高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練：隨機(jī)變量及其分布（含答案及解析）

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練22

隨機(jī)變量及其分布

［考情分析］高考?？純?nèi)容，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差，以及利用分布列、

均值、方差進(jìn)行決策或分析，多與概率結(jié)合考查綜合題型，試題閱讀量大，常以解答題的形

式出現(xiàn)，難度中檔偏上.

【練前疑難講解】

一、分布列的性質(zhì)及應(yīng)用

1.離散型隨機(jī)變量x的分布列為

…

XX\X2

???

p0P2Pn

離散型隨機(jī)變量x的分布列具有兩個(gè)性質(zhì)：

(l)Pi^0,i—1,2,???,n；

⑵%=l(i=l,2,3,…，ri).

i=l

n

2.E(X)=Xipi+X2〃2H----\~XnPn=?iPi；

i=l

Q(X)=(X1—E(X))2pi+(%2—E(X))2P2+???+(4—E(X))2p〃=￡(%i—E(X))2pj.

i=l

3.均值、方差的性質(zhì)

(l)E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X).

(2)X?即,p),則E(X)=叩，D(X)=np(l—p).

(3)X服從兩點(diǎn)分布，則EQO=p,D(X)=p(l—p).

二、隨機(jī)變量的分布列

1.“重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布

X?B(n,p),P(X—k)—Cnpk(1~p)n~k,Z=O,1,2,…，n.

2.超幾何分布

一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取”件(不放回)，

「kr>n~k

用X表示抽取的"件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則x的分布列為尸(X=%)=J"也，k^m,m+1,

m+2,?,,,r.

其中“N,M￡N*,MWN,

m=max{0,n—N+M],r=min{n,M].

三、正態(tài)分布

正態(tài)曲線的特點(diǎn)

(1)曲線位于X軸上方，與X軸不相交.

(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱，曲線在處達(dá)到峰值忐.

(3)曲線與x軸之間的區(qū)域的面積總為1.

(4)當(dāng)。一定時(shí)，曲線的位置由〃確定，曲線隨著“的變化而沿x軸平移.

⑸當(dāng)〃一定時(shí)，曲線的形狀由。確定.。越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中;

。越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.

一、單選題

1.(23-24高三上?山東臨沂?開學(xué)考試)一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)黑球，〃個(gè)白球

(weN*),這些球除顏色外大小、質(zhì)地完全相同，從中任意取出3個(gè)球，已知取出2個(gè)黑

球，1個(gè)白球的概率為玲，設(shè)X為取出白球的個(gè)數(shù)，貝UE(X)=()

,31

A.—B.—C.1D.2

22

2.(22-23高二下?黑龍江哈爾濱?期末)現(xiàn)實(shí)世界中的很多隨機(jī)變量遵循正態(tài)分布.例如反復(fù)

測量某一個(gè)物理量，其測量誤差X通常被認(rèn)為服從正態(tài)分布.若某物理量做〃次測量，最后

結(jié)果的誤差要控制2；的概率不大于0.0027,至少要測量的次數(shù)為

()[參考數(shù)據(jù)：P(〃-3b4X4〃+3。)=0.9973]

A.141B.128C.288D.512

二、多選題

3.(2024?吉林?模擬預(yù)測)從含有2件次品的100件產(chǎn)品中，任意抽出3件，則()

A.抽出的產(chǎn)品中恰好有1件是次品的抽法有C；C；8種

C3

B.抽出的產(chǎn)品中至多有1件是次品的概率為1-1普

joo

C3

C.抽出的產(chǎn)品中至少有1件是次品的概率為1

D.抽出的產(chǎn)品中次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為最3

4.(2024?海南?模擬預(yù)測)某電子展廳為了吸引流量，舉辦了一場電子競技比賽，甲、乙兩

人入圍決賽，決賽采用2〃+1局〃+1勝的賽制，其中〃cN*,即先贏〃+1局者獲得最終冠

軍，比賽結(jié)束.已知甲每局比賽獲勝的概率為P,且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則（）

A.若九=3,p=g,則甲最終獲勝的概率為:

190

B.若"=1,p=~,記決賽進(jìn)行了X局，則乃區(qū)卜部

3ol

315

C.若〃=2,p=-,記決賽進(jìn)行了y局，則E（y）=k

48

D.若“=1比〃=2時(shí)對甲更有利，貝!10cp<；

三、填空題

5.（2023?山東?模擬預(yù)測）已知隨機(jī)變量X~3（2,p）,其中0<p<l,隨機(jī)變量y的分布列

為

Y012

21

P——qq

33

表中0<4<；2則D（/y、）的最大值為.我們可以用M=3ZP（/X=A、）lP（Xn=k}來刻

畫X與y的相似程度，則當(dāng)。（X）=g,且。（y）取最大值時(shí)，.

6.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知4件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)逐個(gè)不放回檢測，直至能確定

所有次品為止，記檢測次數(shù)為X,則E（X）=.

四、解答題

7.（2023?全國?高考真題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng).實(shí)驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨

機(jī)地將其中20只分配到實(shí)驗(yàn)組，另外20只分配到對照組，實(shí)驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度

臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量

（單位：g）.

⑴設(shè)X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑵實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：

對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?/p>

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

實(shí)驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?/p>

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19,820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)〃z,再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于優(yōu)與不小于的數(shù)據(jù)

的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表:

n<m>m

對照組n□

實(shí)驗(yàn)組□□

（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)

境中體重的增加量有差異.

n(ad-be)。

(a+6)(c+4)(a+c)(6+4)'

0.1000.0500.010

2

P(K>k0)2.7063.8416.635

8.（2024?江蘇?一模）已知某種機(jī)器的電源電壓U（單位：V）服從正態(tài)分布

N（220,202）.其電壓通常有3種狀態(tài)：①不超過200V；②在200V~240V之間③超過

240V.在上述三種狀態(tài)下，該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率分別為0.15,0.05,0.2.

（1）求該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率；

⑵從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取〃（?>2）件，記其中恰有2件不合格品的概率為p.，

求P.取得最大值時(shí)〃的值.

附：若Z-Nj,/）,取尸（〃-cr<Z<〃+cr）=0.68,P（〃-2b<Z<〃+2cr）=0.95.

【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2021?浙江溫州?二模）多項(xiàng)選擇題給出的四個(gè)選項(xiàng)中會(huì)有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部

選對的得5分，有選錯(cuò)的得。分，部分選對的得3分.若選項(xiàng)中有i（其中i=2,3,4）個(gè)選

項(xiàng)符合題目要求，隨機(jī)作答該題時(shí)（至少選擇一個(gè)選項(xiàng)）所得的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量。（其中

z=2,3,4),則有()

A.E值）+2E?）＜3E（芻）B.E催）+2E值）＞3E信）

C.2E值）+E?）＜3E值）D.2E?）+E?）＞3EC）

2.（23-24高二下?吉林長春?階段練習(xí)）2024年"與輝同行"直播間開播，董宇輝領(lǐng)銜7位主

播從"心”出發(fā)，其中男性5人，女性3人，現(xiàn)需排班晚8：00黃金檔，隨機(jī)抽取兩人，則

男生人數(shù)的期望為（）

3354

A.—B.—C.—D.一

5443

3.（2024?湖南長沙?模擬預(yù)測）從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級參加射擊比賽，根據(jù)以往的

成績記錄，甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X和V的分布列如下表一和下表二所示；

表一

X678910

p0.070.220.380.300.03

表二

Y678910

P0.090.240.320.280.07

概率分布條形圖如下圖三和圖四所示:

A.￡（X）＞E（r）B.￡（x）＜￡（r）C.￡＞（%）＞D（y）D.D（X）＜D（Y）

4.（2024?安徽蚌埠?模擬預(yù)測）在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為

4

P”P2，P3，P4,且2己=1，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最小的一組是（）

i=l

A.P]=0.1,必=0.2,P3=0.3,P4=0.4B.—0.4,p2—0.3,p3=0.2,p4=0.1

C.Pi=P4=。,1,比=P3=D.p}=P4=0.4,p2=p3=0.1

5.（2024?四川綿陽,模擬預(yù)測）下列命題中，真命題的是（）

A.若回歸方程9=-0.45x+0.6,則變量V與尤正相關(guān)

B.線性回歸分析中相關(guān)指數(shù)代用來刻畫回歸的效果，若心值越小，則模型的擬合效

果越好

C.若樣本數(shù)據(jù)為無2,…，指的方差為2,則數(shù)據(jù)2%-1,2史-1,…,2/-1的標(biāo)準(zhǔn)差為4

D.一個(gè)人連續(xù)射擊三次，若事件“至少擊中兩次"的概率為0.7,則事件"至多擊中一次"

的概率為0.3

6.（23-24高三上?浙江杭州?期末）已知隨機(jī)變量X-XZ分別滿足二項(xiàng)分布

乂2~8卜[],則"4>%"是"。（入）>。（*2）"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.（2024?遼寧遼陽?一模）遼寧的盤錦大米以粒粒飽滿、口感香糯而著稱.已知某超市銷售

的盤錦袋裝大米的質(zhì)量M（單位：kg）服從正態(tài)分布N（25,〃），且

P（24.9<M<25.1）=0.8,若從該超市中隨機(jī)選取60袋盤錦大米，貝。質(zhì)量在25kg~25.1kg

的盤錦大米的袋數(shù)的方差為（）

A.14.4B.9.6C.24D.48

8.（2024?江蘇?一模）青少年的身高一直是家長和社會(huì)關(guān)注的重點(diǎn)，它不僅關(guān)乎個(gè)體成長，

也是社會(huì)健康素養(yǎng)發(fā)展水平的體現(xiàn).某市教育部門為了解本市高三學(xué)生的身高狀況，從本市

全體高三學(xué)生中隨機(jī)抽查了1200人，經(jīng)統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)樣本的身高（單位：cm）近似服從正

態(tài)分布N（172,b）,且身高在168cm到176cm之間的人數(shù)占樣本量的75%,則樣本中身高

不低于176cm的約有（）

A.150人B.300人C.600人D.900人

二、多選題

9.（2024?安徽阜陽,模擬預(yù)測）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如表，若離散型隨機(jī)變量￥

滿足y=2x—i,則（）

X01234

P0.10.4X0.20.2

A.%=0.2B.￡(X)=2,D(X)=1.8

C.E（X）=2,O（X）=1.4D.石（丫）=3,。（丫）=7.2

10.（23-24高二下?山西晉城?階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量x則（）

A.E（X）=1B.E（2X+1）=9

3

C.D（X）=-D.O（2X+1）=1

4

11.（2023?浙江?三模）下列說法中正確的是（）

A.某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次訓(xùn)練中10次射擊成績（單位：環(huán)）如下：6,5,7,9,6,

8,9,9,7,5,這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為8

B.若隨機(jī)變量X?川100,p）,且E（X）=20,則D（X）=16

C.若隨機(jī)變量X~N（〃Q2）,且尸（X>4）=P（X<-2）=。，則P（-24X41）=；-p

D.對一組樣本數(shù)據(jù)（占,%）,（七,％…,（乙,％）進(jìn)行分析，由此得到的線性回歸方程

為：y=bx+a,至少有一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)在回歸直線上

三、填空題

12.（2022?天津南開?二模）甲罐中有3個(gè)紅球、2個(gè)黑球，乙罐中有2個(gè)紅球、2個(gè)黑

球.①先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，以A表示事件"由甲罐取出的球是紅球"，再從

乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示事件"由乙罐取出的球是紅球"，則尸（8|力=；②

從甲、乙兩罐中分別隨機(jī)各取出一球，則取到黑球的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.

13.（2024?全國?模擬預(yù)測）隨機(jī)變量？的分布列如下：

若E（9=l，則。（）=.

14.（21-22高二下?北京朝陽?期中）甲、乙兩人在每次猜謎活動(dòng)中各猜一個(gè)謎語，若一方

猜對且另一方猜錯(cuò)，則猜對的一方獲勝，否則本次平局.已知每次活動(dòng)中，甲、乙猜對的

概率分別為W和1，且每次活動(dòng)中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動(dòng)也互不影響.隨機(jī)

變量X表示在3次活動(dòng)中甲獲勝的次數(shù)，則P（XN2）=_；D（X）=

【能力提升訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2024?河北邢臺?二模）已知在的二項(xiàng)展開式中,第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，若在展

開式中任取3項(xiàng)，其中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為3則E（/=（）

81298

A.—B.—C.—D.—

11111155

2.（23-24高二下?江蘇南通?階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（）

A.已知一組樣本數(shù)據(jù)毛，尤2,…，x?（.y,<x2現(xiàn)有一組新的數(shù)據(jù)旦，

土產(chǎn)，…，石土，土產(chǎn)，則與原樣本數(shù)據(jù)相比，新的數(shù)據(jù)平均數(shù)不變，方差變

大

B.已知具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x,?其線性回歸方程為夕=。3尤-機(jī)，若樣本點(diǎn)的中

心為（“2.8）,則實(shí)數(shù)機(jī)的值是4

C.50名學(xué)生在一?？荚囍械臄?shù)學(xué)成績X~N（120,"）,己知產(chǎn)（X>140）=0.2,則

Xe[100,140]的人數(shù)為20人

D.已知隨機(jī)變量X~B若E（3X+1）=6,貝ij〃=5

3.（2021?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）已知隨機(jī)變量J~N（1Q2）,>P（^<0）=P（^>a）,貝|

14

-+----（。<》<。）的最小值為（）

xa—x

9

A.9B.-C.4D.6

2

二、多選題

2

4.（2024?山東濟(jì)南?三模）某同學(xué)投籃兩次，第一次命中率為若第一次命中，則第二次

31

命中率為I；若第一次未命中，則第二次命中率為5.記4（1=1,2）為第z?次命中，X為命

中次數(shù)，則（）

2443

A.P（4）=-B.E（X）=gC.O（X）=gD.P（AIA）=4

5.（2024?遼寧沈陽?三模）下列說法正確的是（）

A.連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，直至出現(xiàn)正面向上，則停止拋擲.設(shè)隨機(jī)變量X表示

3

停止時(shí)拋擲的次數(shù)，則尸（X=3）=o

O

B.從6名男同學(xué)和3名女同學(xué)組成的學(xué)習(xí)小組中，隨機(jī)選取2人參加某項(xiàng)活動(dòng)，設(shè)隨

4

機(jī)變量y表示所選取的學(xué)生中男同學(xué)的人數(shù)，則￡"）=§

C.若隨機(jī)變量4~8（9,},貝|。（9=2

D.若隨機(jī)變量〃?則當(dāng)〃減小，。增大時(shí)，尸（|〃-4<。）保持不變

6.（2024?廣西?模擬預(yù)測）下列關(guān)于隨機(jī)變量X的說法正確的是（）

A.若X服從正態(tài)分布N（l,2）,則D（2X+2）=8

B.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布3（2,P），且尸（X=隨機(jī)變量y服從正態(tài)分布

NW若尸“<o）=個(gè)貝|p（2<y<4）=：

C.若X服從超幾何分布"（4,2,10）,則期望E（x）=g

D.若X服從二項(xiàng)分布《4,；］,則方差D（X）=|

三、填空題

7.（2024?全國?模擬預(yù)測）設(shè)隨機(jī)變量向量（1,2）與向量值-1）的夾角為銳

角的概率是0.5,則〃的值是.

8.（2024?新疆烏魯木齊?一模）在工業(yè)生產(chǎn)中軸承的直徑服從N（3.0,0.0025）,購買者要求

直徑為3.0土￡,不在這個(gè)范圍的將被拒絕，要使拒絕的概率控制在4.55%之內(nèi)，貝合至少

為；（若貝|P（|X-4<2b）=0.9545）

9.（2024?河南開封?二模）袋中有4個(gè)紅球，機(jī)個(gè)黃球，"個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記

取出的紅球數(shù)為乙若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為!，則E（9=.

四、解答題

10.（23-24高三上?河南駐馬店?期末）一只螞蟻位于數(shù)軸x=0處，這只螞蟻每隔一秒鐘向

左或向右移動(dòng)一個(gè)單位長度，設(shè)它向右移動(dòng)的概率為:2，向左移動(dòng)的概率為，1

⑴已知螞蟻2秒后所在位置對應(yīng)的實(shí)數(shù)為非負(fù)數(shù)，求2秒后這只螞蟻在x=0處的概率；

（2）記螞蟻4秒后所在位置對應(yīng)的實(shí)數(shù)為X,求X的分布列與期望.

11.（2024?浙江?二模）某工廠生產(chǎn)某種元件，其質(zhì)量按測試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于

82為合格品，小于82為次品，現(xiàn)抽取這種元件100件進(jìn)行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表：

測試指標(biāo)[20,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100]

元件數(shù)（件）121836304

（1）現(xiàn)從這100件樣品中隨機(jī)抽取2件，若其中一件為合格品，求另一件也為合格品的概

率；

⑵關(guān)于隨機(jī)變量，俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫提出切比雪夫不等式：

若隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E（x）=〃，方差。=則對任意正數(shù)￡,均有

尸（,—”,成立.

（i）若乂證明：P（0WXW25）V:；

（"）利用該結(jié)論表示即使分布未知，隨機(jī)變量的取值范圍落在期望左右的一定范圍內(nèi)的概

率是有界的.若該工廠聲稱本廠元件合格率為90%,那么根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù)，請結(jié)合“切比

雪夫不等式"說明該工廠所提供的合格率是否可信？（注：當(dāng)隨機(jī)事件A發(fā)生的概率小于

0.05時(shí)，可稱事件A為小概率事件）

12.（23-24高二上?吉林?期末）在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗(yàn)的方法評價(jià)不同心理暗

示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗

示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價(jià)兩種

心理暗示的作用.現(xiàn)在6名男志愿者A，4,A.AQA，4和4名女志愿者耳，^，^，小，從中隨

機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.

⑴求接受甲種心理暗示的志愿者中包含a但不包含耳的概率；

⑵用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望、方差.

13.（2023?江蘇南京?模擬預(yù)測）甲，乙，丙三個(gè)廠家生產(chǎn)的手機(jī)充電器在某地市場上的占

有率分別為25%,35%,40%,其充電器的合格率分別為70%,75%,80%.

⑴當(dāng)?shù)毓ど藤|(zhì)檢部門隨機(jī)抽取3個(gè)手機(jī)充電器，其中由甲廠生產(chǎn)的手機(jī)充電器數(shù)目記為

X,求X的概率分布列，期望和方差；

⑵現(xiàn)從三個(gè)廠家生產(chǎn)的手機(jī)充電器中隨機(jī)抽取1個(gè)，發(fā)現(xiàn)它是不合格品，求它是由甲廠生

產(chǎn)的概率.

14.（2024?遼寧撫順?三模）某市共有教師1000名，為了解老師們的寒假研修情況，評選

研修先進(jìn)個(gè)人，現(xiàn)隨機(jī)抽取了10名教師利用"學(xué)習(xí)APP”學(xué)習(xí)的時(shí)長（單位：小時(shí)）：35,

43,90,83,50,45,82,75,62,35,時(shí)長不低于80小時(shí)的教師評為"研修先進(jìn)個(gè)人”.

⑴現(xiàn)從該樣本中隨機(jī)抽取3名教師的學(xué)習(xí)時(shí)長，求這3名教師中恰有2名教師是研修先進(jìn)

個(gè)人的概率.

(2)若該市所有教師的學(xué)習(xí)時(shí)長X近似地服從正態(tài)分布N出吟，其中。=10,〃為抽取的

10名教師學(xué)習(xí)時(shí)長的樣本平均數(shù)，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：

①試估計(jì)學(xué)習(xí)時(shí)長不低于50小時(shí)的教師的人數(shù)(結(jié)果四舍五人到整數(shù))；

②若從該市隨機(jī)抽取的〃名教師中恰有J名教師的學(xué)習(xí)時(shí)長在［50,70］內(nèi)，則n為何值時(shí)，

尸侑=10)的值最大？

附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布則P(〃一b<X<〃+b)Q0.6827,

P(〃一2b4X4〃+2b卜0.9545,P(〃—3(rVX4〃+3br0.9973.

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練22

隨機(jī)變量及其分布

［考情分析］高考?？純?nèi)容，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差，以及利用分布列、

均值、方差進(jìn)行決策或分析，多與概率結(jié)合考查綜合題型，試題閱讀量大，常以解答題的形

式出現(xiàn)，難度中檔偏上.

【練前疑難講解】

一、分布列的性質(zhì)及應(yīng)用

1.離散型隨機(jī)變量x的分布列為

…

XX\X2

???

p0P2Pn

離散型隨機(jī)變量x的分布列具有兩個(gè)性質(zhì)：

(l)Pi^0,i—1,2,???,n；

⑵%=l(i=l,2,3,…，ri).

i=l

n

2.E(X)=Xipi+X2〃2H----\~XnPn=?iPi；

i=l

Q(X)=(X1—E(X))2pi+(%2—E(X))2P2+???+(4—E(X))2p〃=￡(%i—E(X))2pj.

i=l

3.均值、方差的性質(zhì)

(l)E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X).

(2)X?即,p),則E(X)=叩，D(X)=np(l—p).

(3)X服從兩點(diǎn)分布，則EQO=p,D(X)=p(l—p).

二、隨機(jī)變量的分布列

1.“重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布

X?B(n,p),P(X—k)—Cnpk(1~p)n~k,Z=O,1,2,…，n.

2.超幾何分布

一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取”件(不放回)，

「kr>n~k

用X表示抽取的"件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則x的分布列為尸(X=%)=J"也，k^m,m+1,

m+2,?,,,r.

其中“N,M￡N*,MWN,

m=max{0,n—N+M],r=min{n,M].

三、正態(tài)分布

正態(tài)曲線的特點(diǎn)

(1)曲線位于X軸上方，與X軸不相交.

(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱，曲線在處達(dá)到峰值忐.

(3)曲線與x軸之間的區(qū)域的面積總為1.

(4)當(dāng)。一定時(shí)，曲線的位置由〃確定，曲線隨著“的變化而沿x軸平移.

⑸當(dāng)〃一定時(shí)，曲線的形狀由。確定.。越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中;

。越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.

一、單選題

1.(23-24高三上?山東臨沂?開學(xué)考試)一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)黑球，〃個(gè)白球

(weN*),這些球除顏色外大小、質(zhì)地完全相同，從中任意取出3個(gè)球，已知取出2個(gè)黑

球，1個(gè)白球的概率為玲，設(shè)X為取出白球的個(gè)數(shù)，貝UE(X)=()

,31

A.—B.—C.1D.2

22

2.(22-23高二下?黑龍江哈爾濱?期末)現(xiàn)實(shí)世界中的很多隨機(jī)變量遵循正態(tài)分布.例如反復(fù)

測量某一個(gè)物理量，其測量誤差X通常被認(rèn)為服從正態(tài)分布.若某物理量做〃次測量，最后

結(jié)果的誤差要控制2；的概率不大于0.0027,至少要測量的次數(shù)為

()[參考數(shù)據(jù)：P(〃-3b4X4〃+3b)=0.9973]

A.141B.128C.288D.512

二、多選題

3.(2024?吉林?模擬預(yù)測)從含有2件次品的100件產(chǎn)品中，任意抽出3件，則()

A.抽出的產(chǎn)品中恰好有1件是次品的抽法有C；C；8種

C3

B.抽出的產(chǎn)品中至多有1件是次品的概率為1-1普

joo

C3

C.抽出的產(chǎn)品中至少有1件是次品的概率為1

D.抽出的產(chǎn)品中次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為最3

4.(2024?海南?模擬預(yù)測)某電子展廳為了吸引流量，舉辦了一場電子競技比賽，甲、乙兩

人入圍決賽，決賽采用2〃+1局〃+1勝的賽制，其中〃cN*,即先贏〃+1局者獲得最終冠

軍，比賽結(jié)束.已知甲每局比賽獲勝的概率為P,且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則（）

A.若九=3,p=g,則甲最終獲勝的概率為:

190

B.若"=1,p=~,記決賽進(jìn)行了X局，則乃區(qū)卜部

3ol

315

C.若〃=2,p=-,記決賽進(jìn)行了y局，則E（y）=k

48

D.若“=1比〃=2時(shí)對甲更有利，貝!10cp<；

三、填空題

5.（2023?山東?模擬預(yù)測）已知隨機(jī)變量X~3（2,p）,其中0<p<l,隨機(jī)變量y的分布列

為

Y012

21

P——qq

33

表中0<4<；2則D（/y、）的最大值為.我們可以用M=3ZP（/X=A、）lP（Xn=k}來刻

畫X與y的相似程度，則當(dāng)。（X）=g,且。（y）取最大值時(shí)，.

6.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知4件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)逐個(gè)不放回檢測，直至能確定

所有次品為止，記檢測次數(shù)為X,則E（X）=.

四、解答題

7.（2023?全國?高考真題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng).實(shí)驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨

機(jī)地將其中20只分配到實(shí)驗(yàn)組，另外20只分配到對照組，實(shí)驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度

臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量

（單位：g）.

⑴設(shè)X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑵實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：

對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?/p>

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

實(shí)驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?/p>

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19,820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

(i)求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)〃z,再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于優(yōu)與不小于的數(shù)據(jù)

的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表:

n<m>m

對照組n□

實(shí)驗(yàn)組□□

(ii)根據(jù)(i)中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)

境中體重的增加量有差異.

n(ad-bc)2

附：K2

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)'

0.1000.0500.010

2

P(K>k0)2.7063.8416.635

8.(2024?江蘇?一模)已知某種機(jī)器的電源電壓。(單位：V)服從正態(tài)分布

N(220,2C)2).其電壓通常有3種狀態(tài)：①不超過200V；②在200V~240V之間③超過

240V.在上述三種狀態(tài)下，該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率分別為0.15,0.05,0.2.

(1)求該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率；

⑵從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取〃(?>2)件，記其中恰有2件不合格品的概率為p”,

求P.取得最大值時(shí)〃的值.

附：若取尸(〃-<7<2<〃+(7)=0.68,P(〃-2b<Z<〃+2cr)=0.95.

參考答案:

題號1234

答案ACACDABD

1.A

9

【分析】根據(jù)取出2個(gè)黑球，1個(gè)白球的概率為三求出〃的值，再求出X的分布列，根據(jù)

數(shù)學(xué)期望的定義即可計(jì)算.

【詳解】由題可知，安C2cl=總9，解得〃=3,

C〃+32U

X的可能取值為0』,2,3,

：，2)c*c|9

p（X=2）=

"cf20

1

P（X=3）=

C：20

EE（X）=0x—+lx—+2x—+3x—=1.5,

20202020

故選：A

2.C

【分析］上艮據(jù)題意得P“X”|2；］w0.0027,可得-0.0027=0.9973,然后根

據(jù)正態(tài)分布的概率求法可求得結(jié)果.

［詳解］根據(jù)題意得尸(xj2；］W0.0027,貝1］尸［仔“|<：)>1_0.0027=0.9973,

印尸0.9973,

因?yàn)椤?。所以P(—3cr4XW+3cr)=0.9973,

所以所以pw-L,解得“2288,

4\n12

所以至少要測量的次數(shù)為288次，

故選：C

3.ACD

【分析】對于A,由題意可知抽出1件次品，2件合格品，利用分步乘法原理求解，對于

BC,利用超幾何分布的概率公式求解，對于D,設(shè)抽出的次品數(shù)為X,由題意可知X可能

取值為0,1,2,求出相應(yīng)的概率，從而可求出其期望.

【詳解】對于A,若抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是次品，則抽出1件次品，2件合格

品，

所以共有C；C：8種不同的抽法，所以A正確,

「1「2「3

對于B,由題意可知抽出的產(chǎn)品中至多有1件是次品的概率為丁守+壽，所以B錯(cuò)誤,

CiooC100

c3

對于c,由題意得抽出的產(chǎn)品中至少有1件是次品的概率為普，所以C正確,

Cioo

對于D,設(shè)抽出的次品數(shù)為X,由題意可知X可能取值為0,1,2,則

-。）+嗯,"川=等=氤S登忌

力、八八776,97cl3bz

所以E(X)=0x------nix--------F2x------=—,所以D正確.

8251650165050

故選：ACD

4.ABD

【分析】對于A,利用獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求甲最終獲勝的概

率即可判斷；對于B,由條件求X的分布列，再求其期望及方差即可判斷，對于C,由條

件求y的分布列，再由期望公式求其期望即可判斷，對于D,分別求"=1,〃=2時(shí)甲獲勝

的概率，列不等式確定。的范圍即可判斷.

【詳解】對于A,因?yàn)椤?3,p=g,

所以甲獲勝的概率為由+*出A正確.

對于B,因?yàn)椤?1,P=g，

由已知X的取值有2,3,

尸—2)=3+5['P(X=3)=c]xgJ,

S49?

所以E(X)=2x@+3x§=豆,

C22丫5(22丫420…環(huán)

所以￡)(X)=(2------Ix—+13IX—=—,B正確.

3

對于C,因?yàn)椤?2,p=:，

4

又y的可能取值有3,4,5,

3

所以尸(y=3)=[1+

I=W

345

p(y=4)=C；

4128

p(y=5)=cj

所以”)="+4噫+5、：喑，C錯(cuò)誤;

對于D,當(dāng)〃=1時(shí)，甲獲勝的概率為/+C；p(l—p)0=/(3-2p),

當(dāng)〃=2時(shí)，甲獲勝的概率為

3

P+C；獷。#p+C?2。_。)2。=〃3+3/。一0)+6p3。一。)2,

若〃=1比〃=2時(shí)對甲更有利，貝I]p2(3-2/?)>p3+3p3(l-p)+6p3(l-p)2,

所以6P3-15P2+12°-3<0,

所以3(2p_l)(p_iy<0,又0<”1,

所以0<p<；,D正確；

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵在于確定其可能的取值，準(zhǔn)確理解取各

值所對應(yīng)的事件，結(jié)合概率的求法確定取各值的概率.

23

5.--

32

1on

【分析】根據(jù)題意，求得E(F)=：+2q和。(y)=-442+|q+,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，

71Q

求得Da)取得最大值再由二項(xiàng)分布方差，求得p=5,進(jìn)而得到M=In3-辛n2,即

可求解.

【詳解】由題意，可得E(y)=；+2”貝u

O(y)=(；+24)2(：_g)+(g_24)2xg+(2-；-24)2x4=—4q2+|^+|^=-4(^-^)2+|^,

710

因?yàn)?<g<§,所以當(dāng)4時(shí)，D(y)取得最大值：，

又由X~B(2,p),可得o(x)=2p(l-0)=g,解得p=g,

可得p(X=0)=L,P(X=l)=L,P(X=2)=L,

424

k=0P(X=k)

又因?yàn)镸=ZPX="ln;<,

2P(Y=k)

可得Af=—In—+—In—+—In—=—In—■I-—In—=—In—=In3——In2,

4422442422282

以笄臀

In22

23

故答案為：—；,

8

6.-

3

【分析】首先確定X=2,3,分別求出各自的概率，然后期望公式可求

【詳解】記檢測次數(shù)為X,貝UX=2,3

當(dāng)X=2時(shí)，檢測的兩件產(chǎn)品均為正品或?yàn)榇纹?，則尸(X=2)=安三=),

當(dāng)X=3時(shí)，只需前兩件產(chǎn)品中正品和次品各一件，第三件無論是正品還是次品,

A29

都能確定所有次品，則

A-3

19R

所以E(X)==2X§+3X§=3，

故答案為：!

7.(1)分布列見解析，E(X)=1

⑵(i)加=23.4；列聯(lián)表見解析，(ii)能

【分析】(1)利用超幾何分布的知識即可求得分布列及數(shù)學(xué)期望;

(2)(i)根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得m=23.4,從而求得列聯(lián)表;

(ii)利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.

【詳解】(1)依題意，X的可能取值為01,2,

「0「20l19

19CC20C2cI?IQ

則P(X=O)=族，P(X=D=-^=而，尸(X=2)=-^=旅

/oL40J，L40

所以X的分布列為:

X012

192019

P

783978

以…、八19120cl91

故_E(X)=0x——+lx——+2x——=1.

783978

(2)(i)依題意，可知這40只小白鼠體重增量的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到

大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，觀察數(shù)據(jù)可得第20位為23.2,第21位數(shù)據(jù)為

23.6,

什…23.2+23.6?“

所以機(jī)=---------=23.4,

2

故列聯(lián)表為：

<m>m合計(jì)

對照組61420

實(shí)驗(yàn)組14620

合計(jì)202040

⑺由⑴可得，“黑祟者）=6.-

所以能有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異.

8.（1）0.09；

（2）n=22.

【分析】（1）根據(jù)題意，由正態(tài)分布的概率公式代入計(jì)算，再由全概率公式，即可得到結(jié)

果；

（2）根據(jù)題意，由二項(xiàng)分布的概率公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】（1）記電壓"不超過200V"、"在200V~240V之間"、"超過240V”分別為事件A,

B,C,“該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品”為事件D

因?yàn)閁~N（220,202）,所以P（A）=P（U<200）=1一尸（〃二+=上笑=0驍，

P（3）=尸（200<。<240）=尸（〃一b<Z<〃+cr）=0.68,

/、/、\-P（u-cy<Z<Li+（y\1-0.68

P（C）=P（U>240）=——用...---------L=—產(chǎn)=0.16.

所以尸（0=尸（A）尸（D|A）+P（3）尸（。|3）+尸（C）尸（0C）

=0.16x0.15+0.68x0.05+0.16x0.2=0.09,

所以該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率為0.09.

（2）從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取w件，設(shè)不合格品件數(shù)為X,則乂~3（〃,0.09）,

所以=P（X=2）=C>0.9廣2.0.092.

C910092

由^=^-°-/-=^X0,91>1WW2<n<—.