廣東省部分2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)12月聯(lián)合檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高_(dá)財(cái)土

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊(cè)第一章至第三章第二節(jié).

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.下列直線中，傾斜角最大的是（）

A.3x—y—2=0B.x=2

C.3x+y+4=0D.y=2

【答案】C

【解析】

【分析】首先分別求直線的斜率，再結(jié)合直線傾斜角與斜率的關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,直線3x—y—2=。的斜率左=3,則傾斜角。w0,-；

I2J

7T

對(duì)于B,直線x=2的傾斜角。=—；

2

對(duì)于C,直線3x+y+4=0的斜率上=—3,則傾斜角兀］;

對(duì)于D,直線y=2的傾斜角。=0,

所以直線3x+y+4=0的傾斜角最大.

故選：C.

22

2.雙曲線。：乙―上=1的漸近線方程為（）

232

%X

A.y=±4xB.y=±-C.y=±-D.y=±16x

416

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)漸近線方程的特征即可求解.

v2丫2無(wú)

【詳解】雙曲線c：1—服=1的焦點(diǎn)在y軸上，a=e，b=4也,所以漸近線方程為y=±1.

故選：B.

3.已知向量G=(T,L。)，b=(2,m,n),若allb,則加一〃=()

A-2B.2C.-1D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由向量共線列出方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椤恪ㄈ怂砸籰xm=lx2,-lx〃=0x2,則2=—機(jī)，n-Q,所以加一〃=一2.

故選：A.

4.若圓爐+/一4ax+2y—1=0的圓心到兩坐標(biāo)軸的距離相等，則。=()

A.+1B.1C.±-D.g

~22

【答案】C

【解析】

【分析】先求出圓的圓心，再結(jié)合題意即可得解.

【詳解】圓/—4奴+2y—1=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(％—2ap+(y+1)?=4/+2,

則圓心為(2a,-1),半徑廠=74a2+2，

由題意得12al=1,解得a=土;.

故選：C.

2

5.已知片，F(xiàn)2分別是橢圓。：/+%=1(0<6<1)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸2且與長(zhǎng)軸垂直的直線交C于

48兩點(diǎn).若耳A3為直角三角形，則C的焦距為()

A.2后—2B.V2-1C.1D.於

24

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，求出|4耳=2〃，根據(jù)耳A3為等腰直角三角形，得到＞2=2c，結(jié)合

々2=①+。2計(jì)算即可.

【詳解】由題可求得4。12),3(°,—〃)，貝葉48|=2/.

根據(jù)橢圓對(duì)稱性，可知耳A3為等腰直角三角形，

所以方2=2C，則1—°2=2C，解得。=0一1，

所以橢圓C的焦距為2應(yīng)-2.

故選：A.

6.已知圓A/:/+/=16與圓N:%2+J一4%-加丁+〃=0的公共弦與直線x-2y=。垂直，且垂足為

(2,1),則圓N的半徑為()

A.75B.TnC.2D.2石

【答案】B

【解析】

【分析】先求公共弦方程，再根據(jù)直線垂直結(jié)論得到4-2m=0,解得加.將點(diǎn)(2,1)坐標(biāo)代入

4%+2y—16=0,求出力=-6,得到圓的方程即可.

【詳解】因?yàn)閳A/：/+丁2=16與圓N:x2+_y2-4x-7〃y+〃=0,

所以它們的公共弦方程為4x+町—〃—16=0.

因?yàn)楣蚕遗c直線x—2y=。垂直，所以4—2機(jī)=0,解得加=2.

將點(diǎn)(2,1)的坐標(biāo)代入4x+2y—16=0,可得〃=-6,

圓"：一+/一4》一2丁—6=0可化為(x—2y+(y—I)?=11,故圓N的半徑為而.

故選：B.

7.已知A,8分別為雙曲線C：工—3=1（。〉0]〉0）的左、右頂點(diǎn)，尸是C上一點(diǎn)，直線B4,尸2的

ab

斜率分別為g和3,則C的離心率為（）

A.@B.73C.^5D.M

22

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)P（九0,%），由直線的斜率公式，結(jié)合的坐標(biāo)滿足雙曲線方程，可得的關(guān)系，由離心率公式即

可求解.

22

【詳解】設(shè)則再—4=1,因?yàn)?-a,0）,3（a,0）,所以

ab2

J=[=LX3=3,則C的離心率e=￡=￡=Jl+?=典.

Skk-_____也一-」2

a。+aXQ-QXQ--a-a222a\a2\a22

故選：D.

8.在空間直角坐標(biāo)系。町z中,定義：經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（Xo，%,Zo）且一個(gè)方向向量為/=（a,dc）（aZ?cwO）的直線1

的方程為士工=口=巳&,經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（xo，%,z°）且一個(gè)法向量為n=的平面的方程為

abC

丸（%-%0）+〃（丁一%）+創(chuàng)2-20）=0.已知在空間直角坐標(biāo)系aDZ中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2,2,0）的直線/的方程

為2—x=2—l=.,經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的平面a的方程為2x+y+2z-6=0,則直線/與平面a所成角的正弦

23

值為（）

A.亞B.巫C,11

D.——

771414

【答案】B

【解析】

【分析】由題目定義得到直線的一個(gè)方向向量，和平面的法向量,由向量夾角的求解公式得出線面角的正

弦值.

【詳解】經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（修，加z。）的直線/的方程為2-x=^-l=|,即二=2ZZ=￡Z2,

-123

則直線I的一個(gè)方向向量為m=（-1,2,3）.

又經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的平面a的方程為2x+y+2z—6=0,

即2(x—2)+(y—2)+2(z—0)=0,所以a的一個(gè)法向量為“=(2,1,2).

I,,1\m-n\-2+2+6

設(shè)直線I與平面a所成的角為6,則sin0=cos(m,n\\=y—r-；=,-/=------.

1'〃網(wǎng)網(wǎng)712+22+32X722+12+227

故選：B.

二、選擇題；本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知曲線。：必+小尸=],下列結(jié)論正確的有()

A.若m>0,則C是橢圓B.若C是圓，則加=±1

c.若m<0,則c是雙曲線D.若機(jī)=o,則c是兩條平行于y軸的直線

【答案】CD

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓、圓、雙曲線、直線的方程的特點(diǎn)逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若m>0且則C是橢圓；

對(duì)于B選項(xiàng)，則C是圓，貝卜〃=1；

對(duì)于C選項(xiàng)，若7〃<0,則。是雙曲線；

對(duì)于D選項(xiàng)，若“2=0,方程為x=±i,則c是兩條平行于y軸的直線.

故選：CD.

10.在四棱錐P—ABCD中，P(—1,—3,3),A(l,0,l),3(0,1,1),C(-l,3,0),D(0,2,0),則下列結(jié)論

正確的有()

A.四邊形A8CD為正方形

B.四邊形A3CD的面積為出

C.PA在AB上的投影向量的坐標(biāo)為0)

D.點(diǎn)P到平面ABCD的距離為代

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)ARBC是否相等，A￡>,A3是否垂直，即可判斷A；求出sin/BAC再根據(jù)

S皿8=254即即可判斷3；根據(jù)投影向量的定義即可計(jì)算判斷C；根據(jù)點(diǎn)到平面的距離的向量求法即可

判斷D.

【詳解】對(duì)于A,AB=(-1,1,0),BC=(-1,2,-1),AD=(-1,2,-1),

則

所以4￡>〃3。,人。=3。，AB與AD不垂直,

所以四邊形ABCD為平行四邊形，故A錯(cuò)誤;

ABAD3731

對(duì)于B,儂/切。=西府=萬(wàn)環(huán)=3，所以疝/癡。=5,

所以四邊形ABCD的面積為2SAB0=2X；XJ5XNX；=6,故B正確;

對(duì)于C,B4=(2,3,-2),

PAABAB_1,..11

則PA在AB上的投影向量為.疝=5(T，I，O)=-5,5,0,故c正確;

ABAB22

對(duì)于D,設(shè)平面ABCZ)的法向量為〃(x,y,z),

n-AB=-x+y=0

則有《,令久=1,則〃=(z1,1,1)x

n-AD=-x+2y-z=0

PA-n3

所以點(diǎn)尸到平面ABCD的距離為二^/3，故D正確.

|?|8

故選：BCD.

11.已知相>0,〃<0,。(匕丁)是曲線、=，4%一川上的任意一點(diǎn),若k一y+7”|+|x—y+"的值與

x,y無(wú)關(guān),貝ij()

A.m的取值范圍為[2，5+2,+oo)B.m的取值范圍為[2點(diǎn)-2,+oo)

C."的取值范圍為(-8,-4]D.n的取值范圍為(-00,-20-2]

【答案】BC

【解析】

【分析】由方程知曲線為半圓，再由題意轉(zhuǎn)化為半圓夾在兩平行直線之間，求出相切與過(guò)端點(diǎn)的情況即可

得解.

【詳解】由曲線y=,4x—/，得丁》0,則(x-2)2+y2=4(yN0),

所以曲線y=P表示圓心為M（2，。），半徑r=2的半圓（X軸及以上部分）.

x-%—y+川

設(shè)4=為點(diǎn)a歷到直線4的距離，d=為點(diǎn)a，y）到直線/2的距離.

~ir~2V2

r;\-y+m\|x-y4

已知|%—y+向+|%_y+〃|=7(x6F

即|尤->+〃2|+|彳-、+川表示點(diǎn)0,'）到直線/1和12的距離和的&倍.

由圖可知，該曲線兩平行直線乙：x-丁+m=0,&:x-y+"=0之間時(shí),

點(diǎn)（x，y）到直線/1和/2的距離和為兩平行線之間的距離.

,2+m八

當(dāng)4與曲線相切時(shí)，行=2,

解得加=20-2，則機(jī)的取值范圍為[2垃-2,+8）；

當(dāng)4經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4,0）時(shí)，4+"=0,解得〃=—4,則〃的取值范圍為（―叫—4].

故選：BC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.直線％+陽(yáng)+3+/=。在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則機(jī)的值為.

【答案】-3或-1

【解析】

【分析】分別求出兩坐標(biāo)軸上的截距，進(jìn)而可得出答案.

m+3

【詳解】令x=0,則丁=------，令y=0,則x=—m—3,

m

加+3、（1、

則--------加—3=0,即（加+3）|bl|=0,解得機(jī)=—3或772=—1.

m\m）

故答案為：—3或—1.

13.在四棱錐尸—ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E滿足ED=2PE，點(diǎn)/滿足ZBE，

若尸，A,C,尸四點(diǎn)共面，則2=.

3

【答案】一##0.75

4

【解析】

1一1.2

【分析】連接班），利用向量線性運(yùn)算得BEngBA+gBC+gBP,WBF=ABE&P^A,C,尸四點(diǎn)

共面的向量結(jié)論列式求解即可.

【詳解】連接B。，由題可知BE=LBr）+2BP='R4+』BC+2BP.

33333

又BF=2BE，所以=—B4+—3C+——BP,且P,A,C,F四點(diǎn)共面，

333

所以4+人+絲=1,解得4=3.

14.已知尸是橢圓C：二+4=1（。〉6〉0）位于第一象限上的一點(diǎn)，及,尸2分別是C的左、右焦點(diǎn),

ab

尸耳，尸工，點(diǎn)。在/耳尸丹的平分線上，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OQHPFX,且|OQ|=b,則C的離心率為

【答案】?##上巫

33

【解析】

【分析】延長(zhǎng)OQ交尸工于點(diǎn)A,利用OQ〃P耳得A為尸鳥(niǎo)的中點(diǎn)，根據(jù)角平分線及「耳，「心，得

NQAP=90,結(jié)合橢圓定義及勾股定理列式化簡(jiǎn)得2a2=3。2,即可求解離心率.

【詳解】設(shè)歸耳|=加，|?閭=〃，延長(zhǎng)0Q交P居于點(diǎn)A.

由題意知OQ〃P￡,。為耳B的中點(diǎn)，故A為PB的中點(diǎn).

由ZQPA=NFFQ=ZAQP,PF}LPF2,得XAQ?是等腰直角三角形,

m+n=2a,

m-n=2b,m=a+b,

則Lii化簡(jiǎn)得即《

b+—n=—m,m+n-2a,n—a—b.

I22

代入m2+n2=4c2得(a+b)2+(a-b)2=4c2,即"十廿二2c2.

因?yàn)閺?后一02,所以2a2=3,2,所以e2=?,所以《

33

故答案為：漁

3

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)4L4),3(2,3),C(2,5).

(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若傾斜角為弓的直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(2。，且/與圓M相交于E,尸兩點(diǎn)，求怛肉.

【答案】(1)0-2)2+6-4)2=1

⑵恒

2

【解析】

【分析】(1)將三點(diǎn)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解；

(2)首先求直線方程，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式，即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)圓M■的標(biāo)準(zhǔn)方程為(工一。)？+(y-b)~=r2(r>0),

a-4+(4-力2=,，

將點(diǎn)A(l,4),3(2,3),C(2,5)代入方程，可得(2—af+(3—=/，

(2-a>+(5-6)2=/，

解得a=2,b=4,r=l,所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為a—2)?+。-4)2=i.

【小問(wèn)2詳解】

7

直線/的方程為y—5=—(x—2),即2x+2y—11=0.

圓心M(2,4)至心的距離=亨，所以舊周=2小—(孝了=理.

16.如圖，在正方體ABCD—4耳CQi中，M,N分別為441和的中點(diǎn).

(1)證明：直線〃平面A。。.

(2)求平面與平面ACD夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵叵

5

【解析】

【分析】(1)以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可;

(2)利用向量法求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)正方體ABCD-4男￡A的棱長(zhǎng)為2,

則"(0,0,1),"(2,1,0),。(2,2,0),。(0,2,0)，4(0,0,2),

故初V=(2,L-L)，AD=(0,2,-2),DC=(2,0,0),

設(shè)平面ACD的法向量為n=(羽y,z),

ri-AD=2y-2z=0

則有}可取〃=（0,1,1）,

n-DC=2x=0

則"?M2V=0+l—1=0，所以"」7W，

又W平面AC。，所以直線MN〃平面AC。；

【小問(wèn)2詳解】

X(0,0,0),

故AM=(0,0,l),4V=(2』,0)，

設(shè)平面的法向量為加=(a,A,c),

則有1,可取加=(1,—2,0),

m-AN=2a+b=0

“”?\m-n\2

所以cosm,n\=-；~T7—r=—j=—-j==——,

?H同V5XV25

即平面AMN與平面&CD夾角的余弦值萼.

17.一束光線從點(diǎn)P(0,4)射出，經(jīng)直線x+y—3=。反射后，與圓C:(x—3)2+(y—2>=1相切于點(diǎn)

(1)求光線從點(diǎn)尸到點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路程；

(2)求反射光線所在直線的方程.

【答案】(1)4⑵y=3或8x+15y—37=0

【解析】

【分析】(1)設(shè)點(diǎn)尸(0,4)關(guān)于直線x+y—3=0的對(duì)稱點(diǎn)為Q(a,b),

運(yùn)用“中”“垂”性質(zhì)構(gòu)造方程組，求出。(-1,3),進(jìn)而求出|CQ|,再求路程即可;

(2)設(shè)反射光線為y—3=左(％+1),即依—y+k+3=0,利用直線與圓相切條件計(jì)算k即可.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)點(diǎn)P(0,4)關(guān)于直線x+y—3=0的對(duì)稱點(diǎn)為Q(a,b),

CL——1

則＜解得L。，BP2(-1,3).

IK"。b=3

又圓心C(3,2),所以=J(3+Ip+(3_2.=屈,

則光線從點(diǎn)P到點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路程為7(V17)2-1=4.

【小問(wèn)2詳解】

由題可知反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)。(-1,3),易知反射光線的斜率存在,

故設(shè)反易寸光線為了一3=左(％+1),即依一y+上+3=0.

又圓心C(3,2),所以。^4=1,解得左=?；蜃?——.

也+/15

故反射光線所在直線的方程為y=3或8x+15y—37=0.

18.己知等軸雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸上，且實(shí)軸長(zhǎng)為.直線、=丘+機(jī)與C交于A,8兩點(diǎn).

(1)求C的方程；

(2)若點(diǎn)(3,1)為線段AB的中點(diǎn)，求k的值；

(3)若加=1,且A,8兩點(diǎn)都位于y軸的右側(cè)，求上的取值范圍.

【答案】(1)《一＜=1

33

(2)3(3)(—久1,一1)

3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)等軸雙曲線概念，結(jié)合條件構(gòu)造方程組求出a=也即可；

(2)運(yùn)用點(diǎn)差法求解即可；

(3)直曲聯(lián)立，借助韋達(dá)定理和根的判別式即可.

小問(wèn)1詳解】

22

由題可設(shè)C：—~1(〃>0)，

aa

因?yàn)閷?shí)軸長(zhǎng)為2百，所以2〃=2百，即〃=6.

22

故。的方程為=-與=1.

33

【小問(wèn)2詳解】

I

設(shè)A(%，M),B(x2,y2)

則33兩式相減得五二芯>=0,整理得工二生=左上

制33%—%2M+%

---=1,

[33

因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,1),所以％]+%2=6,%+%=2,

所以直線AB的斜率左=-----=-------=%=3.

%一々%+為2

【小問(wèn)3詳解】

[22

工—匕=1

由《33，可得(1-k2優(yōu)_2a_4=0.

y=kx+1

A=4左2+16（1—左2）〉。,

2k

因?yàn)橹本€丫=丘+1與c的右支交于不同的兩點(diǎn)，所以<>0,

1-k2

-4

>0,

故—與〈左<—i,即/取值范圍為(—半,一1).

19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意一點(diǎn)P(x,y),總存在一個(gè)點(diǎn)Q(x',y')滿足關(guān)系式0：

<,(4>0,〃>0),則稱0為平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換.

(1)在同一直角坐標(biāo)系中，求平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換?，使得圓/+9=4變換為橢圓

4x2+y2=1.

2

(2)在同一直角坐標(biāo)系中，橢圓x工+v乙=1經(jīng)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換。：〈:3得到曲線C.

94,1

(i)求曲線C的方程；

(ii)已知曲線。與％軸交于A,3兩點(diǎn)，P是曲線C上異于A,5的任意一點(diǎn)，直線AP交直線x=3于點(diǎn)

M,直線5P交直線1=3于點(diǎn)N,證明以MN為直徑的圓G與x軸交于定點(diǎn)〃，并求出點(diǎn)H的坐標(biāo).

',1

x--X.

【答案】(1)彳；4

V=-y-

、乙

(2)(i)x-+y2=l；(ii)證明見(jiàn)解析，(3+20,0)或(3—2JI,0)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)伸縮變換