高中數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：線性規(guī)劃問題（解析版）

專題33線性規(guī)劃問題

例1.某公司計(jì)劃明年用不超過6千萬元的資金投資于本地養(yǎng)魚場和遠(yuǎn)洋捕撈隊(duì).經(jīng)過本地養(yǎng)魚場年利潤率

的調(diào)研，得到如圖所示年利潤率的頻率分布直方圖.對遠(yuǎn)洋捕撈隊(duì)的調(diào)研結(jié)果是：年利潤率為60%的可

能性為0.6,不賠不賺的可能性為0.2,虧損30%的可能性為0.2.假設(shè)該公司投資本地養(yǎng)魚場的資金為

x(x.O)千萬元，投資遠(yuǎn)洋捕撈隊(duì)的資金為y(y-O)千萬元.

(1)利用調(diào)研數(shù)據(jù)估計(jì)明年遠(yuǎn)洋捕撈隊(duì)的利潤J的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(2)為確保本地的鮮魚供應(yīng)，市政府要求該公司對本地養(yǎng)魚場的投資不得低于遠(yuǎn)洋捕撈隊(duì)的一半.適用調(diào)

研數(shù)據(jù)，給出公司分配投資金額的建議，使得明年兩個(gè)項(xiàng)目的利潤之和最大.

年利潤率

【解析】解：(1)隨機(jī)變量用的可能取值為0.6y,0,-0.3y,

隨機(jī)變量J的分布列為，

0.6y0—0.3y

P0.60.20.2

/.EJ=0.36y—0.06j=0.3y；

X+為6

1

(2)根據(jù)題意得,x,y滿足的條件為＜-2，①,

x.O

J..0

由頻率分布直方圖得本地養(yǎng)魚場的年平均利潤率為:

-0.3x0.2x0.5+(-O.l)x0.2x0.5+0.1x0.2x1.0+0.3x0.2x2.0+0.5x0.2x1.0=0.20,

本地養(yǎng)魚場的年利潤為Q20x千萬元，

明年連個(gè)個(gè)項(xiàng)目的利潤之和為z=0.2x+0.3y,

作出不等式組①所表示的平面區(qū)域若下圖所示，即可行域.

當(dāng)直線”。斗網(wǎng)經(jīng)過可行域上的點(diǎn)”時(shí)，截距后最大‘即z最大.

x+y=6(2

解方程組1，得一,

x=—y[y=4

、2

；.Z的最大值為：0.20x2+0.30x4=1.6千萬元.

即公司投資本地養(yǎng)魚場和遠(yuǎn)洋捕撈隊(duì)的資金應(yīng)分別為2千萬元、4千萬元時(shí)，明年兩個(gè)項(xiàng)目的利潤之和的最

例2.某漁業(yè)公司為了解投資收益情況，調(diào)查了旗下的養(yǎng)魚場和遠(yuǎn)洋捕撈隊(duì)近10個(gè)月的利潤情況.根據(jù)所

收集的數(shù)據(jù)得知，近10個(gè)月總投資養(yǎng)魚場一千萬元，獲得的月利潤頻數(shù)分布表如下：

月利潤(單位：千萬元)-0.2-0.100.10.3

頻數(shù)21241

近10個(gè)月總投資遠(yuǎn)洋捕撈隊(duì)一千萬元，獲得的月利潤頻率分布直方圖如下:

(I)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，分別計(jì)算近10個(gè)月養(yǎng)魚場與遠(yuǎn)洋捕撈隊(duì)的月平均利潤；

(II)公司計(jì)劃用不超過6千萬元的資金投資于養(yǎng)魚場和遠(yuǎn)洋捕撈隊(duì)，假設(shè)投資養(yǎng)魚

場的資金為x(x..O)千萬元，投資遠(yuǎn)洋捕撈隊(duì)的資金為y(y..O)千萬元，且投資養(yǎng)魚場的資金不少于投資遠(yuǎn)洋

捕撈隊(duì)的資金的2倍.試用調(diào)查數(shù)據(jù)，給出公司分配投資金額的建議，使得公司投資這兩個(gè)項(xiàng)目的月平

均利潤之和最大.

【解析】解：(I)近10個(gè)月養(yǎng)魚場的月平均利潤為:

-0.2x2-0.1xl+0x2+0.1x4+0.3xl—一（.八、

---------------------------------=0.02（千萬兀）.....（3分）

10

近10個(gè)月遠(yuǎn)洋捕撈隊(duì)的月平均利潤為:

-0.3x0.2x0.5—0.2x0.1x1+0.1x0.2x1+0.3x0.2x1.5+0.5x0.2x1=0.16（千萬元）.（6分）

x.O

（II）依題意得X,y滿足的條件為卜”,....（8分）

x+為6

x..2y

設(shè)兩個(gè)項(xiàng)目的利潤之和為z,則z=0.02x+0.16y,.......（9分）

如圖所示，作直線/0:0.02x+0.16y=0,平移直線知其過點(diǎn)A時(shí)，z取最大值，（10分）

由7+y=6,得卜=上所以人的坐標(biāo)為4,2）,.一（11分）

[x=2y[y=2

此時(shí)z的最大值為z=0.08+0.32=0.4（千萬元），

所以公司投資養(yǎng)魚場4千萬元，遠(yuǎn)洋捕撈隊(duì)2千萬元時(shí)，兩個(gè)項(xiàng)目的月平均利潤之和最大....（12分）

例3.小型風(fēng)力發(fā)電項(xiàng)目投資較少，開發(fā)前景廣闊.受風(fēng)力自然資源影響，項(xiàng)目投資存在一定風(fēng)險(xiǎn).根據(jù)測

算，IEC（國際電工委員會）風(fēng)能風(fēng)區(qū)分類標(biāo)準(zhǔn)如表:

風(fēng)能分類一類風(fēng)區(qū)二類風(fēng)區(qū)

平均風(fēng)速機(jī)/S8.5——106.5——8.5

某公司計(jì)劃用不超過100萬元的資金投資于A、3兩個(gè)小型風(fēng)能發(fā)電項(xiàng)目.調(diào)研結(jié)果是，未來一年內(nèi)，位

于一類風(fēng)區(qū)的A項(xiàng)目獲利40%的可能性為0.6,虧損20%的可能性為0.4；

3項(xiàng)目位于二類風(fēng)區(qū)，獲利35%的可能性為0.6,虧損10%的可能性是0.2,不賠不賺的可能性是0.2.

假設(shè)投資A項(xiàng)目的資金為忒乂.0）萬元，投資8項(xiàng)目資金為y（y..O）萬元，且公司要求對A項(xiàng)目的投資不得

低于3項(xiàng)目.（1）請根據(jù)公司投資限制條件，寫出x,y滿足的條件，并將它們表示在平面xOy內(nèi)；

（2）記投資A,3項(xiàng)目的利潤分別為J和〃，試寫出隨機(jī)變量J與"的分布列和期望EJ,Er,-,

（3）根據(jù)（1）的條件和市場調(diào)研，試估計(jì)一年后兩個(gè)項(xiàng)目的平均利潤之和Z=E^+ET7的最大值，并據(jù)此

給出公司分配投資金額建議.

【解析】解：（I）由題意，公司計(jì)劃用不超過100萬元的資金投資于4、3兩個(gè)小型風(fēng)能發(fā)電項(xiàng)目，公司

要求對A項(xiàng)目的投資不得低于3項(xiàng)目可得

x+%100

為:,表示的區(qū)域如圖所示;

x.O

J..0

（II）隨機(jī)變量J的分布列為

40.4%-0.2%

P0.60.4

/.E&=0.24兀—0.08%=0.16x；

隨機(jī)變量7的分布列為

0.35〉-O.ly0

P0.60.20.2

Er/-0.21y~0.02y-0.19y；

(III)z=超+助=0.16x+0.19y

x+y=100

可得x=y=50

y=x

根據(jù)圖象，可得尤=y=50時(shí)，估計(jì)一年后兩個(gè)項(xiàng)目的平均禾I］潤之和z=EJ+E：7的最大值為17.5萬元.

例4.小型風(fēng)力發(fā)電項(xiàng)目投資較少，開發(fā)前景廣闊.受風(fēng)力自然資源影響，項(xiàng)目投資存在一定風(fēng)險(xiǎn).根據(jù)測

算，IEC（國際電工委員會）風(fēng)能風(fēng)區(qū)的分類標(biāo)準(zhǔn)如下:

風(fēng)能分類一類風(fēng)區(qū)二類風(fēng)區(qū)

平均風(fēng)速m/S8.5------106.5——8.5

某公司計(jì)劃用不超過100萬元的資金投資于A、3兩個(gè)小型風(fēng)能發(fā)電項(xiàng)目.調(diào)研結(jié)果是：未來一年內(nèi)，位

于一類風(fēng)區(qū)的A項(xiàng)目獲利40%的可能性為0.6,虧損20%的可能性為0.4；3項(xiàng)目位于二類風(fēng)區(qū),獲利35%

的可能性為0.6,虧損10%的可能性是0.2,不賠不賺的可能性是0.2.假設(shè)投資4項(xiàng)目的資金為x（x..O）萬

元，投資3項(xiàng)目資金為乂y.O）萬元，且公司要求對A項(xiàng)目的投資不得低于B項(xiàng)目.

（I）記投資4,3項(xiàng)目的利潤分別為J和〃，試寫出隨機(jī)變量J與4的分布列和期望EJ,E〃；

（II）根據(jù)以上的條件和市場調(diào)研，試估計(jì)一年后兩個(gè)項(xiàng)目的平均利潤之和z=E4+￡>7的最大值，并

據(jù)此給出公司分配投資金額建議.

【解析】解：（1）A項(xiàng)目投資利潤自的分布列

OAx-0.2%

P0.60.4

Eq=0.24.x-0.08%=0.16%

3項(xiàng)目投資利潤〃的分布歹U：

0.35y-O.ly0

P0.60.20.2

Er/=0.21y-0.02y=0.19y

(2)z=EJ+E>7=O.16x+O.19y

x+y?100

而,作出可行域如右圖,

x,y..O

由圖可知，當(dāng)x=50,y=50,公司獲得獲利最大，最大為17.5萬元.

故建議給兩公司各投資50萬.

例5.據(jù)/EC（國際電工委員會）調(diào)查顯示，小型風(fēng)力發(fā)電項(xiàng)目投資較少，且開發(fā)前景廣闊，但受風(fēng)力自然

資源影響，項(xiàng)目投資存在一定風(fēng)險(xiǎn).根據(jù)測算，風(fēng)能風(fēng)區(qū)分類標(biāo)準(zhǔn)如下:

風(fēng)能分類一類風(fēng)區(qū)二類風(fēng)區(qū)

平均風(fēng)速mls8.5?106.5?8.5

假設(shè)投資A項(xiàng)目的資金為x(x..O)萬元，投資3項(xiàng)目資金為y(y..O)萬元，調(diào)研結(jié)果是：未來一年內(nèi)，位于一

類風(fēng)區(qū)的A項(xiàng)目獲利30%的可能性為0.6,虧損20%的可能性為0.4；位于二類風(fēng)區(qū)的3項(xiàng)目獲利35%的可

能性為0.6,虧損10%的可能性是0.1,不賠不賺的可能性是0.3.

(1)記投資A,3項(xiàng)目的利潤分別為J和〃，試寫出隨機(jī)變量J與〃的分布列和期望EJ,

(2)某公司計(jì)劃用不超過100萬元的資金投資于A,3項(xiàng)目，且公司要求對A項(xiàng)目的投資不得低于3項(xiàng)目，

根據(jù)(1)的條件和市場調(diào)研，試估計(jì)一年后兩個(gè)項(xiàng)目的平均利潤之和z=EJ+￡>/的最大值.

【解析】解：(1)?.?投資A項(xiàng)目的資金為尤("0)萬元，

未來一年內(nèi)，位于一類風(fēng)區(qū)的A項(xiàng)目獲利30%的可能性為0.6,

虧損20%的可能性為0.4,

項(xiàng)目投資利潤4的分布列：

0.3x-0.2兀

P0.60.4

=0.18x-0.08x=0.1%.

?.?投資3項(xiàng)目資金為y(y..0)萬元，

未來一年內(nèi)，位于二類風(fēng)區(qū)的3項(xiàng)目獲利35%的可能性為0.6,

虧損10%的可能性是0.1,不賠不賺的可能性是0.3.

.?.3項(xiàng)目投資利潤〃的分布列：

0.35)；-OAy0

P0.60.10.3

7]=0.21y-O.Oly=0.2y.…（6分）

x+y?100

(2)由題意知x,y滿足的約束條件為卜與，…(9分)

x,y..O

由(1)知，z=EJ+=0.1x+0.2y,

當(dāng)x=50,y=50,;.z取得最大值15.

.?.對A、3項(xiàng)目各投資50萬元，可使公司獲得最大利潤，最大利潤是15萬元.…(12分)

例6.某礦業(yè)公司對A、3兩個(gè)鐵礦項(xiàng)目調(diào)研結(jié)果是：A項(xiàng)目獲利40%的可能性為0.6,虧損20%的可能性

為0.4；3項(xiàng)目獲利35%的可能性為0.6,虧損10%的可能性為0.2,不賠不賺的可能性為0.2.現(xiàn)計(jì)劃用

不超過100萬元的資金投資A、3兩個(gè)項(xiàng)目，假設(shè)投資A項(xiàng)目的資金為MX..0)萬元，投資3項(xiàng)目的資金

為y(y-O)萬元，且公司要求對A項(xiàng)目的投資不得低于3項(xiàng)目.

(1)請根據(jù)公司投資限制條件，寫出x,y滿足的條件，并將它們表示在平面xOy內(nèi)；

(2)記投資A、3項(xiàng)目的利潤分別為M和N,試寫出隨機(jī)變量〃與N的分布列和期望E(M),召(N)；

(3)根據(jù)(1)的條件和調(diào)研結(jié)果，試估計(jì)兩個(gè)項(xiàng)目的平均利潤之和z=E(M)+E(N)的最大值.

【解析】解：(I)由題意，公司計(jì)劃用不超過100萬元的資金投資于A、3兩個(gè)小型風(fēng)能發(fā)電項(xiàng)目，公司

x+為100

要求對A項(xiàng)目的投資不得低于3項(xiàng)目可得卜..y

x?,y0

表示的區(qū)域如圖所示；

(II)隨機(jī)變量J的分布列為

M0.4x-0.2x

P0.60.4

E自=0.24%—0.08%=0.16x；

隨機(jī)變量"的分布列為

N0.35y-O.ly0

P0.60.20.2

助=0.21y—0.02y=0.19y；

x+y=100

(III)z=EM+EN=0.16元+0.19y,,可得x=y=50,

x=y

根據(jù)圖象，可得x=y=50時(shí)，估計(jì)一年后兩個(gè)項(xiàng)目的平均禾U潤之和z=EM+硒的最大值為17.5萬元.

例7.假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N(800,50與的隨機(jī)變量.記一天中從甲地去

乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為4.

(I)求Po的值；

(參考數(shù)據(jù)：若X~N(〃,cr2),有尸(〃一cr<X”〃+cr)=0.6826,P(/J-2(r<X?/J+2cr)=0.9544,

P(〃一3cr<X”〃+3b)=0.9974.)

(II)某客運(yùn)公司用A,3兩種型號的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長途客運(yùn)業(yè)務(wù)，每車每天往返一次，A,B

兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運(yùn)成本分別為1600元/輛和2400元/輛.公司

擬組建一個(gè)不超過21輛車的客運(yùn)車隊(duì)，并要求3型車不多于A型車7輛.若每天要以不小于4的概率運(yùn)完

從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營運(yùn)成本最小，那么應(yīng)配備A