山東省青島市西海岸新區(qū)2023-2024學年高一年級上冊期中考試數(shù)學試題（解析版）

2023-2024學年度第一學期期中學業(yè)水平檢測

高一數(shù)學試題

本試題卷共4頁，22題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將準考

證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需要

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

A=X2<X<6

1.已知全集°=區(qū)，{I}>，=（L4）,則下圖中陰影部分表示的集合為（）

A.1%|1<%<2}B.{x[l<x<2}C.{1,2}D.0

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)圖確定陰影部分表示的集合為（dA）nB,根據(jù)集合的補集以及交集運算，即可求得答案.

【詳解】由圖可知陰影部分表示的集合為（屯4）口3,

而令人={犬1工42或*26},故（dA）c3={Hl<x<2},

故選：A

2.函數(shù)/（x）='+6的定義域為（）

X-1

A.1x|0<x<l}B.{x|0Vx<l或%>1}

C.{x[x<0或%>1}D.{x[0<xvl或%>1}

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式列出不等式組，求解即可.

x-1豐0

【詳解】由題意得c，即OW%<1或x〉l，

故定義域為{X|O〈X<1或X>1}.

故選：B.

3.基函數(shù)〃冷=才滿足1<〃2)<5,則2可能等于()

A.1B.2C.3D.-1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件得出關(guān)于a的不等式，驗證即可.

33

【詳解】幕函數(shù)〃x)=x"滿足1<〃2)<5,貝也<2。<],

11.L3

當時，1<22=&<萬，故A正確；

3

當a=2時，292=4〉一，故B錯誤；

2

R3

當4=3時，23二8〉一，故C錯誤；

2

當a=—l時，2-1=-<1,故D錯誤.

2

故選：A

4.“函數(shù)/(%)=￡一依+2023在(-8,1)上單調(diào)遞減”是“a?3”()

A,充分必要條件B.充分不必要條件

C,必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】利用二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出。的范圍，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.

【詳解】函數(shù)/("=犬—依+2023在(-8,1)上單調(diào)遞減，則有^21,解得。之2,

顯然｛a\a>2｝真包含｛a\a>3],

所以“函數(shù)/（尤）=公—◎+2023在（-8,1）上單調(diào)遞減”是“a>3”的必要不充分條件.

故選：C

5.已知集合A={x|依-1=0},5={2,3},若AgB,則實數(shù)0的取值集合為（）

【答案】D

【解析】

【分析】分a=0、awO兩種情況討論，分別確定集合A,即可求出參數(shù)。的集合.

【詳解】因為4={為依—1=0},5={2,3}且4。5,

當。=0時4=0,符合題意；

當awO時A又AgB,所以工=2或』=3,解得a=工或

[aJaa23

綜上可得實數(shù)0的取值集合為

故選：D

6.十七世紀，數(shù)學家費馬提出猜想：“對任意正整數(shù)〃>2,關(guān)于x,y,z的方程x"+y"=z"沒有正整數(shù)

解經(jīng)歷三百多年，1995年數(shù)學家安德魯?懷爾斯給出了證明，使它終成費馬大定理，則費馬大定理的否

定為（）

A.對任意正整數(shù)〃>2,關(guān)于x,y,z的方程+=z"都沒有正整數(shù)解

B.對任意正整數(shù)〃>2,關(guān)于尤，y,z的方程x"+y=z"至少存在一組正整數(shù)解

C.存在正整數(shù)〃W2,關(guān)于無，y,z的方程x"+y"=z"至少存在一組正整數(shù)解

D,存在正整數(shù)〃>2,關(guān)于x,y,z的方程x"+y"=z"至少存在一組正整數(shù)解

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題進行判斷.

【詳解】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，可知，

費馬大定理否定為“存在正整數(shù)〃>2,關(guān)于X,?Z的方程x"+y"=z"至少存在一組正整數(shù)解"，故D

正確.

故選：D.

7.函數(shù)八％）為偶函數(shù)，且對任意玉,々目0,y）（石/%），都有則不等式

%—%2

“2%—4）</（2）的解集為（）

A.（T?,l）D（3,+oo）B.（YQ,3）C.（1,3）D.（l,+oo）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定的條件，可得函數(shù)/（%）在［0,+曳）上單調(diào)遞增，再結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)求解不等式即得.

【詳解】由任意玉,％2目0，+8）（石*%），都有""'一""）>。，得函數(shù)八%）在［0,+8）上單調(diào)遞

Xy—X?

增，

而函數(shù)了（%）為偶函數(shù)，則/（2x-4）</（2）^>/（|2x-4|）</（2）,

于是|2x—4|<2,即|x—2|<1,貝情—1<%—2<1,解得1<%<3,

所以不等式/（2x-4）</（2）的解集為（1,3）.

故選：C

8.已知m>0,n>Q）m2+3mn+2n2—m—n=Q>則—?—的最小值為（）

mn

A.2+30B.3+20C.4《D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定的等式可得加+2〃=1,再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.

【詳解】由爪>0,〃>0,nr+3mn+2rr-m-n=0<得（m+"）（m+2〃-1）=。，

因此加+2〃=1,則工+工=（〃7+2〃）（'+工）=3+殳+Z23+2、^^=3+2應，

mnmnmn'mn

當且僅當立■=',即根=J前時取等號，由<「,解得m=yf1—l,n=T—^~，

mn［加+2〃=12

B11

所以當相=—1,〃=1----時，—I—取得最小值3+

2mn

故選：B

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)/'(%)=胴，則()

A.7(%)的圖象過(0,0)點B./(%)的圖象關(guān)于y軸對稱

C.在(0,+8)上單調(diào)遞增D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】對于選項A,因為“0)=0,所以"％)的圖象過(0,0)點，故A正確;

對于選項B,函數(shù)定義域為R,且/(-%)=正兄=桐=/(%),所以為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對

稱，故B正確；

對于選項C,當x>0時，〃尤)=?=),根據(jù)累函數(shù)性質(zhì)可知，在(0,+。)上單調(diào)遞增，故C

正確；

對于選項D,因為|x|N0,所以/(x)=桐20,故D錯誤.

故選：ABC

10.若3>6>0,m>0,ccR,則()

°°o°b+cbb+mb

A.ac1>be1B.a2>ab>b1C.------>—D.------->—

a+caa+ma

【答案】BD

【解析】

【分析】利用特殊值判斷A、C,根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷B,利用作差法判斷D.

【詳解】對于A：當c=0時42=6/=。，故A錯誤;

對于B：因為a>b>3所以/>ab且ab>b?,所以必>〃，故B正確;

h+ch

對于C：當。=0時——=_,故c錯誤;

a+ca

b+mba[b+m^-b^a+m)m(a-b)

對于D：因為-----

a+maa^a+rri)a^a+rri^，

又a>5>0,加>0,所以。一/?>0,a+m>0,

b+mb八b+mb,,

所以--------->0,則----->一，故D正確；

a+maa+ma

故選：BD

11.已知關(guān)于X的不等式依2+x—2<0,貝I()

A.若。=0,該不等式的解集為{x|x>2}

B.若a>。’該不等式的解集為〔x土質(zhì)<x<±筍

_1_J1+8〃

若—<a<0,該不等式的解集為

82a

D.若a<-，，該不等式的解集為R

【答案】BD

【解析】

【分析】對于選項A,當。=0時，該不等式為一元一次不等式，直接求解可判斷選項A錯誤；對于選項B、

C、D,該不等式為一元二次不等式，借助二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式之間的關(guān)系可以求解

判斷

【詳解】對于選項A,當。=0時，不等式為x—2<0,解得％<2,

所以不等式的解集為卜卜<2},故選項A錯誤;

對于選項B,當a>0時，有A=l+8a>0,

方程—+>2=。的兩個不相等實數(shù)根分別為寸土筍，.士愛，且石5,

“一1一Jl+8a-1+」1+8〃丁人

所以不等式的解集為{％——------<x<——\-------->，故選項B正確；

2a2aj

對于選項C,當-1<a<0時，有A=l+8a>0,

8

方程依2+X—2=o的兩個不相等實數(shù)根分別為玉=-if+8a,々=-1+J1+8a,且石〉々，

2a2a

—1_i_+8〃—1—J]+

所以不等式的解集為％一'------或九〉一\------,故選項C錯誤；

2a2a

、J

對于選項D,當a<-1時，有A=1+8。<0,所以不等式的解集為R,故選項D正確.

8

故選：BD.

12.己知定義在R上的函數(shù)〃尤)滿足：f(x+y)=f(x)f(y),當x>0時，/(%)>1,則()

A./(O)=lB.八%)為奇函數(shù)

C.VxeR,/(x)>0D.是R上增函數(shù)

【答案】ACD

【解析】

【分析】由賦值法取x=y=o,判斷A；取特殊值，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)可判斷B；由已知可推出

反證法說明不可能等于。，判斷C；根據(jù)單調(diào)性定義結(jié)合已知等式可判斷D.

【詳解】對于A,取x=y=O,則/(0)=/(0),則/⑼=0或/(0)=1,

若/(0)=0,則對于任意的尤>0,</(x)=/(x+0)=/(x)/(O)=0,

這與x>0時，/(九)>1不符，故/(0)=1,A正確；

對于B,取x=Ly=—l,則/(0)=/⑴/(—1)=1,

若/(%)為奇函數(shù)，則/(一1)=一/⑴，則/⑴/(—1)40,

這與1)=1矛盾，故了(九)不是奇函數(shù)，B錯誤；

對于C,對于任意的xeR,有/0)=/13+3]=/213]之0,

若存在后eR,使得〃尤0)=0,則/⑼二/5一/"/?)〃—/)：。，

與/(0)=1矛盾，故X/xeR,/(x)>0,C正確；

對于D,取石，々eR,X]>%,則/(西)一/(々)=/(工1一々+々)一/(%2)

=/(^-%2)/(%2)-/(%2)=(/(%1T2)-l)/(x2),

因為X]-工2>0，故/(七一工2)>1，即/(占一工2)一1>0，而/(%2)>°，

故/(石)一/(%2)〉0，即/(工1)〉/(%2)，故了(%)是R上增函數(shù)，D正確，

故選：ACD

三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.

13.某市“招手即停”公共汽車的票價按下列規(guī)定：

(1)5km以內(nèi)(含5km),票價2元；

(2)5km以上，每增加5km,票價增加1元(不足5km的按5km算).

如果某條線路總里程為20km,設(shè)票價為了（%）（元），乘客的里程為x（km）,則/。6）=

【答案】5

【解析】

【分析】根據(jù)題意寫出函數(shù)解析式即可求解

2,0<x<5

【詳解】f（x）=-4,10(xV]5,所以"16)=5

5,15<x<20

故答案為：5

14.在固定壓力差（壓力差為常數(shù)）下，當氣體通過圓形管道時，其流量速率v（單位：cm3/s）與管道

半徑廣（單位：cm）的四次方成正比.若氣體在半徑為2cm的管道中，流量速率為320cm3/s，當該氣體

通過半徑為3cm的管道時，其流量速率為

【答案】1620

【解析】

【分析】可設(shè)丫=匕4伏/0）,代入（2,320）求出左的值，最后代入計算可得.

【詳解】依題意可設(shè)V=Q4（%WO）,則左X24=320,解得左=20,

所以v=20/,當r=3時v=20x34=1620(cm3/s).

故答案為：1620

,x>0

15.已知函數(shù)/（x）={/古，若了（力圖象上存在兩點關(guān)于y軸對稱，寫出一對這樣的點的坐標

,x<0

8

為.

J_J

【答案】

ri}2J8

【解析】

【分析】通過解方程求得正確答案.

【詳解】設(shè)尤>0,則一x<0,

依題意，/（%）=f（-%）,即》3=與，（2x）3=岳,（2x）6=2%,

2x[（2x）5一1]=0,（2x）5_1=0,=:,x=g,y=",

1

所以坐標為

28

16.計算：V65-V63=.(保留小數(shù)點后兩位)

【答案】0.13

【解析】

【分析】利用計算器求出無理數(shù)的近似值，再進行減法運算.

【詳解】V65-V63?8.062-7.937^0.13.

故答案為：0.13.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.己知集合4=卜卜2-5x-14<o],B=^x\a<x<3a-2^.

(1)若a=4,求Ac8；

(2)若Au5=A，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)AnB=|x|4<x<7}

(2)(-oo,3)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意求集合A,3,結(jié)合交集運算求解；

(2)根據(jù)題意可知：B^A,分5=0和340兩種情況，結(jié)合包含關(guān)系運算求解.

【小問1詳解】

由題意得，集合A={R—2<x<7},

當a=4時，B={x|4<x<10},

所以AC5={H4<X<7}.

【小問2詳解】

因為Au5=A，所以50

當5=0時，a>3a-2,即a<l時，滿足

a>\

當Bw0時，即時，由BgA,得<—2<a,解得1<av3；

7>3a—2

綜上，實數(shù)。的取值范圍是(-8,3)

18.己知定義域為｛%eR|"O｝的偶函數(shù)小)滿足：當了>0時，/(x)=x+1,且/(—1)=2.

(1)求/(九)解析式；

(2)用單調(diào)性的定義證明：了(%)在(1,內(nèi))上單調(diào)遞增.

x—,x>0

x

【答案】(1)/(%)=<

—x—,x<0

x

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求解析式；

(2)根據(jù)單調(diào)性的定義證明.

【小問1詳解】

由題知，/(-l)=/(l)=l+a=2,解得〃=1,

設(shè)xvO,則一%>0,所以/(%)=/(—九)=一無一工，

XH--,X>0,

所以/(x)=,]

—x—,x<0.

、x

【小問2詳解】

設(shè)1<玉<九2，

則/'(玉)一/(々)=%一%+工一，=玉一%2一^^=(%一%2)11---

XX

XxX2石％2I12

因為1<%1<九2，所以占一元2<0，%%2>1，<1,1--->0,

一X1X2

所以/(七)一/(%)<°，/(%)</(%),

所以，"工）在（1,+8）上單調(diào)遞增.

19已知函數(shù)/（力=上二匚

X

（1）若x>0,求/（%）的最小值；

（2）若xwO,求打⑺（6-巧的最大值.

【答案】（1）4（2）25

【解析】

【分析】（1）（2）利用基本不等式計算可得；

【小問1詳解】

2+44I~~4

因為x>0,所以“力=r^^=1+二22卜:=4,

當且僅當X=3,即x=2時取等號，所以了（%）的最小值為4.

【小問2詳解】

因為XW0,所以獷⑺（6—x2）=（4+x2）（6—x2）<（4+x）；（6—x）=2、,

當且僅當4+V=6—V，即X=±1時取等號，

所以對■⑺（6—爐）的最大值為25.

20.已知函數(shù)/（X）=￡+2n一同（。>0）?

（1）若a=l,對任意的X］,1,1］都有/（石）—/（%）（左成立，求實數(shù)上的最小值；

（2）存在不相等的實數(shù)為，々€卜L1］使得/（%）=/（%）成立，求正實數(shù)°的取值范圍.

【答案】（1）4（2）0<a<l

【解析】

【分析】⑴轉(zhuǎn)化為/（九）儂一/"LW上成立即可，再利用％目—1』時""的單調(diào)性可得答案;

（2）轉(zhuǎn)化為〃力在不單調(diào)即可，再分。之1、0<。<1討論可得答案.

【小問1詳解】

由題意可得，只需滿足/（力1mx—/（無熊/左成立即可，

又因為，當1,1］時，/(%)=/+2,—1|=》2—2x+2=(x—11+1,

所以了(%)在［—1,1］上單調(diào)遞減，

所以〃4^=〃-1)=5,〃力//⑴，

可得處“力1mx-"41m=4，

所以實數(shù)上的最小值為4；

【小問2詳解】

由題意可得，若存在實數(shù)為，使得/(%)=/($)成立，

則只需滿足了(%)在［-1,1］不單調(diào)即可,

x2+2x-2a,x>a

又因為，(x)=<

x2-2x+2a,x<a

若a21,則/(%)在［—1,1］上單調(diào)遞減，不合題意,

若。則/(%)在［-1,可上單調(diào)遞減，在［a,l］上單調(diào)遞增,符合題意,

所以實數(shù)a的取值范圍是0<”1.

21.己知函數(shù)八%)滿足/(X)+2/(-X)=-X3-9X2.

(1)求〃尤)的解析式；

(2)已知函數(shù)y=0(x)的圖象關(guān)于點尸(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=(p(x+a)-b為奇函

數(shù)，據(jù)此結(jié)論求"％)圖象的對稱中心.

【答案】(1)/(X)=X3-3X2

⑵(1,-2)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意構(gòu)建方程組求函數(shù)解析式；

(2)根據(jù)題中對稱性的性質(zhì)結(jié)合奇函數(shù)的定義運算求解

【小問1詳解】

由題可知：/(x)+2/(-x)=-x3-9x2,則/(一兀)+2/(彳)=/一9彳2,

解得了(%)=父-3*=%2(%-3).

【小問2詳解】

設(shè)/(%)圖象的對稱中心為(a,。)，則函數(shù)8(%)=/(*+。)一/?為奇函數(shù)，

因為g(x)=/(x+a)-Z?=(x+a)2(x+a-3)-b

=x，+(3a-3)x'+(3a2-6a)尤+a，-3c『-b,

又因為g(-x)=—g(x)，所以3(0-1)兀2+。3-3。2-6=0對任意%€1^恒成立，

f3(tz-l)=0[a=l

則;\,解得，c，

a-3a~-b=0[b=-2

所以了(%)圖象的對稱中心為點(1,-2).

22.已知/(x)=J]+x-]-].

(1)求〃％)的最大值；

(2)若關(guān)于尤的方程/(力=加有兩個不等實根，求實數(shù)機的取值范圍；

111

(3)若