幾何變換之旋轉模型（解析版）-2023年中考數(shù)學幾何模型重點突破訓練

專題32幾何變換之旋轉模型

內容導航：模型分析一典例分析T

【理論基礎】

L旋轉的概念：將一個圖形繞一個定點轉動一定的角度，這樣的圖形運動稱為圖形的旋轉，定點稱為旋轉中

心，旋轉的角度稱為旋轉角.

2.旋轉三要素：旋轉中心、旋轉方形和旋轉角度.

3.旋轉的性質

⑴對應點到旋轉中心的距離相等；

⑵兩組對應點分別與旋轉中心連線所成的角度相等.

注：圖形在繞著某一個點進行旋轉的時候，既可以順時針旋轉，也可以逆時針旋轉.

4.旋轉作圖：在畫旋轉圖形時，首先要確定旋轉中心，其次確定圖形的關鍵點，再將這些關鍵點沿指定的方

向旋轉指定的角度，然后連接對應的部分，形成相應的圖形.

具體步驟如下：

⑴連接圖形中的每一個關鍵點與旋轉中心；

（2）把連線按要求（順/逆時針）繞旋轉中心旋轉一定的角度（旋轉角）；

⑶在角的一邊上截取關鍵點到旋轉中心的距離，得到各點的對應點；

⑷連接所得到的對應點.

5.旋轉中的全等變換.

⑴等腰直角三角形中的半角模型

(2)正方形中的半角模型

6.自旋轉模型：有一組相鄰的線段相等，可以通過構造旋轉全等.

(1)60°自旋轉模型

⑶等腰旋轉模型

A

⑷中點旋轉模型(倍長中線模型)

(2)正方形共頂點旋轉模型

E

【例1】如圖，在RtA48c中，AB=AC,D,E是斜邊BC上兩點，且。4E=45。，將入4。。繞點/順時

針旋轉90。后，得到A4尸8,連接E尸.下列結論：①AAEDm&iEF；②H1。=90。，③BE+DC=DE；

@AADC+^4FE=180°.其中結論正確的序號為（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

【答案】C

【分析】根據旋轉的性質可得，^FAD=90°,AF=AD,BF=DC,UBF=y,從而證明△E4E三△￡）/￡?,

乙EBE=90。，進而可得斯=DE,然后在RtABFE中,利用勾股定理，進行計算即可判斷①②④正確.

【解析】解：由旋轉得：

/.FAD=90°,AF=AD,BF=DC,乙ABF=^C,

vrD^E=45°,

???^FAE—FAD-乙DAE=45。,

-'-Z.FAE—Z-DAE,

?：AE=AE,

.-?AFAE=ADAE(SAS)f

；.EF=DE,AAFE=^ADE,

-Z-ADC+Z.ADE=\^Q,

???zJZ)C+乙4FE=180。，

???上列結論，一定正確的是：①②④，

故選：C.

【例2】如圖，點E為正方形4BCD外一點，乙4￡2=90。，將用442E繞/點逆時針方向旋轉90。得到

【答案】17

【分析】根據旋轉的性質得出有關相等的角、相等的邊，從而證明四邊形/麗為正方形，再根據勾股定

理求出EH的長，就可得到。

【解析】解：???將RtA48E繞/點逆時針方向旋轉90。得到AWF,^AEB=9Q°,

：.AF=AE,BE=DF,/LDFA=^E=^AFH=90°,/LEAF=90°,

???四邊形ZEHF為正方形，

：.AF=EH,

設EH=x,

,:BH=1,

-'-BE=l+x,AF=EF=x,

在正方形4BCD中，AD=BC=13,

在RtzMFD中，

根據勾股定理，M（7+X）2+X2=132,

解得再=-12（舍去），X2—5,

；.DH=17.

故答案為：17.

【例3】如圖，由△/BC繞點N按逆時針方向旋轉90。得到，且點8的對應點。恰好落在8C的延長

線上，AD,EC相交于點P.

（1）求乙助￡的度數(shù)；

（2）尸是EC延長線上的點，且。尸=尸尸.

①判斷ZCDF和ZDAC的數(shù)量關系，并證明;

…#.、〒EPPC

②求證：=

JPFCF

【答案】WZBDE=90°

⑵①NCDF=NDAC,理由見詳解；②證明見詳解

【分析】（1）由旋轉的性質得出ZBAD=9Q°,AABC出AADE,得出/4DE=/B=45。,可求出

/ADE的度數(shù);

（2）①由旋轉的性質得出/C=/E,ZCAE=9Q°,證得/FPD=/FDP,由三角形外角的性質可得出結論

②過點尸作交D尸于點“，得出NHPF=/DEP,祟喻,證明AHP尸會ACDF,由全等三角形

的性質得出則可得出結論.

【解析】（1）解：???以。石由A43c繞點/按逆時針方向旋轉90。得到,

,-.AB=AD,ZBAD=90°,KABCaAADE,

在RtA/48。中，NB=/ADB=45°,

.:/ADE=/B=45°,

/BDE=NADB+N4DE=90°.

(2)①《DF=NDAC.

證明：由旋轉的性質可知，AC=AE,ZCAE=90°,

在RtZUCE中，NACE=/AEC=45。,

DF=PF,

；?NFPD=NFDP,

/.NADB+NCDF=NACE+NCAD,

???NACE=NADB=45。,

??.ZCDF=ZDAC.

②證明：過點尸作尸交。廠于點〃，

???NDPF=NADE+NDEP=45。*/DEP,

NDPF=NACE+NDAC=45o+/DAC,

.:NDEP=NDAC,

又丁NCDF=NDAC,

.?.NDEP=NCDF,

.:NHPF=NCDF,

又?：FD=FP,NF=NF,

.△HPFQACDF(ASA),

HF=CF,

.:DH=PC,

「EPDH

又?~PF=HF'

,EPPC

"PF-CF*

一、單選題

1.如圖，尸是等邊三角形/3C內一點，將A4C尸繞點/順時針旋轉60。得到A48Q,若尸4=2,尸3=4,

PC=2y[3,則四邊形NP8。的面積為（）

A.26B.373C.4GD.如

【答案】B

【分析】如圖，連接尸。.由題意△2以是等邊三角形，禾傭勾股定理的逆定理證明"。3=90唧可解決問

題.

【解析】解：如圖，連接尸。.

■■-AACP繞點A順時針旋轉60。得到4130,

■■.AP=AQ=2,PC=BQ=26APAQ=60°,

???△/MQ是等邊三角形，

：.PQ=PA=2,

”8=4,

：.PB2=BQ2+PQ2,

.?zPQ5=90°,

?"四邊形"%=%2+加2=；?尸028+亭尸/2=1x2x273+^x4=373，

故選：B.

2.如圖，在A/BC中，AB=AC,若M是2c邊上任意一點，將繞點/逆時針旋轉得到△4CN,點

M的對應點為點N,連接MN,則下列結論不一定成立的是（）

A.AMANB.ZAMN=ZANM

C.CA平分ZBCND.MN1AC

【答案】D

【分析】根據旋轉的性質，對每個選項逐一判斷即可.

【解析】解：???將繞點/逆時針旋轉得到A4CN,

■■.AB=AC,UCN=/Ji,AM=AN,故選項A不符合題意;

.-.NAMN=ZANM,故選項B不符合題意;

AB=AC,

■-Z3=Z-ACB,

?.Z-ACN=Z-B,

:&CN=UCB,

CN平分ZBCN,故選項C不符合題意；

■:CN與CM不一定相等,

.?.MN_L/C不一成立，故故選項D符合題意;

故選：D.

3.如圖，在平面直角坐標系中，A43C中點/的坐標是（3,4）,把繞原點。逆時針旋轉90。得到

AA'BC,則點，的坐標為（）

A.(4,-3)B.(-4,3)C.(—3,4)D.(—3,-4)

【答案】B

【分析】連接0A,,過點/作軸于E,過點4作軸于/，根據旋轉的性質可得

0A=OA',利用同角的余角相等求出=N40F,然后利用“角角邊”證明A4OE和A。//全等，根據

全等三角形對應邊相等可得。尸=/￡,A'F=0E,然后寫出點H的坐標即可.

［解析】解如圖，連接04,,過點/作AElx軸于E,過點4作4廠，x軸于尸，則ZAEO=ZOFA'=90°,

點/的坐標是(3,4),

AE=4,0E=3.

-OA繞坐標原點。逆時針旋轉90。至。H,

.?.CU=OH,/4OH=90。，

vAAOF+ZAOE=90°,ZAOE+ZOAE=90°,

?,"OAE=NAOF,

在△4OE和尸中，

ZOAE=/AOF

<ZAEO=ZOFAf,

OA=OA

MAOE%OA'F(.AAS),

OF=AE=4,ArF=OE=3,

二點4的坐標為(-4,3).

故選：B

4.如圖，。是邊長為1的等邊A48c的中心，將/8、BC、C4分別繞點/、點8、點C順時針旋轉

6Z(0°<a<180°),得到48、BC'、CA',連接4?、B,C'、、0A\OB,.當V/29的周長取得最大

值時，此時旋轉角1的度數(shù)為()

A.60°B.90°C.120°D.150°

【答案】D

【分析】連接。4、OB、OC、OC.由△0/8'三△OC/'推出N/'OC'=NC'O8'=120。，則有

AOC'=^C'OB',A'B'=A'C'=B'C,△H8'C'是等邊三角形，當O、C、/共線時，OA'=OC+CA'=

0C+G4=O+l時，04最長，此時/夕(―+1)=1+百，a=150°.

33

【解析】解：如圖，連接。/、OB、OC、OC.

-：O是等邊三角形—BC是中心，

."/O=zJCO=30°,OA=OC,

“BAB'=^ACA'=a,

.-.AOAB'^^OCA',

在△(?/夕和△OC4中,

OA=OC

<NOAB'=ZOCAf,

ABr=CA

??△OABWAOCA'("S),

二乙40B'—COA',OA'=0B'，

??2405'=乙400=120。，

f

同理可證4Hoe=4。'。5'=120。，OA=OCf

則有△?。"三△HOCC。9，

??.HB'=AC=BfC,

???△/3,C是等邊三角形，

在△HOQ中，

??24。5'=120。，OB'=04,

???當OH最長時，A'B'最長，

-OA'^OC+CA',

???當。、C、H共線時，OH=OC+CH=OC+C4=Y^+1時，OH最長,

3

此時/'8'=百?(―+1)=1+73,a=150°,

3

；?△?B'C的周長的最大值為3+3G.

故選：D

5.如圖，正方形/8C。的邊長為4,Z8CM=30。，點E是直線CM上一個動點，連接8￡,線段8E繞點3

順時針旋轉45。得到BF,連接DF,則線段。廠長度的最小值等于（）

A.472-4B.272-2C.276-273D.2V6-V3

【答案】B

【分析】連接AD,在2。上截取BG=5C,連接尸G,過點。作ZV/LGF于點/利用正方形的性質、勾

股定理得出。G=AD-8G=4也-4，利用旋轉的性質得出/即尸=45。，BE=BF,再證明

ACBE=AGSF(SAS),彳導出NBCE=NBGF=30°,可知點尸在直線G尸上運動，點廠與點〃重合時，DF

的值最小，進而求出D"的值即可.

【解析】解：如圖，連接AD,在AD上截取2G=3C,連接尸G,過點。作_LGF于點H

???四邊形/BCD是正方形，邊長為4,

ZCBD=45°,CD=CB=4,ZDCB=90°,

???BD=VsC2+CD-=472，BG=BC=4,

:.DG=BD-BG=4亞-4,

???線段BE繞點B順時針旋轉45。得到BF,

：.AEBF=45°,BE=BF,

ZCBG=ZEBF,

ZCBE=ZGBF,

在AC2E和AGBF中，

CB=GB

<ZCBE=ZGBF,

BE=BF

NCBE=\GBF(SAS),

NBCE=ZBGF=30°,

二點尸在直線G尸上運動，點尸與點〃重合時，的值最小,

DH±FH,ADGH=2BGF=30°,

.-.DH=-DG=2yj2-2,

2

尸的最小值為2夜-2.

故選B.

6.如圖，在A/8C中，ZC<90°,/B=30。，/8=10,AC=1,。為NC的中點，”為BC邊上一動點,

將4/3。繞點/逆時針旋轉角研0°<々<360。）得到428'。'，點〃的對應點為〃"，連接（W',在旋轉過

程中，線段。河'的長度的最小值是（）

A.1B.1.5C.2D.3

【答案】B

【分析】如圖：由題意知當旋轉到AT點在/C的延長線上且NC與B'C"垂直時，0M"的長度最小；旋轉

的性質可得3"C"=2C=10,再根據直角三角形的性質可求得NAT,由中點的定義可求得04最后

?！ā?/"'-/0計算即可.

【解析】解：由題意知當旋轉到M〃點在NC的延長線上且/C與5〃C〃垂直時，0AT的長度最小;

???將A/BC繞點A逆時針旋轉角?（0°<?<360°）

B"C"=BC=IO

■■ACLB"C",ZB=30°

.-.AM"=-BC"=5

2

???。為/C的中點

.-.AO=~AC=3.5

2

■.OM"=AM"-AO=5-3.5=1.5.

故選B.

B

CB

7.如圖，矩形4BCD中，AB=43,BC=3,P為矩形內一點，連接P4,PB,PC,則尸/+P2+PC的最

小值是（）

A.273+3B.2#>C.2肉3D.在

【答案】D

【分析】將△2PC繞點C逆時針旋轉60。，得到AEFC,連接尸RAE、AC,則ZE的長即為所求.

【解析】解：將45尸C繞點C逆時針旋轉60。，得到△）《，連接尸尸、AE、AC,則4E的長即為所求.

由旋轉的性質可知：是等邊三角形，

：.PC=PF,

，:PB=EF,

：,PA+PB+PC=PA+PF+EF,

???當4、尸、F、E共線時，尸4+尸5+PC的值最小,

???四邊形/BCD是矩形，

山5C=90。，

???AC=yjAB2+BC2=2百，

：.AC=2AB,

“CB=30。，AC=2AB=26

vz5CE=60°,

.-.zUCE=90°,

???AE=7(273)2+32=后，

故選：D.

8.如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角△048位置如圖，^OBA=90°,點2的坐標為(1,0),每一次將

△0/8繞點。逆時針旋轉90。，同時每邊擴大為原來的2倍，第一次旋轉得到△。小耳，第二次旋轉得到

△。/蘇2，…，以此類推，則點兒期的坐標是()

20212021

A.(22022,22022)B.(-2,2)C.(22021,.22021)D.(.22022；.22022)

【答案】D

【分析】是等腰直角三角形，OA=1,根據等腰直角三角形的性質，可得點/(I,1)逆時針旋轉90。后

可得4(-2,2),同理4(-4,-4),依次類推可求得，4(8,-8),4(16,16),這些點所位于的象限為每4次一循

環(huán)，根據規(guī)律即可求出4022的坐標.

【解析】是等腰直角三角形，點8的坐標為(1,0),

AB=OB=1,

.?*點坐標為(1,1).

將AO/2繞原點。逆時針旋轉90。得到等腰直角三角形，且=2AB,

再將AO/E繞原點。順時針旋轉90°得到等腰直角二角形OA,B2,且《與=2/蜴,

依此規(guī)律，

???點A旋轉后的點所位于的象限為每4次一循環(huán)，

即4(-2,2),4(-4,-4),4(8,-8),4(16,16).

???2022=505x4+2,

二點^2022與4同在一個象限內.

-4=-22，8=23,16=24,

2O222022

???^AO22(-2--2).

故選：D.

二、填空題

9.如圖，在正方形4BCD中，點M是上一動點，點E是CN的中點，/￡繞點E順時針旋轉90。得到

EF,連接?！?DF.給出結論：①DE=EF；②4CDF=45°；③若正方形的邊長為2,則點M在射線48上

運動時，C尸有最小值近.其中結論正確的是.

【答案】①②③

【分析】延長/￡交DC的延長線于點H,由“AAS”可證A4ME會MCE,可得4E=EH,由直角三角形的

性質可得4￡=斯=￡8,可判斷①；由四邊形內角和定理可求2//OE+2/瓦加=270。，可得

ZADF=135°,可判斷②；連接尸C,過點C作CPID尸于/，由/CD尸=45。，知點尸在。尸上運動，即

得當C尸工。尸時，C尸有最小值為CF的長度，而CP=亞,即C戶有最小值為血，可判斷③正確.

【解析】解：如圖，延長/E交。C的延長線于點“，

??,點E是CM的中點，

:.ME=EC,

,：AB//CD,

.:NMAE=NH,NAME=NHCE,

也AHC￡(AAS),

AE=EH,

又?.?ZADH=90°,

..DE=AE=EH,

?:AE繞點E順時針旋轉90°得至UEF,

AE=EF,ZAEF=90°,

AE=DE=EF,故①正確；

AE=DE=EF,

.?.NDAE=NADE,NEDF=NEFD,

?.?/AEF+/DAE+/ADE+NEDF+/EFD=360。,

.:2/ADE+2/EDF=270。,

.:NADF=135。,

ZCDF=ZADF-ZADC=\35°-90°=45°,故②正確;

如圖，連接尸。，過點C作CP'/。尸于尸'，

?//CDF=45。,

.：點尸在。尸上運動，

.:當尸時，CF有最小值為CF的長度，

?;CD=2,/CDF=45°,

.?.CF=玉=6,即C尸有最小值為血，故③正確，

故答案為：①②③.

10.如圖，四邊形/8C。，4B=3,AC=2,把418。繞點。按順時針方向旋轉60。后得到△EC。，此時發(fā)

現(xiàn)點/、C、￡恰好在一條直線上，則的長為.

【答案】5

【分析】根據旋轉的性質得ZADE=6O。，DA=DE,乙BAD"=6Q°,則可判斷為等邊三角形，再利用

點、4、C、￡在一條直線上得到NE=/C+CE,接著根據A48O繞著點。按順時針方向旋轉60。后得到△ECD

得至ljCE=AB,所以NE=NC+AB=5.

【解析】解：?.?點/、C、E在一條直線上，

而A4AD繞著點D按順時針方向旋轉60。后得到△ECO,

：.UDE=60°,DA=DE,乙BAD=^E,

：.AADE為等邊三角形,

??,點/、C、E在一條直線上，

■■AE=AC+CE,

■.AABD繞著點D按順時針方向旋轉60。后得到△ECD,

：.CE=AB,

.-.AE=AC+AB=2+3=5,

■.AD=AE=5.

故答案為：5

11.在A48C中，ZC=9O°,48=5,把A48C繞點C旋轉，使點8落在射線胡上的點￡處（點E不與點

A,3重合），此時點/落在點尸，聯(lián)結E4,若△/￡尸是直角三角形，且/尸=4,則2C=.

【答案】指或2石

【分析】分兩種情況討論，由勾股定理可求NE的長，通過證明可求C”的長，由勾股定

理可求解.

【解析】解：如圖，當點E在線段N5上時，過點。作SUB于〃，

?■?z￡L4F=90°,

■■AE=y/EF2-AF2=752-42=3,

??.BE=2,

?；BC=CE,CHLAB,

；.EH=BH=\,

:.AH=4,

ZACB=90°,

:.乙B+乙BAC=9Q°=乙B+乙BCH,

:.乙BCH=LBAC,

又；HC=LBHC=9Q°,

■■.AAHC-ACHB,

AHCH

：.CH2=AHBH=4,

■-CH=2（負值舍去）

BC=4BH2+CH2=V5；

當點E在線段A4的延長線上時，過點C作CHL42于H,

同理可求，AE=3,BE=S,EH=BH=4,CH=2,

BC=A/22+42=2也，

綜上所述：BC=E或2亞.

故答案為：石或2逐.

12.如圖，在四邊形23CD中，AADC=60°,乙42c=30。，且/D=CD,連接8。，若4B=2,

BD=布,則3C的長為.

AB

【答案】V3

【分析】將A4O8以。為旋轉中心，逆時針旋轉60。，使/與C點重合，8與E點重合，連接BE,可得到

△DBE為等邊三角形,從而得到。再由ZADC=60。，ZABC=30°,可得乙比片外。，然后可得

BD2=AB1+BC1,即可求解.

【解析】解：如圖，將A4O8以。為旋轉中心，逆時針旋轉60。，使z與C點重合，8與￡點重合，連接

BE,

；.UBD=〃JED,乙仁乙ECD,AB=CE,DB=DE,

又山。C=60。，

；/BDE=6Q°,

.?.△D2E為等邊三角形，

??DB=BE,

■.^ECB=360o-^BCD-^DCE=360o-/.BCD-^A=36Q0-(360°-^4DC-^ABC)=90°,

??.△EC3為直角三角形，

■-EC2+BC2=BE2,

■■.BD2=AB2+BC2,

BC=SIBD2-AB2=V3，

故答案為:V3

13.已知，O。的直徑BC=2收，點/為。。上一動點，AD、AD分別平分的外角，AD與。。交

于點E.若將NO繞。點逆時針旋轉270。，則點。所經歷的路徑長為.(提示：在半徑為尺的圓中,

“。圓心角所對弧長為恐)

D

E

A,

飛O

3

【答案】4

【分析】如圖，設乙4c8=a,由BC是。。的直徑，可得：ABAC=90°,根據角平分線定義可得：乙048=

45°,^ABD=45°+^a,進而可得出：ZLEDB=Z.EBD=90°-1a,得出：EB=ED,再由等弧所對的圓周角

相等，可得：4ECB=4E4B=45°,進而推出班=EC=E。，可得點。在半徑為2的?！晟夏鏁r針旋轉

135°,再利用弧長公式即可得出答案.

【解析】解：如圖，連接CK,設乙4C8=a,

???8C是O。的直徑，

.?.AB/C=90O,

■■.Z.DEB=a,zA8C=90°-a,

-AD.BD分別平分A4BC的外角，

???乙。45=45。，U5D=450+^a,

2

/1、1

.?2即8=180。?〃/8-^43。=180。-45。?(45。+—a)=90。--a,

22

/LEBD=T8。。-3EB?AEDB=180。?a-(90°--a)=90°--a,

22

:,乙EDB=cEBD,

；.EB=ED,

??

?；BE=BE，

???乙ECB=^EAB=45。,

vzCE5=90°,

:.XBCE是等腰直角三角形，

：.EB=EC,

:,EB=EC=ED,

二點D在半徑為2的OE上逆時針旋轉135。,

???點。所經歷的路徑長為：=T萬，

14.如圖，在正方形48co中，M,N分別是42,CD的中點，P是線段上的一點，2P的延長線交

4。于點￡,連接尸。，PC,將ADEP繞點P順時針旋轉90。得AGEP,則下列結論：①CP=GP,

②tan/CG尸=1；③3C垂直平分FG；④若N8=4,點E在/。邊上運動，則。，尸兩點之間距離的最小

值是m應.其中結論正確的序號有.

【答案】①②③

【分析】延長G尸交AD于點b,連接FC,FB,FA,由已知可得九W為48,C。的垂直平分線，由垂直

平分線的性質和圖形旋轉的性質可得①的結論正確；利用三角形的內角和定理和等腰三角形的性質計算可

得/BCG=45。，由四邊形內角和定理通過計算可得=90。；利用平行線的性質可得，kG,貝lj

NCGF=45。，可說明②的結論正確；通過證明點A,B,E,尸在以點尸為圓心，尸/為半徑的同一個圓

上，利用圓周角定理可得NE4B=45。，得到A,F,C三點共線，得到aCGB為等腰直角三角形，則③

的結論正確；由題意點尸在對角線/C上運動，當跖，/C時，E尸的值最小，連接4C,解直角三角形的

知識可得④的結論不正確.

【解析】解：延長G尸交4D于點“，連接尸C,FB,FA,如圖，

??,正方形中，M,N分別是45,的中點,

??.AW是線段A4,。。的垂直平分線.

:.PD=PC,PA=PB.

???AFPG是YPED繞點P順時針旋轉90°得至U,

:AFPGKPED,

PD=PG.

PC=PG.

??.①的結論正確;

???PD=PC,

ZPDC=/PCD=1(180°-ZDPC).

???PC=PG,

ZPCG=ZPGC=1(180°-NCPG).

,/尸CQ+NPCG=；[360°—(/QPC+NCPG)].

???ZDPC+ZCPG=90°9

/PCD+/PCG=135。.

???NBC。=90。，

/.ZBCG=45°.

，：AFPGmYPED,

/DEP=NGFP.

???NHFP+/PFG=180。,

ZDEP+ZHFP=180°.

???ZDEP+ZHFP+/EHF+/EPF=360°,

/.NEHF+/EPF=18。。.

/EPF=90。,

/EHF=90。.

即GHLAD.

???AD!IBC,

GF1BC.

:.ZCGF=45°.

tanZCGF=1.

.?.②的結論正確；

PA=PB,PMLAB,

NAPM=ZBPM,

QPM//AE,

ZPEA=NBPM,NPAE=APM.

APEA=APAE.

:.PA=PE.

■：PE=PF,

PA=PB=PE=PF.

.?.點A,B,E,尸在以點尸為圓心，尸/為半徑的同一個圓上.

ZFAB=-NFPB=1x90°=45°.

22

點尸在對角線NC上，

ZFCB=45°.

?：NBCG=NCGF=45°,

.?.△FCG為等腰直角三角形.

BC平分NFCG,

8c垂直平分尸G.

.?.③的結論正確；

由以上可知：點尸在正方形的對角線“C上運動，

.?.當E尸，NC時，EF的值最小.

此時點E與點。重合，

DF=AD-sin45°=4x^=2后.

2

④的結論不正確.

綜上，結論正確的序號有：①②③，

故答案為：①②③.

15.已知。。的半徑為4,/為圓內一定點，AO=2.M為圓上一動點，以為邊作等腰△^兒/MAM=

MN,乙4TW=108。，ON的最大值為

【答案】275+4

【分析】將線段繞點。順時針旋轉108。得到線段07,連接N7,NT,OM.延長到K,使得/K=

AT,根據旋轉的性質有ZO=OT=2,先證明△K07saK",再證明A4。7sZUMN,接著證明

AOAM3AN,利用相似三角形的性質求出N7,再根據三角形的三邊關系解決問題即可.

【解析】如圖，將線段繞點。順時針旋轉108。得到線段OT,連接N7,NT,OM.延長NO到K,使得

AK=AT,即0〃=4,

根據旋轉的性質有/O=O7=2,乙407=108。,

???4。/T=4?？?/(180。?。7)=36。，

:/KOT=40AT+^ATO=72°,

?：AK=AT,

：./-K=/.ATK=1(180°-^KA7)=72°,

:2K=LKOT,

：.KT=OT=2,

??ZKOT=^KTA=72°,4K=NK,

:.AKOTSAKTA,

KT_OKKT_OK

“西一丞，BAO+OK~~KT'

■■-OK=4S-\,（負值舍去），

.?.AT=AK=AO+OK=2-\-s[5-I=亞+1,

■.■AAOT,都是頂角為108。的等腰三角形，

：/OAT=^MAN=36°,乙4OT=UMN=108°,

.-.AAOT-AAMN,

AO_AT

“而一

-AOAT+zTAM=AOAM,AMAN+ATAM=ATAN,

：/OAM=LTAN,

...AOAT-

.?.結合——=—,可得△04W“Z\Z4N,

AMAN

AO_OM2_4

,?方一亓，V5+1TN，

TN=2yf5+2,

■：ON<OT+NT,

ON<2遙+4,

??.CW的最大值為26+4,

故答案為：26+4.

16.如圖，在矩形N3C。中，AB=3,BC=4,將矩形48CD繞點C按順時針方向旋轉a角，得到矩形

A'B'CD',B'C與AD交于點E,AD的延長線與4少交于點F.當矩形NEC。的頂點H落在CD的延長線上

時，則斯=.

【答案】v

4

【分析】根據矩形的性質得乙D'=90。，根據勾股定理得002=4,。2+6,2,再證明尸”△?℃得

^=—,證明△CQEs/XCB'/'得紇=/，分別計算。尸和的長即可得解.

ADCDCBAB

【解析】解：???四邊形48co是矩形，矩形/8C。繞點C按順時針方向旋轉a角，得到矩形N5C。，

.?"'=90。，AD=A'D'=BC=4,CD'=CD=AB=3,

在RtzX/'CZ）'中，ZD'=9Q0,

-A'C2=A'D'2+CD'2,

.■.A'C=5,

/'D=2,

???ADAF=ACAD',NA'DF=ND'=90°,

：.^A'DFA'D'C,

.A'DDF

"AD

.2_DF

??一，

43

3

:,DF=一,

2

同理可得Z\CDE-△C5W,

CDED

,??___i—-__，__，,

CBAB

3ED

——9

43

9

:.ED=—，

4

:.EF=ED+DF=*,

4

故答案為：.

三、解答題

17.如圖，在平面直角坐標系中A45C的三個頂點都在格點上，點4的坐標為（2,2）,請解答下列問題:

(1)畫出AIBC繞點B逆時針旋轉90。后得到△^//G，并寫出點4的坐標；

(2)畫出和△N//G關于原點。成中心對稱的△兒為。2，并寫出點4的坐標;

(3)在(1)的條件下，求8c在旋轉過程中掃過的面積.

【答案】⑴4(4,0),圖見解析；

(2)4(-4,0),圖見解析；

(3)T-

【分析】(1)根據旋轉的性質作圖，由圖可得答案.

(2)根據中心對稱的性質作圖，由圖可得答案.

(3)利用勾股定理求出2C的長，再結合扇形的面積公式求解即可.

【解析】(1)解：△444如圖所示，由圖可知：4(4,0).

y八

B2

(3)解：,.,8C='F+2?=—,

■.BC掃過的面積為9°4x(?)2=%.

3604

18.如圖，在A48C中，點E在8c邊上，AE=AB,將線段/C繞N點旋轉到N尸的位置，使得乙。尸=

Z-BAE,連接EREF與AC交于點、G.

F

G

BE

(1)求證：EF=BC；

(2)若/4BC=63。，ZACB=25。,求"GC的度數(shù).

【答案】(1)見解析；(2)79。

【分析】(1)由旋轉的性質可得尸，利用"S證明△ZHCgAZ即，根據全等三角形的對應邊相等即

可得出￡F=8C；

(2)根據等腰三角形的性質以及三角形內角和定理求出加七=180。-63。'2=54。，那么Z7NG=54。.由

AABC=AAEFf得出乙4比=乙4cB=25。，再根據三角形外角的性質即可求出乙FGC=4E4G+乙4/G=79。.

【解析】(1)證明：

工乙BAC=cEAF.

???將線段4c繞4點旋轉到AF的位置，

?-AC=AF.

在AABC與AAEF中,

AB=AE

<ABAC=ZEAF,

AC=AF

???AABC"AAEF("S),

：.EF=BC；

(2)解：??弘5=4￡,24BC=63。，

^Z.AEB=Z.ABC,

；./BAE=180°-63°x2=54°,

NFAG=NBAE=54。.

???/^ABC^/XAEF,

?,.NAFE=NACB=25。,

/.ZFGC=/FAG+NAFG=54。+25。=79。.

19.如圖，正方形45CD中，NMAN=45。,/M4N繞點Z順時針旋轉，它的兩邊分別交8C、(或它

們的延長線)于點M、N.

(1)如圖1,求證：MN=BM+DN-

⑵當48=6,ACV=5時，求ACW的面積；

(3)當/跖4N繞點/旋轉到如圖2位置時，線段BM、DN和九W之間有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想

并證明.

【答案】(1)見解析

⑵6

@DN=BM+MN,證明見解析

【分析】(1)將繞點/逆時針旋轉90°得到A/DAT,證明A/MNgA/M可，即可得證；

MNA

(2)利用全等得出S.4A^=5..儀=$.4M,用正方形的面積減去ZS—即可求出C〃N的面積；

(3)將4BM繞點/逆時針旋轉90°得到AADM',證明AAMN2AMN,即可得證.

【解析】(1)解：如圖，將繞點月逆時針旋轉9?！愕玫紸/?！?，

貝lj："BM空AADM',

AM=AM',BM=DM',ZBAM=ZDAM'

???四邊形/BCD為正方形，

：.ZBAD=9Q°,

-.■^MAN=45°,

/MAB+/NAD=45。,

ZM'AD+ZNAD=ZM'AN=M°,

ZMAN=ZM'AN,

又「AM=AM；AN=AN,

；.xAMN知AMN(SAS),

MN=M'N=M'D+DN=BM+DN；

(2)解：???四邊形43CQ為正方形，

??.AD=AB=6,S正方形=6?=36,

vAAMN會AAMN

.,.MN'=MN=5,

；?S“MN=S“MN=gMN?AD=；X5X6=\5,

???AABMAADM'

???SMBM+S“￡)N—+SSDN=15,

SAC—S正方形—SAMN—S/ION—S"MB=36—15—15=6；

(3)解：DN=BM+MN,理由如下：

如圖，將繞點4逆時針旋轉90。得到“DVT,連接

則：ZMAM=90°,AABMWADM',

AM=AM',BM=DM：NBAM=NDAM'

???NMAN=45。,

??.NM'AN=NM'AM-NMAN=90。-45°=45°,

:.NMAN=NM'AN,

又YAM=AM；AN=AN,

MAMN為AMN(SAS),

:,MN=MN,

20.閱讀下面材料:

小巖遇到這樣一個問題如圖1,在正三角形N8C內有一點尸，且上4=1,

數(shù);

小巖是這樣思考的：如圖2,利用旋轉和全等的知識構造△NPC,連接尸P,得到兩個特殊的三角形，從

而將問題解決.

(1)請你回答：圖1中乙4功的度數(shù)等于—；(直接寫答案)

參考小巖同學思考問題的方法，解決下列問題：

(2)如圖3,在正方形/BCD內有一點尸，且尸/=加,尸8=1,尸。=遂.求乙4尸8的度數(shù)；

(3)如圖4,在正六邊形N3CDEF內有一點P,若乙4PB=120。，直接寫出尸/,尸8和尸尸的數(shù)量關系.

【答案】⑴150。

(2)135°

G)PF?=PB?+3PAL

【分析】(1)把A4必繞點/逆時針旋轉60。得到△NCP,由旋轉的性質可得

PA=P'A=1,PB=P'C=&NPAP=60°,NAPB=NAP'C,證出^APP是等邊三角形，由等邊三角形的性質求

出尸P=P/=l,N/PP=60。，再由勾股定理逆定理求出NPPC=90。，求出/4P'C,即為乙4%的度數(shù)；

(2)把A4P8繞點/逆時針旋轉90。得到△4)P,由旋轉的性質可得P/=P4PO=PB,NP/P=90。，證

出A/PP是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質求出PP,4Pp=45。，再利用勾股定理逆定理求

出/尸尸'。=90°,然后求出N/P。，即為乙4依的度數(shù)；

(3)把A4P2繞點/逆時針旋轉120。得到尸P,由旋轉的性質，P'A=PA,P'F=PB,ZPAP'=120°,可

得NAPP=NAPP=30°,過點/作4W_LPP于設尸P與/尸相交于N,證明

P'P=CPA/PFF=90°,再利用勾股定理可得答案.

【解析】(1)解：如圖2,把41PB繞點/逆時針旋轉60°得到△NCP,

圖2

由旋轉的性質，PA=P'A=1,PB=P'C=V3,NPA*60°,ZAPB=ZAP'C,

???A/PP'是等邊三角形，

PP'=PA=\,AAP'P=60°,

P'P2+P'C2=l2+^^=4=尸02,

...ZPP'C=90°,

ZAP'C=AAP'P+ZPP'C=150°,

故//P8=//PC=150。；

故答案為：150。.

(2)如圖3,把△/必繞點A逆時針旋轉90°得到△4DP,

由旋轉的性質，P'A=PA=0P'D=PB=1,ZP'AP=90°,

???A/PP是等腰直角三角形，

AP'P=41PA=2,ZAP'P=45°,

2p尸￡)2,

...pp+p'D2=2+=5=

ZPP'D=90°,

ZAP'D=ZAP'P+ZPP'D=45°+90°=135°,

故乙4PB=N4PD=135°.

-x（6-2）xl80°=120°

（3）如圖4,?.?正六邊形的內角為6

.?.把△NP8繞點A逆時針旋轉120。得到&AFP,,

由旋轉的性質，P'A=PA,P'F=PB,ZPAP'=120°,

ZAPP'=ZAP'P=30°,

過點/作于設PP與/尸相交于N,

=m，

則=^機，尸A/=PN=｛機2_（3加］^

PP=2PM=43m,

PP'=CPA,

由旋轉的性質可得：ZAP'F=ZAPB=12Q0,

,

.".ZJPPF=120°-30°=90°,

：.PF2=P'P2+P'F2,

PF2=PB2+^PA^=PB2+3PA2.

21.在A/BC中，ZC=90°,/A4c=30。，點。是CB延長線上一點（N/DC>30。），連接ND,將線段

繞點。順時針旋轉60。，得到線段連接EC.

BCB

(1)依題意，補全圖形；

⑵若BD=BC=2,求CE的長.

(3)延長EC交N5于尸，用等式表示線段C￡,W之間的數(shù)量關系，并證明.

【答案】(1)答案見解析

⑵2

(3)CE=C尸，理由見解析

【分析】(1)按照題意進行畫圖即可；

(2)根據已知條件得到CD=48,/BAD=/EDB,然后得到△4D8三ADEC,從而求出CE=8O=2；

(3)作“BC關于AC所在直線的對稱圖形A/GC,并作點F關于AC所在直線的對稱點為點H，連接CH,

EG,由題意可證得A/DE、A/8G是等邊三角形，利用等邊三角形的性質以及等量代換可證得ADNB三

△EAG、CGHmACGE,最后得到CE=CF.

【解析】(1)解：如圖所示，

(2)解：如圖所示，在中，

■■■ABAC=30°,

AB=2BC=4,

BD=BC=2,

：.CD=4=AB,

■：/BAD+ZBDA=ZABC=60°,ZEDB+ZBDA=60°,

■.ZBAD=ZEDB,

在AADB和ADEC中，

'AB=DC

</BAD=/CDE,

AD=DE

??.△ADBdDEC,

則CE=BD=2.

(3)

解：CE=CF,理由如下，

如圖所示，作△/BC關于力C所在直線的對稱圖形△4GC,并作點方關于4C所在直線的對稱點為點〃，連接

CH,EG,

???AD=DE,ZADE=60°9

??."DE是等邊三角形,AD=AE,/DAE=60°,

-ZACB=90°fABAC=30°,

.?.△/5G是等邊三角形，/BAG=NAGB=60。,

???/DAB+/BAE=NBAE+ZEAG=60°,

???/DAB=ZEAG,

在ADAB和ZiE/G中，

DA=EA

<ZDAB=EAG,

AB=AG

；,ADAB=AEAG,

ZAGE=ZABD=180。—60°=120_NCGE=AAGE-ZAGC=60°=ZCGH,

???ZBCF=ZGCE,ZGCH=ZBCF,

:"GCE=/GCH,

在KG〃和KGE中，

ZGCH=NGCE

<GC=GC,

ZCGH=ZCGE

GCGH三KGE,

:.CH=CE,

?：CH=CF,

CE=CF.

22.在AJBC中