2024-2025學(xué)年河北省張家口市尚義縣高二上冊10月月考數(shù)學(xué)階段檢測試卷合集2套（含解析）

2024-2025學(xué)年河北省張家口市尚義縣高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)階段檢測試卷（一）一、單選題（本大題共2小題）1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)是（

）A． B．C． D．2．已知，且與共線，則的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共1小題）3．一組樣本數(shù)據(jù)為6，11，12，16，17，19，31，則錯(cuò)誤的選項(xiàng)為（

）A．該組數(shù)據(jù)的極差為25B．該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為17C．該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16D．若該組數(shù)據(jù)去掉一個(gè)數(shù)得到一組新數(shù)據(jù)，則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能相等三、單選題（本大題共5小題）4．在三棱柱中，（

）A． B． C． D．5．若空間中有三點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．6．已知點(diǎn)，又點(diǎn)在平面內(nèi)，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．47．如圖，二面角等于是棱上兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，，且，則CD的長等于（

）

A． B． C． D．8．已知四棱錐平面BCDE，底面EBCD是為直角，的直角梯形，如圖所示，且，點(diǎn)為AD的中點(diǎn)，則到直線BC的距離為（

）A． B． C． D．四、多選題（本大題共3小題）9．下列利用方向向量、法向量判斷直線、平面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（

）A．若兩個(gè)不重合的平面法向量平行，則這兩個(gè)平面平行B．若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行C．兩條不重合直線的方向向量分別是，則D．直線的方向向量，平面的法向量是，則10．下列說法正確的是（

）A．向量與向量共面B．若與共面，則，使得C．若是空間的一個(gè)基底，則能構(gòu)成空間一個(gè)基底D．若，則共面，反之不正確11．棱長為1的正方體中，點(diǎn)在棱CD上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，滿足平面，則（

）A．點(diǎn)在側(cè)面對(duì)角線上 B．點(diǎn)在側(cè)面對(duì)角線上C．線段PQ的最小值為 D．線段PQ的最小值為五、填空題（本大題共3小題）12．已知平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)是平面上的一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為.13．如圖，兩個(gè)開關(guān)串聯(lián)再與開關(guān)并聯(lián)，在某段時(shí)間內(nèi)每個(gè)開關(guān)能夠閉合的概率都是能夠閉合的概率為0.7，計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率為.

14．空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且法向量為的平面方程為，經(jīng)過點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的材料并解決下面問題：現(xiàn)給出平面的方程為，經(jīng)過的直線的方程為，則當(dāng)變化時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，平面的方程為.六、解答題（本大題共5小題）15．在第29個(gè)“世界讀書日”到來之際，樹人中學(xué)舉辦了讀書知識(shí)競賽，現(xiàn)從參加競賽的同學(xué)中，選取100名同學(xué)并將其成績(百分制，均為整數(shù))分成六組:第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組90,100，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a的值，并估計(jì)這100名學(xué)生成績的第85百分位數(shù)（保留一位小數(shù)）；(2)若先用分層抽樣方法從得分在和的學(xué)生中抽取5人，然后再從抽出的5人中任意選取2人，調(diào)查其讀書情況，求此2人得分不在同一組的概率.16．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱AP的長為2，且與的夾角都等于在棱PD上，，設(shè)，.

(1)試用表示向量；(2)求與的夾角.17．如圖，在長方體中，.

(1)證明：平面；(2)求到平面的距離.18．如圖1，等腰中，底分別為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使得平面平面，如圖2.(1)求證：平面；(2)為線段上靠近的三等分點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值.19．如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，，且底面，點(diǎn)P、Q分別是棱的中點(diǎn).(1)在底面內(nèi)是否存在點(diǎn)，滿足平面?若存在，請(qǐng)說明點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)設(shè)平面交棱于點(diǎn)T，平面將四棱臺(tái)分成上，下兩部分，求與平面所成角的正弦值.

答案1．【正確答案】C【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的特征為坐標(biāo)不變，取相反數(shù)，因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)是.故選：C.2．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，且與共線，所以，解得，所以.故選：B.3．【正確答案】ACD【詳解】對(duì)于A，根據(jù)極差定義，該組數(shù)據(jù)的極差為，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故C正確；對(duì)于D，若該組數(shù)據(jù)去掉得到一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)6，11，12，17，19，31的平均數(shù)為，所以這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故D正確.故選：ACD.4．【正確答案】C【詳解】如圖所示根據(jù)題意知又因三棱柱，所以可知平面都是矩形，則，所以，根據(jù)向量的平行四邊形法則可得故選：C5．【正確答案】D【詳解】，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得，令得，所以，則點(diǎn)到平面的距離為.故選：D.6．【正確答案】C【詳解】，，由于，所以三點(diǎn)不共線，可得，即可得，解得.故選：C.7．【正確答案】A【詳解】由二面角的平面角的定義知向量，所以，得，由得，因?yàn)椋裕傻?故選：A.8．【正確答案】A【詳解】由題意知，平面，平面，所以，又，故以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，得所以，，記，則，所以F到直線BC的距離為.故選：A9．【正確答案】ABC【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)閮蓚€(gè)不重合的平面法向量平行，則其中一個(gè)平面的法向量也垂直于另一個(gè)平面，即可得一平面的法向量垂直于兩個(gè)不同平面，所以這兩個(gè)平面平行，故正確；對(duì)于B，因?yàn)閮芍本€的方向向量不平行，所以這兩直線不平行，故正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，故正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，所以，所以或，故錯(cuò)誤.故選：ABC.10．【正確答案】AB【詳解】對(duì)于A，令，則，解得，可得，故A正確；對(duì)于B，若與共面，則，使得，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)槭强臻g的一個(gè)基底，所以不共面，假設(shè)共面，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，解得，所以假設(shè)成立，所以不能構(gòu)成空間一個(gè)基底，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則共面，反之也正確，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11．【正確答案】BD【詳解】如圖建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，所以因?yàn)槠矫?，所以，可得，由可知點(diǎn)在側(cè)面對(duì)角線上，故A錯(cuò)誤，B正確；，可得，所以，故當(dāng)時(shí)，，故D正確.故選：BD.12．【正確答案】【詳解】由題意可知，根據(jù)點(diǎn)到平面的距離為.故13．【正確答案】0.775/【詳解】由題意，開關(guān)在某段時(shí)間均正常工作的概率，開關(guān)在某段時(shí)間正常工作的概率，這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率為.故0.775.14．【正確答案】【詳解】由題設(shè)知：平面的法向量，直線的方向向量，且平面與直線相交于，所以直線與平面所成角的正弦值為，對(duì)于二次函數(shù)，其是圖象一條開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最小值，且最小值為，此時(shí)直線l與平面α所成角的正弦值取到最大值，最大值為，對(duì)應(yīng)平面的方程為.故答案為.15．【正確答案】(1)，(2)【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得：，解得；因?yàn)槌煽冊诘念l率為，所以，第百分位數(shù)位于，設(shè)其為，則，解得，所以，第百分位數(shù)約為.（2）由頻率分布直方圖可知：得分在和內(nèi)的頻率分別為0.04和0.06，采用分層抽樣知，抽取的5人，在內(nèi)的人數(shù)為2人，在內(nèi)的人數(shù)為3人，設(shè)分?jǐn)?shù)在[40，50)內(nèi)的2人為，分?jǐn)?shù)在[50，60)內(nèi)的3人為，則在這5人中抽取2人的情況有：，，，，，，，，，，共有10種情況，其中得分不在同一組的2人有：，，，，，，有6種情況，所以概率為.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）；（2）因?yàn)?，，，所以，所以，因?yàn)?，所以與的夾角為.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）在長方體中，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，所以，，所以，又因，平面，平面，所以平面；（2）設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，到平面的距離為，由，所以，令，可求得則，所以.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面；?）如圖，由（1）知平面，取的中點(diǎn)，連接，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，可得，，由得，則，設(shè)n=x,y,z為平面則，即，令，則，所以，為平面的一個(gè)法向量，所以，由圖可得平面與平面夾角的余弦值為.19．【正確答案】(1)存在點(diǎn)(2)【詳解】（1）因底面，且是正方形，故可以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.則因點(diǎn)P、Q分別是棱的中點(diǎn)，則,,假設(shè)在底面內(nèi)存在點(diǎn)，使得平面，則則由，解得，故存在點(diǎn)，滿足平面；（2）按照（1）建系，設(shè)點(diǎn)，依題意，四點(diǎn)共面，故必有,即，則得，，解得，即，又,設(shè)平面的法向量為，則，故可取.因，設(shè)與平面所成角為，則.即與平面所成角的正弦值為.2024-2025學(xué)年河北省張家口市尚義縣高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)階段檢測試卷（二）一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)直線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．2．已知平面的一個(gè)法向量為，直線的一個(gè)方向向量為，若，則（

）A． B． C．1 D．23．已知直線與平行，且過點(diǎn)，則（

）A． B．3 C． D．24．如圖，在正三棱錐中，點(diǎn)為的重心，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，記，則（

）A． B．C． D．5．已知從點(diǎn)發(fā)出的一束光線，經(jīng)過直線反射，反射光線恰好過點(diǎn)，則反射光線所在的直線方程為（

）A． B．C． D．6．如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．7．已知實(shí)數(shù)滿足，且，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．在正三棱錐中，，點(diǎn)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知空間向量，且，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．10．已知直線：和直線：，下列說法正確的是（

）A．始終過定點(diǎn) B．若，則或C．若，則或2 D．當(dāng)時(shí)，始終不過第三象限11．如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)是底面內(nèi)的一點(diǎn)（包括邊界），且，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)的軌跡長度為B．點(diǎn)到平面的距離是定值C．直線與平面所成角的正切值的最大值為D．的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知過點(diǎn)的直線在軸上的截距是其在軸上截距的3倍，則滿足條件的一條直線的方程為．13．已知向量，若共面，則.14．如圖，在正三棱柱中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），為的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.(1)若點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，求直線的方程；(2)求邊上的高所在的直線方程.16．如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線與直線的夾角的余弦值.17．如圖，在直四棱柱中，四邊形是矩形，，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，且.(1)求證：四邊形為正方形；(2)求直線與平面所成角的正弦值.18．已知直線過定點(diǎn)P.(1)求過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等的直線方程；(2)若直線過點(diǎn)且交軸正半軸于點(diǎn)，交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，記的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值，并求此時(shí)直線的方程.19．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面內(nèi)過作，交于，連.(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值；(3)在線段上存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角的正弦值為，求的長.

答案1．【正確答案】A【分析】設(shè)直線的傾斜角為，根據(jù)題意，得到，即可求解.【詳解】由直線，可得直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，其中，可得，所以.故選A.2．【正確答案】B【分析】根據(jù)得到，根據(jù)數(shù)量積為求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，解?故選B.3．【正確答案】D【分析】根據(jù)兩直線平行的條件求出，將代入直線求出即可.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得，又直線過，則，解得，經(jīng)驗(yàn)證與不重合，所以.故選D.4．【正確答案】A【分析】結(jié)合圖形，利用向量的線性運(yùn)算將所求向量用基底表示化簡即得.【詳解】如圖，連接并延長交于點(diǎn)，連接.因?yàn)闉榈闹匦?，故，又點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，故.故選A.5．【正確答案】C【分析】運(yùn)用點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱找出對(duì)稱點(diǎn)，結(jié)合光線反射性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)設(shè)為，則，反射光線經(jīng)過點(diǎn)，則反射光線所在的直線方程為，即.故選C.6．【正確答案】C【分析】取的中點(diǎn)，以所在直線為軸，所在直線為軸，與中點(diǎn)連線所在直線為軸，建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】取的中點(diǎn)，則，以所在直線為軸，所在直線為軸，與中點(diǎn)連線所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，所以，所以在上的投影的長度為，故點(diǎn)到直線的距離為.故選C.7．【正確答案】D【詳解】由題意知，點(diǎn)滿足關(guān)系式，且，可得點(diǎn)在線段上移動(dòng)，且，，如圖所示，設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以的取值范圍是.故選：D.8．【正確答案】B【詳解】如圖所示，延長至點(diǎn)，使得，所以，又由，所以四點(diǎn)共面，所以的最小值，即為點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的一半，又因?yàn)?，所以三棱錐為正三棱錐，取等邊的中心為，連接，可得平面，所以即為點(diǎn)到平面的距離，在等邊，因?yàn)椋傻茫谥苯侵?，可得，即點(diǎn)到平面的距離為，所以的最小值為.故選：B.9．【正確答案】ABD【分析】根據(jù)空間向量的模的坐標(biāo)公式即可判斷A；根據(jù)空間向量共線定理即可判斷B；根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可判斷C；根據(jù)空間向量夾角的坐標(biāo)公式即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，，故A正確；對(duì)于B，，設(shè)，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.故選ABD.10．【正確答案】ACD【詳解】選項(xiàng)A：：，令，得，過點(diǎn)，A正確；選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，重合，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，由，得或2，故C正確；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，：始終過，斜率為負(fù)，不會(huì)過第三象限，故D正確.故選：ACD11．【正確答案】BCD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以，即點(diǎn)在底面內(nèi)是以為圓心?半徑為1的圓上，所以點(diǎn)的軌跡長度為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在正方體中，，又平面，所以平面，所以點(diǎn)的軌跡為線段，又平面，所以點(diǎn)到平面的距離是定值，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成角，因?yàn)辄c(diǎn)到的距離為定值2，記點(diǎn)在平面的投影為，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，直線與平面所成角的正切值最大，又，所以直線與平面所成角的正切值的最大值為，故C正確；對(duì)于D，到直線的距離為，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，，故D正確.故選：BCD.12．【正確答案】（答案不唯一：或）【詳解】由題意若過點(diǎn)的直線在坐標(biāo)軸上的截距均為0，則顯然滿足題意，即，否則設(shè)滿足題意的直線方程為，將代入得a=2，即也滿足題意.故（答案不唯一：或）.13．【正確答案】5【分析】根據(jù)共面向量基本定理，即可列式求解.【詳解】因?yàn)楣裁?，所以存在?shí)數(shù)，使得，即，即，解得：，，.故5.14．【正確答案】【詳解】取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，且，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故，于是，平面的一個(gè)法向量為，，設(shè)，則，，故，即直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.故．15．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到，再由兩點(diǎn)求出斜率，最后由點(diǎn)斜式方程求出即可；（2）由兩直線垂直求出邊上的高所在的直線的斜率為，再由點(diǎn)斜式得到直線方程即可；【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，則，所以，所以直線的方程為，即；（2）因?yàn)?，所以邊上的高所在的直線的斜率為，所以邊上的高所在的直線方程為，即.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】求三角形一邊的高所在的直線方程時(shí)，可利用點(diǎn)斜式求解，由于高線過三角形一個(gè)頂點(diǎn)，與對(duì)邊垂直，借助垂直求出斜率，利用點(diǎn)斜式寫出直線方程.16．【正確答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）先證，再由線線平行正線面平行即可；（2）由題意建系，求出相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式計(jì)算即得.【詳解】（1）因?yàn)槭侵比庵?，則，又因?yàn)辄c(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，所以，則四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，故平面；?）如圖