湘教版七年級數學下冊解題技巧之平方差公式與完全平方公式的靈活運用 壓軸題六種模型（解析版）

專題07解題技巧專題：平方差公式與完全平方公式的靈活運

用壓軸題六種模型全攻略

寧甜【考點導航】

目錄

春【典型例題】.............................................................................1

【考點一項的位置變換】.......................................................................1

【考點二項數的變換】.........................................................................3

【考點三簡便運算變換】.......................................................................6

【考點四新定義型乘法公式運算】...............................................................8

【考點五連續(xù)相乘應用】.......................................................................9

【考點六整體代換應用】......................................................................15

【典型例題】

【考點一項的位置變換】

例題：（2023上?福建莆田,八年級校考期末）計算：（2y+x）（x-2y）=

【答案】x2-4y2/-4y2+x2

【分析】根據平方差公式即可得.

【詳解】解：（2y+x）（x-2y）=2xy-4y2+X2-2xy=x2-4y2,

故答案為：尤2-4y

【點睛】本題考查了平方差公式，解題的關鍵是掌握平方差公式.

【變式訓練】

1.（2022上.八年級單元測試）計算:（-l-2a）（2a-l）.

【答案】l-4a2

【分析】根據平方差公式計算即可.

【詳解】解：(—1—2tz)(2<7—1)=(—1—2tz)(—1+2tz)=(—1)"—(2fl)-=1—4fl".

故答案為：1-4〃

【點睛】本題考查了平方差公式，能熟練運用平方差公式進行整式的乘法是本題的關鍵.

2.(2023下?湖南婁底?七年級統(tǒng)考期末)計算：(4a+6)(-6+4a)=.

【答案】16a2-b2/-b2+16a2

【分析】利用平方差公式進行求解即可.

【詳解】解：(4a+&)(—&+4a)=：(4a)2—b2—16a2—b2,

故答案為：16cr-b2.

【點睛】本題主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解題的關鍵：(a+b)(a-b)=a2-b2.

3.(2022上?上海黃浦?七年級統(tǒng)考期中)計算：(24-6)(6+20=.

【答案】4a2-b2

【分析】根據多項式乘法法則進行計算即可.

【詳解】(勿-頊b+2a)

=4?2—b2■

故答案是4片-〃.

【點睛】本題考查了多項式的乘法，解答關鍵是平方差公式的應用.

4.(2022上?上海寶山?七年級?？计谥?計算：=；

【答案］---〃/一/H

1616

【分析】利用平方差公式計算即可.

故答案為：

16

【點睛】此題考查了乘法公式，熟練掌握平方差公式是解題的關鍵.

【考點二項數的變換】

例題：(2023上?全國?八年級課堂例題)利用乘法公式簡化運算：

⑴(a+26+c)2；

⑵(x-2y+3z)(x+2y-3z).

Wa2+4ab+4b2+2ac+4bc+c2

(2)x2-4/+12yz-9z2

【分析】此題考查了乘法公式，熟練掌握公式是解答本題的關鍵.完全平方公式是(?！懒?=/±2仍+〃；

平方差公式是(a+b)(a-b)=a2-〃.

(1)把原式變形為[(a+2b)+c]2,把其中的a+2A作為一個整體看成完全平方公式中的把c看成完全

平方公式中的”"，這樣本小題就轉化為4+2%與c這兩項的和的平方的形式了.

(2)包含相同項：x.符號相反的項：-2y與2y；3z與-3z.把x-2y+3z轉化為x-(2y-3z),即可轉化

為x與2y-3z這兩項的差乘這兩項的和的形式.

【詳解】(1)(a+2b+c)2

=[(°+26)+<?]

=(a+2Z?)2+2(a+2Z?)c+c2

—片+4ab+4-b~+2ac+46c+c~?

(2)(x-2y+3z)(x+2y-3z)

=[x-(2y-3z)]『+(2y-3z)]

22

=x-(2y-3z)

=/—(今？—12yz+9z。)=Y—Ay1+12yz—9z2.

【變式訓練】

1.(2023上?河南信陽?八年級?？茧A段練習)用乘法公式計算

(1)(尤+y+z)2

(2)(2x—3+y)(2x—y+3)

【答案】(1)x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz

(2)4x2-y2+6y-9

【分析】本題主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟知(“+6)2=〃+2ab+次(a-6)(a+6)=/-是

解題的關鍵.

(1)根據完全平方公式進行求解即可；

(2)先把(y-3)看做一個整體利用平方差公式去中括號，再根據完全平方公式去小括號即可得到答案.

【詳解】(1)解：原式=(%+?+2z(x+y)+z?

=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz；

(2)解：原式=[2x+(y-3)][2x-(y-3)]

=4-y

=4x2_(y2_6y+9)

=4x2—y2+6y—9.

2.(2023上?天津和平?八年級天津市第二南開中學?？奸_學考試)運用乘法公式計算：

(l)(x+y+l)(x+j-l)

(2)(a+26-I)?

【答案】⑴x?+2孫+-1

(2)a2+4ab+4b2-2a-4b+1

【分析】(1)本題考查整式的乘法公式,把(》+日看成一個整體,然后根據乘法公式："-/=(。+6)(。-6),

即可；

(2)本題考查整式的乘法公式，把(。+力)看成一個整體，然后根據乘法公式：｛a+b^^cr+lab+b1,即

可.

【詳解】(1)(x+y+l)(x+y-l)

=(x+y)2-F

=x2+2xy+y2-1；

(2)(a+2c?1)2

=[(a+2Z?)—I}

=(々+2與2-2(々+2人)+12

=〃2+4ab+4b2—2a—4b+l-

3.(2023上?全國?八年級專題練習)計算：

(1)(a+Z?+l)(a+Z?—1)

(2)(m—2n+p?

【答案】⑴〃2+2"+”1

(2)m2-4mn+4n2+Imp-4np+p2

【分析】本題考查整式混合運算，熟練掌握平方差公式和完全平方公式是解題的關鍵，注意整體思想的運

22

用.平方差公式("+人)(〃一人)="一/和完全平方公式(〃±人)2=a±2ab+b.

(1)把Q+b看做為一個整體，運用平方差公式計算，再運用完全平方公式計算即可；

(2)把機-2〃看做為一個整體，運用完全平方公式計算，再運用完全平方公式計算即可.

【詳解】(1)解：(〃+b+l)(〃+b—1)

=(a+Z?)2—1

—a2+2ab+/—1;

(2)解：(m-2n+/?)2

=(m-+2(m—2n)xp+p1

=m2-4mn+4n2+Imp-4np+p2.

4.(2023上?全國?八年級專題練習)計算題：

⑴(a-2A-3C)2；

(2)(x+2y-z)(x-2y-z)-(x+y-z)2.

【答案】⑴/+4b2+9c2—Aab-6ac+12bc

(2)-5y2-2xy+2yz

【分析】本題考查了整式的乘法，乘法公式；

(1)根據完全平方公式進行計算即可求解；

(2)根據平方差公式與完全平方公式進行計算即可求解.

【詳解】(1)解：原式=(。-26)2-2x(a-2Z?)x3c+9c°

=a2+4b2-4ab—6ac+12bc+9c2

=a2+4b2+9c2-4ab—6ac+126c;

(2)原式=[(x-z)+2y][(x—z)-2yH(x-z)+yf

=(_v_z)2-4y2—(x-z)2-2(x-z)y-y2

=-5y2-2xy+2yz.

【考點三簡便運算變換】

例題：(2024下?全國?七年級假期作業(yè))計算：

(1)298x302；

(2)20032.

【答案】⑴89996；

(2)4012009.

【詳解】解：(1)298x302=(300-2)x(300+2)=3002-22=90000-4=89996.

(2)20032=(2000+3)2=4000000+12000+9=4012009.

【變式訓練】

1.(2022下?湖南郴州?七年級?？计谥?用簡便方法計算下列各題.

(1)197x203；

(2)9982.

【答案】⑴39991

(2)996004

【分析】(1)利用平方差公式進行求解即可；

(2)利用完全平方差公式進行求解即可.

【詳解】(1)解:197x203

=(200-3)(200+3)

=2002-32

=40000-9

=39991；

(2)解:9982

=(1000-2)2

=100()2-2創(chuàng)0002+2?

=1000000-4000+4

=996004.

【點睛】本題考查了平方差公式，完全平方差公式，解題的關鍵是掌握相應的公式進行變形.

2.(2023上?吉林長春?八年級?？计谥?用簡便方法計算：

(1)20232-2022x2024

(2)982+4x98+4

【答案】⑴1

(2)10000

【分析】本題考查的是平方差公式及完全平方公式，

(1)利用平方差公式進行計算即可；

(2)利用完全平方公式進行計算即可.

【詳解】(1)解：20232-2022x2024

=2023?-(2023-l)x(2023+1)

=20232-(20232-1)

=20232-20232+1

=1;

(2)解:982+4x98+4

=(98+2產

=10000.

3.(2024下?全國,七年級假期作業(yè))用簡便方法計算：

(1)10.2x9.8；

(2)1992-199x201;

(3)999x1001+1.

【答案】⑴99.96

(2)-398

(3)106

【詳解】解:(1)原式=(10+0.2)(10-0.2)=100-0.04=99.96.

(2)原式=(200-1)2-(200-1)(200+1)=40000-400+1-40000+1=-400+2=-398.

(3)原式=(1000-1)(1000+1)+1=100()2..I=003)2=106.

【考點四新定義型乘法公式運算】

例題：(2023上?甘肅蘭州?七年級蘭州市第五十五中學?？奸_學考試)對于任意的代數式a,b,c,d,我們

ab(尤7)2x

規(guī)定一種新運算：.根據這一規(guī)定，計算，,、=____________.

ca-3y(x+y)

【答案］x2—y2+6xy

(x—y)2x/、/、

【分析】按照規(guī)定的運算方法把，34化為(尤-y)(x+y)+2x-3y,利用平方差公式計算整理即可.

【詳解】解：根據題意得：

(x-y)2x

-3y(尤+y)

=(x-y)(x+y)+2x.3y,

=尤2_y2+6肛.

故答案為：x2-y2+6xy.

【點睛】本題考查了整式的混合運算，立意較新穎，讀懂規(guī)定運算的運算方法并列出算式是解題的關鍵.

【變式訓練】

ab

1.(2023下?重慶南岸?七年級校聯(lián)考期中)對于實數。、b、c、d,規(guī)定一中運算=ad-bc,那么當

ca

x+1x+2,

=2023時，x=_______.

%—3x—1

【答案】2018

【分析】根據新定義列出方程，然后依據多項式乘以多項式的法則及合并同類項的法則進行化簡，最后解

關于尤的一元一次方程.

【詳解】解：根據題意得：(尤+1)(尤-1)-(％一3)(%+2)=2023,

整理得：x+5=2023,

解得：x=2018.

故答案為：2018.

【點睛】本題考查的是定義新運算，多項式乘以多項式的運算法則，合并同類項的法則，解一元一次方程，

掌握多項式乘以多項式的法則是解題的關鍵.

2.（2023下?廣東揭陽?七年級統(tǒng)考期中）現定義一種運算"回”，對任意有理數加，〃規(guī)定：加十”=加2（7〃-九），

如：1十2=1x20—2）=-2,貝U（a+b）十（。一6）的值是.

【答案】2a%-2//232一2/

【分析】先根據新運算進行變形，再根據整式的運算法則進行計算即可.

【詳解】解：（。+6）十（。-》）

=（a+b）（a-6）［（a+b）-（a-。）］

=（“+6）（a-6）（a+b—a+b）

=（4-62）.26

=2a2b—2b，■

故答案為：2a2b-2b3.

【點睛】本題考查了整式的混合運算，新定義的運算，能正確根據整式的運算法則進行計算是解此題的關

鍵.

【考點五連續(xù)相乘應用】

例題：（2023下?湖南常德?七年級統(tǒng)考期中）計算：2^1+|Jl+^Jl+^Jl+^+^=

【答案】4

【分析】在前面乘一個2x11-￡|,然后再連續(xù)利用平方差公式計算.

【詳解】解：2n+，［i+-i+gj+J

rz1

-4A1-++++

\1214

111

4++

一

一

-一

241241214

-4一+

2828

1

4+

-一

214

-4J-L+JL

2,4214

=4.

故答案為：4.

【點睛】本題考查了平方差公式的運用，添加2x(1是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.(2023上?天津和平?八年級天津市第二南開中學?？奸_學考試)如圖，在邊長為。的正方形上裁去邊長為

。的正方形.

圖1圖2

(1)圖1,陰影面積是；

(2)圖2是將圖1中的陰影部分裁開，重新拼成梯形，根據圖形可以得到乘法公式

(3)運用得到的公式，計算：焉］=

【答案】a2-b1(a+Z?)(a—Z?)=a'—b~

【分析】本題考查平方差公式的證明和應用.理解平方差公式的結構特征是正確應用的前提.

(1)利用大正方形的面積減小正方形的面積即可求得；

(2)根據圖1陰影面積和圖2面積相等即可直接填空；

(3)根據平方差公式計算即可.

【詳解】解：(1)陰影面積是：cr-b1,

故答案為：a2-b2；

(2)根據梯形的面積公式可知圖2中陰影部分的面積為：

2x-（a+b）（a-b）=（a+b）（a-b）,

國可以得到的乘法公式為（。+勿

223344100100

1101

=—x

2100

101

-200,

故答案為：叫J.

2.（2023上?河南新鄉(xiāng)?八年級?？茧A段練習）觀察下面解題過程，解答問題：

題目：化簡（2+1）X（22+1）X（24+1）

解：原式=（2—1）X（2+1）X（22+1）X（24+1）

=（22-1）X（22+1）X（24+1）

-（24-1）X（24+1）

=28-1

問題：化簡（3+l）x（32+l）x（34+l）x（38+l卜…X064+1）.

【答案】|X（3128-1）

【分析】本題考查了平方差公式的應用：根據題干，先整理原式

=1X（3-1）X（3+1）X（32+1）X（34+1）X（38+1）X...X（364+1）,再模仿算式算法，即可作答.

【詳解】解：（3+1）X（32+1）X（34+1）X（38+1）X...X（364+1）

=1X（3-1）X（3+1）X（32+1）X（34+1）X（38+1）X...X（364+1）

=1X（32-1）X（32+1）X（34+1）X（38+1）X...X（364+1）

=1X（34-1）X（34+1）X（38+1）X...X（364+1）

=lx(3?_i)x(3-+1)

=1x(3128-0-

3.（2023上?福建泉州,八年級?？茧A段練習）乘法公式的探究及應用.

圖2

⑴如圖1,可以求出陰影部分的面積是（寫成兩數平方差的形式）；

（2）如圖2,若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個長方形，它的寬是,長是,面積是

.（寫成多項式乘法的形式）

⑶比較兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式.（用式子表達）

⑷運用你所得到的公式，計算下列各題：

①10.3x9.7；

（2）（2m+n-p）（2m~n+p）.

③計算：（1小卜］1一分『白卜

【答案】⑴/

(2)a-bfa+b,(a+b)(a-b)

(3)(Q+b)(a-b)=a2-b2

一

(4)①99.91；(2)Anr-n2+2np-p1；③五^

【分析】（1）利用正方形面積的計算公式并結合已知表示出陰影部分的面積即可；

（2）利用長方形面積的計算公式并結合已知表示出陰影部分的面積即可；

（3）由圖②與圖①陰影部分的面積相等即可得到答案，注意乘法公式等號右邊是展開的形式;

（4）①改寫成平方差公式的形式計算；

②先利用平方差公式計算，再利用完全平方公式計算；

③利用平方差公式變形后約分化簡即可.

【詳解】(1)利用正方形的面積公式可知：陰影部分的面積=〃2—廿.

故答案為4―廿；

(2)由圖可知矩形的寬是長是a+b,所以面積是m+?(a-〃).

故答案為a-b,a+b,(a+?(a-b)；

(3)團兩個圖形陰影部分面積相等，

團(a+b)(a—Z?)=a?—人2.

故答案為：(a+b)(a-b)=a2-b2；

(4)①10.3x9.7

=(10+0.3)(0-0.3)

=100-0.09

=99.91；

(2)(2m+n-p)(2m—n+p)

=[2機+(〃-〃)][2機_

=(2m)2

=4m2-(〃2_2np+p2)

=—x—x—x—x.......x-------x-------x-------x-------

22332021202120222022

12023

—_x____

一22022

2023

一4044

【點睛】本題考查平方差公式的幾何背景，以及平方差公式和完全平方公式的應用，解題的關鍵是讀懂題

意，掌握平方差公式.

4.(2023上?四川內江八年級四川省內江市第二中學校考階段練習)對于一些較為復雜的問題，可以先從簡

單的情形入手，然后歸納出一些方法，再解決復雜問題.

【簡單情形】化簡

(1)(X—l)(x+l)=;

(2)(x-1)(廠+x+l)=；

(3)(尤一1)(彳3+x~+尤+1)=；

【復雜問題】化簡

202320222021

(4)(x-l)(x+x+x+…+x+1)=;

【總結規(guī)律】

(5)觀察以上各式，可以得到：(X-D(X"T+X"-2+L+x+l)=；

【方法應用】

(6)利用上述規(guī)律，計算22023+22°22+22必+…+2+1，并求出該結果個位上的數字.

2320242024

【答案】(1)%-1;(2)%-1；(3)/-I；(4)A:-1；(5)x"-l;(6)2-b個位上的數字是5

【分析】(1)利用平方差公式求解即可；

(2)利用多項式乘以多項式運算法則求解即可；

(3)利用多項式乘以多項式運算法則求解即可；

(4)根據前3個等式的規(guī)律，即可得出結論；

(5)根據前4個等式的變化規(guī)律，即可得出結論；

(6)利用(5)的結論，進行計算，然后根據計算結果得到個位上的數字即可.

【詳解】解：(1)(x—l)(x+l)=x2—1,

故答案為尤2一1；

(2)(x-l)(x2+x+l)=x3+x2+x-x2-x-l=x3-l>

故答案為x3-1；

(3)(xT)，+x2+x+1)=—+X5+X_X5_*2_了_]=%4—1,

故答案為：x4—1;

(4)根據前3個等式可得+⑼+…+》+1)=留24_1,

故答案為：x2024-l；

(5)觀察以上各式，可以得到：(x-D(x"T+x"-2+L+x+l)=x"-l,

故答案為：x"-1；

（6）22023+22022+22021+---+2+1

=（2-l）（22023+22022+2皿】+...+2+1）

=22024-B

021=2>22=4,23=8,24=16,25=32,26=64...,

又2024+4=506,

團2項4的個位上的數字與2,的個位上數字相同，

回2畋4_1的個位上的數字為6-1=5,

【點睛】本題考查平方差公式、多項式乘以多項式、數字類規(guī)律探究，熟練掌握相關運算法則并靈活運用

是解答的關鍵.

【考點六整體代換應用】

例題：（2023上?甘肅平涼?八年級統(tǒng)考期末）閱讀理解：

已知。+少=5,ab=3,求”2+匕2的值.

解:0tz+Z?=5,

0（6z+/?）2=25,BPa2+2ab+b2=25,

回心=3,

0a2+b2=（a+b）2-2ab=19,

參考上述過程解答：

⑴若x-y=-3,xy=-2.

①尤2+V=；

②求（x+yp的值；

（2）已知x+y=7,x2+y2=25,求（x-y）。的值.

【答案】（1）①5；②1

（2）1

【分析】本題考查了完全平方公式的應用，熟記公式的形式，掌握整體思想是解題關鍵.

（1）①根據（*->）2=尤2-2封+V即可求解；②根據（*+封2=尤2+產+2孫即可求解；

（2）根據盯=a+y）一（廠+4）求出沖即可求解.

2

【詳解】（1）解：①回無->=-3,

回（尤_y）2=9,KPx2-2xy+/=9,

團孫二一2,

回+y2=5

故答案為：5

②（x+y）2=x2+y2+2xy=1

（2）解：回％+y=7,x2+y2=25,

肌二（fix"）”

2

回（無—,J=尤？+y2—2xy=l

【變式訓練】

1.（2023上?四川內江?八年級?？计谥校┮阎海?a+26+l）（2a+26—1）=99,則的值為.

【答案】±5

【分析】把2a+26看作一個整體，利用平方差公式將所給條件式變形為（2“+26）2-1=99,由此求出

2a+2b=±10,則a+6=±5.

【詳解】解：回（2。+26+1）（2。+26-1）=99,

回[（2。+2/7）+1][（2a+26）-1]=99,

0（2a+2Z?）2-l=99,

0（2a+2b）—100,

132a+26=±10,

Sa+b=±5,

故答案為：±5.

【點睛】本題主要考查了代數式求值，平方差公式，正確利用平方差公式得到（2.+26）2-1=99是解題的關

鍵.

2.(2023上?山東臨沂?八年級校考階段練習)如果(/+〃+2)(標+廿—2)=45,貝。?+/的值為.

【答案】7

【分析】本題考查了平方差公式的運用，觀察式子特征，把看作一個整體，運用平方差公式展開,

即可作答.

【詳解】解：團(合+2)(/+〃-2)=45

0(a2+&2)2-22=45

0(a2+Z?2)2=49

則6+6=7,a2+b2=-l

0a2>0,b2>0

0?2+^2=-7(舍去)

故答案為：7.

3

3.(2023上?甘肅天水?八年級校聯(lián)考期中)(1)已知。-6=5,"=],求/+〃的值.

(2)已知(々+6)2=36,(a-6)2=4求:Y+b?和油的值.

【答案】(1)28(2)/+尸=20,ab=8.

【分析】(1)利用完全平方公式變形求解即可；

(2)利用完全平方公式變形求解即可.

3

【詳解】解：⑴a-b=5,ab=~,

團(a—b)=a?+b~—2ab—25,

回。^+力？=25+2a6=25+3=28；

(2)回(a+b)-=a~++2ab，(a—b)-=a~+b——2ab

0(a+Z?)2-(a-Z>)2=4ab,即：4ab=36-4=32,

0ab=8,

0a2+b2=(a+6)2—2aZ>=36—2x8=20.

【點睛】本題考查完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵.

4.(2023上?上海浦東新?七年級統(tǒng)考期中)已知尤->=-5,孫=3,求下列各式的值：

d)X2+/；

(2)(3x+2)(3y-2)；

(3)(尤+?.

【答案】⑴31

(2)53

(3)37

【分析】(1)把》一>=-5,