二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（與三角形全等或三角形相似有關(guān)問(wèn)題）（原卷版）

專題22二次函數(shù)與幾何圖形綜合題

(與三角形全等或三角形相似有關(guān)問(wèn)題)

1.(2022?四川樂(lè)山)如圖1,已知二次函數(shù)丁="2+法+0(。＞0)的圖象與*軸交于點(diǎn)

5(2,0),與y軸交于點(diǎn)C,且tan/CUC=2.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CD〃x軸交二次函數(shù)圖象于點(diǎn)D,P是二次函數(shù)圖象上異于點(diǎn)D的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC,若S&PBC=SABCD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶如圖3,若點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上位于BC下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接0P交BC于點(diǎn)Q.設(shè)點(diǎn)P

的橫坐標(biāo)為t,試用含t的代數(shù)式表示器的值，并求器的最大值.

2.(2022?浙江湖州)如圖1,已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為3的

正方形，其中頂點(diǎn)A,C分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上，拋物線y=-/+6x+c經(jīng)

過(guò)A,C兩點(diǎn)，與x軸交于另一個(gè)點(diǎn)D.

圖2

(1)①求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo);

②求b,c的值.

(2)若點(diǎn)P是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP,過(guò)點(diǎn)P作PMLAP,交y軸于點(diǎn)M(如圖2所

示).當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動(dòng).設(shè)BP=m,CM=n,試用含m的代數(shù)式表示

n,并求出n的最大值.

3.(2022?湖南衡陽(yáng))如圖，已知拋物線j=V-x-2交x軸于A、B兩點(diǎn)，將該拋物線位

于x軸下方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象印”，圖象少交了

軸于點(diǎn)C.

(1)寫出圖象彳位于線段N8上方部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若直線y=-x+b與圖象少有三個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合圖象，直接寫出6的值；

⑶尸為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作尸〃//＞軸交直線2C于點(diǎn)"，交圖象少于點(diǎn)N,是

否存在這樣的點(diǎn)尸，使△CMV與AOBC相似？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.(2021?湖北十堰市?中考真題)已知拋物線y=ax2+bx-5與x軸交于點(diǎn)幺(-1,0)和

5(-5,0),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為P,點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸上且位于x軸下方，連AN交

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,當(dāng)tanNZCM=2時(shí)，求M點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線1,過(guò)M作于D,若MD=yfiMN，求N點(diǎn)

的坐標(biāo).

5.(2021?湖北黃岡市?中考真題)已知拋物線歹=。/+左—3與x軸相交于4-1,0),

8(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)N(〃,0)是x軸上的動(dòng)點(diǎn).

/

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,若"<3,過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)P,交直線8C于點(diǎn)G.過(guò)點(diǎn)P

作尸8c于點(diǎn)D,當(dāng)n為何值時(shí)，APDGWBNG；

(3)如圖2,將直線8C繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使它恰好經(jīng)過(guò)線段。。的中點(diǎn)，然后將它向

3

上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，得到直線?；?

2

(1)tanZBOBl=；

②當(dāng)點(diǎn)N關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)2落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

6.(2021?陜西中考真題)已知拋物線歹=-f+2x+8與x軸交于點(diǎn)A、B(其中A在點(diǎn)B

的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；

(2)設(shè)點(diǎn)C'與點(diǎn)C關(guān)于該拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱在y軸上是否存在點(diǎn)P,使APCC與APOB

相似且PC與尸。是對(duì)應(yīng)邊？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

7.(2021?四川遂寧市?中考真題)如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A和B(—3,

0)兩點(diǎn)，與y軸交于C(0,—3),對(duì)稱軸為直線x=-l,直線y=-2x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,且

與y軸交于點(diǎn)D,與拋物線交于點(diǎn)E,與對(duì)稱軸交于點(diǎn)F.

(1)求拋物線的解析式和m的值；

(2)在y軸上是否存在點(diǎn)P,使得以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與AAOD相似，若存在，求出

點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由；

(3)直線y=l上有M、N兩點(diǎn)(M在N的左側(cè))，且MN=2,若將線段MN在直線y=1上平

移，當(dāng)它移動(dòng)到某一位置時(shí)，四邊形MEFN的周長(zhǎng)會(huì)達(dá)到最小，請(qǐng)求出周長(zhǎng)的最小值(結(jié)果

保留根號(hào)).

8.(2021?四川瀘州市?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線

1,3

y=—一廠+-》+4與兩坐標(biāo)軸分別相交于A,B,C三點(diǎn)

42

(1)求證：ZACB=90°

(2)點(diǎn)D是第一象限內(nèi)該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線交BC于點(diǎn)E,交x軸于點(diǎn)

F.

①求DE+BF的最大值；

②點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，若以點(diǎn)C,D,E為頂點(diǎn)的三角形與AAOG相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

9.(2021?山東泰安市?中考真題)二次函數(shù)y=。必+bx+4(ow0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)

N(—4,0),5(1,0),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接AP、AC,

交于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)P作PQLx軸于點(diǎn)D.

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)連接BC,當(dāng)ND尸8=2N8C0時(shí)，求直線AP的表達(dá)式；

(3)請(qǐng)判斷：黑是否有最大值，如有請(qǐng)求出有最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，如沒(méi)有請(qǐng)說(shuō)明理

由.

10.(2021?重慶中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線歹=必+8+C經(jīng)過(guò)A

(0,-1),B(4,1).直線AB交x軸于點(diǎn)C,P是直線AB下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).過(guò)

點(diǎn)P作PDLAB,垂足為D,PE〃x軸，交AB于點(diǎn)E.

備用圖

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)4PDE的周長(zhǎng)取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和4PDE周長(zhǎng)的最大值；

（3）把拋物線歹=必+及+。平移，使得新拋物線的頂點(diǎn)為（2）中求得的點(diǎn)P.M是新拋

物線上一點(diǎn)，N是新拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，直接寫出所有使得以點(diǎn)A,B,M,N為頂點(diǎn)的四

邊形是平行四邊形的點(diǎn)M的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)M的坐標(biāo)的過(guò)程寫出來(lái).

n.（2021?四川自貢市?中考真題）如圖，拋物線歹=（x+l）（x—a）（其中a>l）與X軸

交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.

(1)直接寫出N0C4的度數(shù)和線段AB的長(zhǎng)(用a表示)；

(2)若點(diǎn)D為的外心，且△8。與△NC。的周長(zhǎng)之比為麗：4,求此拋物線

的解析式；

(3)在(2)的前提下，試探究拋物線y=(x+l)(x-。)上是否存在一點(diǎn)P，使得

NCAP=NDB4?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3

12.(2021?山東)如圖，拋物線y=ax2+§x+c與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,已

知A,C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(1,0),C(0,-2),連接AC,BC.

(1)求拋物線的表達(dá)式和AC所在直線的表達(dá)式；

(2)將AABC沿BC所在直線折疊，得到ADBC,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D是否落在拋物線的對(duì)稱軸上,

若點(diǎn)D在對(duì)稱軸上，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若點(diǎn)D不在對(duì)稱軸上，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若點(diǎn)P是拋物線位于第三象限圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AP交BC于點(diǎn)Q,連接BP,ABPQ

S

的面積記為S1,AABQ的面積記為S2,求7t的值最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)?

備用圖

13.(2021?四川中考真題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于A、B兩

點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,6),拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E(2,8),連結(jié)BC、BE、CE.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)判斷4BCE的形狀，并說(shuō)明理由；

(3)如圖2,以C為圓心，血為半徑作。C,在。C上是否存在點(diǎn)P,使得BP+：EP的值

14.(2021?黑龍江中考真題)如圖，拋物線7=辦2+云+3(。*0)與x軸交于點(diǎn)/(1,0)和點(diǎn)

5(-3,0),與y軸交于點(diǎn)C,連接8C,與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E,頂點(diǎn)為點(diǎn)D.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P是對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在射線ED上，若以點(diǎn)P、Q、E為頂點(diǎn)

的三角形與ABOC相似，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

15.(2021?湖南中考真題)如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,且

OA=2,OB=4,OC=8,拋物線的對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)M,與x軸交于點(diǎn)N.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)P是對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與AMA?相似？

若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)D為CO的中點(diǎn)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)G從D點(diǎn)出發(fā)，先到達(dá)x軸上的點(diǎn)E,再走到拋物線對(duì)稱軸

上的點(diǎn)F,最后返回到點(diǎn)C.要使動(dòng)點(diǎn)G走過(guò)的路程最短，請(qǐng)找出點(diǎn)E、F的位置，寫出坐標(biāo),

并求出最短路程.

(4)點(diǎn)Q是拋物線上位于x軸上方的一點(diǎn)，點(diǎn)R在x軸上，是否存在以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的

等腰放△C07??若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

16.(2021?湖南中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C:y=ox2+bx+c(aH0)經(jīng)

過(guò)點(diǎn)(U)和(4,1).

(1)求拋物線。的對(duì)稱軸.

（2）當(dāng)。=-1時(shí)，將拋物線C向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到拋物線

G.

①求拋物線C的解析式.

②設(shè)拋物線G與X軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,連接

3C.點(diǎn)。為第一象限內(nèi)拋物線G上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)

為加.是否存在點(diǎn)使得以點(diǎn)D,E為頂點(diǎn)的三角形與ABOC相似，若存在，求出加

的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

17.（2021?江蘇中考真題）如圖,二次函數(shù)V=/-（加+1卜+加（加是實(shí)數(shù)，且

-1<w<0）的圖像與x軸交于A、8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）,其對(duì)稱軸與X軸交于點(diǎn)

C,已知點(diǎn)。位于第一象限，且在對(duì)稱軸上，點(diǎn)E在x軸的正半軸上,

OC=EC.連接ED并延長(zhǎng)交了軸于點(diǎn)尸，連接AF.

（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)（用數(shù)字或含機(jī)的式子表示）；

（2）已知點(diǎn)。在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)△/尸。的周長(zhǎng)的最小值等于?12，求加的值.

.13

18.（2021?山東中考真題）如圖，直線尸-丁+萬(wàn)分別交x軸、》軸于點(diǎn)A,B,過(guò)點(diǎn)A的

拋物線y=-/+6x+c與x軸的另一交點(diǎn)為C,與》軸交于點(diǎn)。（0,3）,拋物線的對(duì)稱軸/交

于E,連接OE交于點(diǎn)F.

（1）求拋物線解析式；

(2)求證：OE_L4B；

(3)P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，直線尸。交AD于點(diǎn)M,是否存在這樣的點(diǎn)P,使以A,0,M

為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.(2021?內(nèi)蒙古中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-/+4x經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原

點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

(1)如圖1,當(dāng)%>0,n>0,且〃=3加時(shí)，

①求點(diǎn)M的坐標(biāo)：

②若點(diǎn)臺(tái)］，，?在該拋物線上，連接網(wǎng)，BM,C是線段BM上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C與點(diǎn)M,B不重

合），過(guò)點(diǎn)C作。。//MO,交x軸于點(diǎn)D,線段0D與MC是否相等？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）如圖2,該拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)K,點(diǎn)后卜,：］在對(duì)稱軸上，當(dāng)加>2,?>0,

且直線EM交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)F時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，交直線EM于點(diǎn)N,G為y軸上

一點(diǎn)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為連接GF.若EF+NF=2MF,求證：射線FE平分/4FG.

20.（2021?江蘇中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線了=-x+3與x軸交

于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,二次函數(shù)y=a/+2x+c的圖象過(guò)B、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一

點(diǎn)A,點(diǎn)M為線段03上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線1平行于y軸交于點(diǎn)F,交二次函數(shù)

y=ax2+2x+c的圖象于點(diǎn)E.

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求線段跖的長(zhǎng)度；

(3)已知點(diǎn)N是y軸上的點(diǎn)，若點(diǎn)N、F關(guān)于直線EC對(duì)稱，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

21.(2021?福建中考真題)已知拋物線＞=依2+加+。與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn).

(1)若拋物線過(guò)點(diǎn)尸求a+6的最小值；

(2)已知點(diǎn)4(-2,1)第(2,-1),呂(2,1)中恰有兩點(diǎn)在拋物線上.

①求拋物線的解析式；

②設(shè)直線1：＞=履+1與拋物線交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)A在直線＞=-1上，且/M4N=90。，過(guò)

點(diǎn)A且與x軸垂直的直線分別交拋物線和于點(diǎn)B,C.求證：△M43與的面積相

等.

22.（2021?黑龍江中考真題）如圖，已知拋物線＞=。/+法+5（4%0）與x軸交于點(diǎn)

/（-5,0）,點(diǎn)3（1,0）,（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左邊），與了軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn)，連

接BD.直線＞=-；龍-g經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,且與》軸交于點(diǎn)E.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)N是拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)A3￡>N是以DN為腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)尸為線段/E上的一點(diǎn)，點(diǎn)G為線段0A上的一點(diǎn)，連接尸G,并延長(zhǎng)FG與線段3。

交于點(diǎn)“（點(diǎn)"在第一象限）.當(dāng)/所G=3/A4E且〃G=2kG時(shí)，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

9

23.（2021?海南中考真題）已知拋物線卜="2+1》+。與*軸交于45兩點(diǎn)，與y軸交于C

點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1,0）、點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,3）.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖1,若該拋物線的頂點(diǎn)為P,求APBC的面積；

(3)如圖2,有兩動(dòng)點(diǎn)。、E在△CO2的邊上運(yùn)動(dòng)，速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，它們分

別從點(diǎn)C和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)D沿折線CO3按方向向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E沿線段

3C按C方向向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

33

①當(dāng)t為何值時(shí)，的面積等于正；

②在點(diǎn)。、E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，該拋物線上存在點(diǎn)F,使得依次連接40、DF、FE、E4得到的四

邊形工。在是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo).

24.(2021?廣西中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，已