高考數(shù)學(xué)壓軸題專項訓(xùn)練：導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題（全題型壓軸題）含答案及解析

專題11導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題（全題型壓軸題）

目錄

①對稱化構(gòu)造法......................................................1

②差值代換法........................................................3

③比值代換法........................................................4

④對數(shù)均值不等式法..................................................5

①對稱化構(gòu)造法

1.（多選）（2023春?山東德州?高二統(tǒng)考期末）定義在R上的函數(shù)滿足/■'（力=d+/（力，且/（0）=1,

則下列說法正確的是（）

A.“X）在x=-2處取得極小值

B.有兩個零點

C.若Vx>0,/（力>左恒成立，則上<1

D.若玉「x2eR,x^x2,/（±）=/（々），則西+/<-4

2.（2023春?河北張家口?高二統(tǒng)考期末）己知函數(shù)/（x）=xlnx.

⑴求函數(shù)/'（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）若方程〃x）=2x-l的兩個解為毛、X%,求證:x,+x2>2e.

3.(2023春?河南周口?高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=三手，aeR

⑴若。=2,求的單調(diào)區(qū)間；

若為，演是方程八句=等的兩個實數(shù)根，證明：

(2)a=l,1X,+X2>2.

4.(2023?重慶沙坪壩?重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃到=%-向仁尤卜。1以.=1為其極小值點.

⑴求實數(shù)。的值；

⑵若存在AH%，使得/(%)=/(不)，求證：x{+x2>2.

5.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=(尤-e-De'-gef+eZx.

⑴求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

(2)若/'(xj=/(x2)=/(x3)(xi<三)，求證：工2'<e-l.

②差值代換法

1.(2023?全國?高二專題練習(xí))已知函數(shù)g(x)=e*-ax?-ox,h{x)=e'-2x-Inx.其中e為自然對數(shù)的底

數(shù).

(1)若/(x)j(M-g(x),討論了(無)的單調(diào)性;

2

(2)已知。>0,函數(shù)g(尤)恰有兩個不同的極值點玉，巧，證明：x,+x2<ln(4a).

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)"x)=；e2*-(a+l)(x-l)e，+gax3,〃x)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x).

⑴若/(無)在(0,+8)上單調(diào)遞增，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若求證：方程/'(x)+(a+l)xe，=。在(0,+“)上有兩個不同的實數(shù)根和七(為<々)，且

3.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)1-加(meR).

⑴討論〃力的單調(diào)性;

⑵若〃尤)有兩個零點均和々，設(shè)毛=七巴，證明：/(x0)>0(尸⑴為的導(dǎo)函數(shù)).

③比值代換法

1.(2023春?河北石家莊?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x21nx-a(aeR).

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若函數(shù)/(X)有兩個零點4、4，證明1<玉+工2<.

2.(2023?廣東茂名?茂名市第一中學(xué)?？既?己知函數(shù)/(x)="+(a-l)lnx+J,oeR.

⑴討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若關(guān)于％的方程〃龍)=祀，-111%+^有兩個不相等的實數(shù)根巧、々，

(i)求實數(shù)。的取值范圍；

,一、4Te"e*2a

(ll)求證:1--->-----

X2菁%工2

3.(2023?江西南昌?南昌縣蓮塘第一中學(xué)校聯(lián)考二模)己知函數(shù)〃x)=x(lnx—a),g(x)=^-+a-ax.

⑴當(dāng)時，/(x)N-lnx-2恒成立，求a的取值范圍.

2

(2)若g(x)的兩個相異零點為占，巧，求證：XjX2>e.

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=lnx-4+l（aeR且4片0）.

尤

（1）若函數(shù)AM的最小值為2,求。的值；

⑵在（1）的條件下，若關(guān)于X的方程/。）=機(jī)有兩個不同的實數(shù)根和馬，且芯<%，求證：X]+z>2.

④對數(shù)均值不等式法

1.（2023春?福建廈門?高二廈門雙十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=a尤-4-lnx（a>0）

X

⑴已知了（無）在點（1,/（I））處的切線方程為y=x-l,求實數(shù)。的值；

⑵已知了（尤）在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

⑶己知g（x）=〃x）+E有兩個零點看，巧，求實數(shù)。的取值范圍并證明為%>e?.

2.（2023春?福建莆田?高二校考期中）已知函數(shù)〃尤）=lnx-ar?.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性：

（2）若占，%是方程/（力=0的兩不等實根,求證：片+考>2e；

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=ln(x-l)-"[2).

⑴若f^)>0對Vxe[2,y)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；

(2)已知方程的二D=上有兩個不同的根毛、巧，求證：%+%>6e+2,其中e=2.71828…為自然對數(shù)的

x-l3e

底數(shù).

4.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x—sinx—tanx+alnx+b,xG^0,yj.

⑴求證：2xvsinx+tanx,

⑵若存在毛、且當(dāng)時，使得/&)=/?)成立，求證：學(xué)<L

專題11導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題(全題型壓軸題)

目錄

①對稱化構(gòu)造法......................................................1

②差值代換法........................................................3

③比值代換法........................................................4

④對數(shù)均值不等式法..................................................5

①對稱化構(gòu)造法

1.(多選)(2023春?山東德州?高二統(tǒng)考期末)定義在R上的函數(shù)滿足/■'(力=d+/(力，且/(0)=1,

則下列說法正確的是()

A.“X)在x=-2處取得極小值

B.有兩個零點

C.若Vx>0,/(力>左恒成立，則％<1

D.若玉「x2eR,Xj^x2,/(±)=/(々)，則西+/<-4

【答案】AD

【詳解】因為/'(x)=e，+/(x),所以、(x)：/(x)=i,

e

令g(x)=勺，則g，(x)J7%,

所以設(shè)g(x)=里L(fēng)x+C,所以〃x)=(x+c)e)

又因為〃0)=c=l,所以/(x)=(x+l)eZ

對于A,因為〃x)=(x+l)e"所以尸(x)=(x+2)e，\

令〃x)=(x+2)e*=。,得x=-2,

當(dāng)x<—2時，f'(x)<0,〃x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>-2時，-(尤)>0,單調(diào)遞增，

所以“X)在尤=-2處取得極小值，故A正確；

對于B,令〃x)=(x+l戶=0,得x=-1,

所以/(X)有一個零點，故B錯誤；

對于C,因為在(0,+")單調(diào)遞增，所以x>0時，/(x)>/(O)=l,

所以左W1,故C錯誤；

對于D,因為/(X)在(-哂-2)單調(diào)遞減，(-2,收)在單調(diào)遞增，

且“X)唯一零點為-1,當(dāng)X--8時，/(%)<0且/(x)->0,

所以若叫，々eR，占*々，/(%)=/(切，

_

可以設(shè)2<x2<—1,

假設(shè)玉十工2<—4正確，下證明％1+入2<—4，即證演<一4一兀2，

因為玉<-2,-3<-4-％2<-2,/(%)在(-(^,一2)單調(diào)遞減，

所以即證七)，即證/(馬)>/^一4一々)，

構(gòu)造/7(x)=〃x)-“T-x),Xe(-2,-1),

2x+4_1

則〃(x)=(X+2)+(-X-4+2)e*，=(x+2).—不一，

因為—2<x<—1,所以x+2>0,e'+4>0?2x+4>0,貝Ue"""—1>0,

所以〃⑺在(-2,-1)上單調(diào)遞增，所以〃(x)>〃(一2)=/(-2)-/(-2)=0,

即石<-4-4得證，原式成立，故D正確.

故選：AD

2.(2023春?河北張家口?高二統(tǒng)考期末)己知函數(shù)/(x)=xlnx.

⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若方程〃x)=2x-l的兩個解為毛、演，求證:%+%>2e.

【答案】①減區(qū)間為增區(qū)間為1,+，!，極小值為了［：］=-:，無極大值;

⑵證明見解析

【詳解】⑴解：函數(shù)/(%)=如九的定義域為(0,+。)，且尸(x)=lnx+l,

令「(同=?？傻肵=g,列表如下：

1

X

e

—0+

“X)減極小值增

所以，函數(shù)“X)的減區(qū)間為1。,：)，增區(qū)間為g,+。，極小值為無極大值.

(2)解：設(shè)Mx)=/(x)-2x+l=xlnx—2x+l,其中x>0,貝|〃'(x)=lnx-l,

令〃(x)<0,可得0<x<e,此時,函數(shù)。力在(O,e)上單調(diào)遞減,

令〃(x)>0,可得X>e,此時，函數(shù)力⑺在(e,+8)上單調(diào)遞增，

所以，％=e是函數(shù)九⑴的極小值點，

因為函數(shù)力(X)有兩個零點七、巧，設(shè)占</，則。<%<e<X2，

即且0<國<eV%,要證再+無2>2e,即證2>2e-±>e,

因為函數(shù)九(外在(e,+oo)上單調(diào)遞增，

所以,只需證明:h(x2)>h(2e-xl),即證。(而)>/i(2e-西),

令p(x)=/z(x)—/z(2e—A：)=xlnx—(2e—x)ln(2e—X)—4x+4e,其中0<x<e,

貝?。?(x)=lnx+ln(2e-x)-2=ln(^2er-x2)-2,

因為0cx<e,則2ex-x2=-(x-e)2+e2e(0,e2),

所以，y(x)=ln(2ex-x2)-2<lne2-2=0,故函數(shù)p(x)在(0,e)上為減函數(shù)，

又因為P(e)=O,所以，p(x)>0對任意的xe(O,e)恒成立，

則〃(占)=/1(%)一/1(26-芯)>0,gp/z(jq)>/z(2e-x1),故26<%+%成立.

3.(2023春?河南周口?高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/")=汨竺，aeR

⑴若。=2,求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若。=1,占，巧是方程的兩個實數(shù)根，證明：XI+X2>2.

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為(2-&,2+0),單調(diào)遞減區(qū)間為卜叫2-&),(2+應(yīng),+8)

⑵證明見解析

【詳解】(1)由題可知的定義域為R,

X?—4x+2

f'(x)

令力(力=/—以+2,貝U〃(x)=O的兩根分另I］為%=2—逝，々=2+0.

當(dāng)x＜2-后或無＞2+0時，/'（“＜0；

當(dāng)2-夜＜x＜2+應(yīng)時，,勾＞0；

所以“尤）的單調(diào)遞增區(qū)間為（2-應(yīng),2+0），單調(diào)遞減區(qū)間為（f,2-夜），（2+0,+8）.

（2）原方程可化為In%-%?+%+1=0,

設(shè)g（x）=lnx—%2+%+1,則g＜x）_J__2x+]=_2.+丁+1,x＞0.

xx

令g'（尤）=。，得%=1.???在（。,1）上,gz（x）＞0,在（L+°o）上,g'（%）＜0,

g（"在（O,l）上單調(diào)遞增，在（1,+8）上單調(diào)遞減，

g（x）＜g⑴=-1+1+1=1＞0,且當(dāng)％＞0,%趨向于0時，g（x）趨向于華，

當(dāng)%趨向于+00時，g（x）趨向于-8.

則g（%）在（。，1）和（I+00）上分別有一個零點七，演，

不妨設(shè)。＜王〈1〈工2，0＜＜1,2-石＞1,

設(shè)G（x）=g（x）-g（2-%）,貝UG（x）=（1皿-%2+無+1）_[1口（2-%）-（2-%）2+（2一力+1]=\wc-ln（2-x）-2x+2,

12f—4x+2

Gr（x）=-+-2=

2—xx（2-x）

當(dāng)0v九v1時,G（九）＞0,

G（x）在（。,1）上單調(diào)遞增，而G⑴=0,

.,.當(dāng)0＜x＜l時，G（x）＜0,g（x）＜g（2-x）,即g（石）＜g（2—玉）.

8（々）=8（不）,

g（9）＜g（2-%）.

g（無）在（1,叱）上單調(diào)遞減,

>2—玉，即%+%>2.

4.（2023?重慶沙坪壩?重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）己知函數(shù)"X）=x-sin[gxj-aInx,x=1為其極小值點.

（1）求實數(shù)。的值；

⑵若存在工產(chǎn)馬,使得玉）=/。2）,求證：X]+%＞2.

【答案】⑴。=1

（2）證明見解析

【詳解】（1）/⑺的定義域為（0,+8）,

TT（TV\（1

f\x）=1--cos—x,依題意得了⑴=1-〃=0,得4=1,

2v2/x

jr

止匕時/'(x)=1-5COS

、1/c—_L八兀兀八兀，兀、兀1,

當(dāng)Ovxvl時，0<一%<一,0<—cos—x?->1故[(尤)<0,7⑴在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,

222y2J2x

當(dāng)l<x<2時，上〈色尤〈兀，￡cos(gx]<°，-<1>故/'(無)>0，/⑺在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增,

222\27x

故/(對在X=1處取得極小值，符合題意.

綜上所述：a=l.

(2)由(1)知，/(x)=x-sin(l-lnx,

不妨設(shè)。<再</，

當(dāng)1V占<三時，不等式尤1+%>2顯然成立;

當(dāng)。<尤1<1,922時，不等式玉+%>2顯然成立;

當(dāng)。<芯<1,0<々<2時，由(1)知/(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，因為存在無I#尤2,使得/(%)=/(々)，所

以1v々v2,

要證%+%>2,只要證石>2—9,

因為1<々<2,所以0<2-％2<1,又/(九)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,

所以只要證/(%)</(2-々)，又/&)=/(%)，所以只要證/(%)</(2-%),

設(shè)尸(x)=/(x)-f(2-x)(l<x<2),

則尸《I一凈2X)

c/11、兀/(兀)/兀、、

=2-(―+----)-—(cos—X+COS(7l--x))

x2-x2k2J2

=2c-(/一+-］--)、-—兀/(cos—兀x-cos(/—兀x)、)、

x2-x212J2

=2一d+J),

x2-x

令g(無)=2_(工+；^—)(l<x<2),14-4x

x2-x(2-x)2X2(2-X)2

因為1cx<2,所以g'(x)<0,g(尤)在(1,2)上為減函數(shù)，所以g(x)<g⑴=0,

即F'(x)<0,

所以廠(無)在(1,2)上為減函數(shù)，

所以尸(x)〈歹(1)=0,即/(無2)</(2-々).

綜上所述：工+%>2.

5.(2023■全國■模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=(x-e-l)e*-gex2+e2x.

⑴求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

(2)若/(占)=/(工2)=/(%)(%<%<三)，求證：與2網(wǎng)<e—l.

【答案】⑴單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,1)和(e,+向，單調(diào)遞減區(qū)間為(Le)；極大值為-ge,極小值為Y+；e3

(2)證明見解析

【詳解】⑴定義域為R,7,(x)=(x-e)ex-ex+e2=(%-e)(ex-e),

令/'(尤)=0,解得：x=e或*=1,

.,.當(dāng)xe(F,l)U(e,+8)時，>0；當(dāng)xe(l,e)時，尸(“<0；

\/(a)的單調(diào)遞增區(qū)間為(f,l)和(e,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(l,e)；

的極大值為"1)=-1e,極小值為〃e)=+1e3.

(2)由(1)知：Xj<1,1<x2<e,x3>e.

^>F(x)=/(x)-/(2-x),l<x<e,

A2-xeCJ：1

貝UF'{x)=/'(%)-[/(2-x)]=(x-e)(e-e)+(2-x-e)(e-e)=x,[(x-e)e-+x+e—2]；

令G(x)=(x-e)e'-1+x+e-2,則G'(x)=(x-e+l)e'i+1；

令H(x)=G(x),則ZT(x)=(x_e+2)ei,

H'(x)>0在(l,e)上恒成立，：.H(x)在(l,e)上單調(diào)遞增,

.-.H(x)>H(l)=3-e>0,

.?.G'(x)>0在(l,e)上恒成立，，G(x)在(l,e)上單調(diào)遞增，.?.G(x)>G(l)=0,

???尸'(x)>0在(l,e)上恒成立，.?.尸(x)在(l,e)上單調(diào)遞增，.?.P(x)>—l)=0,

■〃2-x)對任意xe(l,e)恒成立.

.?./(X2)>/(2-X2),又〃％)=〃馬)，-以,

,."(X)在(-8,1)上單調(diào)遞增，x(,2-%2e(^?,l),:.xt>2-x2,即/+芍>2；

令zn(x)=/(x)-/(2e-x),l<x<e,

則=/，(x)+[〃2e-x)]=(x-e)(e*—e)+(2e-x-e)(e2eT-e)-(^-e)(e'-e'e'T)；

2exexee

...>=e'-e-在(1,e)上單調(diào)遞增,：,e-^-<e-e=0,

加(尤)>0在(l,e)上恒成立，在(l,e)上單調(diào)遞增,

m(x)<m(e)=0,/(x)</(2e-x)對任意xe(1,e)恒成立.

??,x,e(l,e),.?./(x2)</(2e-^).又/(蒼)=〃玉)，.?.〃w)</(2e-*),

；在(e,+oo)上單調(diào)遞增，且毛,2e-9e(e,+<x>),x3<2e-x2,x2+x3<2e；

由西+工2>2得：_%_迎<_2,-x,+%,)+(-%[-x2)<2e-2,—~~—<e-l.

②差值代換法

1.(2023,全國?高二專題練習(xí))已知函數(shù)g(x)=e*-ax2-or,h(x)=ex-2x-lnx.其中e為自然對數(shù)的底

數(shù).

(1)若"x)=〃(x)—g(x),討論〃尤)的單調(diào)性;

2

(2)已知。>0,函數(shù)g(尤)恰有兩個不同的極值點與，巧，證明：%1+x2<ln(4(7).

【答案】(1)當(dāng)aWO時，函數(shù)AM在(0,+⑹上單調(diào)遞減；當(dāng)。>0時，函數(shù)/*)在(o,：]上單調(diào)遞減，在

單調(diào)遞增；(2)證明見解析.

【詳角軍】角麻(1)/(x)=h(x)—g(x)=ex-2x-Inx—ex+ax2+ax=ax2+(a-2)x-lnx(x>0),

.zc、12a/+(〃一2)%一1(2%+l)(ox-l)/

/'(X)=2QX+(Q—2)——=------------——=-----------(x>0),

XXX

(i)當(dāng)。《0時，r(x)<0,函數(shù)/3在(0,+8)上遞減；

(〃?)當(dāng)。>0時，令((無)>0,解得x>2；令/'(x)<0,解得0<%<!，

aa

；?函數(shù)在(。,「遞減，在[,+[(遞增；

綜上，當(dāng)時，函數(shù)/(九)在(。,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)4>0時，函數(shù)/(x)在(o,：)上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

一{eX}—2ax[—a=G

(2)證明：g\x)=ex-2ax-a,依題意，不妨設(shè)玉<馬，貝叫刀。八，

2

\e-2ax2-a=0

兩式相減得，2“=上之，

石~X2

因為。>0,要證玉+x,<ln(4°2),即證三土三<in2a,即證e華〈空二e，

\)2石_尤2

X\-X2

兩邊同除以即證(%]_/)6丁

令/=石-%(%<0),即證痙一一+1>0,

令%?)=._d+l(/<0)，則"⑺=-e2e2_1；+l],

令°?)=?2-,+1],則e2-1,

)2<)

當(dāng)1<0時，p'(f)<0,所以p(f)在(-℃,。)上遞減，

p(f)>p(0)=0/?,(/)<0,h(t)在(-8,0)上遞減，

二版/)>飄0)=0,即招：_/+]>0，

故X]+x?<ln(4a2).

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃尤)=ge2，-(a+l)(x—l)e，+gox3,的導(dǎo)函數(shù)為尸(x).

(1)若/(%)在(0,+動上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；

⑵若求證：方程/'(x)+(a+l)%e“=0在(0,+。)上有兩個不同的實數(shù)根石,X2(西<馬)，且

°3—e

3%-x<----.

2e-1

【答案】⑴(—8,e]

⑵證明見解析

【詳解】(1)=e2x-(6?+l)xex+ox2=(e，一依)[芯一]),

^g(x)=ex-x(x>0),則g'(x)=e，一1>0,

所以g(x)在(。,+8)上單調(diào)遞增,g(x)>0,

所以令廣⑺之。，得e="之0(%>0),即〃(F(x〉0).

設(shè)〃(x)=S(x>0),則/⑺=白一了,

XX

當(dāng)xe(O,l)時,//(x)<0,/?(%)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(l,+co)時，//(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增，

所以/z(x)2/z(l)=e,所以aVe,此時廣(x)N0,〃x)在(0,+功上單調(diào)遞增，

故a的取值范圍是(-00,e].

(2)要證尸(x)+(a+l)xe'=。在(0,+s)上有兩個不同的實數(shù)根和%.

即證方程e2，=-依2在僅,+⑹上有兩個不同的實數(shù)根占

即證方程f=G在(。,+e)上有兩個不同的實數(shù)根為,三,

X

由（1）知＞0）在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,+°°）上單調(diào)遞增，且當(dāng)x—＞0+時，"（x）'+oo,

時，/2（%）—+8,

又fi（l）=e,a＜-16,

所以方程J=G在（0,+8）上有兩個不同的實數(shù)根毛，巧，且0＜%＜1.

X

因為a＜-16,所以J工＞4,

2

又可2）=5e＜4,所以々＞2,（點撥：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到巧的范圍）

2

易知e為=yj—aXy，e^=y[—ax2,

兩式分別相加、相減得e*+e9=/^（%+工2），e電-e'，

得%+%=（々rJ（e巧+爐）二（了一芯乂心-+1）=%?2（々-%）.

1X2x,21-x,

2e-ee巧e^-1

設(shè)/=%2—X，則力>1,x2+Xj=t----,

?/

所以3芯-毛=（毛+%）-2（工2-司）="—j'一—（換元，將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題）

，/、2-2

、幾/、2t

設(shè)根（。二7二一/(f>l)，則7"⑺=(t'2-l<0,

e—1(eT)

9Q_

所以根⑺在（L+8）上單調(diào)遞減，所以〃?（。＜告-1=一e，得證.

e—1e—1

3.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)/⑴=的-廿一鞏加^^.

⑴討論八力的單調(diào)性;

⑵若〃無）有兩個零點々和巧，設(shè)毛=七三，證明：/（^）＞0（尸（X）為〃x）的導(dǎo)函數(shù)）.

【答案】（1）答案見解析

（2）證明見解析

【詳解】（1）解:因為/（x）=〃ix—e,-機(jī)，貝ijr（x）=〃Le”,

若〃k0,對任意的xeR,則/'（x）＜0,函數(shù)〃x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（F,y）；

若機(jī)＞0,令/''（x）=〃z-e*=0,得x=ln7〃,

當(dāng)x＜ln〃?時，/,x）＞0,當(dāng)x＞ln/"時，/'（尤）＜0.

所以/（X）的增區(qū)間為（-co,ln；"）,減區(qū)間為（In%,”）.

綜上所述，當(dāng)加40時，函數(shù)/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（3,+8）；

當(dāng)7">0時，函數(shù)“X)的增區(qū)間為(-a>,ln〃7),減區(qū)間為(ln〃?,+co).

(2)證明：不妨令士>馬，由題設(shè)可得<,八，

2

mx2-e-m=0

e%1-%2

兩式相減整理可得m=------e---.

l~X2

為+」9不_x2

所以/(%)=/1與三e

=m—e2---------------e2,

玉-x2

_X2畫+為2__

要證/(飛)>0,即證匚二一一eM>0,即證-彳，

%一％212

令/=正/>0,即證e'_e->>2r,其中7>0,

構(gòu)造函數(shù)g(。=1一1-2『,其中r〉0,

則g，?)=e，+片,一2>2次-2=0,所以，函數(shù)g⑺在(0,+“)上單調(diào)遞增,

所以，當(dāng)/>0時，g(r)>g(O)=O,即e'—eT>2f,故原不等式得證.

③比值代換法

1.(2023春?河北石家莊?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=無21n尤-a(aeR).

(1)求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間;

/、2

⑵若函數(shù)/(X)有兩個零點X]、巧，證明1<%+%<.

,單調(diào)增區(qū)間為(j,+8

【答案】⑴單調(diào)減區(qū)間為0,

⑵證明見解析

【詳解】(1)解：因為/(x)=flnx—l("R)的定義域為(0,+。),

貝！J/qX)=2xlnx+x=x^21nx+l),

令廣")>0,解得x>5,令解得0<x<[,

所以“X)的單調(diào)減區(qū)間為0,,單調(diào)增區(qū)間為,+8.

(2)證明：不妨設(shè)玉<工2，由(1)知：必有。<百<7=<兀2.

要證占+犬2＜卡，即證了2＜宗一網(wǎng)，即證/(%)＜/1［-玉］

又/(9)=/(周),即證/(占)一一占］＜0.

令g(無)="x)-/

貝!Jg'(%)=x(21nx+l)

令g)=g'(x),則〃(x)=2(lnx+l)+l_21n院-x]+l-1=21叱

所以網(wǎng)力在0,上單調(diào)遞減，即g'(x)在0,上單調(diào)遞減，所以g'(x)＞g'=0,

所以g(x)在|0,上單調(diào)遞增，所以g&)＜g=0,

2

—j=—X]j<0,所以玉+々<

即7T

接下來證明玉+々＞1，

令三=f,則＞1,又/(石)=/(%2),即Win±=%ln無2，所以皿玉二色］

1—t

要證1＜玉+工2，即證1＜玉+處，有(7+1)再＞1,

不等式?+1)石＞1兩邊取對數(shù)，即證ln%+ln(，+l)＞0,

即證?^+ln(t+l)>0,即證(z+l)ln(/+l)tint

------------------>------，

t~l

(lnx+l)(x-l)-xlnx_x-lnx-1

令〃(力=型，，XG(1,-HO),則/(%)=

(5'

X-1(1)2

1r_1

令p(尤)=x-ln九一1,其中XG(1,+GO),貝ijp'(x)=l——=--->0,

所以，p(x)在。,+8)上單調(diào)遞增，則當(dāng)X￡(l,內(nèi))時，P(X)>M1)=。，

x-lnx-1八

故當(dāng)xe(Ly)時，“'(x)-------5—

(尤-1)一

可得函數(shù)"(X)單調(diào)遞增，可得+即、+l)ln(r+l)＞號,所以為+電＞1,

91<玉+工2<?

2.(2023,廣東茂名?茂名市第一中學(xué)?？既?已知函數(shù)/(x)=ax+(a-l)lnx+：,aeR.

⑴討論函數(shù)的單調(diào)性；

⑵若關(guān)于x的方程/(x)=xe，-Inx+g有兩個不相等的實數(shù)根4、々，

(i)求實數(shù)。的取值范圍；

,一、卡、市爐e*2。

(||)求證：一+—>---.

x2X{XxX2

【答案】⑴答案見解析

(2)(i)(e,+8)；(ii)證明見解析

【詳解】(1)解：因為/(%)=ax+(Q—l)ln%+,，

x

所以尸(x)=a+^二=加+("「)1=(川)(廣一1),其中尤>0.

XXXX

①當(dāng)aWO時，所以函數(shù)〃x)的減區(qū)間為(。,+e),無增區(qū)間；

②當(dāng)a>0時，由丁4勾>0得x>[,由r(x)<0可得0<x<：

所以函數(shù)〃x)的增區(qū)間為&,+1!，減區(qū)間為1J.

綜上：當(dāng)aWO時，函數(shù)〃尤)的減區(qū)間為(。,+“)，無增區(qū)間；

當(dāng)a>0時，函數(shù)〃尤)的增區(qū)間為，,+j,減區(qū)間為(0,￡|.

(2)解：⑴方程"x)=xe*-lnx+：可化為雙工=ox+alnx,BPer+lnv=?(x+lnx).

令t(x)=x+lnx,因為函數(shù)f(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

易知函數(shù)"x)=x+lnx的值域為R，

結(jié)合題意，關(guān)于1的方程e'=S(*)有兩個不等的實根.

又因為f=0不是方程(*)的實根，所以方程(*)可化為m=。.

t

令g?)=更，其中評0,則g，⑺

由g'?)<0可得/<0或0</<1,由g'?)>0可得/>1,

所以，函數(shù)g⑺在(-8,0)和(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

所以，函數(shù)g⑺的極小值為g(l)=e,

>r

且當(dāng)r<0時，g(t)=Ye<0；當(dāng)f>0時，則g(f)=?e>0.

由圖可知，當(dāng)”>e時，函數(shù)y與g(t)的圖象有兩個交點，

所以，實數(shù)。的取值范圍是(e,+8).

exie為2Q

(ii)要證---1----->------，只需證西9+%2。吃>2〃，即證e"+e'2>2a.

X2玉玉々

因為3=成，所以只需證。+"2.

由(i)知，不妨設(shè)

[t,=\na+\nt,,

因為e'=成，所以/=lna+ln%,即｛1,作差可得,2-。二1口；.

[t2=InQ+In芍A

?+1>2：+1

所以只需證片J，即只需證^—>-r-

t^-1Ing

%%

令P=?”>1)，只需證lnp>2(P：l).

令/z(p)=lnp_2(0J),其中p>i,貝=_(,J、?>0,

所以〃(p)在(L”)上單調(diào)遞增，故〃(〃)>//⑴=0,即〃(p)>。在(1,+s)上恒成立.

所以原不等式得證.

3.(2023?江西南昌?南昌縣蓮塘第一中學(xué)校聯(lián)考二模)已知函數(shù)〃x)=x(lnx-a),g(x)=#+a-冰.

⑴當(dāng)時，/(x)N-lnx-2恒成立，求a的取值范圍.

(2)若g(x)的兩個相異零點為公,巧，求證：xix2>e2?

【答案］⑴(f2］

⑵證明見解析

【詳解】(1)當(dāng)時，，(力。一小左一2恒成立，

即當(dāng)時，(尤+l)lnx-ar+220恒成立，

設(shè)77(x)=(x+l)lnx—6LX+2,

所以尸(l)=2—aN0,即°?2,

F'=InXHF1—CL,

設(shè)r(x)=ln%+—+l-a,

niit(\11x—1

則r(x)=----r=—1，

尤xx

所以，當(dāng)時,/(x)>0,即r(元)在［1,+8)上單調(diào)遞增，

所以r(x),r(l)=2-a^0,

所以當(dāng)時，F(xiàn)(x)=r(x)>0,即尸(無)在［1,+8)上單調(diào)遞增,

所以尸(x)Z尸(1)=2—a,

若/(%)20恒成立，貝i|a<2.

所以時，/(x)>-lnx-2恒成立，a的取值范圍為(—,2］.

(2)由題意知，g(x)=lnx-ax,

In(不々)=a(%+々)

In玉=axx/曰

不妨設(shè)玉>尤2>°，由

In-=<7(Xj-x,)，

Inx2=ax2

A+1

ln（玉％2）_%+%2_%2

則

lnA玉fA-i

令一，

則喀)=*即：gM詈叱

要證>e,

只需證In(玉%)>2,

只需證—~In/〉2,

t-1

即證In/〉生二

t+1l）

即證In/-亞R〉0(r>1),

t+1

令機(jī)(7)=ln/-^^——(?>1)，

v7t+1

，/\(I)

因為Wf)=5-9>0,

(+1)

所以m(r)在(l,+oo)上單調(diào)遞增,

當(dāng)，￡(l,+oo)時，m(^)>m(l)=0,

所以In―型二D>0成立，

t+1

故>巳？.

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=lnx-@+1（acR且〃。0）.

x

⑴若函數(shù)A?的最小值為2,求"的值；

⑵在（1）的條件下，若關(guān)于X的方程/（%）=根有兩個不同的實數(shù)根芭，W，且石<%，求證：玉+%>2.

【答案】⑴。=—1

（2）證明見解析

【詳解】（1）解：因為/（%）=lnx—3+l,x>0,

x

所以廣3」+彳=卓，x>0.

XXX

當(dāng)。〉0時，有尸（%）>。，所以函數(shù)/⑺在（0,+8）上單調(diào)遞增，所以函數(shù)A幻不存在最小值;

所以?！?不合題意，故a<0.

當(dāng)時，令尸（0=注=0,得x=-a.

X

當(dāng)X￡（0,—a）時，r（x）<0,函數(shù)在（0,-。）上單調(diào)遞減；

當(dāng)工￡（-4,例）時，ff（x）>0,函數(shù)/（%）在（-。,+00）上單調(diào)遞增.

所以/（X）向n=/（尤）極小值=f（一。）=In（一。）一W+1=2，解得a=—1.

-Q

所以，a的值為-1.

（2）解：方法一：

由（1）知，f（無）=ln尤H--1-1,%>0.

因為占,三為方程/(x)=機(jī)的兩個不同的實數(shù)根,

所以lnXi+'+l=/n(J)；lnx2+—+l=m(2),

%yx2

①一②得：---—j=0,即ln±=一----—|=――-

(石X2JX2\X1X2)X\X2

_Xx-X2

所以*

玉_x?t_1

令f=a(o<t<i),有玉羽比五一gf,

X2

所以，-7,從而得x+x一一7.

Ao--------A.-rX~.—-----

tIntIn?

令力(，)=/_]_21n/(0v.v1),貝ij%?)=]+，_2=[1—1]>0,

所以函數(shù)h(t)在(0,1)上單調(diào)遞增，即V，$(0,1),h(t)<h(l)=0,

BP21nZ,又In/v0,

1

所以Vfe(0,l),'一恒成立，即無|+%>2,得證.

---->Z

In/

方法二：

由(1)知，/(x)=lnx+—+1,x>0.

x

因為%1，%2為方程/(%)=相的兩個不同的實數(shù)根，

所以lnx+'+l=機(jī)，即方程lnx+,=機(jī)-1有兩個不同的實數(shù)根%,%2.

XX

令G(x)=InxH—,%>0,貝！JG\x)-........-,x>0.

xxx

令G<x)=l-3=0,得％=1.

XX

當(dāng)xw(0,l)時，G(x)<0,所以G(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)%￡(1,+8)時，G(x)>0,所以G(x)在(1,位)上單調(diào)遞增.

因為GCx)_G(2_x)=lnx+L_ln(2_%)―――,

x2—x

所以0<大<1〈九2.

令0(%)=ln%+'-ln(2-1)-----,%￡(0,1),

x2-x

m〃、1111-22X2-4X+4-4(1)2

則夕'(x)=--------------------------=----------------；---------=——'f<n0.

xrx1x-2(x-2)27x(x-2)x'(x-2)2x~(x-2)~

所以。(X)在(0,1)上單調(diào)遞減,所以。(尤)>。⑴=0,即G(x)-G(2-x)>0.

所以G(x)>G(2-x),所以G(%)=G&)>G(2—M).

又G(尤)在(l,+oo)上單調(diào)遞增，所以尤2>2-尤1.即尤1+尤2>2,得證.

④對數(shù)均值不等式法

1.(2023春?福建廈門?高二廈門雙十中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)十)=依-2-1門(。>0)

(1)已知/(尤)在點(Lf(1))處的切線方程為y=x-i,求實數(shù)。的值；

(2)已知/(尤)在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

⑶己知g(x)=〃x)+￡有兩個零點七，巧，求實數(shù)。的取值范圍并證明占W>e2.

【答案】⑴。=1

⑵/

(3)0<?<-,證明見解析

e

【詳解】⑴因為小)=依