福建省福州市部分學(xué)校教學(xué)聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

第1頁/共1頁2024~2025學(xué)年上學(xué)期福州市部分學(xué)校教學(xué)聯(lián)盟12月聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線的方向向量為，則直線的傾斜角是（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由直線的方向向量先求出直線的斜率，再求傾斜角即可【詳解】解：因?yàn)橹本€的方向向量為，所以直線的斜率為，即，又傾斜角，所以.故選：D2.已知直線與，則“”是“”的（）條件.A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】利用兩直線垂直的充要條件得到，從而得到或，再利用充分條件與必要條件的判斷方法，即可求解.【詳解】當(dāng)直線與垂直時，，即，解得或，所以可以推出，但推不出，即“”是“”的充分不必要條件，故選：A.3.在三棱錐中，、分別是、的中點(diǎn)，是的重心，用基向量、、表示，則下列表示正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算可得出關(guān)于基向量、、的表達(dá)式【詳解】連接，因?yàn)闉榈闹匦?，則，如下圖所示：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，所以，，所以，.故選：D.4.平面內(nèi)，動點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則動點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題目所給條件的幾何意義，結(jié)合橢圓的定義直接得出點(diǎn)的軌跡即可.【詳解】由兩點(diǎn)間距離公式，條件表示的幾何意義為點(diǎn)到與的距離之和：，又，根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)在以和為焦點(diǎn)的橢圓上，可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為：,由，，根據(jù),求出,得到軌跡方程為：.故選：B5.已知，若點(diǎn)在線段上，則的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用兩點(diǎn)連線的斜率公式知表示點(diǎn)Px,y和點(diǎn)連線的斜率，再數(shù)形結(jié)合，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，因?yàn)楸硎军c(diǎn)Px,y和點(diǎn)連線的斜率，又，所以，，由圖知，的最小值為，故選：C.6.若動圓與圓外切，又與直線相切，則動圓圓心的軌跡方程為（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意得到到的距離與到直線的距離相等，再利用拋物線的定義即可得解.【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，設(shè)動圓圓心的坐標(biāo)為，半徑為，則，又動圓與直線相切，即到直線的距離為，所以到直線的距離為，所以到的距離與到直線的距離相等，所以的軌跡為拋物線，其焦點(diǎn)為，所以動圓圓心的軌跡方程為.故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為到定點(diǎn)與定直線的距離相等，從而得解.7.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是上的一點(diǎn)（在第一象限），直線與軸交于點(diǎn)，若，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，用分別表示，再由得到之間關(guān)系，結(jié)合余弦定理即可得的關(guān)系，可得離心率.【詳解】設(shè)，如下圖所示：由題意可得，；又，由可得，即，解得；所以；因?yàn)?，所以；即，可得，即，解?故選：D8.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”事實(shí)上，很多代數(shù)問題可以都轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，列如，與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的幾何問題.已知點(diǎn)在直線，點(diǎn)在直線上，且，結(jié)合上述觀點(diǎn)，的最小值為（）A B. C. D.5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)距離公式將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離和，過點(diǎn)作，垂足為，證明，由求目標(biāo)函數(shù)最小值.【詳解】由已知表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以，過點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)橹本€的方程為，，所以，又直線與直線平行，，所以，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時等號成立，所以當(dāng)點(diǎn)為線段與直線的交點(diǎn)時，取最小值，最小值為，因?yàn)檫^點(diǎn)與直線垂直的直線的方程為，聯(lián)立，可得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以的最小值為，故選：D.【點(diǎn)睛】本題解決關(guān)鍵在于根據(jù)兩點(diǎn)距離公式將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為求線段的距離和問題，進(jìn)一步結(jié)合圖形將問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離問題.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法命題正確的是（）A.已知，，則在上的投影向量為B.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則C.已知三棱錐，點(diǎn)為平面上的一點(diǎn)，且，則D.若向量（，，是不共面的向量）則稱在基底下的坐標(biāo)為，若在基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，利用投影向量計(jì)算公式進(jìn)行求解；B選項(xiàng)，由數(shù)量積為0得到，或，B錯誤；C選項(xiàng)，設(shè)，變形得到，結(jié)合題目條件得到方程組，求出；D選項(xiàng)，，設(shè)，變形后對照系數(shù)得到方程組，求出，得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，在上的投影向量為，A正確；B選項(xiàng)，，故，或，B錯誤；C選項(xiàng)，點(diǎn)為平面上的一點(diǎn)，設(shè)，即，所以，又，故，故，C正確；D選項(xiàng)，由題意得，設(shè)，則，解得，則在基底下的坐標(biāo)為，D正確.故選：ACD10.已知圓與圓交于，兩點(diǎn)，則（）A.兩圓的公切線有2條B.直線方程為C.D.動點(diǎn)在圓上，則的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系可判斷兩圓相交，即可判斷A，根據(jù)兩圓方程相減即可判斷B，根據(jù)弦長公式即可求解C，根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)距離公式即可判斷D.詳解】由題意可知，，故，故兩圓相交，公切線有2條，A正確，與圓相減可得，故直線方程為，B正確，到直線的距離為，故，故C錯誤，可看作是圓上的一個點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，故最大值為，D正確，故選：ABD11.如圖，曲線可以看作“蝴蝶結(jié)”的一部分，已知曲線上除原點(diǎn)外的所有點(diǎn)均滿足其到原點(diǎn)的距離的立方與該點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之積的絕對值的商恒為定值（），則（）A.曲線關(guān)于直線對稱B.曲線經(jīng)過點(diǎn)，其方程為C.曲線圍成的圖形面積小于D.存在，使得曲線上有5個整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）【答案】ACD【解析】【分析】首先根據(jù)已知條件求出曲線方程，再運(yùn)用曲線的對稱性、放縮解決曲線所圍圖形面積以及整點(diǎn)的概念，分別分析每個選項(xiàng).【詳解】對于A，先求曲線方程，設(shè)曲線上一點(diǎn)（），由已知，即.若點(diǎn)在曲線上，則也滿足曲線方程，所以曲線關(guān)于直線對稱，A選項(xiàng)正確.對于B，將代入曲線方程，得，即，，此時方程為，B選項(xiàng)錯誤.對于C，，則，所以C在以圓心為O，半徑為的圓內(nèi)，結(jié)合圖形知道，C選項(xiàng)正確.對于D，由于，所以，由曲線的對稱性可知，要使曲線上有5個整點(diǎn)，則曲線在第一象限內(nèi)有兩個整點(diǎn)，當(dāng)整點(diǎn)為時，，此時整點(diǎn)都在曲線上，其有3個整點(diǎn)，不滿足題意;當(dāng)整點(diǎn)為時，，此時整點(diǎn)均在曲線上，且均不在曲線上，其有5個整點(diǎn)，滿足題意，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是找準(zhǔn)圖形的信息，求出曲線方程，后運(yùn)用性質(zhì)，如對稱性，整點(diǎn)，面積借助放縮成半圓即可求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.圓心在直線上，且經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)的圓的方程為______【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)圓心坐標(biāo)為，根據(jù)圓所過的兩點(diǎn)可得出關(guān)于的等式，求出即求出圓的方程.【詳解】因?yàn)閳A心在直線上，設(shè)圓心坐標(biāo)為，因?yàn)閳A經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)，則，解得，故圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為，故所求圓的方程為.故答案為：.13.若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】利用雙曲線方程的特點(diǎn)，可得，解不等式，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，所以，即或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14.如圖，邊長為4正方形中，、分別為、中點(diǎn)，將，沿、折起，使、兩點(diǎn)重合于點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，且，則直線與夾角余弦值的最大值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件建立合適空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線方向向量夾角的余弦值的計(jì)算方法結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)滿足的等式，利用三角換元法求解出直線與夾角余弦值的最大值．【詳解】取中點(diǎn)，連接，且延長線過點(diǎn)，因?yàn)?，，所以平面，根?jù)對稱性可知在底面平面內(nèi)的射影點(diǎn)必在上，記為點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，過點(diǎn)垂直于方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：因?yàn)?，所以，所以為等腰直角三角形，所以，又因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，，所以，不妨設(shè)，所以，所以，取等號時，所以直線PM與BF夾角余弦值的最大值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求動點(diǎn)引起的最值問題，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出動點(diǎn)坐標(biāo)，由動點(diǎn)滿足的關(guān)系得出等式后消元，利用直線的方向向量夾角的余弦值的計(jì)算方法得到函數(shù)關(guān)系，再利用三角換元法解出直線與夾角余弦值的函數(shù)關(guān)系式，由三角函數(shù)的值域得到最大值.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知拋物線的焦點(diǎn)為，位于第一象限的點(diǎn)在拋物線上，且.（1）求焦點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若過點(diǎn)的直線與只有一個交點(diǎn)，求的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線焦半徑公式計(jì)算得出，再得出拋物線方程進(jìn)而得出焦點(diǎn)即可；（2）先設(shè)直線方程，再聯(lián)立方程組，再分和兩種情況應(yīng)用直線與只有一個交點(diǎn)求參即可得出直線方程.【小問1詳解】因?yàn)閽佄锞€，，所以，所以，可得所以焦點(diǎn)的坐標(biāo).【小問2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，又位于第一象限，所以，所以，過點(diǎn)的直線與只有一個交點(diǎn)，直線斜率不存在不合題意；設(shè)直線與有且只有一個交點(diǎn)，由，得，當(dāng)時，，即，即，當(dāng)時，，只有一個根符合題意；所以的方程為或，即或.16.已知△中，頂點(diǎn)，邊上的高線所在直線與直線平行，的平分線所在直線的方程為．（1）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求邊所在直線的一般式方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)邊所在的直線方程為，代入坐標(biāo)可求的方程，聯(lián)立方程組可求得交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，由題意可得，求解可得點(diǎn)的坐標(biāo)，可求直線的方程.【小問1詳解】由題意可設(shè)邊所在的直線方程為，則將代入，解得，則邊所在直線的方程為，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，所以．直線的方程即為直線的方程.因?yàn)?，所以，即為，則直線的一般式方程為．17.設(shè)動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比為．（1）求點(diǎn)軌跡的方程；（2）過的直線與曲線交右支于兩點(diǎn)（在軸上方），曲線與軸左、右交點(diǎn)分別為，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，試判斷是否為定值，若是定值，求出此值，若不是，請說明理由．【答案】（1）（2）為定值，且定值為【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離以及點(diǎn)到點(diǎn)的距離公式，即可列方程化簡求解，（2）由題意，設(shè)直線的方程為，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合條件求出即可．【小問1詳解】設(shè)Mx,y，到定直線的距離為則，故，平方后化簡可得，故點(diǎn)的軌跡的方程為：【小問2詳解】由題意，,設(shè)直線的方程為，,，,，由，可得，所以，．則，，所以；當(dāng)直線的斜率不存在時，，此時，綜上，為定值．18.如圖，在多面體中，平面平面，四邊形為平行四邊形，，，，，，為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）由余弦定理可得的值，再由勾股定理逆定理可得，由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，即可證明；（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及點(diǎn)到面的距離公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（3）由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及二面角的公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】證明：在中，因?yàn)?，，，所以，所以，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所?【小問2詳解】由（1）可得，，又，所以，，兩兩垂直，以，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，.設(shè)平面的一個法向量，則，即，令，則，，所以，所以點(diǎn)到平面的距離.【小問3詳解】假設(shè)存在，設(shè)，則，所以，設(shè)平面DHP的一個法向量，因?yàn)?，所以，即，令，則，，所以，設(shè)平面的一個法向量，因?yàn)?，，所以，即，令，則，，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得或（舍），所以存在點(diǎn)，使得滿足要求，此時，即.19.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，的離心率為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，的最小值為.（1）求橢圓的方程；（2）已知是橢圓的左、右頂點(diǎn)，不與軸平行或重合的直線交橢圓于兩點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，且.①證明：直線過定點(diǎn)；②設(shè)的面積為，求的最大值.【答案】（1）（2）①證明見解析；②.【解析】【分析】（1）應(yīng)用離心率公式及焦點(diǎn)到橢圓距離的最值列方程組求解，即可求出橢圓方程；（