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文檔簡介
估計量的
評價標準對于同一個參數(shù),用不同的估計方法求出的估計量可能不相同.問題:采用哪一個估計量好?一無偏性三相合性二有效性設總體X~F(x,
),其中
為未知參數(shù),X1,X2
,…,Xn是來自該總體的樣本,為
的一個估計量.
估計量
是一個隨機變量當樣本(X1
,…,Xn)有觀測值(x1
,…,xn)時,估計值為當樣本(X1
,…,Xn)有觀測值(y1
,…,yn)時,估計值為由不同的觀測結果,就會求得不同的參數(shù)估計值.因此評價一個估計量的好壞,不能僅僅依據(jù)一次試驗的結果來判斷,而必須根據(jù)估計量的分布從整體上來做評價.當樣本取不同的觀測值時,希望相應的估計值在未知參數(shù)真值附近擺動,而它的均值與未知參數(shù)的真值的偏差越小越好.
當這種偏差為0時,就導致無偏性這個標準.
3.4.1無偏性定義3.4.1設為一參數(shù)分布族,其中Θ為參數(shù)空間.X1,X2,…,Xn是從該分布族中的某總體抽取的樣本,
是總體分布中的未知參數(shù),設為未知參數(shù)
的估計量,若對任意
Θ,都有則稱為
的無偏估計.設g(
)
為待估參數(shù),為g(
)的估計量,若對任意
Θ,都有則稱為g(
)的無偏估計.記稱bn為估計的偏差.如果bn
0
,則稱為參數(shù)
的有偏估計.若則稱為參數(shù)
的漸近無偏估計.1無系統(tǒng)性偏差.2由于估計量是隨機變量,故評價它是否合理,不能根據(jù)一
次估計的結果,而應該根據(jù)多次反復使用這個統(tǒng)計量的“平均”效果來評價.由此給出無偏估計的“頻率解釋”.無偏性說明對于無偏估計量,單次的估計值相對于真值,可能偏大,也可能偏小,它無法說明一次估計所產(chǎn)生的偏差,但反復將這一估計量使用多次,平均來說其偏差為0.注意:要求估計量大量重復使用,在多次重復使用下給出接近真值θ
的估計.
假定在同一個模型(同樣的總體分布與樣本容量)下,對同一個參數(shù)函數(shù)g(θ)用同一個無偏估計進行多次估計,記第i次估計為,由大數(shù)定律得盡管一次估計結果不一定恰好等于g(θ)但是在大量重復使用時,多次估計的算術平均值,可以任意接近g(θ).如果這一估計量只使用一次,無偏性這個概念就失去意義.無偏估計量僅在多次重復使用時才顯示其優(yōu)越性.例3.4.1
設總體X的k階矩E(Xk)
存在,X1,X2,…,Xn是來自總體X的樣本,證明:樣本k階矩是總體k階矩E(Xk)的無偏估計.證明:由于因此樣本k階矩是總體k階矩的無偏估計.則樣本均值是總體均值μ的無偏估計,樣本方差是總體方差σ2的無偏估計.例3.4.2設總體X的均值為EX=μ
,方差為DX=σ2存在,X1,X2,…,Xn是來自總體X的樣本,則證明:例3.4.3
設X1,X2
,…,Xn是來自總體X的樣本,且X~N(μ,σ2),其中μ,σ2為未知參數(shù),,x1,x2,…,xn是樣本的觀察值,試用極大似然估計法求參數(shù)μ,σ2
的估計量,并問是否是無偏估計.由于μ和σ2的極大似然估計為解:又由得因此是μ的無偏估計,不是σ2的無偏估計.但是是σ2的漸近無偏估計.例3.4.4設X1,X2
,…,Xn為來自總體X的樣本,且X的密度函數(shù)為其中
>0為未知參數(shù),證明:因為X的分布函數(shù)為證明:
和nU=n{min(X1,X2
,…,Xn)}都是
的無偏估計.故
是
的無偏估計先求U的分布函數(shù)獨立性對其求導數(shù)得到U的密度函數(shù)為:即U的分布函數(shù)為指數(shù)分布U的密度函數(shù)為由指數(shù)分布的性質(zhì)知:因此,nU也是
的無偏估計.故有:例3.4.5設X1,X2,…,Xn是來自總體X的樣本,總體均值為
=EX,證明與都是
的無偏估計.其中證明:由于所以都是無偏估計.一個參數(shù)往往有不止一個無偏估計,若和都是參數(shù)θ的無偏估計量,我們可以比較和的大小來決定二者誰更優(yōu).無偏估計以方差小者為好,這就引進了有效性這一概念.舉個例子說明有效性到商店購買電視機,看中了其中兩種品牌,分別由甲乙兩廠生產(chǎn),外觀、音質(zhì)和畫面都不錯.根據(jù)市場調(diào)查,甲乙兩廠生產(chǎn)的兩種電視機平均使用壽命相同,都是20年.甲廠生產(chǎn)的電視機質(zhì)量較穩(wěn)定,最低使用壽命18年,最高可以使用22年;乙廠生產(chǎn)的電視機質(zhì)量穩(wěn)定性差一些,最差的使用10年就壞了,但是最好的可以使用30年.選用哪一個廠家生產(chǎn)的電視機呢?若將電視機的使用壽命視為隨機變量,甲乙兩廠生產(chǎn)的電視機使用壽命均值相等,但是乙廠的質(zhì)量不穩(wěn)定,即方差較大.從穩(wěn)健的角度出發(fā),顯然愿意購買甲廠生產(chǎn)的電視機,其風險較小,即方差較小,質(zhì)量穩(wěn)定.散集中EXEX集中或分散程度用方差DX
衡量3.4.2有效性且不等號至少對某個
Θ成立.定義3.4.2設是未知參數(shù)
的兩個無偏估計,且對一切
Θ,Θ
為參數(shù)空間,都有則稱估計比估計有效.等號成立當且僅當例3.4.6設X1,X2,…,Xn是來自總體X的樣本,總體均值為EX=
,總體方差為DX=σ2,比較與的有效性.其中證明:由例3.4.5知與都是
的無偏估計.所以比有效.解:比較和nU=n{min(X1,X2
,…,Xn)}的有效性.由例3.4.4知,和nU=n{min(X1,X2
,…,Xn)}都是
的無偏估計.由得例3.4.7設X1,X2
,…,Xn為來自總體X的樣本,且X的密度函數(shù)為其中
>0為未知參數(shù),因此,當n>1時,由得即:
比nU有效.思考:指數(shù)分布的充分統(tǒng)計量?U
的密度函數(shù)為隨著樣本容量的增加,估計量與被估計參數(shù)g(θ)的偏差越來越小這是一個良好估計量應該具有的性質(zhì)試想,若不然,無論做多少次試驗,也不能把θ
估計到任意指定的精度,這樣的估計量顯然不可取.大量實踐表明3.4.3相合性定義3.4.3:設對每個自然數(shù)n,為θ的一個估計量,若
依概率收斂到θ即對任何及,有則稱為θ的弱相合估計,簡稱相合估計.若對任何,有若對r>0和任何,有當r=2時,稱為均方相合估計.則稱為θ的強相合估計.則稱為θ的r階矩相合估計.注:估計量的相合性是對大樣本提出的要求,是估計量的一種
大樣本性質(zhì).根據(jù)概率論可知上述三種相合性的關系如下:1.強相合推出弱相合,反之不一定;2.對任何r>0,有r階矩相合推出弱相合,反之不一定;3.強相合與r階矩相合之間沒有包含關系.(1)
的矩估計為,且為θ的無偏估計.(2)
的極大似然估計為,不是θ的無偏估計.對適當修正獲得θ的無偏估計.(3)將與進行比較,比較哪一個更有效.(4)
的極大似然估計是θ的相合估計.例3.4.8設X1,X2
,…,Xn為來自均勻分布總體U[0,
]的樣本,
其中
>0為未知參數(shù),則解:(1)由于,因此為θ的無偏估計.(2)根據(jù)已有例子知θ的極大似然估計為下面討論的無偏性的密度函數(shù)為因此極大似然估計不是θ的無偏估計,
但是θ的漸近無偏估計.修正為無偏估計當n>1時,當n=1時,兩個估計相同.即修正的極大似然估計比矩估計有效.(3)由于(4)由于X(n)的概率密度函數(shù)為對于任給的ε>0,有對于任給的
ε>0,有即因此θ的極大似然估計是θ的相合估計.矩估計的性質(zhì)1.設總體X
的k
階原點矩存在,記為X1,X2,…,Xn為來自總體的樣本,樣本k階原點矩為因此,樣本k
階原點矩是總體k
階原點矩的無偏估計.由于矩估計的無偏性2.對于k≥2,樣本k階中心矩不是總體k階中心矩的無偏估計由于將其修正得到是DX
的無偏估計.
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