陜西省西安市2024-2025學(xué)年高三年級上冊11月聯(lián)考一模數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

陜西省西安市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月聯(lián)考一模數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:___________姓名：—______班級：___________考號：__________

一、單選題

1.若集合A={1,9,6},8={9,3a},則滿足A8=8的實數(shù)a的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

2.設(shè)z=l-i,貝!Jz?+i=()

A.1B.iC.-iD.-1

3.若的展開式中各項系數(shù)和為16,則其展開式中的常數(shù)項為（

A.54B.-54C.108D.—108

4.已知°=出，b=log3A/2,c=log2A/3,貝!!()

A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a

5.已知a,尸都是銳角，cos（a+/?）=—,sina=—,則cos?=()

510

A.包1B.迤C.@D.受

1010210

6.連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為加和〃，記向量。=（加,〃）與向量b=（1,-1）的夾角為。,

7.已知數(shù)列{%}是正項數(shù)列，且"+n+—+m；=〃2+3〃(〃eN*),貝+?+…+%=

()

A.216B.260C.290D.316

8.已知函數(shù)?。?叱川）,；＞。的圖像與直線有3個不同的交點，則實數(shù)左的

取值范圍是()

A.B.(0,+co)C.f-^,2D.(0,2]

二、多選題

9.中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了已知三角形三邊求面積的公式，

求其法是：“以小斜塞并大斜塞減中斜塞，余半之，自乘于上，以小斜幕乘大斜幕減上，余

四約之，為實，一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即

22

S=、；ca-+；~.現(xiàn)有VABC滿足sinA:sinB:sinC=幣:1:3>且SAABC=，

則（）

A.VABC外接圓的半徑為平

B.若的平分線與BC交于。，則兌>的長為空

4

C.若。為BC的中點，則AD的長為巫

4

D.若。為VA2C的外心，貝I]AO?AB+AC）=5

10.在直三棱柱ABC-A^IG中，ZBAC=90°,AB=AC=AAi=2,E、尸分別是BC、AG

的中點，D在線段4G上，則下面說法中正確的有（）

B.直線所與平面A8C所成角的正弦值為逆

5

C.若。是的中點，若M是與A的中點，則尸到平面孫1的距離是手

D.直線2。與直線跖所成角最小時，線段BO長為上&

2

11.已知。為坐標(biāo)原點，點4（2,1）在拋物線C:x2=2py（p>0）上，拋物線的焦點為憶過

點3（0,-1）的直線/交拋物線C于P,。兩點（點尸在點。的之間），則（）

試卷第2頁，共4頁

A.直線A8與拋物線C相切B.OPOQ=6

C.若P是線段8。的中點，則21P尸|=|Q尸|D.存在直線/，使得IPBI+IQ尸|=2|8尸|

三、填空題

12.已知VABC中，BC=7,AC=8,C=60。，則2c.eA=.

13.甲和乙玩紙牌游戲，已知甲手中有2張10和4張3,乙手中有4張5和6張2,現(xiàn)從兩

人手中各隨機抽取兩張牌并交換給對方，則交換之后甲手中牌的點數(shù)之和大于乙手中牌的點

數(shù)之和的概率為一

14.已知函數(shù)/(尤)=25加-3+0，則關(guān)于尤的不等式/'(x2_4)+〃3x)<0的解集為.

四、解答題

15.某同學(xué)參加射擊比賽，每人配發(fā)3顆子彈.射擊靶由內(nèi)環(huán)和外環(huán)組成，若擊中內(nèi)環(huán)得8

分，擊中外環(huán)得4分，脫靶得0分.該同學(xué)每次射擊，脫靶的概率為:，擊中內(nèi)環(huán)的概率為

擊中外環(huán)的概率為每次射擊結(jié)果相互獨立.只有前一發(fā)中靶，才能繼續(xù)射擊，否則

結(jié)束比賽.

⑴若已知該同學(xué)得分為8分的情況下，求該同學(xué)只射擊了2發(fā)子彈的概率；

(2)設(shè)該同學(xué)最終得分為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

16.如圖，在三棱柱ABC—A4a中，ABAC=90°,AB=AC=2,AA=4，4在底面ABC

的射影為BC的中點，。是耳G的中點.

⑴證明：4。，平面ABC；

⑵求二面角B-A.D-B,的平面角的正切值.

17.已知函數(shù)/(x)=lnx-辦(aeR).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)證明不等式/2一次士/(X)恒成立.

18.如圖，曲線y=4下有一系列正三角形，設(shè)第"個正三角形0“_出,0(。°為坐標(biāo)原點)

的邊長為

⑴求生,%的值;

(2)求出｛4｝的通項公式；

(3)設(shè)曲線在點乙處的切線斜率為心，求證：左他+伍右+內(nèi)網(wǎng)++幻_/,<z(wN2,〃eN*).

19.已知雙曲線c：，■-；的離心率為手，右頂點為E(點,O).A,B為雙曲

線C右支上兩點，且點A在第一象限，以A8為直徑的圓經(jīng)過點E.

(2)證明：直線AB恒過定點；

⑶若直線AB與軸分別交于點M,P,且M為PA中點，求4的值.

)MBE

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案BCADBCADBDABD

題號11

答案AC

1.B

【分析】利用AB=B,知3=4,求出。的值，根據(jù)集合元素的互異性舍去不合題意的

值，可得答案.

【詳解】因為AB=B,所以3屋4,

即3a=1或者3a=",解之可得。=§或a=0或a=3,

當(dāng)“時，A=5={9,1}符合題意；

當(dāng)a=0時，A={1,9,0},3={9,0}符合題意；

當(dāng)a=3時，A={1,9,9},3={9,9}根據(jù)集合元素互異性可判斷不成立。

所以實數(shù)。的個數(shù)為2個.

故選：B

2.C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算法則計算可得.

【詳解】因為z=l—i,所以z2+i=(l—i)2+i=12_2i+i2+i=—i.

故選：C

3.A

【分析】令x=l,結(jié)合已知求出〃，再求出展開式的通項，令x的指數(shù)等于零，即可得解.

【詳解】令x=l,可得(3-1)"=16,所以〃=4,

則。彳-.]展開式的通項為〃+](-1/sy尤j

令4—2x=0,得％=2,

所以展開式中的常數(shù)項為(-1)2X32C^=54.

故選：A.

4.D

答案第1頁，共16頁

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及幕函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】b=log3V2<log373=-1,c=log2>/3>log272=^-,所以6<c,

a=^2>1，而c=log2A/3<log22=1,所以cva,

故

故選：D

5.B

【分析】根據(jù)方=（。+6）-結(jié)合同角三角關(guān)系以及兩角和差公式運算求解.

【詳解】因為都是銳角，則1+尸￡(0,兀)，

貝!jsin(a+/)=Jl-cos〉(a+=)=(^cosa=Jl-sin2a=2^^,

所以cos分=cos[(a+4)一a]=cos(a+/?)cosa+sin(a+月)sina

2753加有M7后

=-------x----------1------x-------=--------.

51051010

故選：B.

6.C

【分析】由。e［o，］,得出=計算出基本事件的總數(shù)以及事件機之〃所包含

的基本事件數(shù)，然后利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率.

【詳解】>:.a-b=m-n>0>即

事件“6q0仁”所包含的基本事件有：（1,1）、（2,1）、（2,2）、（3,1）、（3,2）、（3,3）、（4,1）、

（4,2）、（4,3）、（4,4）、（5,1）、（5,2）、（5,3）、（5,4）、（5,5）、（6,1）、（6,2）、（6,3）、（6,4）、

（6,5）、（6,6）,共21個，

所有的基本事件數(shù)為6?=36,因此，事件“夕/。,彳］”的概率為1|=二.

I2」3612

故選：C.

【點睛】本題考查利用古典概型的概率公式計算事件的概率，解題的關(guān)鍵就是求出總的基本

事件數(shù)和所求事件所包含的基本事件數(shù)，考查計算能力，屬于中等題.

7.A

【分析】當(dāng)〃N2時，飆'+JZ++7^-1=（^-l）2+3（n-l）,與已知式相減，得

答案第2頁，共16頁

7^^H2+3n-(n-l)2-3(n-l)=2n+2,檢驗首項即可得到數(shù)列通項公式，根據(jù)通項求和.

【詳解】令〃=1,得瓜=4,???4=16.

當(dāng)〃22時，*"+5^"++冊二+3(〃一1).

與已知式相減，得飆^=n2+3n-(n-l)2-3(n-l)=2n+2.

2

an=4(n+l),又〃=1時，力滿足上式，

an=4(〃+1)2￡N*).

.?.衛(wèi)=.+4,...色+生++1=9x(8+40)=216.

n+\23102

故選：A

8.D

【分析】作函數(shù)/(X)的大致圖像(實線)，平移直線y=A：-x,數(shù)形結(jié)合得出實數(shù)4的取值

范圍.

【詳解】如圖，作函數(shù)f(x)的大致圖像(實線)，平移直線〉="不由"尤=/+2尤+2可

得，f+3x+2-左=0，A=9—8+4左=0,左=!，故當(dāng)上=-；時，直線>=-1一尤與曲線

y=Y+2x+2(xW0)相切；當(dāng)％=0時，直線V=-了經(jīng)過點(0,0),且與曲線

y=f+2x+2(x40)有2個不同的交點；當(dāng)左=2時，直線V=2-x經(jīng)過點(0,2),且與/(天)的

圖像有3個不同的交點.由圖分析可知，當(dāng)左e(0,2］時，的圖像與直線y=%-x有3

9.BD

【分析】依題意由正弦定理可得a:6:c=V7:l:3,根據(jù)余弦定理和三角形面積公式可求得

答案第3頁，共16頁

a=布,再由正弦定理可得A錯誤；根據(jù)等面積法可得角平分線AD的長為?,即B正

4

確；由AD=g（A8+AC）可求得卜半，即C錯誤；利用外接圓以及投影向量的幾何意

義可得D正確.

【詳解】根據(jù)題意由sinA:sinB:sinC=1:3,利用正弦定理可得Q:A:C=

不妨設(shè)Q=用m,b=m,c=3m，

利用余弦定理可得cosA="土=」「+9〃z2-7〃/=’,又兀），可得A=?

2bc2m-3m2'/3

2

SABC=—Z?csinA=^^-m=,解得m=1,

ABC244

所以a=5/7，

—a—五一2R

對于選項A,設(shè)VA2C外接圓的半徑為R,由正弦定理可得sinA一6一

2

所以R=YH,即A錯誤;

3

對于B,分別作垂直于垂足為瓦尸，如下圖所示:

易知VABC的面積為5ABe=3|4。卜忸同+；|4〃|（同=；|A*（b+c）sin30=空,

可得|A0=￥，即B正確；

對于C,若。為BC的中點，易知AO=；（A2+AC）,如下圖所示：

13

+2AB-AC9+l+2x3xlx|

T

對于D,延長A0交外接圓于點A,連接4B，AC；如下圖所示:

答案第4頁，共16頁

A

易知AA即為直徑，所以可知AB,AC±AC;

利用投影向量的幾何意義可得

22

AO-(AB+AC)=|(A41-AB+A41-AC)=|(|AB|+|Ac|)=1x(9+l)=5,

即可得D正確.

故選：BD.

【點睛】方法點睛：在解三角形問題中遇到與角平分線或者中線相關(guān)的問題時，可根據(jù)題目

信息采用等面積法求解角平分線長度，利用向量求解中線長度.

10.ABD

【分析】以點A為坐標(biāo)原點，AB,AC,A4,所在直線分別為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，利

用直線的方向向量與平面法向量的數(shù)量積等于零可判斷A；求得直線EP與平面A5C的法向

量，利用向量法可求得直線砂與平面ABC所成角的正弦值可判斷B；利用向量法求得尸到

平面瓦加的距離可判斷C；利用異面直線所成角的空間向量求法求得的長可判斷D.

【詳解】因為直三棱柱ABC-A4G中，ABAC=90°,所以ABAC,44,兩兩互相垂直,

于是以點A為坐標(biāo)原點，AB,AC朋所在直線分別為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系,

因為AB=AC=AA=2,E*分別是BC,AG的中點，O在線段4a上,

答案第5頁，共16頁

所以A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),￡(1,1,0),尸(0,1,2),A(0,0,2),以(0,2,2),B、(2,0,2),

對于A：因為在直三棱柱ABC-4用G中，平面ABC,

又，ACu平面ABC,所以AA|_LAC,又/BAC=90。，所以AB人AC,

又ABc/L^uA,AB,A4,u平面,所以ACJ_平面,

所以AC=(0,2,0)為平面44^2的一個法向量，又所=(一1,0,2),

則AC?EF=(0,2,0)-(-1,0,2)=0,

又取Z平面441g出，EP〃平面四與臺，故A正確;

對于B：A4,=(0,0,2)為平面43。的一個法向量，又所=(-1,0,2),

設(shè)直線EF與平面A3C所成角為0,

\A\-EF\42-J5

氣,故B正確;

|A4J-|EF|26

對于C：若。是4a的中點，若M是耳巖的中點,則“(1,0,2),￡>(1,1,2),

則MB=(1,0,-2),MD=(0,1,0),

設(shè)平面BDM的一個法向量為m=(x,y,z),

m-MB=x-2z=0

則，令z=1,貝!J尤=2,y=。，

m?MD=y=0

所以平面BDM的一個法向量為機=(2,0,1),又MP=(-l,l,0),

所以F到平面BDM的距離是d=|W,MF||-2|,，故C錯誤;

\m\A/22+12

對于D：設(shè)B[D=￡B]G=/(-2,2,0)=(-22,22,0)(0<2<1),

則BD=BB]+BiD=(0,0,2)+(-22,22,0)=(-2A,242),

設(shè)直線80與直線砂所成角為a,又EP=(-l,0,2),

I；aIBD-EFI2+21

皿1cosa=cos(BD,EF\\=J--------L=_=--------

則?'|SO|-|￡F|V222+1X755(34彳,

rz+239

答案第6頁，共16頁

341

當(dāng)百一廠°,即石*，取最大值，此時直線如與直線跖所成角最小,

8。=(一，；，2),|BD|=^(-1)2+(1)2+22=,故D正確.

故選：ABD.

【點睛】方法點睛：求線線角，線面角，面面角的最大值與最小值，關(guān)鍵是用變量把動點的

坐標(biāo)或向量表示出來，進而用變量去表示這些角的余弦與正弦值，從而求得取最值時的變量

值，進而解決有關(guān)問題.

11.AC

【分析】先求拋物線的方程，然后用拋物線方程與直線43的方程聯(lián)立方程組求出交點，可

判斷A；用直線/的方程與拋物線的方程聯(lián)立方程組，進而結(jié)合韋達定理利用向量的數(shù)量積

運算可判斷B選項；結(jié)合中點坐標(biāo)利用焦半徑公式可判斷C；由IP尸I+IQ尸1=2|8尸|得

%+%=2,進而求上的值，從而用△=€＞來可判斷D選項.

【詳解】因為點4(2,1)在拋物線C:*=2py(p＞0)上，所以4=2p,解得p=2,

即拋物線方程為x2=4y,焦點尸(0,1).

對于A：直線A8的方程為罟=＜，即y=xT,

1+12-0

ry_JQ_]CX-2

因為，解得所以直線AB與拋物線C相切點4(2,1)，故A正確；

對于B：設(shè)過點B的直線為/,若直線/與y軸重合，則直線/與拋物線C只有一個交點,

不合題意；

所以直線/的斜率存在，設(shè)其方程為了=履-1,P(xl,yl),Q(x2,y2),

，得f—4Ax+4=0,貝IJA=16/—16>0即左〈一1或左〉1,

于是為+9=4k,x1x2=4,

又考=1(&々)2=[X42=1,

所以O(shè)P-OQ=玉w+M%=5，故B錯誤；

對于C：由焦半徑公式可得IPF\=%+^=%+1,|QF|=%+§=%+1，

因為尸是線段8。的中點，

答案第7頁，共16頁

所以％=當(dāng)匕整理得2（%+1）=%+1，即21P產(chǎn)|=|Q尸|,故C正確；

對于D：若|尸尸|+|QF|=2|■尸則（》+1）+（%+1）=2”（-1）|=4,得%+必=2

所以2=%+%=左（占+x?）—2=64Z—2=4K—2,即4左2=4,解得左=±1,

此時A=16^2-16=0,則直線/與拋物線相切，故D錯誤.

故選：AC.

【點睛】易錯點睛：在判斷D選項時，求出后=±1誤以為存在滿足題意的直線，事實上這時

候直線與拋物線相切，故不存在滿足題意的直線.

12.-28

【分析】利用相反向量將8c?C4轉(zhuǎn)化為-CRC4,然后由數(shù)量積定義可得.

【詳解】因為C=60。，BC=1,AC=8,

所以8C-CA=-CRCA=-7x8xcos60°=-28.

故答案為：-28

13.—

15

【分析】根據(jù)題意分析得甲只能被抽取兩張3,乙抽取的兩張牌要至少有一張5,再根據(jù)古

典概型求概率公式求概率即可.

【詳解】解：一開始兩人手中牌的點數(shù)之和是相等的，要想交換之后甲手中的牌點數(shù)之和更

大，則甲被抽取的兩張牌的點數(shù)之和應(yīng)更小.

若甲被抽取的兩種牌中有點數(shù)為10的牌，則這兩張牌的點數(shù)之和肯定更大，不合題意.

故甲只能被抽取兩張3,故其抽取的兩張牌的點數(shù)之和為6,而乙抽取的兩張牌點數(shù)之和要

大于6,則至少有一張5,

C；C；+C；C：=6>6+24=4

綜上尸--15X45-15

答案第8頁，共16頁

,4

故答案為：—.

14.{x|x<T■，或x>l}

【分析】判斷出函數(shù)/'(X)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性，利用奇偶性、單調(diào)性可得答

案.

【詳解】x€R,/(-^)=-2sinx-e-v+ex=-(2sinx+e-A-eA)=-/(x),

所以/(x)為奇函數(shù)，

廣(x)=-(e*+--2cosx)<-2+2cosx<0,

當(dāng)且僅當(dāng)尤=0等號成立，

所以/(元)在久6R上單調(diào)遞減，

由/(/—4)+〃3x)<0得/4)<_〃3x)=f(-3x),

可得十一4>-3x,解得了<一4,或無>1,

所以不等式/■(x2-4)+〃3x)<0的解集為{x[x<-4,或x>l}.

故答案為：{x[x<T,或無>1}.

15.(l)y

37

⑵分布列見解析，E(X)一

【分析】(1)記事件A：該同學(xué)得分為8分，事件5：該同學(xué)只射擊了2發(fā)子彈，利用相互

獨立事件同時發(fā)生的概率公式得P(A)=J,尸(A3)=上，再利用條件概率公式即可求出結(jié)

果；

(2)由題知X可能取值為0,4,8,12,16,20,24,利用相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式，分

別求出X每個取值的概率，即可求出分布列，再利用期望的計算公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】(1)記事件A：該同學(xué)得分為8分，事件8：該同學(xué)只射擊了2發(fā)子彈，

由題知尸(A)=：X:+：X：X[=：,尸(A8)=：X[=2，

4422484416

1

所以2網(wǎng)4)=曳包=號」.

P⑷12

8

答案第9頁，共16頁

(2)由題知X可能取值為0,4,8,12,16,20,24,

111111

p(X=0)=1,p(X=4)=；x：=(,P(X=8)=—x—+—X—X——一,

442248

22224442416

尸(x=i6)="/+L\LLLWxL上,

22424244442264

P(X=20)=-x-x-x3=—,P(X=24)=-x-x-=—,

2443244464

所以X的分布列為

X04812162024

1131331

P

48816643264

1113133137

E(X)=0x-+4x-+8x-+12x—+16x—+20x—+24x—=—.

488166432644

16.(1)證明見解析

⑵夕

【分析】(1)取3C的中點，連接A。，4。，根據(jù)幾何體的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)得出

\OY\D,A.D1BC,利用線面垂直的判定定理即可得證;

(2)以BC中點0為坐標(biāo)原點，以。4、OB、所在直線分別為x、y、z軸建系，利用

向量法即可求出答案.

【詳解】(1)證明：取BC的中點，連接A。，4。，

AB=AC=2,。是4G的中點.

,AjD_LB[C],

BC//BG，:.A.DVBC,

因為A1在底面ABC的射影為BC的中點，

所以4。上面ABC,

又面A5C//面4月￡,所以4。，面ABC，

又A〃u面A4G，所以

答案第IO頁，共16頁

因為AOcBC=O,

所以4。，平面ABC；

(2)解：如圖，以。為坐標(biāo)原點，以。4、OB、所在直線分別為X、y、Z軸建系,

則8C=叵AC=2應(yīng),40="A412To2=拒;，

則A(0,0,履),A(立,0,0),C(0,-0,0),S(0,A0),0(-72,0,714),5,(-72,^,5/14),

AD=(-&,0,0),BD=(-版,歷),

設(shè)平面AtBD的法向量為m=(x,y,z),

nr\m-AD=0\-y/2x=0

則｛cnc，得｛廠rI—，

m-BD-0[-v2x-y/2y+V14z=0

取z=l,得"2=(0,b,1),

因為AO，面a。片，

所以QA=(o,o,JiT)即為平面4。瓦的一個法向量，

則cos/m,0\\=廠=斗,

所以二面角4-8。-4的平面角的余弦值為①，正弦值為恒，

44

故二面角A-8。-耳的平面角的正切值a.

答案第11頁，共16頁

17.(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】(1)求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，討論。的范圍結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可得出單調(diào)性；

(2)構(gòu)造函數(shù)°(x)=e--lnx,利用導(dǎo)數(shù)可得/(尤)在(0,+8)上有唯一實數(shù)根尤。,且

1<x0<2,則可得°(x)N。(毛))。，即得證.

【詳解】(1)f'(x)=--a=—(x>0),

XX

當(dāng)a?0時，/,(%)>0,所以了(無)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)。>0時，令/'(元)=。，得至！|關(guān)=!，

a

所以當(dāng)xe/J時，((尤)>0,/(x)單調(diào)遞增，當(dāng)/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)aWO時，F(xiàn)Q)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)。>0時，在(0,：)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

(2)設(shè)函數(shù)9(工)="—2一］口不，

則"⑴=e'-2--,可知夕(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

X

又由。'⑴<0,夕'(2)>0知，0'(X)在(0,+8)上有唯一實數(shù)根毛，且1<%<2,

則9伉)=產(chǎn)2__=0,即*T=一.

入0%0

當(dāng)％<0,不)時，夕’(x)<0,e(x)單調(diào)遞減；

答案第12頁，共16頁

當(dāng)xeQ+oo）時，夕'（x）>0,0（x）單調(diào)遞增;

所以以彳）之。（%）=尸2一山/，結(jié)合*7=1,知尤0-2=-1叫,

玉）

所以9（X）2夕（X。）='+x。_2二出口=5口_>0,

%0%0%0

則（p（x）=ex~2-Inx>0,

即不等式ex-2-ox>/（x）恒成立.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查不等式恒成立的證明，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明

0（x）=e>2-Inx的最小值大于0.

24

18.（1）?1=—,02=—；

2

⑵%=1"；

（3）證明見解析.

【分析】（1）根據(jù)給定條件，用生，的表示出點62的坐標(biāo)，再代入曲線方程，計算作答.

（2）令5.為數(shù)列｛6｝的前“項和，利用與S,表示出點/^的坐標(biāo)，代入曲線方程即可

得?！?i與S”的關(guān)系，再利用遞推關(guān)系求出通項.

（3）由（2）求出點月的橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出心，再利用裂項相消法求和即

得.

【詳解】（1）依題意，。渭。為正三角形，且1。以1=%>0,觀察圖象得4（；?,,當(dāng)2,而

點片在曲線y=?上,

即日％=正，解得4=|△。鳥之為正三角形，且1儲。21=電>0，點6（%+；的,

在曲線y=?上,

整理得M-2%-：=0,解得出=；

24

所以%=].

（2）令S”為數(shù)列｛《,｝的前w項和，?！柏鞍Ｏ蚴钦切?，點Q（S",。）,

答案第13頁，共16頁

>。，于是點A+i（S〃+g〃〃+i，日%）在曲線y=4x上，

1Q,,Qn+l1=?,1+1

貝呼％=、I13131

K+-??+1'即S,=-a；+i--an+l,當(dāng)2時，S,T=-a；--an,

31312

兩式相減得：an=-an+l~~an+\~Un-］。〃)'整理得G+l+4)(%+1一％)=§4+1+%),

22、2

則而。2-q=1滿足上式，因止匕VAZEN*,?！?1—4=§，

即數(shù)列｛為｝是首項為％=§，公差d=§的等差數(shù)列，為=%+（〃-l）d=§〃，

所以數(shù)列｛4｝的通項公式是

31

（3）由（2）知，當(dāng)〃22時，S〃_i=W一萬"〃，

則點匕的橫坐標(biāo)居=Si=；/，顯然玉ng滿足上式，因此迎=；〃2,

由丁=五求導(dǎo)得，y=--7=,于是幺=川12=坐，

2、x尤=針2n

g走=(□__1

當(dāng)〃22時，k_k=

nxn2(〃一1)In4n—1n