”.（1）已知二次函數(shù)，直線為函數(shù)