三角形中位線定理的應用（過關檢測）-2022年中考數(shù)學一輪復習（全國解析版）

專題21三角形中位線定理的應用

一、單選題

1.如圖，在A48C中，E,尸分別為NC,8c中點，若/8=6,BC=1,/C=8,則砂=（）

A.3B.3.5C.4D.4.5

【答案】A

【分析】

根據(jù)三角形中位線定理解答即可.

【詳解】

解：???￡,產(chǎn)分別為4C,BC中點,

.?.￡/是A48C的中位線，

??.EF=gAB=gx6=3,

故選：A.

2.（2021?遼寧撫順?九年級開學考試）如圖，在“5C中，D、E分別為/8、/C的中點，CF平分44c3,

交DE于點、F,若/C=4,則E尸的長為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

根據(jù)三角形中位線定理得到DE〃8C,進而證明乙=根據(jù)角平分線的定義、等腰三角形的判定

定理解答即可.

【詳解】

解：：。、E分別為48、/C的中點，

.-.DEHBC,AE=EC,

NBCF=ZEFC,

???CF平分乙。8,

ZBCF=ZECF,

：.NECF=NEFC,

.-.EF=EC=-AC=2,

2

故選：B.

3.（2021?重慶市天星橋中學九年級開學考試）如圖，在口4BCD中，NC與AD相交與。點，E為/。的中

點，連接?！?若OE=2,則CD的長度為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】

首先根據(jù)平行四邊形的性質可得NOCO,再根據(jù)三角形的中位線定理可得￡0=3CD,進而可得答案.

【詳解】

解：,??四邊形/BCD是平行四邊形，

.-.AO=CO,

■:點E是邊CD的中點，

：.EO=^CD,

■：OE=2,

■■■CD=2OE=4,

故選：D.

4.（2021?合肥市五十中學東校九年級）如圖，G是A42C的中位線血W的中點，CG的延長線交于點

F,則//：*9等于（）

A￡

B

A.1：2B.1：3C.2：3D.3：4

【答案】A

【分析】

FM

由△用C得出工的值，再由“為45的中點，即可求得力/：咫.

BM

【詳解】

??,MV是A45C的中位線

:.AM=BM.MNHBC.MN=-BC

2

，AFMGsAFBC

.FMMG

'BF~BC

G是址N的中點

:.MG=-MN=-BC

24

.FMMG_\

?FM_1

*W-3

又AM=BM

：.AF=AM-FM=BM--BM=-BM

33

14

FB=FM+BM=-BM+BM=-BM

33

即：AF：FB=1:2.

故選A.

5.（2021?廣西梧州?）如圖，在用A48C中，點、D,E,尸分別是邊48,AC,BC的中點，NC=8,BC=6,

則四邊形CED尸的面積是（）

A.6B.12C.24D.48

【答案】B

【分析】

利用三角形的中位線定理，先證明四邊形OECF是矩形，再利用矩形的面積公式進行計算即可.

【詳解】

解：???點。，E,尸分別是邊N2,AC,2c的中點，NC=8,BC=6,

DE//BC,DE=-BC=3,DFUAC,DF=-AC=4,

22

四邊形DEC尸是平行四邊形，

???ZC=90°,

四邊形DECF是矩形，

-S矩形。ECF=3x4=12.

故選：B.

6.（2021?河南）如圖，在RtA48c中，NC=90。，NC=5,8c=12.若D,E分別為邊NC,8c的中點,

則DE的長為（）

A.5B.5.5C.6D.6.5

【答案】D

【分析】

利用勾股定理求出AB,再利用三角形的中位線定理求出DE即可.

【詳解】

解：???NC=90°,AC=5,BC=12,

■■AB=yjAC2+BC2=打+122=13,

?：AD=DC,CE=EB,

：.DE=-AB=6.5,

故選：D.

7.（2021?江蘇省錫山高級中學實驗學校九年級期中）如圖，在A48C中，點￡是8c的中點，AD是乙BAC

的平分線，EFWAD,若48=7,NC=11,則尸C的長為（）

【答案】C

【分析】

設點N是/C的中點，連接瓦V,構造AIBC的中位線.根據(jù)三角形的中位線定理，得班|/5,EN=^AB；

根據(jù)平行線的性質和等腰三角形的判定，得FN=EN,從而求解.

【詳解】

解：如圖，

:.乙CNE=4BAC.

■：EFUD,

■■■^DAC=AEFN.

???40是48/C的平分線，4CNE=KEFN+乙FEN,

:，EFN=KFEN.

：.FN=EN=-AB,

2

：.FC=FN+NC=-AB+-AC=9.

22

故選：c.

8.（2021?山東）如圖，在恒臺。中，BC=4,將A42C平移7個單位長度得到點P、。分別是

AB.4cl的中點，P。的最小值等于（）

A.9B.4C.2D.5

【答案】D

【分析】

取小囪的中點P,連接。P、PP,如圖，根據(jù)平移的性質得到PP=7,8Q=3C=4,再利用P。為A4131cl

的中位線得到P0=2,利用三角形三邊的關系得到

：.PP'-P'Q<PQ<PP'+P'Q（當且僅當尸、P、。三點共線時取等號），從而得到尸0的最小值.

【詳解】

解：取小氏的中點P,連接。P、PF,如圖，

???A^5C平移7個單位長度得到A41SG，

:.PP'=7,BC=BC=4,

???。是4cl的中點，P為48的中點，

??.P0為△/18C1的中位線，

???尸'。=?8?=2,

-.PP'-P'Q<PQ<PP'+P'Q（當且僅當尸、P、0三點共線時取等號），

即7-2<PQ<l+2,

■■PQ的最小值為5.

故選：D.

4

9.（2020?渝中?重慶巴蜀中學）已知中，點。為斜邊N8的中點，連接CD,將AOCB沿直線。C

翻折，使點8落在點E的位置，連接。E、CE、AE,DE交AC于點F,若2C=12,AC=16,則4E

的值為（

【答案】B

【分析】

過點D作DM1BC,DN1AE,垂足為M、N,連接BE交CD于點G,由折疊得CD是BE的中垂線，借助

三角形的面積公式，可以求出BG,進而求出BE,由等腰三角形的性質，可得DN是三角形的中位線，得

到DN等于BE的一半，求出DN,在根據(jù)勾股定理，求出AN,進而求出AE.

【詳解】

解：過點D作DM1BC,DN1AE,垂足為M、N,連接BE交CD于點G,

???RtAACB中，AB=SIAC2+BC2=A/162+122=20，

,??點D為斜邊AB的中點，

??,CD=AD=BD=yAB=10,

在aDBC中，DC=DB,DM1BC,

.-.MB=MC=1BC=6,

???DM=4DC2-CM2=A/102-62=8，

由折疊得，CD垂直平分BE,ZBDC=ZEDC,

在AADE中，DA=DE,DN1AE,

???AN=NE=yAE,

??.DN>AABE的中位線，

.-.DNIIBE,DN=yBE,

在ADBC中，由三角形的面積公式得：|BC?DM=yDC?BG,

即：12X8=10XBG,

48

.-.BG=y=DN,

在RtAADN中,AN=NAD2一DN2=^102-（y）2=y,

28

??.AE=2AN=y,

故選：B.

10.（2021?江蘇揚州市?）如圖，已知點。是“8C的邊/C的中點，點。為“8C內部上的一點，已知

ZAOB=90°,。。=1,BC=5,則N5的最小值為（）

A.2.5B.3C.3.5D.4

【答案】B

【分析】

由8c=5,可得點8在以點C為圓心以5為半徑的圓上運動，由。是的邊/C的中點，。。=1,可得

點。在以點。為圓心，以1為半徑的圓上運動，由N/O3=90。，取N2中點為E,以點E為圓心48為直

徑的圓與半圓。的交點為O,連結OE,當點。、。、E三點在一直線上時，最短,可證ED為足臺。的

中位線，可求DK=2.5,求出OE=DE-OD=1.5即可.

【詳解】

解：-：BC=5,

.??點8在以點C為圓心以5為半徑的圓上運動，

?.?。是“8C的邊”C的中點，。。=1,

點。在以點。為圓心，以1為半徑的圓上運動，

VNAOB=90°,

取中點為E,以點E為圓心為直徑的圓與半圓。的交點為O,

連結OE,當點。、。、E三點在一直線上時，AB最短,

■：AD=CD,AE=BE,

.?.ED為入打。的中位線,

?'?DE=--BC=2.5,

2

-OD=\,

??.OE=DE-OD=2.5A=T.5,

??/B=2OE=3.

故選擇：B.

二、填空題

II.（2021?常德市第H^一中學）D、E、尸分別是“8C三條邊的中點，則SADCF：S^ABC=

【答案】:

【分析】

根據(jù)中位線定理得到平行線，判定平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質求解.

【詳解】

解：???□、E、尸分別是ZU8C三邊的中點,

.-■EFWBC,DE\\AC,DFWAB,

四邊形NE。尸，四邊形CDER四邊形8。用是平行四邊形,

：.AAEF,4BED,△￡）斯和△（?￡）/的面積相等，

_1

??S^DCF-SfBC=4，

故答案為：—.

4

12.（2021?西城?北京八中）如圖，A,3兩點被池塘隔開，在N2外選一點C,連接4C和8c.分別取

AC,8c的中點D,E,測得。，E兩點間的距離為30m,則A、8兩點間的距離為m.

9

CEB

【答案】60

【分析】

根據(jù)三角形中位線定理解答即可.

【詳解】

解：???點。，E分別為NC,8c的中點，

.?QE是A/2C的中位線，

■.AB=2DE,

,:DE=30m,

-'-AB=60m,

故答案為：60.

13.（2021?東莞市東華初級中學）如圖，在A4B（「中，BD平分/ABC,CDLBD,垂足為。，E為NC的

中點.若48=10,BC=6,則?！甑拈L為_____

A

BZ

C

【答案】2

【分析】

如圖，延長CD交N3于尸，再證明△3OC三△8ZW,根據(jù)全等三角形的性質可得8產(chǎn)=8C=6,CD=DF,然后

可求出NR最后根據(jù)三角形中位線定理計算即可.

【詳解】

解：如圖：延長CD交于尸

在△8DC和/中

NDBC=ZDBF

BD=BD

NBDC=ZBDF=90°

.■.ABDC=ABDF(ASA)

:.BF=BC=6,CD=DF

■.AF=AB-BF=4.

■：CD=DF,CE=EA

：.DE=^AF=1.

故填2.

14.（2021?湖南九年級期末）如圖,相交于點。，0c=6,OD=10,/C||AD,E尸是AOD?的中位

線，且E尸=4,則/C的長為

D

24

【答案】~

【分析】

由三角形中位線性質得出。2=2比7=8,再證明A4co?A5D。，根據(jù)相似三角形的性質可求得結論.

【詳解】

解：???￡尸是A0D8的中位線，且所=4,

:.DB=2EF=8,

■■■AC//BD

.-.AACO-ABDO

ACCO

"BD-DO

又CO=6,￡>0=10,BD=8

AC6

‘二一歷

15.（2021?福建廈門雙十中學思明分校九年級期末）如圖，AABC中，AB=AC,AD12C于點。，E是ZC

中點，若DE=3,則的長為.

【答案】6

【分析】

根據(jù)垂線的性質推知是直角三角形；然后在直角三角形NOC中，利用直角三角形斜邊上的中線是斜

邊的一半，求得NC=6；最后由等腰三角形/8C的兩腰48=4C,求得48=6.

【詳解】

解：?在A48C中，ADX.BC,垂足為D,

??.A4OC是直角三角形；

???￡是NC的中點.

.■.DE=^AC（直角三角形的斜邊上的中線是斜邊的一半），

又???DE=3,AB=AC,

；.AB=6,

故答案為：6.

三、解答題

16.(2021?上海九年級專題練習)如圖，在A48C中，LBAC=9Q°,延長A4到點。，使4D=3AB,點、E、F

分別為邊BC、NC的中點.

(1)求證：DF=BE；

(2)過點/作NG〃8C,交。廠于點G,求證：AG=DG.

n

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【分析】

(1)過點/作切II8C,交AB于點、H,則四邊形是平行四邊形，有HF=BE,證得/。是上㈤的中

垂線后得到〃F=ED,故問題得證；

(2)由于四邊形尸是等腰梯形，有必=乙0,而/GIIBC有乙8=〃UG,故有NO=zZ)/G,然后問題可

得解.

【詳解】

證明：(1)如圖，過點尸作尸切IBC,交4B于點、H,

???尸句I8C,點尸是NC的中點，點E是2C的中點，

；.AH=BH=*AB,EFWAB.

；.4D=AH.

■■■CALAB,

.?.CN是。，的中垂線.

：.DF=FH.

"FHWBC,EFWAB,

???四邊形HFEB是平行四邊形.

■■.FH=BE.

：.BE=FD.

(2)由(1)知BE=FD,

又???斯||40,

?:EFVBD,

???四邊形。5跖是等腰梯形.

:.（B=（D.

???4G|由C,乙B=zJ）AG,

:zD=/JDAG.

；.AG=DG.

17.(2020?黑龍江大慶市?)如圖，等邊三角形48c的邊長是2,D,E分別為48,NC的中點，延長3C

至點尸，?CF=|sC,連接CD,DE,EF.

(1)求證：DE=CF

(2)求E尸的長.

【答案】(1)見解析；(2)拒.

【分析】

(1)根據(jù)三角形中位線的性質解得DE/IBC,結合已知條件C尸=：8C即可解題；

22

(2)由等邊三角形三線合一的性質，可得===在小A/OC中，由勾股定理解得

CD=m，繼而由(1)中結論，證明四邊形。位是平行四邊形，由平行四邊形的對應邊相等解題即

可.

【詳解】

(1)在等邊三角形28c中，

QD,E分別為/C的中點,

:.DE=-BC,DE!IBC,

2

■：CF=-BC

2

:.CF=DE,CFIIDE.

(2)在等邊三角形Z8C中，

QD為4B的中點，

CD±AB,AD=BD=^AB=l

在R/A/。。中，CD3c2-3=”一12訪

■：CF=DE,CFHDE

四邊形。CEE是平行四邊形，

EF=DC=43.

18.(2021?河南九年級期末)如圖，在中，AB=12cm,/C=8cm,AD、/E分別是其角平分線和中

線，過點C作CGLAD于點F,交48于點G,連接E尸，求線段E尸的長.

【答案】2cm

【分析】

首先證明4AGFmZkACF,則AG=AC=4,GF=CF,證明EF是4BCG的中位線,利用三角形的中位線定理

即可求解.

【詳解】

解：在A/G尸和A/C尸中，

ZGAF=ZCAF

<AF=AF,

NAFG=ZAFC

；."GF義AACF,

；.NG=/C=8,

GF=CF,

則BG=48-/G=12-8=4(cm).

又?；BE=CE,

r.E尸是ABCG的中位線，

.-.EF=-BG=2cm.

2

答：EF的長為2cm.

19.（2021?安徽）如圖，已知四邊形ABCD中，點E,F,G,H分別是AB、CD、AC、BD的中點，并且

點E、F、G、H不在同一條直線上.

求證：EF和GH互相平分.

【答案】見解析

【分析】

連接EG、GF、FH、HE,根據(jù)三角形的中位線的性質，得出EG=HF,EH=GF,然后根據(jù)平行四邊形的判

定：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，證明即可

【詳解】

證明：連接EG、GF、FH、HE,點E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點.

在aABC中，EG=-BC；在aDBC中，HF=-BC,

?■?EG=HF.

同理EH=GF.

???四邊形EGFH為平行四邊形.

?■.EF與GH互相平分

20.(2021?浙江紹興市?)如圖，在AIBC中，乙4=90。，CD平分UCB交4B于點D,過點。作DEII3C

交NC于點￡.

(1)若乙8=40。，求NCOE的度數(shù).

(2)若?！?4,試添加一個條件，并求出3c的長度.

【答案】(1)乙CDE=25。；(2)添加的條件為DE是有8。的中位線，BC=8.

【分析】

(1)由題意易得以⑺二乙4cD,乙4c3=50。，則有必CD=NCDE,進而問題可求解；

(2)根據(jù)題意可添加是八43c的中位線這個條件，然后問題可求解.

【詳解】

解：(1)平分乙4c5交48于點。，

；/BCD=UCD,

???々=90°,"=40°,

■■■^CB=50°,

??ZBCD=UCD=25°,

■■DEWBC,

；.4BCD=4CDE=25°；

(2)添加的條件?！辍鍪茿48C的中位線，

；DE=4,

:.BC=8.

21.(2021?安慶市第四中學九年級期中)三角形三條邊上的中線交于一點，這個點叫三角形的重心.如圖G

是“8C的重心.

(1)求證：AD=3GD；

(2)若ACDG的面積是1,求的面積.

A

E

G

BC

【答案】(1)見解析；(2)6.

【分析】

(1)連接?！?則是A48C的中位線，從而可得。EMC且NC=2Z)E,即可得△OEGsA4CG,即可求得

AG=2DG,從而可得結論；

(2)利用底高的兩個三角形面積比等于底的邊、三角形中線平分三角形面積的性質即可求得結果.

【詳解】

如圖，連接

"AD,CE是八43。的中線

.??DE是ZU8C的中位線

■■■DEWAC且AC=2DE

■■.ADEG-AACG

AGAC-

-------二2

DGDE

，AG=2DG

-.AD=AG+DG=3DG

(2)-AACG.ADCG的底邊4G、DG上的高相等

S^ACG-SADCG=/G:DG=2:1

SADCG=1

???SAZCG=2

*'?^^ACD-'△ZCG+S^OCG=2+1=3

■：AD是A4BC的邊3c上的中線

S&ABD=S/\ACD=3

=2x3=6

即△A8C的面積為6

22.（2021?全國九年級課時練習）如圖，A/BC中，。為5C邊的中點，延長4D至￡,延長交CE于P,

若AD=2DE,求證：AP=3AB.

【答案】見詳解

【分析】

2

過點8作瓦HINE交PC于點尸，可證。E為48尸C的中位線，進而可得到8尸再證

△PBFs^PAE,利用相似三角形的性質可證明結論成立.

【詳解】

過點B作BFUE交PC于點F,

■.BFWDE,點。為2C的中點，

：.DE為MFC的中位線，??.3尸=2。區(qū)

?-AD=2DE,

22

：.AD=-AE,BF=AD=-AE.

33

■.■BFWAE,

??.△PBFFPAE,

PB_BF

PA-AE

2

：.PB=-PA,

3

.-.AP=3AB.

23.(2021?西安市匯文中學九年級開學考試)如圖，點E是平行四邊形/BCD對角線ZC上一點，點尸在

BE延長線上，S.EF=BE,