湖南省長(zhǎng)沙市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)階段訓(xùn)練（三）（12月）數(shù)學(xué)試題+答案

長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)2024級(jí)高一階段訓(xùn)練（三）

數(shù)學(xué)

時(shí)長(zhǎng)120分鐘總分150分

一8小5分40分

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.函數(shù)/（①）=c+Ina;-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

2.下列函數(shù)中為奇函數(shù)且在(0,+oo)上單調(diào)遞增的是

A.f(x)=\x\B./(rc)=x+—C.f{x)=—x3D.f(x)=x\x\

X

2

10&2

3.Ig4+21g5+log28+8至+3=

A.10B.11C.12D.3

則八

4.已知集合Z=?g=log2電力>1}I={y=—,x>l\,A_B=

2XJ

A.{y|o<y<-|-jB.{y\0<y<l}C.{科VyVl}D0

5.命題V力6R,(力)W0”

A.V宏WV,f(x)=0且g(x)—0B.VxGH,f(x)=0或g(x)—0

C.mR,/(g)=0或g(g)=0D.BXQER,/(g)=0且g(g)=0

2408

6.若a=O.O1,b=log0,52402,c=logo_03O.O2,

A.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

:cy

7.已知力>0,?/>0,log32—logi8=log94,的最小值是

33g力

A.2B.2V2C.2V3D.4

8.已知a=Iogo,i2,b=logs，，

A.abVOVa+bB.abVa+bVOC.a+bVabVOD.a+bVOVab

二3小6分18分

符合題目要求6分0分。

9.（多選）下列說(shuō)法不正確的是

A.函數(shù)/上）=log2（d一20的單調(diào)遞減區(qū)間為（一8,1）

1

B.[（-V2）-2]2=V2

C."-5V力V8”|%|V5”

D.函數(shù)/（劣）=力+上沒(méi)有最小值

x

10.(多選)已知函數(shù)/⑺=log2(6E—力)+3.則下列說(shuō)法正確的是()

A./(1)+/(-1)=6

B.函數(shù)/(①)在定義域上單調(diào)遞增

C.函數(shù)/(①)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,3)對(duì)稱(chēng)

D.若實(shí)數(shù)a,6滿足/(a)+/(b)>6,則a+bVO

11.(多選)已知函數(shù)/⑸的定義域?yàn)镽,且/(①+夕)=/(—，)+/(切+2我，則下列選項(xiàng)正確

的是()

A./(0)=0B./(3)=9

C.沙=/(，)一"+c是奇函數(shù)D.沙=/(2)—2名是偶函數(shù)

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分。

12.已知點(diǎn)(m,8)在暴函數(shù)/(①)=(?7i—1)療的圖象上,則/(，)=

/1xlxl

13.已知函數(shù)/㈤=(5)—1—3小，若函數(shù)/㈤有兩個(gè)零點(diǎn),則機(jī)的范圍是

值是______

四、解答題:本題共5小題，共77分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.已知函數(shù)/(c)=ln(az+1)+ln(2：—1)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,31n2).g(c)與y=互為反函

數(shù)。

⑴求a的值，及62)的定義域,并判斷了(,)的奇偶性；

(2)求關(guān)于x的不等式/Q)WgQ)的解集.

16.已知函數(shù)5=a/-2aa—3

（1）若a=1,求不等式ax2—2ax—3>0的解集；

⑵若關(guān)于x的方程a/—2ac—3=0有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根?與g,求a的取值范圍和洸

+諉的取值范圍.

17.某工廠生產(chǎn)的廢氣經(jīng)過(guò)濾后排放，過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物含量P（單位：mg/L）與時(shí)間

%（單位：％）間的關(guān)系為

kt

P=Poe-

其中是正的常數(shù)。如果在前5小時(shí)消除了10%的污染物，那么

后還剩百分之幾的污染物？

（2）污染物減少50%需要花多少時(shí)間（精確到1/z）?

（參考數(shù)據(jù)ln0.9=-0.10541n2比0.6931）

18.已知函數(shù)/(c)=a-/7，g(c)="

O"I-LJ\JL>)CL

⑴若函數(shù)/(c)為奇函數(shù)，求a的值；

(2)設(shè)h(x)=g(2c)—a?g{x)—a.

⑴函數(shù)〃⑺在［—1,2］上恒有hQ)>0,求a的取值范圍；

(弦)若a=4,則是否存在實(shí)數(shù)m,九,使得函數(shù)九(①)的定義域?yàn)椋蹤C(jī),汨，值域?yàn)椋?m,3"］.若存

在，求出3"和3"的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.已知函數(shù)沙=/(0,若對(duì)于其定義域。中任意給定的實(shí)數(shù)①,都有/(0+/(?)=1,就稱(chēng)

函數(shù)？/=/(⑼滿足性質(zhì)Q.

(1)若函數(shù)/(，)(—8,0)U(0,+8))是否滿足性質(zhì)Q?請(qǐng)說(shuō)明理由。

辦+1

⑵若y=f⑸滿足性質(zhì)Q,/(劣)在定義域(0,+8)上單調(diào)，且/(劣)>］對(duì)V/e(0,1)都成

立，解關(guān)于力的不等式/(Q爐+力—QN)—<0(a<0)；

⑶在⑵的條件下，已知V力1，x2E(0,+8),gW力2,若/(力J+/(62)=1，證明：g+力2>2.

參考答案

一、單選題:本題共8小題,每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的。

1.函數(shù)/（，）=，+In2一3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

答案C

解析?."（￡）在（0,+8）上單調(diào)遞增，且/（2）=In2—1V0,/（3）=ln3>0,

故/Q）在⑵3）上有唯一零點(diǎn),故選C.

2.下列函數(shù)中為奇函數(shù)且在（0,+oo）上單調(diào)遞增的是（）

—\x\B.y（rr）—C.=—x3D.—x\x\

,x

【答案】。

2.

3

3.1g4+21g5+log28+8+310g32=（）

A.10B,11C.12D.3

答案B

23

解析因?yàn)?g4+21g5=1g4+1g5=lg4+1g25=1g100=2,log28=log22=3,8-

（230=22=4,310g^=2,所以lg4+21g5+log28+8,+3^2=2+3+4+2=11.故選A

4.已知集合A={g|g=log2力，力>1},8=仞0=」-,力>1）,則）

2XJ

⑷（B）{?/|0<^<l}（C）{科VgVl}（D）

答案A

解析A={y\y>Q},B=所以AnB={，OVgV1},故選力

5.命題“VxER,/Q）?gQ）豐0”的否定是（）

A.V/€R,/（力）=0且g（力）=0B.V/EjR,/（力）=0或g（力）=0

C.mgeR,于Go）=0或g（g）—oD.Bx0ER,/（g）=0且g（g）=0

答案C

解析根據(jù)全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題的互為否定的關(guān)系可得:命題“V力e幾/Q）?gQ）半0”的否

定是“三x0ER,f（xo）=0或g（g）=0”.故選C

6.若a=0.0124%b=logo52402,c=logo.03O.O2,則（）

A.c>Q>bB.b>a>cC,a>b>cD,a>c>b

答案A

解析因?yàn)?VaV0.01°=1,b=log0,52402<0,c=logo_03O.O2>logo_03O.O8=1,所以c>a

>b.故選故

（7）已知力>0,g>0,logs2。一Iogj_8"=k）g94,則+—的最小值是（）

33g6

A.2B.2V2C.2V3D.4

【答案】。

【解析】n+3g=l.

;力>0,g>0,?，?—■—F~~~—（T+37/）f--+）=2H——+-^―>2+2,

x6y\x3y/x6y

當(dāng)且僅當(dāng)，=3y=^■時(shí)取等號(hào).故選O.

8.已知a—logo,i2,b=log5A/2，則（）

A.ab<0<a+bB.ab<a+b<0

C.a+bVabV0D.a+bV0Vab

答案C

解析因?yàn)閍=logo.i2V0,6=1085，^>0,所以就<0,

又因?yàn)?+6=1。助」2+1。85m=售+臀=—炮2+果=lg2（；；［25）<0,所以

IgO.llg521g5lg25

a+b<0,又=2+《=log90.1+logV25=log20.1+log225=log22.5>1,所以

abab

>1,又abVO,所以a+bVab,所以a+b<abV0.

二、多選題:本題共3小題,每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求，全選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有錯(cuò)誤的得0分。

9.(多選)下列說(shuō)法不正確的是()

A.函數(shù)/Q)=log2(/—2。)的單調(diào)遞減區(qū)間為(—8,1)

1

C."—5<c<8”是“㈤<5”的充分不必要條件

D.函數(shù)/(7)=。+2沒(méi)有最小值

X

答案：人。

10.(多選)已知函數(shù)/⑸=log2(J西I—，)+3.則下列說(shuō)法正確的是()

A./(1)+/(—1)=6B.函數(shù)/(⑼在定義域上單調(diào)遞增

C.函數(shù)/(①)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,3)對(duì)稱(chēng)

D.若實(shí)數(shù)a,b滿足_f(a)+/(b)>6,則a+bVO

【答案】ACD

11.(多選)已知函數(shù)/(①)的定義域?yàn)樾?，?(。+切=/(—2)+/Q)+27沙，則下列選項(xiàng)正確

的是()

4/(0)=0雨⑶=9

C.y=f{x}-^+x是奇函數(shù)D.y=f(x)_2x是偶函數(shù)

【答案】ABC

【解析】令工=y=0,則/(0)=2/(0),即/(0)=0,A正確；

令夕=0,則/(2)=/(—①),令夕=—①,則/(—2)+/(—tr)—2>=0,則/(2)=",

故/(3)=9.B正確；n=f(x)—"+±=2；是奇函數(shù)，。正確；

y=f(x)—2c="-2c是非奇非偶函數(shù)，。不正確.故選：ABC.

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分。

12.已知點(diǎn)(m,8)在基函數(shù)/(2)=(m—的圖象上，則/(力)=

【答案】爐

【解析】由于/(7)=(小-l%11為幕函數(shù)，所以m—1=1,則7n=2,/(2)=，".又點(diǎn)⑵8)在函

數(shù)，㈤=z”的圖象上，所以8=2"，知八=3,故/3)=2

(13)己知函數(shù)/(2)=(y—1—3m,若函數(shù)/Q)有兩個(gè)零點(diǎn)，則m的范圍是

答案:(一■，0)

14.已知函數(shù)/(re)=x2—■](多看0)，若實(shí)數(shù)a滿足了(log3a)+/(log1a)=2/(2),則實(shí)數(shù)a的

值是.

【答案】9或卷.

【解析】易知/(，)=工2—2(c力0)為偶函數(shù)，且在(0,+oo)上單調(diào)遞增，-.-/(logaa)+

/(log.)=2/(2),.,./(log3a)+y(-log3a)=2/(log3a)=2/(2),A/dloggal)=/(2),即|log3a|

=2u>log3a=±2,a=9或1.

9

四、解答題:本題共5小題，共77分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.已知函數(shù)/(①)=ln(av+1)+ln(x—1)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,31n2).g(x)與夕=e。互為反函

數(shù)。

⑴求a的值，及62)的定義域,并判斷了(,)的奇偶性;

(2)求關(guān)于2的不等式/(⑼<g(⑼的解集.

【解析】

（1）由題意可得ln（3a+1）+ln（3—1）=31n2,即ln（3a+1）=21n2,所以3a+1=4,

解得a=l,則/（2）=ln（rc+l）+ln（c—1）.由解得c>l.

所以/Q）的定義域?yàn)椋?,+00）.非奇非偶

（2）由（1）可得/（力）=In（宏+1）+ln（rr-1）=ln（T2—1）,c>1,g（x）=lnx

不等式/(力)(力)可化為ln("-1)Win/，因?yàn)間=lnc在(0,+8)上是增函數(shù)，所以

（x2-x-K0（j-75<^<1+V5

JOV/2-14力n（力2—1>022

[T>1[劣>1[7〉1

斗卜<，《等3

16.已知函數(shù)夕=a，2—2岫一3

(1)若a=1,求不等式ax2—2ax—3>0的解集；

⑵若關(guān)于s的方程ad—2切-3=0有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根&與如求a的取值范圍和猶

+諉的取值范圍.

【解析】

(1)當(dāng)a=1時(shí),產(chǎn)一2%-310,即(7-3)(%+1)N0,解得％W-1或％N3.

故不等式的解集為{%|%<-1或%>3).

△=4a2+12a>0,

/+上=2，解得&<一3,則一？(工<0.

33a

X1X=-->o,

{2

所以后+據(jù)=(%1+%2)2-2%1%2=4+，，又2<4+：<4,所以好+好的取值范圍是

2</+宿<4.

17.某工廠生產(chǎn)的廢氣經(jīng)過(guò)濾后排放，過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物含量P(單位：mg/L)與時(shí)間

力(單位：％)間的關(guān)系為

P=R)e-"

其中冗，k是正的常數(shù)。如果在前5小時(shí)消除了10%的污染物，那么

(1)10無(wú)后還剩百分之幾的污染物？

(2)污染物減少50%需要花多少時(shí)間(精確到1/1)?

(參考數(shù)據(jù)ln0.9=-0.10541n2比0.6931)

ry—5k—5k

答案：當(dāng)力=0時(shí)，？=冗6-出。=或,義1=冗，當(dāng)力=5時(shí)，由題意得勺^=」^=90%

尸片

即e-5』90%，則k=—±ln0.9，k仁一占x(-0.1054)40.02108此處k可以不算到精確值，

55

如果要算,至少精確到0.021否則后期帶入t值會(huì)有差異

Dp-10fc

(1)當(dāng)力=10時(shí)，f—=eT仇=(e-5k)2=0.92=0.81

a

所以10h后還剩81%的污染物。

⑵設(shè)污染物減少50%需要t小時(shí)，隼上=坐'=50%則片標(biāo)=0.5

兩邊取以e為底的對(duì)數(shù),則—盤(pán)=ln0.5

ln0.5—In2-0.6931冬0.6931義5仁部II■g33所以經(jīng)過(guò)33月污

k-iln0.9—1x(-0.1054)°-1054

染物減少50%o

18.已知函數(shù)/(2)=a-，g(x)=“

o-?J.j\Xja

(1)若函數(shù)/(，)為奇函數(shù)，求a的值；

(2)設(shè)h(x)=g(2c)—a-g(jB)—a.

(i)函數(shù)h(x)在［-1,2］上恒有〃(,)>0,求a的取值范圍；

(弦)若a=4,則是否存在實(shí)數(shù)九,使得函數(shù)九(①)的定義域?yàn)椋蹤C(jī),汨，值域?yàn)椋?73"］.若存

在，求出卯和3"的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】

(1)f(x)定義域?yàn)镽,且為奇函數(shù)，所以/(0)=0,得a=1檢驗(yàn)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)+/(—2)=0為

奇函數(shù)所以a=l

(2)gQ)=—=-----1-----=—(3。+l),g(20)=—(3?。+1)

h(x)=—(32x+1)+Q(3]+1)—a

貝！Jh{x}=—32。+Q?3*—1令力=31

xe[—1,2]則方e[3T3],te[y,9^|

即P(t)=—P+a右一1>0

即就>乎+卜>t+/恒成立

令#)=t+^，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，次)在即1)單調(diào)遞減，在[1,9]

上單調(diào)遞增，p⑴=2,w(])=3+]=,p⑼=9+《=，故a>當(dāng)"o

0oyyy

法二：P(t)為開(kāi)口朝下的二次函數(shù)，結(jié)合圖像,直接代入兩個(gè)端點(diǎn)!和9即可。

O

mn

(2)令力=3,工G[3,3],令0=379=37則土e[pfq]

H(t)=—甘+4右-1=力,對(duì)稱(chēng)軸為t=2

⑴當(dāng)0VpVq<2時(shí),H⑴單調(diào)遞增,此時(shí)胃曾二：

即方程變?yōu)?—產(chǎn)+41一1=力在(0,2]有兩個(gè)不同根

解得±=與疸，其中力=汽疸>2,故舍去

(2)當(dāng)p<2<q時(shí),H⑶先增后減，["(2：理個(gè)

由H(P)=P，可得p=之一%,而H(q)=H(3)=2>H(p)

所以p=3"=之一相,g=3"=3

⑶2Wp<q時(shí),H(t)單調(diào)遞減,此時(shí)雅

{]；2；：：二：二：，作差可得(P-。)(P+。-5)=0

因?yàn)閜Wq，所以p+q—5=0,即p+q=5

代入可解得p=3m=2,q=3"=3

om—3―3M=2

綜上所述,一或

3n=33n=3

19.己知函數(shù)y=/(,)，若對(duì)于其定義域。中任意給定的實(shí)數(shù)2,都有/(2)+/(：)=1,就稱(chēng)

函數(shù)