2024-2025學年高中數(shù)學第一章常用邏輯用語1.4全稱量詞與存在量詞練習含解析新人教A版選修2-1

PAGEPAGE11.4全稱量詞與存在量詞課時過關·實力提升基礎鞏固1下列命題不是全稱命題的是()A.任何一個實數(shù)乘零都等于零B.每一個向量都有大小C.自然數(shù)都是正整數(shù)D.存在沒有最大值的二次函數(shù)解析:選項A中“任何一個”、選項B中“每一個”均是全稱量詞,選項C中暗含全稱量詞“全部的”,故A,B,C項都是全稱命題.選項D中“存在”是存在量詞,故D項是特稱命題.答案:D2下列命題中的假命題是()A.?x∈R,2x-1>0 B.?x∈N*,(x-1)2>0C.?x∈R,lgx<1 D.?x∈R,tanx=2答案:B3命題“?x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是()A.?x∈(0,+∞),lnx≠x-1B.?x?(0,+∞),lnx=x-1C.?x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1D.?x0?(0,+∞),lnx0=x0-1答案:A4命題“全部實數(shù)的平方都是正數(shù)”的否定為()A.全部實數(shù)的平方都不是正數(shù)B.有的實數(shù)的平方是正數(shù)C.至少有一個實數(shù)的平方是正數(shù)D.至少有一個實數(shù)的平方不是正數(shù)解析:由命題“全部實數(shù)的平方都是正數(shù)”為全稱命題,則其否定為特稱命題.答案:D5若命題p:“?x∈R,x2-2x+m≠0”是真命題,則實數(shù)m的取值范圍是()A.[1,+∞) B.(1,+∞)C.(-∞,1) D.(-∞,1]解析:依題意,方程x2-2x+m=0沒有實數(shù)根,則4-4m<0,解得m>1.答案:B6命題“?x0∈R,x答案:?x∈R,x2-x+1≠07命題“?x0∈(1,2),滿意不等式x02+mx0+4≥0”解析:依題意,不等式x2+mx+4<0在(1,2)上恒成立,所以m<-令f(x)=-因為x∈(1,2),所以f(x)∈(-5,-4),要使不等式m<-x+4x恒成立,應故實數(shù)m的取值范圍是(-∞,-5].答案:(-∞,-5]8下列語句是真命題的是.(填序號)

①全部的實數(shù)x都能使x2-3x+6>0成立;②存在一個實數(shù)x0,使不等式答案:①9對隨意實數(shù)x,不等式2x>m(x2+1)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.分析:2x>m(x2+1)恒成立也就是對?x∈R,mx2-2x+m<0恒成立,考慮m是否為零.若為零,則原式化為-2x<0,明顯不恒成立;若m≠0,則m<0,且Δ<0.解:不等式2x>m(x2+1)對隨意x都成立,即不等式mx2-2x+m<0恒成立.(1)當m=0時,不等式化為-2x<0,明顯不恒成立,不合題意.(2)當m≠0時,要使mx2-2x+m<0恒成立,則m<0綜上可知,所求實數(shù)m的取值范圍為(-∞,-1).10已知命題p:“?x∈[1,2],x2-a≥0”,命題q:“?x0∈R,x02+2ax0解:由p∧q是真命題,知p為真命題,q也為真命題.若p為真命題,則a≤x2對于x∈[1,2]恒成立.所以a≤1.若q為真命題,則關于x的方程x2+2ax+2-a=0有實根,所以Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a≥1或a≤-2.綜上可知,實數(shù)a的取值范圍為{a|a≤-2或a=1}.實力提升1命題“關于x的不等式f(x)>0有解”等價于()A.?x0∈R,f(x0)>0 B.?x0∈R,f(x0)≤0C.?x∈R,f(x)>0 D.?x∈R,f(x)≤0解析:該命題是特稱命題,等價于“?x0∈R,f(x0)>0”.答案:A2已知命題p:?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,則p是()A.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0B.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0C.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0D.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0解析:由命題p為全稱命題,則其否定p應是特稱命題,而(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0的否定為(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0,故選C.答案:C3命題“?x∈[1,2],x2-a≤0”為真命題的一個充分不必要條件是()A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5解析:原命題等價于“a≥x2對于隨意x∈[1,2]恒成立”,得a≥4,這是命題成立的充要條件,因此該命題為真的一個充分不必要條件是a≥5.答案:C4已知下列四個命題:p1:?x0∈(0,+∞),p2:?x0∈(0,1),lop3:?x∈(0,+∞),p4:?x∈0其中的真命題是()A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4解析:當x∈(0,+∞)時,12x取x0=12,則lo取x0=18,則0<當x∈0,13時,12答案:D5下列特稱命題是真命題的序號是.

①有些不相像的三角形面積相等;②存在實數(shù)x0,使解析:①為真命題,等底等高的兩個三角形,面積相等,但不肯定相像;②中對隨意x∈R,x2+x+1=x+122+34>0,所以不存在實數(shù)x0,使x0答案:①③④6當命題“?x∈R,sinx+cosx>m”和“?x0∈R,sinx0+cosx0>m”均為真命題時,m的取值范圍是.

解析:命題“?x∈R,sinx+cosx>m”為真命題,即不等式sinx+cosx>m恒成立,因為(sinx+cosx)min=-2,所以命題“?x0∈R,sinx0+cosx0>m”為真命題,即不等式sinx+cosx>m有解,因為(sinx+cosx)max=2,所以因此,當兩個命題均為真命題時,實數(shù)m的取值范圍是(-∞,-答案:(-∞,-7若對?x∈R,ax2+2x+1>0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.分析:由題意可知,對?x∈R,ax2+2x+1>0恒成立.先考慮a=0的狀況,再考慮a≠0的狀況,可結合二次函數(shù)的圖象解決此類問題.解:由題意可得,?x∈R,ax2+2x+1>0恒成立.(1)當a=0時,ax2+2x+1=2x+1>0,明顯不恒成立,不合題意.(2)當a≠0時,要使ax2+2x+1>0恒成立,則a>0綜上可知,所求實數(shù)a的取值范圍是(1,+∞).8★函數(shù)f(x)對一切實數(shù)x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1)=0.(1)求f(0)的值;(2)當f(x)+2<logax,x∈0解:(1)由f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)·x對隨意x,y都成立,