高中數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：立體幾何中的最值問題（原卷版）

第三篇立體幾何

專題07立體幾何中的最值問題

常見考點(diǎn)

考點(diǎn)一最大值問題

典例1.如圖，在VABC中，AC=3C=1,ZACS-120°,。為VABC的外心，POL

平面ABC,KPO=—.

2

⑴求證：3?！ㄆ矫?C；

⑵設(shè)平面PAOn面尸3。=/,若點(diǎn)M在線段PC(不含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線,與平面

向1所成角取最大值時(shí)，求二面角4-3河-0的正弦值.

變式1-1.如圖，在正三棱柱A2C-A2G中，AB=AA}=2,點(diǎn)。在邊上，E為

的中點(diǎn).

(1)如果。為BC的中點(diǎn)，求證：平面網(wǎng)E〃平面CQA；

uumuuLI

⑵設(shè)銳二面角的平面角為a,CD=^CB，&萬」，當(dāng)九取何值時(shí),

cos々取得最大值?

變式1-2.如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面4"。是直角梯形，側(cè)棱SA，底面ABC。,

A3垂直于AO和BC,SA=AB=BC=2,AD=1,M是棱S3的中點(diǎn).

AD

⑴求證：AM〃平面SCD；

(2)求平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值；

(3)設(shè)點(diǎn)N是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，MN與平面SAB所成的角為6,求sin。的最大值.

變式1-3.如圖，在正四棱錐S-ASCD中，點(diǎn)。，E分別是BD,BC中點(diǎn)，點(diǎn)尸是SE

上的一點(diǎn).

(1)證明：OF1BC；

(2)若四棱錐S-ABCD的所有棱長(zhǎng)為20,求直線。尸與平面SDE所成角的正弦值的

最大值.

考點(diǎn)二最小值問題

典例2.如圖，在梯形ABC。中，AB//CD,AD=DC=CB=1,ZBCD=120°,四邊

形8FEO為矩形，BF=\,平面3FED，平面A8CD

⑴求證：ADL平面BOEE；

(2)點(diǎn)P在線段所上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面陰3與平面ADE所成的夾角為。，試求，的最小

值.

變式2-1.如圖，在VABC中，Wl,BC=208號(hào)將VABC繞邊,翻轉(zhuǎn)至

△ABP,使面丫4即_1面丫45。，。是8C的中點(diǎn).

(1)求二面角尸-3C-A的平面角的余弦值；

⑵設(shè)。是線段以上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC與。。所成角取得最小值時(shí)，求線段AQ的長(zhǎng)度.

變式2-2.如圖，四棱錐S-ABCD的底面為矩形，底面ABCD,設(shè)平面S4。與平

面S3。的交線為在

(1)證明：mlIBC,且加，平面SDC；

(2)已知S0=AD=OC=2,R為加上的點(diǎn)求S3與平面RCZ)所成角的余弦值的最小

值.

變式2-3.如圖，在梯形ABC。中，AB//CD,AD=DC=CB=1,ZBCD=120°,四邊

形班即為矩形，平面5FED_L平面ABC。，BF=1.

(1)求證：8￡>_L平面AED,">J_平面3DEF；

(2)點(diǎn)P在線段班上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面PAB與平面ADE所成銳二面角為。，試求6的最

小值.

鞏固練習(xí)

練習(xí)一最大值問題

1.如圖所示，在三棱柱ABC-ABC中，AB=BC,點(diǎn)4在平面ABC的射影為線段AC

的中點(diǎn)，側(cè)面AAQC是菱形，過點(diǎn)4,2。的平面a與棱AG交于點(diǎn)E.

(1)證明：四邊形8瓦⑦為矩形；

(2)求M與平面4330所成角的正弦值的最大值.

2.如圖，在矩形中，M、N分別是線段A3、CD的中點(diǎn)，AD=2,AB=4,

將AADM沿DM翻折，在翻折過程中A點(diǎn)記為P點(diǎn).

(1)從△ADM翻折至VNDM的過程中，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)度；

(2)翻折過程中，二面角尸-BC-O的平面角為仇求tan。的最大值.

3.在四棱錐P-ABC。中，PAL平面ABCD,底面ABCD是直角梯形，其中AD//3C,

皿.AB=AD^BC=2,E為棱BC上的點(diǎn),且小小C.

p

(1)求證：DE_L平面PAC;

(2)若二面角A-PC-D的平面角的正切值為g，求的長(zhǎng)；

⑶在(2)的條件下，若。為線段PC上一點(diǎn)，求8。與面PCD所成角為。，求sin"的

最大值.

4.如圖，在直角三角形A03中，NOA8=30。，斜邊AB=4,直角三角形AOC可以

通過A03以直線A0為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角3-AO-C是直二面角，動(dòng)點(diǎn)。在斜邊

A3上.

(1)求證：平面COD，平面493；

(2)當(dāng)。為的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線AO與8所成角的正切值；

(3)求8與平面A03所成角的正切值的最大值.

練習(xí)二最小值問題

5.如圖，ABCD為正方形，PDCE為直角梯形，/PDC=90。，平面ABC。，平面PDCE,

^.PD=AD=2EC=2.

(1)若尸E和。C延長(zhǎng)交于點(diǎn)尸，求證：BP//平面R4C；

(2)若。為EC邊上的動(dòng)點(diǎn)，求直線8Q與平面PZ汨所成角正弦值的最小值.

6.如圖，在梯形ABC。中，AB//CD,AD=DC=BC=1,ZABC=60。，四邊形ACFE

為矩形，平面ACFEL平面ABC。，CF=\,設(shè)點(diǎn)M在線段班上運(yùn)動(dòng).

A

(1)證明：BC±AM；

(2)設(shè)平面M鉆與平面尸CB所成銳二面角為0,求6的最小值.

7.如圖，在梯形ABCD中，AB//CD,AD=DC=CB=1,ZBCD=120°,四邊形

BFED為矩形,平面8莊刀，平面A8CD,BF=1.

(1)求證：平面3EEO；

(2)點(diǎn)P在線段所上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面用8與平面AOE所成銳二面角為仇試求8的最

小值.

8.如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為1,EDL平面AB