山東省濰坊市昌邑市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題

2024—2025學(xué)年上學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二數(shù)學(xué)2024.11注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線過(guò)點(diǎn)、，則的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的斜率即可得其傾斜角.【詳解】依題意，直線的斜率，所以直線的傾斜角為150°.故選：D2.與向量平行的一個(gè)向量的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用共線向量的坐標(biāo)表示，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，A不是；對(duì)于B，，B是；對(duì)于C，，C不是；對(duì)于D，，D不是.故選：B3.已知直線：，：，若，則a的值為（）A. B.3 C. D.3或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線平行得到方程，解出最后驗(yàn)證即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t，解得或，當(dāng)時(shí)，：，：，兩直線重合，故舍去，當(dāng)時(shí)，：，：，兩直線平行，符合題意，綜上所述，.故選：C.4.已知是直線上一點(diǎn)，且是直線的一個(gè)法向量，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出直線的斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式方程求出結(jié)果.【詳解】由是直線的一個(gè)法向量，得直線的一個(gè)方向向量為，其斜率為，所以直線的方程為，即.故選：A5.直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切 C.相離 D.與a的取值有關(guān)【答案】A【解析】【分析】直接根據(jù)直線經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)判斷出結(jié)果.【詳解】由知直線過(guò)，而點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交.故選：A.6.A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿(mǎn)足，，，M為的中點(diǎn)，則是（）A.鈍角三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.不確定【答案】C【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得，即可判斷得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)镸為的中點(diǎn)，所以，可得，所以，即，可得是直角三角形.故選：C7.已知，分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓E上的點(diǎn)，，且，則橢圓E的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意得，利用橢圓定義及勾股定理求得橢圓參數(shù)關(guān)系，即可求離心率.【詳解】由題意及正弦定理得：，令，則，，可得，所以橢圓的離心率為：.故選：B8.三棱錐中，，，直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)幾何體棱長(zhǎng)建立空間直角坐標(biāo)系，由線面角的向量求法計(jì)算即可得結(jié)果.【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，如下圖所示：因?yàn)椋钥傻?，又，所以即，即，故，滿(mǎn)足，所以；所以?xún)蓛纱怪?，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，即；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可得；可得，設(shè)直線與平面所成的角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，是上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.B.PF1C.的面積的最大值為D.存在點(diǎn)，使得【答案】BCD【解析】【分析】求出橢圓的長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)及半焦距，再結(jié)合橢圓的定義及性質(zhì)逐項(xiàng)判斷.【詳解】橢圓：的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，半焦距，對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，設(shè)的頂點(diǎn)，則，，C正確；對(duì)于D，由知，以線段為直徑的圓與橢圓有個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)此交點(diǎn)之一時(shí)，，D正確.故選：BCD10.將正方形沿對(duì)角線折成直二面角，下列結(jié)論中正確的是（）A.B.C.與平面所成的角為D.與所成的角為【答案】ABD【解析】【分析】以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量逐項(xiàng)計(jì)算判斷.【詳解】令正方形對(duì)角線的中點(diǎn)為，則，由二面角為直二面角，得，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，，對(duì)于A，，即，則，A正確；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，平面的一個(gè)法向量，，因此與平面所成的角為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，因此與所成的角為，D正確.故選：ABD11.已知圓：和圓：，點(diǎn)Q是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.與圓、圓都相切直線有四條B.若圓上到直線的距離為的點(diǎn)有4個(gè)，則m的取值范圍是C.過(guò)點(diǎn)Q作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為M和N，則D.已知，，若點(diǎn)B為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為2【答案】ACD【解析】【分析】判斷兩圓的位置關(guān)系即可判斷A的正誤；當(dāng)圓心到直線的距離小于即可；可先求出的范圍，再確定的范圍即可；在圓內(nèi)找到點(diǎn)，使，可將的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的最值問(wèn)題，再應(yīng)用三角形不等式即可求解.【詳解】解：對(duì)于A項(xiàng)：因?yàn)閳A：和圓：，所以，所以?xún)蓤A外離，所以與圓、圓都相切的直線有四條，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)：因?yàn)閳A：，所以，所以當(dāng)?shù)骄嚯x，即時(shí)，圓上到直線的距離為的點(diǎn)有4個(gè)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)：因?yàn)?又因?yàn)?，即，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以C正確；對(duì)于D項(xiàng)：設(shè)，則以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的方程為，因?yàn)?，所以恒成立，所以以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，所以，所以,所以的最小值為2，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，向量為單位向量，，則向量在向量方向上投影的數(shù)量為_(kāi)____.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用投影的數(shù)量的意義計(jì)算即得.【詳解】依題意，向量在向量方向上投影的數(shù)量為.故答案為：13.已知圓心在直線上，且，都是圓上的點(diǎn)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】求出線段的中垂線方程，再求出圓心坐標(biāo)及半徑即可.【詳解】依題意，線段的中點(diǎn)，直線的斜率，則線段的中垂線方程為，即，由，解得，因此所求圓的圓心為，半徑，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：14.已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為和，母線長(zhǎng)為.若該圓臺(tái)內(nèi)部有一個(gè)球，則球的半徑的最大值為_(kāi)____；若該圓臺(tái)內(nèi)部有一個(gè)正方體，且底面在圓臺(tái)的下底面內(nèi)，當(dāng)正方體的棱長(zhǎng)最大時(shí)，以為球心，半徑為的球與正方體表面交線的長(zhǎng)度為_(kāi)_____.【答案】①.##②.【解析】【分析】求出圓臺(tái)的高，再利用軸截面圖形求出球半徑最大值；把圓臺(tái)還原成圓錐，利用軸截面求出正方體的最大棱長(zhǎng)，再確定球與正方體的交線即可得解.【詳解】依題意，圓臺(tái)的軸截面是上下底邊長(zhǎng)分別為，母線長(zhǎng)為的等腰梯形，圓臺(tái)的高，即等腰梯形的高，由，得，圓臺(tái)內(nèi)的最大球球心在圓臺(tái)上下底面圓心所連線段上，最大球的截面大圓在等腰梯形內(nèi)，圓心在線段上，當(dāng)該圓與等腰梯形的腰相切時(shí)，，以為直徑的圓同梯形的腰相交，所以球的半徑的最大值為；把圓臺(tái)還原成圓錐，則圓臺(tái)軸截面等腰梯形兩腰延長(zhǎng)即得圓錐的軸截面等腰，正方體上底面的外接圓為圓臺(tái)平行于底面的截面圓，又圓臺(tái)的高大于其上底面圓直徑，因此正方體的棱長(zhǎng)小于，其對(duì)角面為等腰的內(nèi)接矩形，如圖，設(shè)，則，，交于點(diǎn)，則，由，解得，因此正方體最大棱長(zhǎng)為，此時(shí)以為球心，半徑為的球與正方體表面交線是該正方體共點(diǎn)的個(gè)正方形面與球的大圓構(gòu)成的以直角為加以圓心角，半徑為的段圓弧組合而成，交線長(zhǎng)為.故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體，作出軸截面，借助平面幾何知識(shí)解題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知，，.（1）求與夾角的余弦值；（2）若，求的模.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量坐標(biāo)化的夾角余弦值公式計(jì)算即可；（2）設(shè)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到方程組，解出再利用向量模的坐標(biāo)表示即可.【小問(wèn)1詳解】，則，，所以.【小問(wèn)2詳解】由，得，設(shè)，則，所以，解得，則，所以.16.如圖，在直三棱柱中，，，，，D，E分別是，的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）利用面面平行的判定定理證明即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)幾何體性質(zhì)以及邊長(zhǎng)建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法計(jì)算可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由直三棱柱性質(zhì)，以及D，E分別是，的中點(diǎn)，所以，即四邊形為平行四邊形，可得，又平面，平面，所以平面；又易知，即四邊形為平行四邊形,可得，又平面，平面，所以平面；顯然平面，所以平面平面；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槭侵比庵?，所以，又，所以?xún)蓛纱怪?，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：由，，，，可得：，即；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可得；可得，易知平面的一個(gè)法向量為，則,結(jié)合圖形可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.17.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的軌跡為C.（1）求C的軌跡方程；（2）點(diǎn)M為直線：上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意得到方程，化解即可；（2）轉(zhuǎn)化為求三角形的面積最小，作出相關(guān)輔助線，利用兩圓方程作差即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)軌跡上任意一點(diǎn)，由題意，所以，化簡(jiǎn)得.【小問(wèn)2詳解】由題意可知:直線到圓心的距離為，則直線與圓相離，若四邊形的面積最小，即三角形的面積最小，因?yàn)椋瑒t最小，即最小.所以由向直線作垂線，垂足為，所以直線，所以，由題意可得四邊形的外接圓方程為即.所求直線即為兩圓的相交弦所在的直線，將與兩圓方程作差得，則直線的方程為:.18.如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，，，，，，M為的中點(diǎn)，設(shè)平面與平面的交線為.（1）證明：平面；（2）證明：平面平面；（3）設(shè)H為上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求的長(zhǎng).【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】【分析】（1）由平行四邊形的判定性質(zhì)可得，再利用線面平行的判定、性質(zhì)推理得證.（2）作交于，由已知結(jié)合勾股定理，利用線面垂直、面面垂直的判定推理得證.（3）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法求解即可.【小問(wèn)1詳解】由，為的中點(diǎn)，得，則四邊形為平行四邊形，，而平面平面，則平面，又平面，平面平面，因此，而平面，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】作交于，連接，由四邊形為等腰梯形，，，得，由（1）知，，又，則為等邊三角形，，為中點(diǎn)，又四邊形為等腰梯形，為中點(diǎn)，則，四邊形為平行四邊形，，于是為等腰三角形，，，有，因此，平面，則平面，而平面，所以平面平面.【小問(wèn)3詳解】由（2）知直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)，設(shè)與平面所成角為，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí).19.球面三角學(xué)是球面幾何學(xué)的一部分，主要研究球面多邊形（特別是三角形）的角、邊、面積等問(wèn)題，其在航海、航空、衛(wèi)星定位等方面都有廣泛的應(yīng)用.定義：球的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)稱(chēng)為球的一對(duì)對(duì)徑點(diǎn)；過(guò)球心的平面與球面的交線稱(chēng)為該球的大圓；對(duì)于球面上不在同一個(gè)大圓上的點(diǎn)A，B，C，過(guò)任意兩點(diǎn)的大圓上的劣弧，，所組成的圖形稱(chēng)為球面，記其面積為.易知：球的任意兩個(gè)大圓均可交于一對(duì)對(duì)徑點(diǎn)，如圖1的A和；若球面上A，B，C，的對(duì)徑點(diǎn)分別為，，，則球面與球面全等.如圖2，已知球O的半徑為R，圓弧和所在平面交成的銳二面角的大小為，圓弧和所在平面、圓弧和所在平面交成的銳二面角的大小分別為，.記.（1）請(qǐng)寫(xiě)出，的值，并猜測(cè)函數(shù)的表達(dá)式；（2）（i）當(dāng)時(shí)，球面的面積為_(kāi)_______（只寫(xiě)結(jié)果）.（ⅱ）用，，，表示；（3）若將圖一中四面體截出得到圖二，若平面三角形為直