貴州省銅仁市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)10月模擬考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

貴州省銅仁市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月模擬考

試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.記復(fù)數(shù)Z的共輾復(fù)數(shù)為1若z(2+i)=2-4i,則同=()

A.1B.41C.2D.272

2.已知集合/={x1y=ln(4-x)},8={1,2,3,4,5},則/口8=()

A.{5}B.{1,2,3}C.{1,2,3,4}D.{1,2,3,4,5}

3.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)閇0,3].記/⑺的定義域?yàn)榧?/(2,-1)的定義域?yàn)榧?.

則“xe/”是“xeB”的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

—?2—?—?

4.如圖，在△48。中，/是邊的中點(diǎn)，尸是/"上一點(diǎn)，^BP=-BA+mBC,則加=

()

A

一

\c

11「i2

A.-B.-C.-D.一

6325

函數(shù)/（》）=$?工+2：

5.的圖像大致為（）

cosx+x

yiy、

1-1-

A.?B.二兀____________/'''''''''---r-?

-兀9兀X/o兀X

試卷第1頁，共4頁

函數(shù)，則。的值為（）

7.已知函數(shù)=關(guān)于x的不等式尸卜）-4（x）>0有且只有三個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是（）

8.設(shè)函數(shù)“X)=(/+ax+6)lnx,若/(x)20,則a的最小值為()

A.-2B.-1C.2D.I

二、多選題

9.下列不等式正確的有（）

A.當(dāng)0〈尤<10時(shí)，Jx（10-x）的最大值是5

B.已知正實(shí)數(shù)x,N滿足x+y=2,則'+,<2

xy

C.當(dāng)X>—1時(shí)，XH------21

X+1

D.函數(shù)y=l-2x-―（x<0）最小值為1+

10.設(shè)/'（X）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)于VreR恒有〃x+2）=/（無），已知當(dāng)xe[0,l]時(shí),

/（x）=2修，則下列判斷正確的是（）

A.f（x）的周期是2

B./（x）在（1,2）上遞減,在（2,3）上遞增

C./（"的最大值是2,最小值是1

試卷第2頁，共4頁

D.當(dāng)xe(3,4)時(shí)，/(x)=2-3

11.如圖所示，在邊長為3的等邊三角形45c中，AD=^AC,且點(diǎn)尸在以中點(diǎn)。為

圓心，為半徑的半圓上，~BP=xKi+yBC,則下列說法正確的是（）

B.~BD=-BA+-BC

33

9—-—■D.x+y的最大值為漢l+i

C.-<BPBC<9

29

三、填空題

12.已知S”為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，&+。8=1°，貝USg=.

13.已知定義在R上的函數(shù)/（x）滿足2〃x）=/（-x）+6e"則曲線y=〃x）在點(diǎn)（0,〃。））處

的切線方程為.

14.在VNBC中，內(nèi)角A,3,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,若3g=上萼4,貝I]丁J

cosBsm2Aa+2c

的取值范圍是.

四、解答題

15.如圖，在直四棱柱428-440〃中，底面為矩形，且=45=2/0,且瓦尸

分別為CQQ2的中點(diǎn).

試卷第3頁，共4頁

⑴證明：/尸〃平面4班.

(2)求平面BEF與平面ABE夾角的余弦值.

16.已知正項(xiàng)等差數(shù)列｛%｝滿足：％=1且％,%，2%-1成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛%,｝的通項(xiàng)公式;

(2)若數(shù)列低｝滿足：b?=2a~,”N*,求數(shù)列｛/+，｝的前“項(xiàng)和小

22

17.已知雙曲線C：^-4=1(a>0,6>0)的一條漸近線方程為岳-尸0,頂點(diǎn)到

a2b2

漸近線的距離為好.

2

⑴求C的方程；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線/過點(diǎn)(0,2),與C的左、右兩支交于A,3兩點(diǎn)，且V4OB的面

積為2的，求直線/的方程.

18.已知函數(shù)/(x)=+￡R,aw0).

⑴當(dāng)。<-1時(shí)，求函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵當(dāng)。=1,xe/J時(shí)，關(guān)于X的不等式2〃x)+d+加e^WO恒成立，求實(shí)數(shù)加的最大

值.

(3)設(shè)點(diǎn)2(句,月)、B(%2，y2)是函數(shù)了=/(龍)圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，令％=七三，證明：

/(x2)-/(x,)>/uy

x2一再

19.法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在給意大利數(shù)學(xué)家托里拆利的一封信中提至廣費(fèi)馬點(diǎn)”，即平面內(nèi)到三角

形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，托里拆利確定費(fèi)馬點(diǎn)的方法如下：

①當(dāng)VABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，滿足ZAOB=ZBOC=ZCOA=120°的點(diǎn)。為費(fèi)馬點(diǎn);

②當(dāng)VN2C有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120。時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).

請(qǐng)用以上知識(shí)解決下面的問題：已知V/8C的內(nèi)角42,C所對(duì)的邊分別為。,6,c,點(diǎn)”為

VABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且lg(sin/+sinC)=21gsinB-lg(sinC-sin/)

⑴求角C的大??；

(2)若MC=3,八四=4,求VN2C的面積；

(3)若|帕|+阿卜fM。,求實(shí)數(shù)f的最小值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案CBCADDDBACDACD

題號(hào)11

答案BCD

1.C

【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得Z,再由同=目可得.

2-4i（2_4i）（2-i）4_L2i+4i2_-10i

【詳解】由（）得“〒一

z2+i=2-4i（2+i）（2-i）-22+l21

所以同=目=2,

故選：C.

2.B

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)中真數(shù)大于0解出集合A,再利用交集含義即可得到答案.

【詳解】/=卜卜=用（4一工）}=卜卜＜4},則/c5={l,2,3}.

故選：B.

3.C

【分析】先利用函數(shù)的定義域求得集合48,再利用充分條件、必要條件的定義判斷.

【詳解】1?函數(shù)/（x）的定義域?yàn)閇0,3],

所以/=[0,3],

令0W2,-143,解得IV2r4，即0VxV2,即B=[0,2],

?：A3B,

e是“xe夕’的必要不充分條件，

故選：C.

4.A

【分析】設(shè)后=2而，根據(jù)圖形由向量的加法法則運(yùn)算即可.

___----1—

【詳解】設(shè)/尸=23，因?yàn)楹邮沁?C的中點(diǎn)，所以a0=a2C,

所以押=而7-瓦-旗，

2

答案第1頁，共15頁

JP=BA+AP=BA+AAM=BA+^ABC-ABA=(1-A)E4+^ABC,

1-A=-

又B—P?=-2B—A?+mB—C?,所以〈3，解得冽=:.1

31.6

—Z=m

[2

故選：A.

5.D

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除AC；再根據(jù)/(l]的大小即可排除B,即可得解.

【詳解】解：/(-x)=&x—所以函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，故排除AC；

COSXH-X

_1+乃_4(1+?)1+〃

又乃2乃2兀,排除B.

T

故選：D.

6.D

【分析】先求得平移后的解析式，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得。.

【詳解】函數(shù)〃尤)=sin2無+方的圖象向右平移R,

JT=s\n\2x-2(p+叫,

得到g(x)=sin2(x-<p)+-

(67

由于g(x)偶函數(shù)，所以一20+.=航+5,0=-1/+部,后eN*,

由于所以取左=一1,得夕=*

故選：D

7.D

【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)可得/'(X),即可得到當(dāng)x>l時(shí)，〃x)>o恒成立，將原不等式化

簡可得-句>0,然后分aV0與。>0討論，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】函數(shù)/(》)=亨的定義域?yàn)镽,求導(dǎo)得/(力=?，

當(dāng)％<2時(shí)，f\x)>0；當(dāng)x>2時(shí)，f\x)<0,

函數(shù)/(x)在(-*2)上單調(diào)遞增，在(2,+8)上單調(diào)遞減，

則“X)1Mx=42)=5,而/⑴=0,故當(dāng)x>l時(shí)，〃x)>o恒成立，

不等式/⑺一“(x)>0=〃x)[/(x)-a]>0,

答案第2頁，共15頁

當(dāng)a<0時(shí)，/(x)<。或/(x)>0,由/(x)>0,得x>l,

原不等式的整數(shù)解有無數(shù)個(gè)，不符合題意；

當(dāng)。>0時(shí)，/(尤)<0或/(x)>。，由/(x)<0,得x<l,無正整數(shù)解，

因此原不等式有且只有3個(gè)正整數(shù)解，等價(jià)于不等式〃x)>。有且只有3個(gè)正整數(shù)解，

3個(gè)正整數(shù)解只能是2,3,4,因此〃5)4。<〃4),即三4〈。<3當(dāng)，

ee

所以實(shí)數(shù)°的取值范圍是

故選：D.

8.B

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷Inx在不同區(qū)間的符號(hào)，在結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得x=l為該二

次函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合恒成立列不等式求參數(shù)最值.

【詳解】函數(shù)/'(x)定義域?yàn)?0,+oo)，而0cx<l=lnx<0,x=l=>lnx=0,x>l=lnx>0,

要使/'(x)20,則二次函數(shù)y=/+0%+6,在0<x<l上y<0,在x>l上y>0,

所以x=l為該二次函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，易得b=-a-l,

貝Uy=—+ax-(a+1)=(x-l)[x+(a+1)],且開口向上，

所以，只需—(a+1)V0=>a+120=>a?—1,故。的最小值為-1.

故選：B

9.ACD

【分析】利用基本不等式及特殊值依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A,0<x<10,所以10-x>0,

貝I」+=5,當(dāng)且僅當(dāng)x=10-x,即x=5時(shí)等號(hào)成立，故A正確.

對(duì)選項(xiàng)B,取x=l,y=l,滿足x+y=2,顯然工+工<2不成立，故B錯(cuò)誤；

xy

對(duì)選項(xiàng)C,因?yàn)閤>—1,x+l>0,

所以x+」一=x+l+」--+-1=1,

x+1x+1r7x+1

當(dāng)且僅當(dāng)尤+1=」7，即x=0時(shí)，等號(hào)成立，故C正確.

對(duì)選項(xiàng)D,當(dāng)x<0時(shí)，y=l-2x-->2l(-2x).[—1+1=1+2/6,

答案第3頁，共15頁

當(dāng)且僅當(dāng)-2X=-3,即*=一如時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.

x2

故選：ACD

10.ACD

【分析】由〃x+2)=/(x)即可判斷A選項(xiàng)；利用/(尤)=21和函數(shù)的對(duì)稱性可判斷B,C

的正誤；結(jié)合周期性和奇偶性可求當(dāng)xe(3,4)時(shí)，/(X)=2、T,故可判斷D的正誤.

【詳解】對(duì)于A,對(duì)于VxeR恒有/(x+2)=/(x),則的周期為2,故A正確；

對(duì)于B,xe［0,l］時(shí)，/(x)=21-\,則函數(shù)〃x)在(0,1)上是減函數(shù)，

因?yàn)閒(x+2)=〃x)且“X)為偶函數(shù),故/(X+2)=〃T),故為x)的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱,

???函數(shù)〃尤)在(1,2)上是增函數(shù),結(jié)合的周期為2可得〃x)在(2,3)上是減函數(shù)，故B

不正確；

對(duì)于C,由B的分析可得/(x)在［0,2］的最大值是/(0)=2,

最小值為結(jié)合函數(shù)的周期性可得“X)的最大值為2,最小值為1,故C正確；

對(duì)于D,設(shè)xe(3,4),則4-xe(0,l),故f(4-x)=2^=/(—)=/(》),故D正確.

故選：ACD.

11.BCD

【分析】對(duì)于B,將麗，而，而分別用血，數(shù)表示，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷；對(duì)

于ACD,以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)尸(cose,sine),ae［兀,2可，根據(jù)平面向量

的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.

【詳解】對(duì)于B,因?yàn)槭?g二，且點(diǎn)尸在以ND的中點(diǎn)。為圓心，為半徑的半圓上,

所以在邊長為3的等邊三角形A8C中，CM=OD=DC=g/C=l,

貝I」而=前+函=就+§而=就+§(初一前)=§瓦+§就，故B正確；

對(duì)于C,如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

答案第4頁，共15頁

因?yàn)辄c(diǎn)尸在以40的中點(diǎn)。為圓心，04為半徑的半圓上,

所以點(diǎn)尸的軌跡方程為一+/=1,且在x軸的下半部分,

設(shè)尸(cosa,sina),ae［兀,2兀］,

——?—.333、/327

所以5PBe=—cosa------------sina+——=3cos

2424

因?yàn)?€［兀,2可，所以a+ge,所以+

9，兀、9—?—?

所以543cos［a+1J+6W9,即5<3P-3C49,故C正確；

對(duì)于A,因?yàn)辂?1強(qiáng)+》團(tuán),

所以sina=y),cosa--=_g(x_y),

所以x+y=--------sina+1,x—y=——cosa+j,

4兀77i

因?yàn)??兀,2兀],所以a+]e所以sm［a+§Jw-1'飛-

T?T

答案第5頁，共15頁

1/273.(兀、2/621262

所以一W--------sma+—\+-<..........-,BPn-<x<------+一，故AA錯(cuò)陜；

39131393393

對(duì)于D,由x+y=-2,sina+1,

因?yàn)?。武?2可，所以當(dāng)a=費(fèi)時(shí)，x+y取得最大值與+i,故D正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題的關(guān)鍵是建立合適平面直角坐標(biāo)系，再設(shè)尸(cosa,sine),a?兀,2兀］,

從而寫出相關(guān)向量，計(jì)算其數(shù)量積，并結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)得到其范圍.

12.45

【分析】先根據(jù)等差中項(xiàng)的定義求出出，進(jìn)而通過前〃項(xiàng)求和公式求得答案.

【詳解】由%+6=10=2%=10=%=5,則品=9(-；"9)=%5=45.

故答案為：45.

13.2x-y+6=0

【分析】利用方程組法求出函數(shù)解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，由點(diǎn)斜式可得切線方程.

【詳解】因?yàn)?/(尤)=/(r)+6e，，所以2,(無)=一/(一尤)+6於，

令x=0,得2/(0)=-/(-())+6e°,解得/(0)=2,所以切線斜率為2,

因?yàn)?/(x)=/(r)+6e，，令x=0,得2/(0)=/(-0)+6e°,

解得/■⑼=6,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,6).

所以?=在點(diǎn)(0/(0))處的切線方程為y-6=2(x-0),即2xr+6=0.

故答案為：2x-j+6=0.

14.陷

■八,1口m八a—r,曰1一sinBsin/口口..、2工口z八入升足

【分析】根據(jù)二倍角公式可得------=-----，即cos/=sinC=cos|彳-C根據(jù)角的氾圍

cos5cosA<2J

可得C-/=工，B=3-2A,0<A<~,故cos/eJ」.由正弦定理、同角三角函數(shù)的

224L2J

基本關(guān)系及二倍角公式可得—J=4(l+cos2/)+；~\——12,換元，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的

性質(zhì)即可求解.

答案第6頁，共15頁

【詳解】由題意可得匕辿=lcos2/_2snr..巴上,故

cosBsin242sin4cos4cosA

cosA-sinBcosA=sinAcosB,

即cos/=sin/cosB+sinBcos4=sin@+B）=sinC=cos）,

因?yàn)镃w（0,兀），所以'

因?yàn)?￡（0,兀），所以/=]—c或—z=]—c,

即C+/='或C-N='，即8=四或C-/=巴.

2222

若2=g,貝!Icos8=0,則匕辿無意義，故。一/=巴

2cosfi2

TTTT

又A+B+C=7i,所以24+5=—,即B=Z—24.

22

jr

因?yàn)?所以C>囚,0</<女，0<5<-,

222

八,兀

0<A<—

2兀5\

所以,解得0</<；,故cosNe中,1.

?71_.兀4

0<2/<一

22

b2sin25

由正弦定理可得

〃+2/sin24+2sin2C

sin2Bsin2B

22

sm"2sm2+sin^4+2cosA

sin2j-2^

cos22A

sin2A+2cos2Asin2A+2cos2A

（2COS2/-1）2_4cos4y4-4cos2A+\

1+cos2A1+cos2A

4（l+cos2A）2-12（1+COS2辦9

1+cos2A

=4（1+cos2—12,

71+cosA

令/=l+cos2貝!--=4t+--12.

<2）a2+2c2t

設(shè)/?）=4/+>12,/（1,21,

由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得/■⑺在[I，21上單調(diào)遞增,

答案第7頁，共15頁

b2

所以即

a2+2c2?

故答案為:

15.(1)證明見解析:

⑵岑.

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法證明線段4產(chǎn)的方向向量與平面4匹

的法向量垂直，即可證明4/〃平面；

(2)在空間直角坐標(biāo)系中分別求出平面5E尸與平面4臺(tái)￡的法向量，根據(jù)向量法計(jì)算兩個(gè)

法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值，即可得出二面角的余弦值.

【詳解】(1)不妨設(shè)/。=1,則/4=/8=2,如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(1,0,2),5(1,2,0),￡(0,1,2),41,0,0),F(0,0,1),D(0,0,0),

所以乖=(一1,1,0),布=(0,2,-2),2F=(-1,0,1),

設(shè)玩=(x,y,z)是平面4E8的一個(gè)法向量,

fh-AE=-x+y=0

則―.,取x=1,則歹=z=1,

in-=2y-2z=0

所以平面4獨(dú)的一個(gè)法向量而=(1,1,1),

又簫石=0，所以萬;_1_記，因?yàn)?尸仁平面4班，所以4F〃平面4班.

(2)設(shè)為=36?是平面8昉的一個(gè)法向量,5^=(-1,-1,2),FE=(0,1,1),

FF.方—hc—f)

則屜-—。'令I(lǐng)'則d即-5),

答案第8頁，共15頁

設(shè)平面BEF與平面4BE夾角為6,

\m-n\3V33

貝！Jcos0=

WH司V3.VH-H

所以平面BEF與平面ABE夾角的余弦值為運(yùn).

11

16.⑴。，=1或%=2〃-1

（2）/=3〃或空=*+?4"-1）

【分析】（1）由等比中項(xiàng)的性質(zhì)以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出公差d,從而得到通項(xiàng)公式;

（2）利用分組求和法，分別計(jì)算兩種情況下數(shù)列｛4+2｝的前〃項(xiàng)和.

【詳解】(1)設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列｛%｝的公差為1,由％,成等比數(shù)歹!I,

得a；=%.(2%-1),貝!J(4+2d『=%(2%+12t/-1),

又4=1,即(1+=1+[2d,解得d=0或d=2.

當(dāng)d=0時(shí)，an=ax=\.

當(dāng)d=2時(shí)，%=]+(〃_1)x2=2〃-1.

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為=1或。〃=2〃-1.

（2）由題意得，當(dāng)。〃=1時(shí)，b〃=*=2,貝！J%+6〃=3,

所以數(shù)列｛4+〃｝的前〃項(xiàng)和北=3〃

當(dāng)為=2〃-1時(shí)，a=2%=22〃T=2x4〃T,

則導(dǎo)=2x4〃

=4,且。=2,

2X4〃T

bn

故｛〃｝是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)歹U,

〃(1+2〃—1)

貝!J%+%+…+4=

2

2。-4〃)2/、

4+4+…+九=^_1=孑(4"-1)

[=(%+。2+…+%)+(4+%+…+2)="2+g(4"T)

答案第9頁，共15頁

故數(shù)列｛。"+4｝的前”項(xiàng)和7；=3"或"2+§（4--1）.

（2）y=±x+2

【分析】（1）利用漸近線的斜率及點(diǎn)到直線的距離建立關(guān)于。力的等式求解即可；

（2）分直線斜率存在和不存在兩種情況進(jìn)行討論，易知直線斜率不存在時(shí)，不滿足條件，

當(dāng)斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，表示出的長，再利用點(diǎn)到直線的距離求出點(diǎn)

0到/的距離，利用三角形的面積公式建立等式進(jìn)行求解出后，即可求出直線/的方程.

【詳解】（1）由題得2=6,①

a

由對(duì)稱性不妨設(shè)C的頂點(diǎn)為（a,0）,則浮=手，②

聯(lián)立①②解得°=也，b=m,

22

所以。的方程為土-匕=1.

26

（2）設(shè)力（打,乃），8（如、2），

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不符合題意；

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為＞=區(qū)+2,

3-r片0

所以1A=16左2+40（3—斤2）=]20—24左2>0,

—10?

12=----0

13-左2

解得-G（左＜6，

4k-10

因?yàn)轫?xiàng)+%2=1不，玉記，

答案第10頁，共15頁

所以|/同=J1+左2“再+工2)2—4'1X2

2指,1+左2J5—左2

-M

2

又點(diǎn)O到直線/的距離d=

J1+/

所以V/O8的面積S=；|/8|."=264_r-

卜燈一

解得左=±1或左=±2；又因?yàn)?6〈左<6，所以后=±1,

所以直線/的方程為y=±x+2.

18.(1)［。,—］和(1,+°0)；

(2)2e；

(3)證明見解析.

【分析】(1)將函數(shù)求導(dǎo)后解了'(x)>0即可得“X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)法一：對(duì)參數(shù)力，進(jìn)行分類討論，當(dāng)時(shí)易得不等式恒成立，當(dāng)"?>0時(shí)，通過原不

等式構(gòu)造函數(shù)，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題求解；

法二：通過將原不等式同構(gòu)變形，構(gòu)造新函數(shù)，通過新函數(shù)的單調(diào)性求出使得原不等式成立

時(shí)初的最大值;

(3)將/(/)，/(網(wǎng))代入不等式后化簡，最終通過不等式同構(gòu)變形構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)

求導(dǎo)求出單調(diào)性，進(jìn)而證明不等式.

【詳解】(1)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,內(nèi))，

/⑴」…"］=*+("山+1=(互+1)(一》+1),

XXX

令/'(x)=0,可得x=l或x=-L,因?yàn)椤?lt;一1,則

aa

由/'(%)〉0，可得0<x<或x〉l,

則/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,-十)和(1,+8);

(2)法一：當(dāng)“=1時(shí)，/(x)=lnx-1x2,即21nx+加工3鏟，40在上恒成立.

①當(dāng)機(jī)V0時(shí)，lnx<0,x%，">0在上恒成立，所以此時(shí)不等式恒成立；

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②當(dāng)冽>0時(shí)，令//(%)=2In%+冽工%加”,

7

則(x)=—+3mx2emx+m2x3e^>0恒成立，

所以h(x)=21nx+mx3emx在1°，j上單調(diào)遞增，

1I—m—m

于是〃(_)=一2+^6,<0^mee<2e3,

ee

不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，可得In冽+竺Wln2+3恒成立,

e

m

令(p(jn)=InmH——(m>0),

e

由于In加，%都在(0,+s)上遞增，

e

所以以加)=In加+'在(0,+8)上單調(diào)遞增，

e

又9(2e)=In2+3,

因此若9(加)<因2e)恒成立,

則m<2e.

綜上所述，機(jī)的最大值為2e.

法二：當(dāng)。=1時(shí)，/(x)=lnx-1x2,即Zlnx+mYe，"wo恒成立,

當(dāng)mW0時(shí)顯然恒成立,

所以只需考慮當(dāng)加>0時(shí),

|r2一

2Inx+mx3emxn<0，即一廠+加<0恒成立，

x

Inx21i1

§RnPnixcmxW-----=——In--,

XXX

0,",則加x〉0,

令尸(x)=xlnx,則尸(e、)工廠,因?yàn)楣ぁ?/p>

所以。儂〉1,

x

當(dāng)x>l時(shí)，尸'(x)=lnx+l>0,所以，函數(shù)FO)在(1,+8)上為增函數(shù),

所以，e蛆《4，即mxV-21nx,則根《且吐恒成立.

XX

4g(x)=--,其中0<x/，則g，(x)=2(ln：T)<0,g(x)單調(diào)遞減,

%e%

則g(x)>g］：J=2e,貝I］加V2e.

綜上所述，力的最大值為2e.

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(3)易矢口/'(Xtjn-1-—。/+。一1,

/(x2)-/(%1)"Tn%-5a6一云:卜[-1)&-X|)叱-In*1,.1

x2—/x2-/x2-x12

Inx-Inx,

?L1

=----------ax0+a-I,

x2—Xj

f(xj—f(X[)「，/、In-Inx,I?

要證：-----------〉/(/)，即證-----------aXQ+?-l＞----QXo+Q—l,

x2-Xyx2-x{XQ

lnx-InxI2

即證----9-----〉一=------，

x2-x}xox2+%1

2g-l]

不妨設(shè)2＞玉＞0，即證In三＞2(%F=q_L,

%%+X]強(qiáng)+i

再

設(shè);迤＞l,可得in””二0,

國t+l

構(gòu)造函數(shù)A")=In”力。，其中"I,

I4

則〃(。=

廠西

所以，函數(shù)〃(/)在區(qū)間(1,+8)上為增函數(shù)，貝⑴=0,

即In/＞

因此必二皿！>/，(/).

x2-Xj

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題(2)小問考察到不等式變換中一種常見的手法：取對(duì)數(shù)，特別是

當(dāng)不等式兩邊都有許多關(guān)于e的式子時(shí)可以優(yōu)先考慮取對(duì)數(shù)變形；其次本題(2)(3)小問

都考察了不等式的同構(gòu)變形，很多時(shí)候不等式的恒成立問題、不等式證明問題等都可以通過

同構(gòu)變形構(gòu)造新函數(shù)，通過新函數(shù)的性質(zhì)來證明原不等式成立.

19.(l)C=900

^11173

('2

⑶2+26

【分析】(1)根據(jù)倍角公式得到sin2/+sin"=sin2C,由正弦定理得到據(jù)+境=。2,從而

C=90°；

(2)設(shè)MZ=x,在A4CM,ABCM,A/BM中由余弦定理得。,6,c關(guān)于x的方程，再由

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