高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練：計(jì)數(shù)原理與概率（含答案及解析）

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練21

計(jì)數(shù)原理與概率

［考情分析］1.高考中主要考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合的應(yīng)用，對(duì)二項(xiàng)式定理的考查以

求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)為主，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，

難度中等偏下2高考中對(duì)此概率內(nèi)容多以實(shí)際材料為背景，主要考查隨機(jī)事件的概率及古典

概型、條件概率的計(jì)算，也考查概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用，選擇題、填空題或解答題中均有出

現(xiàn)，難度中等偏下.

【練前疑難講解】

一、排列與組合問(wèn)題

1.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

(1)在應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理時(shí)，一般先分類再分步，每一步當(dāng)中又可能

用到分類加法計(jì)數(shù)原理.

(2)對(duì)于復(fù)雜的兩個(gè)計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用的問(wèn)題，可恰當(dāng)列出示意圖或表格，使問(wèn)題形象化、直

觀化.

2.解排列組合問(wèn)題要遵循兩個(gè)原則：

一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步.具體地說(shuō)，解排列

組合問(wèn)題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置).

二、二項(xiàng)式定理

1.二項(xiàng)式定理的常用結(jié)論

(l)(a-b)n=C%"-_|------p(_1)仁初"-----P(—1

(2)(1+無(wú))”=c9+chH-----PCwH------l-c；^.

2.求解二項(xiàng)式有關(guān)問(wèn)題時(shí)，一定要注意“二項(xiàng)式系數(shù)”與“項(xiàng)的系數(shù)”之間的區(qū)別與聯(lián)系.

三、概率

1.古典概型的概率公式

叫m事件A中所含的樣本點(diǎn)

尸(A)一〃一試驗(yàn)的樣本點(diǎn)總數(shù).

2.條件概率

在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率：％8以)=與黑.

3.相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：若A,8相互獨(dú)立，則尸(AB)=P(A)P(8).

4.若事件A,B互斥,則尸(AUB)=P(A)+P(3),P(T)=1一尸(A).

5.全概率公式

一般地，設(shè)4,42，…，4是一組兩兩互斥的事件，A,UA2U-UA?=f2,且尸(A)>0,，=

1,2,n,則對(duì)任意的事件BCQ,有P(B)=￡P(guān)(A>P(B|4).

)=I

一、單選題

1.（22-23高三下?湖北?階段練習(xí)）甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活

動(dòng)，現(xiàn)有A3,C三個(gè)小區(qū)可供選擇，每個(gè)志愿者只能選其中一個(gè)小區(qū).則每個(gè)小區(qū)至少有一

名志愿者，且甲不在A小區(qū)的概率為（）

19310025

A.---B.C.—D.一

24324339

2.（23-24高三上?河北?期末）第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州舉行，為了弘揚(yáng)"奉獻(xiàn)，友愛，互助，

進(jìn)步”的志愿服務(wù)精神，5名大學(xué)生將前往3個(gè)場(chǎng)館開展志愿服務(wù)工作.若要求每個(gè)

場(chǎng)館都要有志愿者，則當(dāng)甲不去場(chǎng)館A時(shí)，場(chǎng)館8僅有2名志愿者的概率為（）

32163

A.-B.—C.—D.一

550114

3.（2024?遼寧丹東?一模）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）

x

A.24B.25C.48D.49

4.（2024?北京?三模）已知彳-X的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則其展開式的常數(shù)項(xiàng)為

（）

A.-240B.240C.60D.-60

二、多選題

5.（2024?廣東廣州?一模）甲箱中有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙箱中有2個(gè)紅球和2個(gè)白球

（兩箱中的球除顏色外沒有其他區(qū)別），先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別用事件

A和4表示從甲箱中取出的球是紅球和白球；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出兩球，用事件8表示從

乙箱中取出的兩球都是紅球，則（）

3

A.P(4)=-B.P(B)=—

50

C爪).D.尸(右忸)=：

6.（23-24高三上?湖北?階段練習(xí)）投擲一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，己知出現(xiàn)正面向上的概率

為P，記4表示事件"在〃次投擲中，硬幣正面向上出現(xiàn)偶數(shù)次”，則下列結(jié)論正確的是

（）

A.4與人是互斥事件B.尸(4)=廣

C.P（A?）=（i-2p）p⑷+pD.P（4”）＞P（4“+2）

三、填空題

7.（21-22高三上?山東?開學(xué)考試）設(shè)"C9+C；97+C*72++C；；7%則。除以9所得的

余數(shù)為.

8.（2024?廣東江蘇?高考真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的

卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1,3,5,7,乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2,4,6,8,兩人進(jìn)行四輪

比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字

的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的

卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.

【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2023?全國(guó)?高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名.從這4

名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為（）

.1112

A.-B.-C.-D.一

6323

2.（23-24高二下,重慶?階段練習(xí)）從0,1,2,3,4中選出3個(gè)數(shù)組成各位數(shù)字不重復(fù)的

三位偶數(shù)，這樣的數(shù)有（）個(gè).

A.24B.30C.36D.60

3.（2024?山東日照?一模）今年賀歲片，《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》引爆了

電影市場(chǎng)，小明和他的同學(xué)一行四人決定去看這三部電影，則恰有兩人看同一部影片的選

擇共有（）

A.9種B.36種C.38種D.45種

4.（2024?遼寧大連?一模）將MCDER六位教師分配到3所學(xué)校，若每所學(xué)校分配2人，

其中A3分配到同一所學(xué)校，則不同的分配方法共有（）

A.12種B.18種C.36種D.54種

5.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）若f=%+4］（*-6）+%（%-6）~++%（x-6）6,則氏=

（）

A.6B.16C.26D.36

6.（2024?貴州黔南,二模）我國(guó)農(nóng)歷用"鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、

豬”這12種動(dòng)物按順序輪流代表各年的生肖年號(hào)，今年2024年是龍年.那么從今年起的

（13M+1）年后是（）

A.虎年B.馬年C.龍年D.羊年

7.（2024?海南?？?模擬預(yù)測(cè)）在黨的二十大報(bào)告中，習(xí)近平總書記提出要發(fā)展“高質(zhì)量教

育"，促進(jìn)城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展.某地區(qū)教育行政部門積極響應(yīng)黨中央號(hào)召，近期將安排甲、乙

、丙、丁4名教育專家前往某省教育相對(duì)落后的三個(gè)地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作，則每個(gè)地區(qū)至

少安排1名專家的概率為（）

1418

A.-B.—C.-D.—

99327

8.（2024?北京石景山?一模）一袋中有大小相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球.若從中不放回地

取球2次，每次任取1個(gè)球，記"第一次取到紅球”為事件A,“第二次取到紅球”為事件

B,則P（同A）=（）

4234

A.—B.—C.—D.一

15555

9.（2024?黑龍江哈爾濱?一模）有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1,2,3臺(tái)加工的次品率

分別為5%,2%,4%,加工出來(lái)的零件混放在一起.已知第1,2,3臺(tái)車床加工的零件數(shù)的比為

4:5:11,現(xiàn)任取一個(gè)零件，記事件4="零件為第z?臺(tái)車床加工"（i=L2,3）,事件3="零

件為次品"，則尸（4忸）=（）

510

A.0.2B.0.05C.—D.——

3737

10.（2024?遼寧?二模）某公司的員工中，有15%是行政人員，有35%是技術(shù)人員，有50%

是研發(fā)人員，其中60%的行政人員具有博士學(xué)歷，40%的技術(shù)人員具有博士學(xué)歷，80%的

研發(fā)人員具有博士學(xué)歷，從具有博士學(xué)歷的員工中任選一人，則選出的員工是技術(shù)人員的

概率為（）

2124

A.—B.—C.-D.一

5599

二、多選題

11.（2024?江蘇?模擬預(yù)測(cè)）若“3〃為正整數(shù)且則（）

A.C；=C；B.&號(hào)

1

C.mCXn-DC：；D.A：+mAr=A：+1

12.（23-24高二上?遼寧遼陽(yáng)?期末）某班星期一上午要安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理4節(jié)

課，且該天上午總共4節(jié)課，下列結(jié)論正確的是（）

A.若數(shù)學(xué)課不安排在第一節(jié)，則有18種不同的安排方法

B.若語(yǔ)文課和數(shù)學(xué)課必須相鄰，且語(yǔ)文課排在數(shù)學(xué)課前面，則有6種不同的安排方法

C.若語(yǔ)文課和數(shù)學(xué)課不能相鄰，則有12種不同的安排方法

D.若語(yǔ)文課、數(shù)學(xué)課、英語(yǔ)課按從前到后的順序安排，則有3種不同的安排方法

13.（2024?江西,二模）在（2尤一”的展開式中（）

A.二項(xiàng)式系數(shù)之和為32B.第3項(xiàng)的系數(shù)最大

C.所有項(xiàng)系數(shù)之和為-1D.不含常數(shù)項(xiàng)

14.（2024?山東青島?三模）某新能源車廠家2015-2023年新能源電車的產(chǎn)量和銷量數(shù)據(jù)

如下表所示

年份201520162017201820192020202120222023

產(chǎn)量（萬(wàn)臺(tái)）3.37.213.114.818.723.736.644.343.0

銷量（萬(wàn)臺(tái)）2.35.713.614.915.015.627.129.731.6

記"產(chǎn)銷率”=宜言x100%,2015-2023年新能源電車產(chǎn)量的中位數(shù)為機(jī)，則（）

產(chǎn)量

A.機(jī)=18.7

B.2015-2023年該廠新能源電車的產(chǎn)銷率與年份正相關(guān)

2

C.從2015-2023年中隨機(jī)取1年，新能源電車產(chǎn)銷率大于100%的概率為§

D.從2015-2023年中隨機(jī)取2年，在這2年中新能源電車的年產(chǎn)量都大于機(jī)的條

件下，這2年中新能源電車的產(chǎn)銷率都大于70%的概率為5

15.（2024?浙江?二模）某中學(xué)的48兩個(gè)班級(jí)有相同的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)教師，現(xiàn)對(duì)此2個(gè)

班級(jí)某天上午的5節(jié)課進(jìn)行排課，2節(jié)語(yǔ)文課，2節(jié)數(shù)學(xué)課，1節(jié)英語(yǔ)課，要求每個(gè)班級(jí)的

2節(jié)語(yǔ)文課連在一起，2節(jié)數(shù)學(xué)課連在一起，則共有種不同的排課方式用數(shù)字

作答）

16.（2024?浙江?三模）甲、乙、丙3人站到共有6級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多站2

人且甲、乙不站同一個(gè)臺(tái)階，同一臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是

種.（用數(shù)字作答）

17.（23-24高三上?湖南張家界?階段練習(xí)）為了做好社區(qū)新疫情防控工作，需要將5名志

愿者分配到甲、乙、丙、丁4個(gè)小區(qū)開展工作，若每個(gè)小區(qū)至少分配一名志愿者，則有

種分配方法（用數(shù)字作答）；

18.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知（ox-2）（x+—下的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為240,貝1|"=.

【能力提升訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）某羽毛球俱樂部，安排男女選手各6名參加三場(chǎng)雙打表演賽（一

場(chǎng)為男雙，一場(chǎng)為女雙，一場(chǎng)為男女混雙），每名選手只參加1場(chǎng)表演賽，則所有不同的安

排方法有（）

A.2025種B.4050種C.8100種D.16200種

2.（22-23高三上?全國(guó)?階段練習(xí)）將編號(hào)為1,2,3,4,5的小球放入編號(hào)為1,2,3,

4,5的小盒中，每個(gè)小盒放一個(gè)小球.則恰有2個(gè)小球與所在盒子編號(hào)相同的概率為

（）

1111

A.—B.—C.—D.—

861224

3.（23-24高三上?黑龍江牡丹江?期末）7個(gè)人站成兩排，前排3人，后排4人，其中甲乙

兩人必須挨著，甲丙必須分開站，則一共有（）種站排方式.

A.672B.864C.936D.1056

4.（2023?廣東茂名?二模）從1、2、3、4、5中任選3個(gè)不同數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，則該

三位數(shù)能被3整除的概率為（）

.1132

A.—B.—C.—D.一

105105

5.（2024?浙江嘉興,二模）6位學(xué)生在游樂場(chǎng)游玩A,B,C三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)人都只游玩一個(gè)項(xiàng)

目，每個(gè)項(xiàng)目都有人游玩，若A項(xiàng)目必須有偶數(shù)人游玩，則不同的游玩方式有（）

A.180種B.210種C.240種D.360種

6.（2024?遼寧大連?一模）（）

3°313233343536

646411

A.----B.---C.----D.---

729729729729

7.（2024?重慶?三模）中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究.

設(shè)〃，。，機(jī)（根＞0）為整數(shù)，若〃和人被加除得余數(shù)相同，則稱。和。對(duì)模加同余.記為

a三b（modm）芾a=C；4+C；4+C；4+C；4+?一+C普，a三b（modl7）,則。的值可以是（）

A.14B.15C.16D.17

8.(2024?遼寧撫順?一模)若［1+j(l+x)"的展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為10,貝M的值是

()

A.3B.4C.5D.6

1a

9.(22-23高二下?江蘇南通?期中)已知隨機(jī)事件A,3滿足尸(A)=§,P(A|B)=-,

P伍|A)=《,則尸①)=()

\7lo

13941

A.-B.—C.—D.—

4161648

10.(2024?湖南常德?三模)設(shè)有甲、乙兩箱數(shù)量相同的產(chǎn)品，甲箱中產(chǎn)品的合格率為

90%,乙箱中產(chǎn)品的合格率為80%.從兩箱產(chǎn)品中任取一■件，經(jīng)檢驗(yàn)不合格，放回原箱后在

該箱中再隨機(jī)取一件產(chǎn)品，則該件產(chǎn)品合格的概率為()

56717

A.—B.-C.一D.—

67820

二、多選題

11.(23-24高二下?寧夏石嘴山?期中)"楊輝三角"是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出

現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中."楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系

數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示.下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是

()

楊輝三角

第

0行

第

1行1

第

2行11

第

3行121

第

4行1331

第

5行14641

第

6行15101051

第

7行1615201561

第

8行172135352171

18285670562881

A.C；+C；+C；++C=165.

B.由"第〃行所有數(shù)之和為2""猜想：C：+C：+C；++C：=2".

C.第20行中，第11個(gè)數(shù)最大.

D.第15行中，第7個(gè)數(shù)與第8個(gè)數(shù)之比為7回9.

12.(2024?廣東佛山?一模)有一組樣本數(shù)據(jù)0,1,2,3,4,添加一個(gè)數(shù)X形成一組新的數(shù)據(jù)，

且尸(X=)t)=備(左￡{0,123,4,5}),則新的樣本數(shù)據(jù)()

3

A.第25百分位數(shù)不變的概率是二

16

31

B.極差不變的概率是至

C.平均值變大的概率是!

2

7

D.方差變大的概率是看

13.（2024?云南?模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有顏色為紅、黃、藍(lán)的三個(gè)箱子，其中紅色箱子內(nèi)裝有2個(gè)

紅色球，1個(gè)黃色球和1個(gè)藍(lán)色球；黃色箱子內(nèi)裝有2個(gè)紅色球，1個(gè)藍(lán)色球；藍(lán)色箱子內(nèi)

裝有3個(gè)紅色球，2個(gè)黃色球.若第一次先從紅色箱子內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，將取出的球放

入與球同色的箱子中，第二次再?gòu)膭偛欧湃肱c球同色的這個(gè)箱子中任取一個(gè)球，則下列說(shuō)

法正確的是（）

A.若第一次抽到黃色球，那么第二次抽到藍(lán)色球的概率為:

4

3

B.第二次抽到藍(lán)色球的概率為7

16

C.如果第二次抽到的是藍(lán)色球，則它最有可能來(lái)自紅色箱子

D.如果還需將5個(gè)不同的小球放入這三個(gè)箱子內(nèi)，每個(gè)箱子至少放1個(gè)，則不同的放

法共有150種

14.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的

研究，設(shè)a,b,m（m>0）為整數(shù)，若a和6被m除得的余數(shù)相同，則稱。和6對(duì)模相同

余，記為a斗（modm）.如9和21除以6所得的余數(shù)都是3,則記為9三21（mod6）.若

a=C2+C02+C和2?+,+C^-222,a=b（mod10）,則。的值可以是（）.

A.2019B.2023C.2029D.2033

15.（2024?山東煙臺(tái)?一模）先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記向上的點(diǎn)數(shù)分別為

無(wú)，y,設(shè)事件A="log“+i）y為整數(shù)"，B="x+y為偶數(shù)"，C="x+2y為奇數(shù)”，則（）

A.P（A）=iB.P（AB）=1

O12

7

C.事件B與事件C相互獨(dú)立D.P（A|C）=—

lo

三、填空題

16.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)古建筑聞名于世，源遠(yuǎn)流長(zhǎng).如圖1所示的五脊殿是中國(guó)傳

統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖可近似地看作如圖2所示的五面體

EF-現(xiàn)裝修工人準(zhǔn)備用四種不同形狀的風(fēng)鈴裝飾五脊殿ER-MCD的六個(gè)頂點(diǎn)，

要求E,F處用同一種形狀的風(fēng)鈴，其它每條棱的兩個(gè)頂點(diǎn)掛不同形狀的風(fēng)鈴，則不同的

裝飾方案共有種.

圖1圖2

17.（23-24高二下?重慶?階段練習(xí)）近年來(lái)，重慶以獨(dú)特的地形地貌、城市景觀和豐富的

美食吸引著各地游客，成為“網(wǎng)紅城市遠(yuǎn)道而來(lái)的小明計(jì)劃用2天的時(shí)間游覽以下五個(gè)

景點(diǎn)：解放碑、洪崖洞、重慶大劇院、"輕軌穿樓”打卡點(diǎn)、磁器口，另外還要安排一次自

由購(gòu)物，因此共計(jì)6項(xiàng)內(nèi)容.現(xiàn)將每天分成上午、下午、晚上3個(gè)時(shí)間段，每個(gè)時(shí)段完成

1項(xiàng)內(nèi)容，其中大劇院與洪崖洞的時(shí)段必須安排在同一天且相鄰，洪崖洞必須安排在晚

上，"輕軌穿樓"必須安排在白天，其余項(xiàng)目沒有限制，那么共有種方案.

18.（2024?江西,模擬預(yù)測(cè)）唐宋八大家，又稱唐宋散文八大家，是中國(guó)唐代韓愈、柳宗

元，宋代蘇洵、蘇軾、蘇轍、王安石、曾鞏、歐陽(yáng)修八位散文家的合稱，其中江西獨(dú)占三

家，分別是：王安石、曾鞏、歐陽(yáng)修，他們掀起的古文革新浪潮，使詩(shī)文發(fā)展的陳舊面貌

煥然一新.為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，某校決定從唐宋八大家中挑選五位，于某周末開展他們的

散文賞析課，五位散文家的散文賞析課各安排一節(jié)，連排五節(jié).若在來(lái)自江西的三位散文家

中至少選出兩人，且他們的散文賞析課互不相鄰，則不同的排課方法共有種.（用數(shù)

字作答）

19.（2024?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè)）若一個(gè)“位數(shù)，各位從高到低分別為弓,生,..4（“22）,且

滿足%>%>...>〃,，我們便將其稱之為"遞減數(shù)".那么正整數(shù)之中任取"遞減數(shù)"，則在其中

取到一個(gè)偶數(shù)概率是

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練21

計(jì)數(shù)原理與概率

［考情分析］1.高考中主要考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合的應(yīng)用，對(duì)二項(xiàng)式定理的考查以

求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)為主，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，

難度中等偏下2高考中對(duì)此概率內(nèi)容多以實(shí)際材料為背景，主要考查隨機(jī)事件的概率及古典

概型、條件概率的計(jì)算，也考查概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用，選擇題、填空題或解答題中均有出

現(xiàn)，難度中等偏下.

【練前疑難講解】

一、排列與組合問(wèn)題

1.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

(1)在應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理時(shí)，一般先分類再分步，每一步當(dāng)中又可能

用到分類加法計(jì)數(shù)原理.

(2)對(duì)于復(fù)雜的兩個(gè)計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用的問(wèn)題，可恰當(dāng)列出示意圖或表格，使問(wèn)題形象化、直

觀化.

2.解排列組合問(wèn)題要遵循兩個(gè)原則：

一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步.具體地說(shuō)，解排列

組合問(wèn)題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置).

二、二項(xiàng)式定理

1.二項(xiàng)式定理的常用結(jié)論

(l)(a-b)n=C%"-_|------p(_1)仁初"-----P(—1

(2)(1+無(wú))”=c9+chH-----PCwH------l-c；^.

2.求解二項(xiàng)式有關(guān)問(wèn)題時(shí)，一定要注意“二項(xiàng)式系數(shù)”與“項(xiàng)的系數(shù)”之間的區(qū)別與聯(lián)系.

三、概率

1.古典概型的概率公式

叫m事件A中所含的樣本點(diǎn)

尸(A)一〃一試驗(yàn)的樣本點(diǎn)總數(shù).

2.條件概率

在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率：％8以)=與黑.

3.相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：若A,8相互獨(dú)立，則尸(AB)=P(A)P(8).

4.若事件A,B互斥,則尸(AUB)=P(A)+P(3),P(T)=1一尸(A).

5.全概率公式

一般地，設(shè)4,42，…，4是一組兩兩互斥的事件，A,UA2U-UA?=f2,且尸(A)>0,，=

1,2,n,則對(duì)任意的事件BCQ,有P(B)=￡P(guān)(A>P(B|4).

)=I

一、單選題

1.（22-23高三下?湖北?階段練習(xí)）甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活

動(dòng)，現(xiàn)有A3,C三個(gè)小區(qū)可供選擇，每個(gè)志愿者只能選其中一個(gè)小區(qū).則每個(gè)小區(qū)至少有一

名志愿者，且甲不在A小區(qū)的概率為（）

19310025

A.---B.C.—D.一

24324339

2.（23-24高三上?河北?期末）第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州舉行，為了弘揚(yáng)"奉獻(xiàn)，友愛，互助，

進(jìn)步”的志愿服務(wù)精神，5名大學(xué)生將前往3個(gè)場(chǎng)館開展志愿服務(wù)工作.若要求每個(gè)

場(chǎng)館都要有志愿者，則當(dāng)甲不去場(chǎng)館A時(shí)，場(chǎng)館8僅有2名志愿者的概率為（）

32163

A.-B.—C.—D.一

550114

3.（2024?遼寧丹東?一模）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）

x

A.24B.25C.48D.49

4.（2024?北京?三模）已知彳-X的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則其展開式的常數(shù)項(xiàng)為

（）

A.-240B.240C.60D.-60

二、多選題

5.（2024?廣東廣州?一模）甲箱中有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙箱中有2個(gè)紅球和2個(gè)白球

（兩箱中的球除顏色外沒有其他區(qū)別），先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別用事件

4和4表示從甲箱中取出的球是紅球和白球；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出兩球，用事件3表示從

乙箱中取出的兩球都是紅球，則（）

311

A.P（A）=-B.P（B）=—

92

c.P（同4）=玄D.%4忸）=1

6.（23-24高三上?湖北?階段練習(xí)）投擲一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，己知出現(xiàn)正面向上的概率

為P，記4表示事件"在〃次投擲中，硬幣正面向上出現(xiàn)偶數(shù)次”，則下列結(jié)論正確的是

(）

A.4與&是互斥事件B.尸(4)=。2

C.P（A+J=（1-2p）p（A）+pD.尸（&1Ap（D

三、填空題

7.（21-22高三E山東?開學(xué)考試）設(shè)。=八+。7+或72++C豺9,則。除以9所得的

余數(shù)為.

8.（2024?廣東江蘇?高考真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的

卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1,3,5,7,乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2,4,6,8,兩人進(jìn)行四輪

比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字

的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的

卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.

參考答案:

題號(hào)123456

答案BBDBABDACD

1.B

【分析】根據(jù)題意，先求得所有情況數(shù)，然后求得甲去A的情況數(shù)，從而得到甲不去A小

區(qū)的情況數(shù)，再結(jié)合概率公式，即可得到結(jié)果.

【詳解】首先求所有可能情況，5個(gè)人去3個(gè)地方，共有35=243種情況，

再計(jì)算5個(gè)人去3個(gè)地方，且每個(gè)地方至少有一個(gè)人去，

5人被分為3,1,1或2,2,1

當(dāng)5人被分為3,1,1時(shí)，情況數(shù)為C；xA；=60；

當(dāng)5人被分為2,2,1時(shí)，情況數(shù)為史卓&=90；

所以共有60+90=150.

由于所求甲不去A,情況數(shù)較多，反向思考，求甲去A的情況數(shù)，最后用總數(shù)減即可，

當(dāng)5人被分為3,1,1時(shí)，且甲去A,甲若為1,則C；xA；=8,甲若為3,則C：xA；=12

共計(jì)8+12=20種，

當(dāng)5人被分為2,2,1時(shí)，且甲去A,甲若為1,則冬xA”6,甲若為2,則

C：xC；xA；=24,共計(jì)6+24=30種,

所以甲不在A小區(qū)的概率為150一（20+3。）=竺2

243243

故選：B.

2.B

2

【分析】首先得甲去場(chǎng)館B或C的總數(shù)為150x（=100,進(jìn)一步由組合數(shù)排列數(shù)即可得所求

概率.

【詳解】不考慮甲是否去場(chǎng)館A,所有志愿者分配方案總數(shù)為

2

甲去場(chǎng)館A3,C的概率相等，所以甲去場(chǎng)館B或C的總數(shù)為150x§=100,

甲不去場(chǎng)館A,分兩種情況討論,

情形一，甲去場(chǎng)館8,場(chǎng)館B有兩名志愿者共有用=24種;

情形二，甲去場(chǎng)館C,場(chǎng)館8場(chǎng)館C均有兩人共有C：C：=12種，

場(chǎng)館8場(chǎng)館A均有兩人共有C：=6種，所以甲不去場(chǎng)館A時(shí)，

場(chǎng)館B僅有2名志愿者的概率為24；；：+6=急嗎.

故選：B.

3.D

【分析】利用二項(xiàng)式定理連續(xù)展開兩次，然后令4-/*-24=0,從而滿足題意的數(shù)組（八,女）

可以是：（0,2）,（2,1）,（4,0）,將這些數(shù)組回代入通項(xiàng)公式即可運(yùn)算求解.

【詳解】（X+—-1）4的展開式通項(xiàng)為

X

4（9、4一/44-r，、女

*=ZQx+2（-i）r=（m，LJ

r=0\XJr=0k=0

44-r

=ZQ（T）'ZC1,2。?"*^0<r<4,0<k<4-r,r,keN）,

r=0k=0

令4-一2左=0,得滿足題意的數(shù)組（r㈤可以是：（0,2）,（2,1）,（4,0）,

規(guī)定C：=l,

故所求為C：（一1）°C：2?+C：（-1）2C；21+C：（-I），2°=24+24+1=49.

故選：D.

4.B

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和可得〃=6,結(jié)合二項(xiàng)展開式分析求解.

【詳解】由題意可知：二項(xiàng)式系數(shù)之和為2"=64,可得〃=6,

r

其展開式的通項(xiàng)為Tr+{=C；[(-x)=(-1/-26T.q.=0,i,工…,6,

3

令(-3=0,解得廠=2,

所以其展開式的常數(shù)項(xiàng)為(-以?24?屋=240.

故選：B.

5.ABD

【分析】根據(jù)條件概率的概率公式及全概率的概率公式計(jì)算可得.

【詳解】依題意可得P(A)=1,尸(&)=：,叩聞爺=>呻|&)=裊，

?JJJ-A\J

oaoi11

所以P(B)=P(4)P(網(wǎng)a)+尸(A)p(3%)=+yx^=而，故A正確、B正確、c錯(cuò)

誤；

12

——x—

尸⑷所制2

105故D正確.

1111

50

故選：ABD

6.ACD

【分析】對(duì)A根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件的關(guān)系即可判斷；對(duì)B,直接計(jì)算尸(&)即可；對(duì)

C,利用全概率公式即可；對(duì)D,構(gòu)造結(jié)合等比數(shù)列和函數(shù)單調(diào)性即可判斷.

【詳解】對(duì)A,因?yàn)閷?duì)立事件是互斥事件，所以A正確；

對(duì)B,尸(4)=p2+(l-p)2=2p2_2p+l,所以B錯(cuò)；

對(duì)C,由全概率公式可知

尸(4+J=P(A+J4>P(4)+尸(電區(qū))?尸(4)=Q-P)尸(4)+P(I-P(4))

=(1一2。)尸(4)+p,所以C正確；

對(duì)D,由C可知尸(4+J4=(1-2°)卜(4)-』，

因?yàn)槭?=g_p/o,

所以卜(4)-l是以為首項(xiàng)，1-20為公比的等比數(shù)列，

所以P(A.)_g=\_p](l_2P尸=g(l_2p)",

所以P(A)=%(1-2p)"+g,

所以尸(4“)=：(1一2。產(chǎn)+^,因?yàn)?<P<1且p#；,

所以l—2pe(—1,0)50」),所以(l-2p)2e(0,l),

所以P(&")=；(1-2p)2"+；=g[(l-2p)2]”+1是關(guān)于n的遞減數(shù)列，

所以P(怎)>尸(怎+2)，D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)的關(guān)鍵是結(jié)合等比數(shù)列定義變形化簡(jiǎn)得到

P(4)=1(l-2pr+1,最后得到尸(4“)=g(l-20產(chǎn)+：,利用函數(shù)單調(diào)性分析數(shù)列單調(diào)

性即可.

7.8

【分析】根據(jù)已知條件將。寫為(1+7)%即(9-1嚴(yán)，展開后觀察式子即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椤?黑+或7+或72++C；；7\

所以

1919191819

a=(l+7)=(9-1)=C°99+C；99(-l)++C；沙(一1)18+C^(-l)=91=9(1)+8,

ZeN*,

所以。除以9所得的余數(shù)為8.

故答案為：8

8.y/0.5

【分析】將每局的得分分別作為隨機(jī)變量，然后分析其和隨機(jī)變量即可.

【詳解】設(shè)甲在四輪游戲中的得分分別為X1,X2，X3，X”，四輪的總得分為X.

對(duì)于任意一輪，甲乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌組合有

六種，從而甲在該輪得分的概率產(chǎn)區(qū)=1）=￡=],所以E（XJ=|（A=1,2,3,4）.

_4_4QQ

從而磯X）=E（X+X2+X3+Xj=ZE（Xj=Zd=亍

k=lk=l&乙

記2=尸（*=k）化=0,1,2,3）.

如果甲得。分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分別對(duì)應(yīng)乙出2,4,6,

11

8,所以Po=Q=五；

如果甲得3分，則組合方式也是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分別對(duì)應(yīng)乙出8,2,4,

11

6,所以。3=爐=五.

3

而X的所有可能取值是0,1,2,3,故〃o+Pi+P2+P3=1，pi+2p2+3p3=E（X）=~.

所以Pl+〃2+77=1，P1+2P2+3=7，兩式相減即得P2+彳7=彳，故72+〃3=彳.

12o22422

所以甲的總得分不小于2的概率為P2+叢=（.

故答案為：工.

2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量問(wèn)題，利用期望的可加性得

到等量關(guān)系，從而避免繁瑣的列舉.

【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2023?全國(guó)?高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名.從這4

名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為（）

1112

A.—B.-C.-D.一

6323

2.（23-24高二下，重慶?階段練習(xí)）從0,1,2,3,4中選出3個(gè)數(shù)組成各位數(shù)字不重復(fù)的

三位偶數(shù)，這樣的數(shù)有（）個(gè).

A.24B.30C.36D.60

3.（2024?山東日照?一模）今年賀歲片，《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》引爆了

電影市場(chǎng)，小明和他的同學(xué)一行四人決定去看這三部電影，則恰有兩人看同一部影片的選

擇共有（）

A.9種B.36種C.38種D.45種

4.（2024?遼寧大連?一模）將ABCDER六位教師分配到3所學(xué)校，若每所學(xué)校分配2人，

其中48分配到同一所學(xué)校，則不同的分配方法共有（）

A.12種B.18種C.36種D.54種

&

5.（2024?廣東■模擬預(yù)測(cè)）若X，=4+卬（無(wú)一6）+%（%一6）~++a6（x-6）,則%=

（）

A.6B.16C.26D.36

6.（2024?貴州黔南?二模）我國(guó)農(nóng)歷用"鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、

豬”這12種動(dòng)物按順序輪流代表各年的生肖年號(hào)，今年2024年是龍年.那么從今年起的

（13耳+1）年后是（）

A.虎年B.馬年C.龍年D.羊年

7.（2024?海南海口,模擬預(yù)測(cè)）在黨的二十大報(bào)告中，習(xí)近平總書記提出要發(fā)展“高質(zhì)量教

育"，促進(jìn)城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展.某地區(qū)教育行政部門積極響應(yīng)黨中央號(hào)召，近期將安排甲、乙

、丙、丁4名教育專家前往某省教育相對(duì)落后的三個(gè)地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作，則每個(gè)地區(qū)至

少安排1名專家的概率為（）

1418

A.—B.-C.—D.—

99327

8.（2024?北京石景山?一模）一袋中有大小相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球.若從中不放回地

取球2次，每次任取1個(gè)球，記"第一次取到紅球”為事件A,"第二次取到紅球"為事件

B,則尸（叫4）=（）

4234

A.—B.-C.—D.一

15555

9.（2024?黑龍江哈爾濱?一模）有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1,2,3臺(tái)加工的次品率

分別為5%,2%,4%,加工出來(lái)的零件混放在一起.已知第1,2,3臺(tái)車床加工的零件數(shù)的比為

4:5:11,現(xiàn)任取一個(gè)零件，記事件4="零件為第，臺(tái)車床加工”。=1,2,3）,事件3="零

件為次品"，則尸（4忸）=（）

510

A.0.2B.0.05C.—D.—

3737

10.（2024?遼寧?二模）某公司的員工中，有15%是行政人員，有35%是技術(shù)人員，有50%

是研發(fā)人員，其中60%的行政人員具有博士學(xué)歷，40%的技術(shù)人員具有博士學(xué)歷，80%的

研發(fā)人員具有博士學(xué)歷，從具有博士學(xué)歷的員工中任