山東省青島平度市某中學(xué)2023-2024學(xué)年高一年級上冊10月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期十月份月考

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的

姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.寫在本試卷上無效.

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

4.測試范圍：必修第一冊第一章、第二章.

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1,設(shè)全集U=Z,4={T，°，2,4,7,8},，={-2,—1,1,3,4,8},則韋恩圖中陰影部分表示的集合是

()

A.{-2,0,1,3}B.{-2,1,3,4}

C.{-2,1,3}D.{0,2,7}

【答案】C

【解析】

【分析】先觀察他加圖，得出圖中陰影部分表示的集合，再結(jié)合已知條件即可求解

【詳解】解：圖中陰影部分表示的集合中的元素是在集合8中，但不在集合A中.

又4={-1,0,2,4,7,8},B={-2,-1,1,3,4,8),

則右圖中陰影部分表示的集合是：{-2,1,3).

故選：C.

2.已知貝"()

A.la<b+cB.a(b-c)>b[a-c)

11

C.------>------D.(a-c)3>僅一03

a-cb-c

【答案】D

【解析】

【分析】由不等式的性質(zhì)判斷ACD；取特殊值判斷B.

【詳解】解：對于A,因?yàn)樗訯+Q>/?+Q>Z?+C,即2Q>〃+C,故錯誤;

對于B,取a=3>Z?=2>c=l>0,則〃(方一c)=3vb(〃-c)=4,故錯誤；

對于C,由Q>Z?>C>0,^a—c>b—oQ,所以---<—--,故錯誤；

a-cb-c

對于D,由得a-c>Z?-c>0,所以(〃一。)3,(〃-。丫，故正確.

故選：D.

3.設(shè)4=卜|爐一8無+15=0},B={x\ax-l=0},若AB=B,求實(shí)數(shù)。組成的集合的子集個數(shù)有

A.2B.3C.4D.8

【答案】D

【解析】

【分析】先解方程得集合A,再根據(jù)A3=8得BUA,最后根據(jù)包含關(guān)系求實(shí)數(shù)。，即得結(jié)果.

【詳解】A={X|X2-8X+15=0}={3,5},

因?yàn)锳B=B,所以BuA,

因此3=0,{3},{5},對應(yīng)實(shí)數(shù)。的值為0-一，其組成的集合的子集個數(shù)有23=8,選D.

35

【點(diǎn)睛】本題考查集合包含關(guān)系以及集合子集，考查基本分析求解能力，屬中檔題.

4.已知0<Q-Z?<2,2VQ+Z?<4,則3a+Z?的范圍是（）

A.（4,8）B.（6,10）C.（4,10）D.（6,12）

【答案】C

【解析】

【分析】首先用a—〃和a+Z?表示3。+〃，再根據(jù)條件的范圍，求解3a+〃的范圍.

【詳角軍】^3a+Z?=x(a-Z?)+y(a+Z?)=(x+y)a+(y-x)Z>,

x+y=3\x=l

得，解得：<

y-x=lb=2

所以3a+Z?=（a—Z?）+2（a+Z?）,

因?yàn)?＜。一〃＜2,2＜a+b＜4,所以4＜2（a+Z?）＜8,4＜（a-Z?）+2（a+Z＞）＜10,

所有3。+》的范圍是（4,10）.

故選：C

3

5.已知〃：—3〈左＜0,q：不等式2履2+履一一＜0的解集為R,則。是q的（）

8

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

,3

【分析】首先計(jì)算出不等式2區(qū)2十日——＜0的解集為R時上的取值范圍，再根據(jù)范圍大小即可得出結(jié)論.

8

33

【詳解】若不等式2區(qū)2+區(qū)——＜0的解集為R,當(dāng)左=0時，——＜0符合題意；

88

當(dāng)左W0時，需滿足左＜0且A=R—4x2左x1—1]=左？+3左＜0,解得一3（左＜0,

綜合可得—3V0,而p:—3〈左＜0,所以p能推出q,q不能推出p,

即P是夕的充分不必要條件.

故選：A

1

6.負(fù)實(shí)數(shù)x、＞滿足x+y=-2,則x--的最小值為（）

A.0B.-1C.-41D.-73

【答案】A

【解析】

【分析】由已知可得x=-2-y,再利用基本不等式可求得％-工的最小值.

y

【詳解】因?yàn)樨?fù)實(shí)數(shù)X、y滿足x+y=—2,則x=-2—y＜0,可得—2＜y＜0,

當(dāng)且僅當(dāng)—y=—；（y＜0）時，即當(dāng)y=-l時，等號成立.

1

故工--的最小值為o.

y

故選：A.

7.已知命題：“HxeR,使4x?+(a—2)x+；=0”是假命題，則命題成立的必要不充分條件是

()

A.B,{X[0<QK4}

C.\x\a>41D.{%|0v〃v4}

【答案】B

【解析】

【分析】利用一元二次方程解的情況、含有存在量詞的命題的否定、充分條件和必要條件的定義分析運(yùn)算

即可得解.

1

【詳解】解：?.?**wR,使4爐9+(〃—2)%+—=0”是假命題,

4

91

即“X/x￡R,4%+(〃—2)XH—w0"是真命題，

4

1

即方程4x29+(?！?)冗+—=0沒有實(shí)數(shù)根，

4

21

△=(〃-2)-4x4x—=a?-4a—-4)<0

0<6Z<4,即命題：u3%eR,使4f2)x+；=0”是彳段命題

等價于QG{40<〃v4},

設(shè)有集合/,命題，：a^{a\0<a<4],命題，的必要不充分條件為命題4：acl,

則命題〃而4不能0〃，

???集合同0v〃v4}是集合/的真子集，選項(xiàng)B中集合國0<a<4]滿足要求，

工選項(xiàng)B正確.

故選：B.

8.已知q〉生〉%>0,則使得(1—。/)2<1?=1,2,3)都成立的了取值范圍是

L1^21L1(2)

A.0,—B.0,—C.0,—D.0,—

<a\)II。3JI。3J

【答案】B

【解析】

2

【分析】由（1—qx）2<1可求得°<x<了（q>0）,

【詳解】由（1—。/）2<1,得：1-2平+&2<1,

2

即無（〃；％—2q）<0,解之得0<x<一（q>0）,

%

因?yàn)閝〉生〉生〉0，使得（1一。/）2<1。=1,2,3）都成立,

C2

所以。<x<一；

q

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知集合Af={—2,3/+3x—4，X2+X-4},若2eM，則滿足條件的實(shí)數(shù)》可能為（）

A.2B.-2C.-3D.1

【答案】AC

【解析】

【分析】

根據(jù)集合元素的互異性必有2=39+3%-4或2=d+x—4,解出后根據(jù)元素的互異性進(jìn)行驗(yàn)證即

可.

【詳解】解：由題意得，2=3必+3%—4或2=必+%—4，

若2=3/+3%-4，即必+工―2=0，

二1=-2或x=l,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=—2時，犬+%_4=—2,與元素互異性矛盾，舍去；

當(dāng)x=l時，X2+X-4=-2,與元素互異性矛盾，舍去.

若2=%2+X-4，即％2+X-6=0，

.?.兀=2或尤=-3，

經(jīng)驗(yàn)證x=2或1=-3為滿足條件的實(shí)數(shù)為.

故選：AC.

【點(diǎn)睛】本題主要考查集合中元素的互異性，屬于基礎(chǔ)題.

10.不等式依2+法+°之0的解集是{1-1<尤42},則下列結(jié)論正確的是（）

A.a+b=0B.a+b+c>0C.c>0D.b<0

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，以及二次不等式關(guān)系，列出不等式組，即可求解.

【詳解】因?yàn)椴坏仁健?+法+°20的解集是何―1<XW2},

J+2

1>0

a

可得4<0,且<,所以所以a+b=0,c>0力>。,

-=-2<0c>0

、a

所以A、C正確，D錯誤.

因?yàn)槎魏瘮?shù)y+6x+c的兩個零點(diǎn)為-L2,且圖像開口向下,

所以當(dāng)x=l時，y^a+b+c>0,所以B正確.

故選：ABC.

11.下列命題為真命題是（）

38

A.若元〉一，則函數(shù)y=%+------1的最小值為2

22x-3

B.若根>0,〃>0,mn+m+n=3,則加+〃的最小值為2

Y2+2

C.函數(shù)y=/的最小值為2

G+i

b]

D.若a>0,>>0,a+b=l,則一+—的最小值為2

ab

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)各選項(xiàng)的描述，結(jié)合基本不等式求各目標(biāo)式的最值，注意等號成立的條件，即可判斷各選項(xiàng)

的真假.

2x-38I。2x-38^1Q

【詳解】A：由題意2x-3>0,則>=----+-----+->2.-----------當(dāng)且僅當(dāng)

22x-32V22x-322

2x—3=4時等號成立，為假命題;

B：由題意，加）+加+〃=3V+（加+「）,且加+〃>0,可得m+〃22,當(dāng)且僅當(dāng)加=〃=1時

等號成立，為真命題；

C：y=J%2+1+~^~；—22kx之+1.-=2,當(dāng)且僅當(dāng)爐+i=1時等號成立，為真命題;

+1y+1

：由題設(shè)+工=?+

D29+122當(dāng)且僅當(dāng)。=b時等號成立，為假命題.

abab

故選：BC

12.早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲

學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今天大致相同.而今

我們稱一為正數(shù)。，。的算術(shù)平均數(shù)，J防為正數(shù)。，。的幾何平均數(shù)，并把這兩者結(jié)合的不等式

疝<早（。>0/>0）叫做基本不等式.下列與基本不等式有關(guān)的命題中正確的是（）

A.若〃/?=1,則〃+Z?22

B.若?！?乃〉0,l+l=1,則a+b的最小值為4五

ab

C.若a>0力>0,2a+b=\,則二一+工24

2ab

212

D.若實(shí)數(shù)a,b滿足a>03>0,a+b=4,則的最小值為2

a+2b+2

【答案】CD

【解析】

【分析】取a=-l3=-1可判斷A；構(gòu)造。+8=(。+與仕+$=2+:+。借助均值不等式可判斷B；

\abJba

構(gòu)造」-+:=(，-+1](2a+5)=2+3+學(xué)借助均值不等式可判斷c；令a+2=m,b+2=n,則

2ab\2ab)2ab

—+—=(m~2)2+^-^=m+n+-+--8,借助均值不等式可判斷D

a+26+2mnmn

【詳解】對于A,若a=—1/=—1,則a+〃=—2v2,A錯誤；

ah

對于B,V6Z>0,Z?>0,>0,—>0,

ba

.,.?+Z?=(?+Z?)|-+-|=2+-+->2+2J---=4

\ab)ba\ba

nh

(當(dāng)且僅當(dāng)：=—,即a=b時取等號)，即Q+b的最小值為4,B錯誤;

ba

ah

對于C,V<2,Z?e(0,+oo),>0,—>0,又2a+b=l,

ba

+加小）=2+（+,2+2忌7=4（當(dāng)且僅當(dāng)齊條即時

取等號），C正確;

對于D,令。+2=加>2,6+2=”>2,則和+”=8,Z.-^+-^=(OT-2)-+

。+26+2m

5-2)244c4432、32

=m+n-\---1----o=—l—=>---=-2--

nmnmnmn(m+n（當(dāng)且僅當(dāng)加=〃=4時取等號），即

2j2

」一+上一的最小值是2.D正確.

〃+2Z?+2

故選：CD

第II卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.命題“VxwR,尤之1或x>2”否定是

【答案】BxeR,x<l

【解析】

【分析】求出給定命題的等價命題，再由全稱量詞命題的否定直接寫出結(jié)論即可.

【詳解】命題“VxeR,x?l或尤>2”的等價命題為：VxeR,x>l,

所以所求命題的否定是：BxeR,x<l.

故答案為：3xeR,x<l

x2—2x+4

14.若x>2,則y=-~~三士？的最小值為

x-2

【答案】6

【解析】

龍2—2x+44

【分析】化簡y=—巴士E=2+=+2,然后利用基本不等式求解即可

x-2x-2

【詳解】因?yàn)?>2,

所以--2x+4=(“-2)+2(x—2)+4=計(jì)2+—+2>2+2=6，

x-2x-2x-2Nx-2

4

當(dāng)且僅當(dāng)x—2=—^即1工時，取等號，

x—2

故A_x2—2_x+4的最小值為6,

x-2

故答案為：6

15.設(shè)函數(shù)/(X)=加-2x+c,不等式/(x)>0的解集為(T?,-QD(3,+。。)，若對任意

xe[-l,2],/(%)(加2-4恒成立，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為.

【答案】(F,-2][2,+8)

【解析】

【分析】先根據(jù)不等式的解集求得a=l,c=—3,得到/(耳=三—2x—3,再把對任意xe[―1,2],

/(力4加2—4恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為.2—420恒成立，即可求解.

【詳解】由函數(shù)/(*=依2—2x+c,且不等式/(”>0的解集為(―8,—l)u(3,”)，

即T,3是方程依之-2x+c=0兩個實(shí)數(shù)根，

-1+3=-

可得|"，解得a=l,c=—3,所以/(x)=x2—2x—3,

-1x3=—

、a

又由/(X)——2.x—3=(%—I)2—4,且2],

當(dāng)x=—1時，函數(shù)〃龍)取得最大值，最大值為了(九)1rax=0，

因?yàn)閷θ我釾e[—1,2],/(%)Vnt?—4恒成立，即小2一420恒成立，

解得加W—2或根》2,所以實(shí)數(shù)加的取值范圍為(-8,-2]」2,+8).

故答案為：(-8,-2]一[2,+8).

11,

16.己知非負(fù)實(shí)數(shù)無，>滿足^——+-~-=1,則％+y的最小值為______________.

3x+y2y+2

【答案】|2

【解析】

【分析】將％+丁變形為g[(3x+y)+(2y+2)]—|,再借助“1”的妙用求解作答.

11,

【詳解】非負(fù)實(shí)數(shù)x,>滿足^——+---=1,有3x+y>0,2y+2>0,

3%+y2y+2

則%+y=-[(3x+^)+(2y+2)]--------F--)[(3x+y)+(2y+2)]~—

3333%+y2y+23

=2魂+優(yōu))-冷?噫可?…葭黑

3x+y=2y+2時取“=”,

112

由3%+y=2y+2,------+------^=1得%=不，、=0，

3%+y2y+23

2?

所以當(dāng)x=§,y=O時，％+y的最小值為

2

故答案為：—

四、解答題：本題共6小題，共70分.第17題10分，其他每題12分，解答應(yīng)寫出文字說

明、證明過程或演算步驟.

(2b

17.(1)已知。求證：---->-----.

c-ac-b

(2)已知Q>0,Z?>0,Q+Z?=1,求證：—+

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

【分析】⑴由條件可得C—。>0,。一八0,上〈=，然后可得——,然后可證明；

abab

(2)由條件可得1+2=2+々，1+工=2+q,[1+^][1+^]=(2+^](2+^]=5+2(-+^],然后

aabb\。八b)Ia八bj(ab)

利用基本不等式證明即可.

【詳解】(1),：c>a>b>0,：.c-a>0,c-b>0

a>b>Q),：.-<T，又：c>0,

abab

c-ac-b「八7cab

----<-----,又。一。>0,。一人〉0.---->-----

abc-ac-b

(2)因?yàn)椤?gt;0,Z?>0,Q+Z?=1

所以1+1=1+^±^=2+。，同理1+工=2+@

aaabb

所以11+31+力=〔2+力〔2+力=5+2\+/5+4=9

(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=-時等號成立)

2

18.若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,求：

(1)3x+4y的最小值;

(2)求xy的最小值.

【答案】(1)3x+4y的最小值為5.⑵xy的最小值為圣

【解析】

【詳解】試題分析：(1)變形利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.

(2)正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.

13「

解：(1).??正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,:?—\--=5.

y%

..I,。,、/13、1_3x12y、、1_l3x12yx_

3x+4y=—(3x+4y)(—I—)=—(13H------1--------)>—(13+2I------------)=5

5yx5yx5yyx

???當(dāng)x=l時，f(x)取得最小值，f(1)=3+2=5.

???3x+4y的最小值為1.

當(dāng)且僅當(dāng)X=l,y=2時取等號.

3x+4y的最小值為5.

(2)..?正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,

?'-5xy>2V3xy-

解得：xyN挈，當(dāng)且僅當(dāng)x=3y=2時取等號.

255

，xy的最小值為星.

考點(diǎn)：基本不等式.

19.己知集合4=<0>,B={x|4<x<10)C={x|x<a},全集為實(shí)數(shù)集R.

⑴求Au8，&A)”；

(2)若x&C"是真命題，求。的取值范圍.

【答案】⑴AoJB={x|3<x<10),(^A)nJB={%|7<%<10}

(2)(3,+oo)

【解析】

【分析】(1)解分式不等式化簡集合4求出集合A的補(bǔ)集，然后利用集合運(yùn)算求解即可；

(2)根據(jù)特稱量詞命題真得AcCw0,列不等式求解即可.

【小問1詳解】

因?yàn)锳=<x----<0>={x|3<%<7),所以aA={x|xv3或xN7},

X—1

又3={x[4<xK10},所以AD3={X[3<X<10},@A)c3={x[7Kx<10}；

【小問2詳解】

因?yàn)?mceA,xeC”是真命題，所以AcCw0,

又4={%|34%<7},C=^x\x<a\,所以a>3,即°取值范圍為(3,+8).

20.設(shè)集合A={x|%2—3x+2=。},非空集合8={%|%2+(。一1)%+/一5=0}.

(1)若Ac5={2},求實(shí)數(shù)。的值；

(2)若“xeB”是“xeA”充分條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)a=—3，a—1

(2)[a]a=-3}

【解析】

【分析】(1)解一元二次方程化簡集合A，根據(jù)交集的結(jié)果知2GB，代入計(jì)算并檢驗(yàn)即可求解;

(2)根據(jù)充分條件的概念得5。A,然后對集合B分類討論列式求解即可.

【小問1詳解】

由題意得4={尤|尤2—3%+2=0}={1,2},

因?yàn)锳c3={2},所以2e3，所以22+(0—1)*2+。2一5=0即4+2。_2+。2一5=0，

化簡得6+2a—3=0,即（a+3）（a—1）=0,解得。=—3,。=1,

檢驗(yàn)：當(dāng)a=—3,B={X|X2-4X+4=0}={2},滿足AC6={2},

當(dāng)a=l,B={X|X2-4=0}={-2,2},滿足AC5={2},

所以a=—3,a=l；

【小問2詳解】

因?yàn)槭恰皒eA”充分條件，所以50

①當(dāng)3為單元素集，則A=0,即（a—1）~-4（4—5）=0,得a=§，a=—3,

當(dāng)a=（,3=]—不是集合A的子集，舍去；當(dāng)a=—3,3={2}￡A符合.

、1+2=1—a

②當(dāng)B為雙元素集，則5=4={（1,2},則有<c2U，無解.

IJ[1x2="—5

綜上：實(shí)數(shù)。的取值范圍為{aIa=-3}.

21.某光伏企業(yè)投資144萬元用于太陽能發(fā)電項(xiàng)目，/5eN+）年內(nèi)的總維修保養(yǎng)費(fèi)用為（4"+20”）萬

元，該項(xiàng)目每年可給公司帶來loo萬元的收入.假設(shè)到第九年年底，該項(xiàng)目的純利潤為y萬元.（純利潤=

累計(jì)收入一總維修保養(yǎng)費(fèi)用一投資成本）

（1）寫出純利潤y的表達(dá)式，并求該項(xiàng)目從第幾年起開始盈利.

（2）若干年后，該公司為了投資新項(xiàng)目，決定轉(zhuǎn)讓該項(xiàng)目，現(xiàn)有以下兩種處理方案：

①年平均利潤最大時，以72萬元轉(zhuǎn)讓該項(xiàng)目；

②純利潤最大時，以8萬元轉(zhuǎn)讓該項(xiàng)目.

你認(rèn)為以上哪種方案最有利于該公司的發(fā)展？請說明理由.

【答案】（1）y=T〃2+80〃—i44（〃eN+）,從第3年起開始盈利

（2）選擇方案①更有利于該公司的發(fā)展；理由見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意可得表達(dá)式，令y>0,解不等式即可；

（2）分別計(jì)算兩個方案的利潤及所需時間，進(jìn)而可確定方案.

【小問1詳解】

由題意可知y=100〃一（4"2+20〃）—144=—41+80n-144（neN+）,

令y>0,得-4“2+8O“—i44>0，解得2<“<18,

所以從第3年起開始盈利；

【小問2詳解】

若選擇方案①，設(shè)年平均利潤為％萬元，貝Uy=）=80—4（〃+型］<80—4x2）"?過=32,

nnJVn

當(dāng)且僅當(dāng)〃=9，即〃=6時等號成立，所以當(dāng)〃=6時，％取得最大值32,

n

止匕時該項(xiàng)目共獲利132x6+72=264（萬元）.

若選擇方案②，純利潤y=-4n2+80n-144=-4（n-10）2+256，

所以當(dāng)”=10時，y取得最大值2