中考數(shù)學(xué)必刷題分類專練：四邊形壓軸綜合問題（原卷版+解析）

備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)必刷真題考點分類專練（全國通用）

專題33四邊形壓軸綜合問題

一、解答題

1.（2022?甘肅蘭州?中考真題）綜合與實踐，【問題情境】：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖1,

在正方形ABC。中，E是的中點，AE1EP,EP與正方形的外角△DCG的平分線交于尸點.試猜想AE

與EP的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

圖1圖2

圖3

（1）【思考嘗試】同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，取A8的中點孔連接EF可以解決這個問題.請在圖1中補全圖形，解答老

師提出的問題.

（2）【實踐探究】希望小組受此問題啟發(fā)，逆向思考這個題目，并提出新的問題：如圖2,在正方形ABC。

中，E為BC邊上一動點、（點E,8不重合），△力EP是等腰直角三角形，^AEP=90°,連接CP,可以求出

NDCP的大小，請你思考并解答這個問題.

（3）【拓展遷移】突擊小組深入研究希望小組提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3,在正方形

ABCD^,E為BC邊上一動點、（點E,B不重合），△4EP是等腰直角三角形，NAEP=90。，連接。P.知

道正方形的邊長時，可以求出AADP周長的最小值.當力B=4時，請你求出AADP周長的最小值.

2.（2022?廣東廣州?中考真題）如圖，在菱形ABCD中,ZBAD=120°,AB=6,連接8。.

⑴求的長；

（2）點E為線段8。上一動點（不與點8,。重合），點尸在邊A。上，且8￡=百。乩

①當CELA8時，求四邊形ABEF的面積；

②當四邊形A8E尸的面積取得最小值時，CE+BCT的值是否也最?。咳绻?，求CE+gCF的最小值；如

果不是，請說明理由.

3.（2022?上海.中考真題）平行四邊形A8CD,若P為8c中點，4P交BD于點E,連接CE.

AA-------刁。

⑴若4E=CE,

①證明ABC。為菱形；

②若力B=5,AE=3,求8。的長.

（2）以4為圓心，4E為半徑，B為圓心，BE為半徑作圓，兩圓另一交點記為點F,且CE=&4E.若F在直線

CE上，求黑的值.

4.（2022?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）綜合與實踐

數(shù)學(xué)是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要研究對象的科學(xué).數(shù)學(xué)實踐活動有利于我們在圖形運動變化的過程中

去發(fā)現(xiàn)其中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，讓我們在學(xué)習(xí)與探索中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，體會數(shù)學(xué)實踐活動帶給我們的

樂趣.

如圖①，在矩形ABC。中，點、E、F、G分別為邊3C、AB,的中點，連接斯、DF,X為。尸的中點，

連接GH.將ABEF繞點8旋轉(zhuǎn)，線段。尸、GH和CE的位置和長度也隨之變化.當△繞點B順時針旋

轉(zhuǎn)90。時，請解決下列問題：

(1)圖②中，AB=BC,此時點E落在AB的延長線上，點廠落在線段3C上，連接猜想G8與CE之間的

數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(2)圖③中，AB=2,BC=3,貝|噂=_________；

CE

(3)當A5=m〃時.—=.

CE

(4)在(2)的條件下，連接圖③中矩形的對角線AC,并沿對角線AC剪開，得△ABC(如圖④).點M、N

分別在AC、BCE連接MN,將ACMN沿MN翻折，使點C的對應(yīng)點P落在AB的延長線上，若平

分/APN,則CM長為.

5.(2022?吉林長春?中考真題)【探索發(fā)現(xiàn)】在一次折紙活動中，小亮同學(xué)選用了常見的A4紙，如圖①，矩

形ABCD為它的示意圖.他查找了A4紙的相關(guān)資料，根據(jù)資料顯示得出圖①中4D=/4B.他先將A4紙

沿過點A的直線折疊，使點B落在4。上，點2的對應(yīng)點為點E,折痕為4F；再沿過點尸的直線折疊，使點

C落在EF上，點C的對應(yīng)點為點X,折痕為FG；然后連結(jié)4G,沿4G所在的直線再次折疊，發(fā)現(xiàn)點。與點

尸重合，進而猜想ANDGmAaFG.

【問題解決】

(1)小亮對上面△力DG三AAFG的猜想進行了證明，下面是部分證明過程:

證明：四邊形48CD是矩形，

/.BAD=NB=NC=ND=90°.

____-1

由折疊可知，/-BAF=-^BAD=45°,^BFA=^EFA.

：.AEFA=Z-BFA=45°.

-'-AF=42AB=AD.

請你補全余下的證明過程.

【結(jié)論應(yīng)用】

(2)/D4G的度數(shù)為________度，梨的值為_________；

AF

⑶在圖①的條件下，點P在線段4F上，且力P=\AB,點Q在線段4G上，連結(jié)FQ、PQ,如圖②，設(shè)AB=a,

則FQ+PQ的最小值為.(用含a的代數(shù)式表示)

6.(2022?吉林長春?中考真題)如圖，在回ABCD中，AB=4,4D=BD=點〃為邊力B的中點，動點

產(chǎn)從點A出發(fā)，沿折線4。-以每秒同個單位長度的速度向終點B運動，連結(jié)PM.作點A關(guān)于直線PM

的對稱點A,連結(jié)AP、A'M.設(shè)點尸的運動時間為f秒.

(1)點。到邊48的距離為；

(2)用含t的代數(shù)式表示線段OP的長；

(3)連結(jié)4。，當線段4。最短時，求ADPA的面積；

(4)當M、A、C三點共線時，直接寫出t的值.

7.(2022?山東臨沂?中考真題)已知AABC是等邊三角形，點8,。關(guān)于直線AC對稱，連接A。，CD.

(2)在線段AC上任取一點P(端點除外)，連接PD將線段尸。繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，使點。落在8A延長線

上的點。處.請?zhí)骄浚寒旤c尸在線段AC上的位置發(fā)生變化時，ADPQ的大小是否發(fā)生變化？說明理由.

(3)在滿足(2)的條件下，探究線段AQ與CP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

8.(2022?內(nèi)蒙古通遼?中考真題)已知點E在正方形A8CD的對角線4C上，正方形2FEG與正方形力BCD有公

共點4

(1)如圖1,當點G在4。上，尸在4B上，求信的值為多少；

⑵將正方形力FEG繞4點逆時針方向旋轉(zhuǎn)a(0。<a<90。)，如圖2,求：器的值為多少；

Du

(3)48=8vLAG=~AD,將正方形力FEG繞4逆時針方向旋轉(zhuǎn)a(0。<a<360°),當C,G,E三點共線時,

請直接寫出DG的長度.

9.(2022?廣西?中考真題)已知NMON=a,點A,8分別在射線。M,ON上運動，AB=6.

圖①圖②圖③

⑴如圖①,若a=90°,取AB中點D,點A,B運動時，點D也隨之運動，點A,2,。的對應(yīng)點分別為A,

連接。D,。。'.判斷。。與。。有什么數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論：

(2)如圖②，若a=60。，以A8為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC,求點。與點C的最大距離：

(3)如圖③，若a=45。，當點A,2運動到什么位置時，△20B的面積最大?請說明理由，并求出△AOB面積

的最大值.

10.(2022?遼寧?中考真題)如圖，在AZBC中，AB=AC=245,BC=4,D,E,尸分別為4C,4的中

點，連接DE,DF.

AAA

M

C

Q，NFZN

El圖2圖3

(1)如圖1,求證：DF=-DE;

2

(2)如圖2,將NEDF繞點。順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到NPDQ,當射線0P交4B于點G,射線DQ交BC于點N

時，連接FE并延長交射線DP于點判斷FN與EM的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖3,在(2)的條件下，當DPI4B時，求ON的長.

11.(2022?貴州貴陽?中考真題)小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對稱的經(jīng)驗，對線段之間、角之間的關(guān)系進行了拓展探究.

如圖，在口48?！辏局?，2N為BC邊上的高，^=m,點M在2D邊上，且84=BM,點E是線段4M上任意一點，

AN

連接BE,將4ABE沿BE翻折得△FBE.

圖①圖②備用圖

⑴問題解決：

如圖①，當NB4D=60。，將AaBE沿BE翻折后，使點F與點M重合，則警=______;

AN

(2)問題探究：

如圖②，當乙82。=45。，將A4BE沿BE翻折后，使求乙48E的度數(shù)，并求出此時小的最小值；

(3)拓展延伸：

當NB力D=30。，將AABE沿BE翻折后，若EF1AD,且2E=MD,根據(jù)題意在備用圖中畫出圖形，并求出

小的值.

12.(2022?遼寧營口?中考真題)如圖1,在正方形2BCD中，點M為CD邊上一點，過點M作MN1CDS.DM=

MN,連接DN,BM,CN,點、P,Q分別為BM,CN的中點，連接PQ.

(1)證明：CM=2PQ；

(2)將圖1中的AOMN繞正方形ABC。的頂點。順時針旋轉(zhuǎn)a((T<a<360。).

①(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請結(jié)合圖2寫出證明過程；若不成立，請說明理由；

②若力B=10,DM=2近，在ADMN繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，當8,M,N三點共線時，請直接寫出線段PQ的

長.

13.(2022?福建?中考真題)已知△ABC三△DEC,AB=AC,AB>BC.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,CB平分NACD求證：四邊形A8OC是菱形；

(2)如圖2,將(1)中的△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于NBAC),BC,OE的延長線相交于點尸，用

等式表示/ACE與NEFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)如圖3,將(1)中的△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于NA8C),若4BAD=4BCD,求NADB的度

數(shù).

14.(2022?湖南永州?中考真題)為提高耕地灌溉效率，小明的爸媽準備在耕地4、B、C、D四個位置安裝四

個自動噴酒裝置(如圖1所示)，A、B、C、。四點恰好在邊長為50米的正方形的四個頂點上，為了用水管

將四個自動噴灑裝置相互連通，爸媽設(shè)計了如下兩個水管鋪設(shè)方案（各圖中實線為鋪設(shè)的水管）.

方案一：如圖2所示，沿正方形4BCD的三邊鋪設(shè)水管；

方案二：如圖3所示，沿正方形力BCD的兩條對角線鋪設(shè)水管.

（1）請通過計算說明上述兩方案中哪個方案鋪設(shè)水管的總長度更短；

（2）小明看了爸媽的方案后，根據(jù)“蜂集原理”重新設(shè)計了一個方案（如圖4所示），

滿足N4EB=乙CFD=120°,AE=BE=CF=DF,EFnAD,請將小明的方案與爸媽的方案比較，判斷誰

的方案中鋪設(shè)水管的總長度更短，并說明理由.（參考數(shù)據(jù)：&=1.4,V3?1.7）

15.（2022.江蘇常州?中考真題）在四邊形48CD中，。是邊BC上的一點.若AOABmAOCD,則點。叫做該

四邊形的“等形點”.

（1）正方形“等形點”（填“存在”或“不存在”）;

（2）如圖，在四邊形4BCD中，邊BC上的點。是四邊形28CD的“等形點”.己知CD=4&，OA=5,BC=12,

連接AC,求AC的長；

（3）在四邊形EFGH中，EH//FG.若邊FG上的點。是四邊形EFGH的“等形點”，求黑的值.

16.（2022?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，在矩形ABC。中，AB=6,8c=4,點M、N分別在A8、AO上，且

點E為8的中點，連接BE交于點?

（1）當尸為BE的中點時，求證：AM=CE-,

⑵若%2,求黑的值;

（3）若MN〃BE,求瑞的值.

17.（2022.貴州銅仁?中考真題）如圖，在四邊形力BCD中，對角線力C與BD相交于點O,記AC。。的面積為S「

△4。3的面積為52.

（1）問題解決：如圖①，若ABHCD,求證：?=鬻

>2U/i'UD

（2）探索推廣：如圖②，若48與CD不平行，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說

明理由.

（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在04上取一點E,使。E=OC,過點E作EF||CD交。。于點R點”為力B的中點,

OH交EF于點、G,且。G=2GH,若詈=|，求覆.

C

18.（2022?黑龍江哈爾濱.中考真題）已知矩形ABCD的對角線4&BD相交于點。，點E是邊力。上一點，連

接BE,CE,OE,且BE=CE.

（1）如圖1,求證：△BEOmACE。；

（2）如圖2,設(shè)BE與力C相交于點尸，CE與BD相交于點H,過點。作4C的平行線交BE的延長線于點G,在不

添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中的四個三角形（AAEF除外），使寫出的每個三角形的面積都

與AaEF的面積相等.

19.(2022?四川成都?中考真題)如圖，在矩形2BCD中，AD=>1),點E是4D邊上一動點(點E不

與4,。重合)，連接BE,以BE為邊在直線8E的右側(cè)作矩形EBFG,使得矩形EBFG-矩形成。。，EG交直線

CD于點H.

⑴【嘗試初探】在點E的運動過程中，AABE與ADEH始終保持相似關(guān)系，請說明理由.

(2)【深入探究】若n=2,隨著E點位置的變化，”點的位置隨之發(fā)生變化，當H是線段CD中點時，求tan/ABE

的值.

(3)【拓展延伸】連接FH,當ABF"是以FH為腰的等腰三角形時，求tan乙48E的值(用含n的代數(shù)式表

示).

20.(2022?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題)同學(xué)們還記得嗎？圖①、圖②是人教版八年級下冊教材“實驗與探究”中我

們研究過的兩個圖形.受這兩個圖形的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組提出了以下三個問題，請你回答：

(1)【問題一】如圖①，正方形4BCD的對角線相交于點。，點。又是正方形ABiQ。的一個頂點，。公交力B于

點E,0cl交BC于點F,貝田E與BF的數(shù)量關(guān)系為；

(2)【問題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫出了圖③：直線加、門經(jīng)過正方形48CD的對稱中心。，直線小分別與

AD.BC交于點E、F,直線n分另I］與AB、CD交于點G、H,S.mln,若正方形4BCD邊長為8,求四邊形。E4G

的面積;

m

圖③'

(3)【問題三】受圖②啟發(fā)，興趣小組畫出了圖④：正方形CEFG的頂點G在正方形ABCD的邊CD上，頂點E在

BC的延長線上，且8c=6,CE=2.在直線BE上是否存在點P,使AZP尸為直角三角形？若存在，求出BP

的長度；若不存在，說明理由.

圖④

21.(2022?內(nèi)蒙古包頭?中考真題)如圖，在平行四邊形4BC。中，2C是一條對角線，且4B=4C=5,BC=6,

E,F是4。邊上兩點，點F在點E的右側(cè)，AE=DF,連接CE,CE的延長線與84的延長線相交于點G.

(1)如圖1,“是BC邊上一點，連接AM,MF,MF與CE相交于點N.

①若2E=|,求4G的長;

②在滿足①的條件下，若EN=NC,求證：AM1BC；

(2)如圖2,連接GF,H是GF上一點，連接若乙EHG=LEFG+乙CEF,且HF=2GH,求EF的長.

22.(2022?海南?中考真題)如圖1,矩形4BCD中，AB=6,4。=8,點尸在邊BC上，且不與點8、C重合,

直線力P與DC的延長線交于點E.

(1)當點P是BC的中點時，求證：4ABP34ECP；

⑵將△力PB沿直線4P折疊得到點8'落在矩形4BCD的內(nèi)部，延長PB'交直線4。于點尸.

①證明R4=FP,并求出在(1)條件下力F的值；

②連接B'C,求APCB，周長的最小值；

③如圖2,BB'交AE于點H,點G是4E的中點，當/瓦48'=2N4EB，時，請判斷與HG的數(shù)量關(guān)系，并說

明理由.

23.(2022.黑龍江綏化?中考真題)我們可以通過面積運算的方法，得到等腰三角形底邊上的任意一點到兩

腰的距離之和與一腰上的高之間的數(shù)量關(guān)系，并利用這個關(guān)系解決相關(guān)問題.

(1)如圖一，在等腰A/IBC中，AB=AC,BC邊上有一點。，過點。作DE14B于E,DF1F,過點C

作CG148于G.利用面積證明：DE+DF=CG.

(2)如圖二，將矩形ABCD沿著EF折疊，使點A與點C重合，點B落在B'處，點G為折痕EF上一點，過點G

作GMJ.FC于M,GN1BC于N.若BC=8,BE=3,求GM+GN的長.

(3)如圖三，在四邊形4BCD中，E為線段BC上的一點，EALAB,ED1CD,連接BD,且差=翌，BC=同，

CDDE

CD=3,BD=6,求ED+EA的長.

24.(2022.河南?中考真題)綜合與實踐

綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動.

(1)操作判斷

操作一：對折矩形紙片A8CD,使與8c重合，得到折痕EF,把紙片展平；

操作二：在上選一點P,沿8尸折疊，使點A落在矩形內(nèi)部點M處，把紙片展平，連接PM,BM.

根據(jù)以上操作，當點〃在環(huán)上時，寫出圖1中一個30。的角：.

(2)遷移探究

小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：

將正方形紙片ABCO按照(1)中的方式操作，并延長PM交。于點°,連接8。.

①如圖2,當點M在上時，NMBQ=°,ZCBQ=°；

②改變點P在上的位置(點P不與點A，。重合)，如圖3,判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明

理由.

(3)拓展應(yīng)用

在(2)的探究中，已知正方形紙片ABC。的邊長為8cm,當FQ=lcm時，直接寫出AP的長.

備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)必刷真題考點分類專練（全國通用）

專題33四邊形壓軸綜合問題

一、解答題

1.（2022.甘肅蘭州?中考真題）綜合與實踐，【問題情境】：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個

問題：如圖1,在正方形A8CD中，E是8c的中點，AELEP,EP與正方形的外角△DCG的

平分線交于尸點.試猜想AE與EP的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

圖3

（1）【思考嘗試】同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，取的中點R連接斯可以解決這個問題.請在圖1中補

全圖形，解答老師提出的問題.

（2）【實踐探究】希望小組受此問題啟發(fā)，逆向思考這個題目，并提出新的問題：如圖2,在

正方形A8CD中，E為邊上一動點（點E,B不重合），△力EP是等腰直角三角形，4AEP=

90。，連接CP,可以求出4DCP的大小，請你思考并解答這個問題.

（3）【拓展遷移】突擊小組深入研究希望小組提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如

圖3,在正方形ABC。中，E為8C邊上一動點（點E,B不重合），A2EP是等腰直角三角

形，乙AEP=90°,連接。尸.知道正方形的邊長時，可以求出AADP周長的最小值.當月B=4

時，請你求出△力DP周長的最小值.

【答案】（1）答案見解析

（2）45°,理由見解析

(3)4+4而，理由見解析

【解析】

【分析】

(1)取的中點F，連接EE利用同角的余角相等說明/PEC=/8AE,再根據(jù)ASA證

明AAFE絲得AE=EP；

(2)在AB上取AF=EC,連接ER由(1)同理可得NCEP=NE4E,則△R4E02XCEP

(SAS),再說明△2所是等腰直角三角形即可得出答案；

(3)作。GLCP,交BC的延長線于G,交CP于。，連接AG,則△DCG是等腰直角三角

形，可知點。與G關(guān)于CP對稱，則4尸+。尸的最小值為AG的長，利用勾股定理求出AG,

進而得出答案.

(1)

解：AE=EP,

理由如下：取的中點R連接ER

E分別為AB、BC的中點,

：.AF=BF=BE=CE,

：.ZBFE=45°,

：.ZAF￡=135°,

:。平分N￡>CG,

：.ZDCP=45°,

/.Z￡CP=135°,

ZAFE=ZECP,

'：AE±PE,

：.ZAEP=90°,

：.ZAEB+ZPEC^90°,

:ZAEB+ZBAE=90°,

：.ZPEC=ZBAE,

：.AAFE^AECP(ASA),

：.AE=EP；

(2)

解：在AB上取AF=EC,連接EF,

圖2

由(1)同理可得/CEP=N/^E,

'：AF=EC,AE=EP,

：.^\FAE^/\CEP(SAS),

：.ZECP=ZAFE,

\"AF=EC,AB=BC,

：.BF=BE,

NBEF=NBFE=45。,

：.ZAFE=135°,

AZ￡CP=135°,

：.ZDCP=45°；

(3)

解：作。GLCP,交8c的延長線于G,交CP于O,連接AG,

圖3

由(2)知，Z￡>CP=45°,

：.ZCDG=45°,

...△OCG是等腰直角三角形，

...點。與G關(guān)于CP對稱，

：.AP+DP的最小值為AG的長,

'：AB=4,

，BG=8,

由勾股定理得AG=4V5，

.?.△AZ)尸周長的最小值為AZ)+AG=4+4V5.

【點睛】

本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題，全等三角形的判

定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

2.(2022.廣東廣州.中考真題)如圖,在菱形ABC。中,ZBAD=120°,AB=6,連接8。.

⑴求2。的長；

⑵點E為線段8。上一動點(不與點8,。重合)，點尸在邊上，且BE二回F,

①當CELAB時，求四邊形ABE尸的面積；

②當四邊形ABEF的面積取得最小值時，CE+gCP的值是否也最??？如果是，CE+V3CF

的最小值；如果不是，請說明理由.

【答案】(1)8。=6V3;

⑵①四邊形ABEF的面積為7百；②最小值為12

【解析】

【分析】

(1)證明△ABC是等邊三角形，可得20=3V3,即可求解；

(2)過點E作的垂線，分別交AD和BC于點M,N,根據(jù)菱形的面積可求出MN=3百，

設(shè)BE=x,貝從而得到EM=MN-EN=3V^-再由8日=我。死可得。尸=當%，

從而得到四邊形的面積s=S^ABD-SQEF=置萬一3V3)2+等,①當CELAB時，

可得點￡是△ABC重心，從而得到8E=CE=|B0qx3禽=2后即可求解；②作C/1_LAD

于“，可得當點E和尸分別到達點。和點H位置時，Cb和CE分別達到最小值；再由s=

g(x-3V3)2+^,可得當％=3H，即BE=38時，s達到最小值，從而得到此時點E

恰好在點。的位置，而點尸也恰好在點〃位置，即可求解.

(1)

解：連接AC,設(shè)AC與8。的交點為O,如圖，

:四邊形ABC。是菱形，

：.AC±BD,OA=OC,AB//CD,AC平分NZMB,

'：zBAD^no°,

：.ZCAB=60°,

.?.△ABC是等邊三角形，

：.BO=ABsm600=6x圾3小

2

BD=2BO=6y/3;

(2)

解：如圖，過點E作AO的垂線，分別交AO和于點M,N,

「△ABC是等邊三角形，

：.AC=AB=6f

由（1）得：BD=643;

菱形ABC。中，對角線8。平分NA8C,AB//CD,BC=AB=6,

；?MN工BC,

???ZBAD=120°,

：.ZABC=60°,

：.ZEBN=30°；

：

.EN=2-BE

??,5菱形48口=之40.80=用'.8配

:.MN=3W，

設(shè)BE=x,貝i]EN=|x,

EM=MN-EN=3W--x,

2

,**S菱形ABCD=ADaMN=6X3V5=18V5，

S^ABD=蘆菱形ABCD=9y[^,

,:BE=WDF,

、l

.,.DrF=-B=E=—\]3x,

V33

SADEF=（DF?EM=^?如%（3百_4）=-^x2+-x,

223\27122

記四邊形A3切的面積為s,

22

.*.5=SAABD-SADEF=943-（--%+-X）=-（X-3V3）+-）

12212v74

?.?點E在2。上，且不在端點，...（KB欣BD,即0<x<6次；

①當CE_LA8時，

'：OB±AC,

；.點E是小ABC重心，

：.BE=CE=lBO=lx3V3=2V3,

此時s-g（2V3-3V3）2+竽=7g，

.?.當CEL4B時，四邊形ABE尸的面積為7百；

②作于X,如圖，

'JCOLBD,CHLAD,而點E和尸分別在8。和A。上，

，當點E和尸分別到達點。和點”位置時，CF和CE分別達到最小值;

在菱形A8CD中，AB//CD,AD=CD,

'：ZBAD=12Q°,

：.ZADC=6G°,

...△AC。是等邊三角形，

：.AH=DH=3,

.,.C//=3A/3,

???s聾（x-3遮）2+竽

.?.當X=3V5，即8￡=3舊時，S達到最小值，

:BE5DF,

：.DF=3,

此時點E恰好在點。的位置，而點尸也恰好在點H位置，

當四邊形面積取得最小值時，CE和CB也恰好同時達到最小值，

/.CE+V3CF的值達至I］最小，

其最小值為CO+^CH=3+V3x3b=12.

【點睛】

本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的重心,

解直角三角形等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì),

三角形的重心，解直角三角形等知識是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?上海?中考真題）平行四邊形48CD,若P為BC中點，4P交BD于點E,連接CE.

⑴若4E=CE,

①證明48CD為菱形；

②若AB=5,AE=3,求BD的長.

（2）以4為圓心，4E為半徑，8為圓心，BE為半徑作圓，兩圓另一交點記為點F,且CE=

V2AE.若F在直線CE上，求黑的值.

DC

【答案】（1）①見解析；②6a

⑵手

【解析】

【分析】

（1）①連接AC交于。，證440E之ACOMSSS）,得/AOE=/COE,從而得NCOE=90。，

則ACL8D,即可由菱形的判定定理得出結(jié)論；

②先證點E是"BC的重心，由重心性質(zhì)得BE=2OE,然后設(shè)OE=x,貝UBE=2x,在Rt^AOE

中，由勾股定理，得042=4屏0E2=32_X2=9-X2,在放"OB中，由勾股定理，得

。42=482_082=52一（3尤）2=25-9/,從而得9-N=25-9N,解得：下魚,即可得O8=3x=3VL再由平

行四邊形性質(zhì)即可得出3。長；

（2）由。A與。B相交于￡、F,得ABLER點E是△ABC的重心，又F在直線CE上，則

CG>AABC的中線,則AG=BG=-AB,根據(jù)重心性質(zhì)得GE=-CE=^AE,CG=CE+GE=^AE,

2222

在MAAGE中，由勾股定理，得一GEE=AE2一（當E）2=UE2,則AG=^AE,所以

222

AB=2AG=^AE,在RdBGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=UE2+（越人石）2=5AE2,

22

則BC=^AE,代入即可求得黑的值.

t>C

（1）

①證明：如圖，連接AC交8￡）于O,

:平行四邊形4BCD,

OA=OC,

；AE=CE,OE=OE,

AAOE^ACOE(SSS),

ZAOE^ZCOE,

ZAOE+ZCOE=180°,

ZCOE=90°,

：.AC±BD,

;平行四邊形4BCD,

，四邊形4BCD是菱形；

@'：OA=OC,

：.。8是AABC的中線，

；P為中點，

尸是△ABC的中線，

...點E是AABC的重心，

：.BE=2OE,

設(shè)OE=x,貝ijBE=2x,

在RfAAOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-無2=9一無2,

在R/AAO8中，由勾股定理，得OA2=AB2_0B2=52_(3X)2=25-9X2,

9-x2-25-9x2,

解得：x=V2,

OB=3x=3版,

:平行四邊形ABC。,

:.BD=2OB=6近;

(2)

解：如圖,

:。A與。2相交于E、F,

：.AB.LEF,

由(1)②知點E是AABC的重心，

又尸在直線CE上，

，CG是AABC的中線，

：

.AG=BG=2-AB,GE=2-CE,

?/C￡=V2AE,

：.GE=^AE,CG=CE+GE=^AE,

22

在汝A4GE中，由勾股定理，得

AG2=AE2-GEE=AE2-(^AE)-=^AE2,

.\AG=^AE,

2

：.AB=2AG=y/2AE,

在放A8GC中，由勾股定理，得

BC2=BG2+CG2=-AE2+(延AE)2=5AE2,

22

:?BCXAE,

?AB__五AE_V10

'.BC-\[SAE~5

【點睛】

本題考查平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，重心的性質(zhì)，勾股定理，相交兩圓的公共弦的性

質(zhì)，本題屬圓與四邊形綜合題目，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬是考?？碱}目.

4.（2022?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）綜合與實踐

數(shù)學(xué)是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要研究對象的科學(xué).數(shù)學(xué)實踐活動有利于我們在圖形運動

變化的過程中去發(fā)現(xiàn)其中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，讓我們在學(xué)習(xí)與探索中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，體

會數(shù)學(xué)實踐活動帶給我們的樂趣.

如圖①，在矩形ABC。中，點、E、F、G分別為邊BC、AB,的中點，連接ERDF,H

為。尸的中點，連接GH.將ABEF繞點B旋轉(zhuǎn),線段。RGH和CE的位置和長度也隨之

變化.當ABEF繞點8順時針旋轉(zhuǎn)90。時，請解決下列問題：

②

⑴圖②中，AB=BC,此時點E落在AB的延長線上，點尸落在線段BC上，連接AF,猜想

GH與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（2）圖③中，AB=2,BC=3,貝1」整=__________；

CE

⑶當"時.—=.

CE

⑷在（2）的條件下，連接圖③中矩形的對角線AC,并沿對角線AC剪開，得AABC（如圖

④）.點M、N分別在AC、BC±,連接MN,將ACMN沿MN翻折，使點C的對應(yīng)點尸落

在4B的延長線上，若PM平分/APN,則CM長為.

【答案】（1）GH=|CE,證明見解析

⑷源

【解析】

【分析】

（1）先證明得AF=CE,再根據(jù)中位線性質(zhì)得（?”三力尸，等量代換即可;

(2)連接A凡先證明△ABK-ACBE,得到A”"的比值，再根據(jù)中位線性質(zhì)得GH^AF,

等量代換即可；

(3)連接AH先證明△ABFs^cBE,用含相、"的代數(shù)式表達出AF：CE的比值，再根據(jù)

中位線性質(zhì)得等量代換即可；

(4)過M作于H,根據(jù)折疊性質(zhì)得/C=/MPN,根據(jù)角平分線證明出/C=/PA〃/,

設(shè)CM=PM=x,HM=y，根據(jù)三角函數(shù)定義找到x、y之間的關(guān)系，再利用△AMWSZ\ABC,

得到翳=槊，代入解方程即可.

(1)

解：GH=^CE,理由如下：

?：AB=BC,四邊形A3CZ)為矩形，

.??四邊形ABCZ)為正方形，

ZABC=ZCBE=90°,

,:E、F為BC,A8中點，

：.BE=BF,

：.&ABF絲KCBE,

：.AF^CE,

為DP中點,G為AD中點，

：.GH^-AF,

2

：.GH=-CE.

2

(2)

解AT,:而GH=?1

連接AF如圖所示，

11R

由題意知，BF=j715=1,B￡=|BC=|,

.AB_BF_2

**BC~BE~3f

由矩形ABC。性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)知，ZABC=ZCBE=90°,

bABFsxCBE,

：.AF：CE=2:3,

為A。中點，H為DE中點,

：.GH^-AF,

2

.GH_1

??——.

CE3

故答案為：，

(3)

解：苗=手,

連接AF如圖所示,

由題意知，BF=^AB=^,BE=^BC=^,

?AB_BF_m

*9BC~BE~n9

由矩形ABC。性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)知，ZABC=ZCBE=90°,

，八ABFs^CBE,

?'?AF：CE=m：n,

：G為AO中點，”為。尸中點，

：.GH=-AF,

2

?.G?H-=—m.

CE2n

故答案為：京

(4)

解：過M作于"，如圖所示，

由折疊知，CM=PM,ZC=ZMPN,

:PM平分/APN,

：.ZAPM=ZMPN,

：.ZC=ZAPM,

\"AB=2,BC=3,

?'-AC=V22+32=A/13,

設(shè)尤，HM=y,

ADLIl\A

由sin4c=sin乙4PM知，一=—，

ACPM

即言w，廠備，

,:HM〃BC,

：.AAHMSAABC,

,HM_AM

??—，

BCAC

即2=小，y=*x3,

3V13V13

.V13-Xc2x

?,^rx3=^'

解得：x=^i,

故答案為：哼1

【點睛】

本題考查了正方形性質(zhì)、三角形中位線性質(zhì)、折疊性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)、相似三角

形的性質(zhì)與判定、三角函數(shù)定義等知識點，找到相似三角形是解題關(guān)鍵.

5.(2022?吉林長春?中考真題)【探索發(fā)現(xiàn)】在一次折紙活動中，小亮同學(xué)選用了常見的A4

紙，如圖①，矩形力BCD為它的示意圖.他查找了A4紙的相關(guān)資料，根據(jù)資料顯示得出圖

①中AD=VL4B.他先將A4紙沿過點A的直線折疊，使點8落在力D上，點8的對應(yīng)點為

點、E,折痕為4F；再沿過點尸的直線折疊，使點C落在EF上，點C的對應(yīng)點為點X,折痕

為FG；然后連結(jié)4G,沿4G所在的直線再次折疊，發(fā)現(xiàn)點。與點尸重合，進而猜想AADG三

LAFG.

【問題解決】

(1)小亮對上面AADG三AAFG的猜想進行了證明，下面是部分證明過程：

證明：四邊形4BCD是矩形，

；.4BAD=NB=NC=ND=90°.

由折疊可知，4BAF=^BAD=45°,Z.BFA=^EFA.

：./-EFA=A.BFA=45°.

'-AF=42,AB=AD.

請你補全余下的證明過程.

【結(jié)論應(yīng)用】

(2)zn4G的度數(shù)為________度，募的值為_________；

AF

⑶在圖①的條件下，點P在線段力F上，且2P=^4B,點。在線段力G上，連結(jié)FQ、PQ,

如圖②，設(shè)48=a,則FQ+PQ的最小值為.(用含。的代數(shù)式表示)

【答案】(1)見解析

⑵22.5。，V2-1.

(3號a

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AD=AF,/.AFG=AO=90°,由HL可證明結(jié)論；

(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)可得Nn4G=1H4F=22.5。；證明AGCF是等腰直角三角形，可求出

G尸的長，從而可得結(jié)論；

(3)根據(jù)題意可知點尸與點。關(guān)于AG對稱，連接P￡>,則PD為尸。+尸。的最小值，過點

尸作PRLAD,求出PR=AR=0a,求出。R,根據(jù)勾腰定理可得結(jié)論.

4

(1)

證明：四邊形力BCD是矩形，

：./.BAD=NB=NC==90°.

由折疊可知，/-BAF=^ABAD=45°,Z.BFA=Z.EFA.

：.^EFA=4BFA=45°.

'-AF=V2XB=AD.

由折疊得，4CFG=乙GFH=45°,

：.^AFG=^AFE+AGFE=45°+45°=90°

：.^AFG=ND=90°

XAD=AF,AG=AG

：.^ADG三△4FG

(2)

由折疊得，ZBAF=Z.EAF,

又NBAF+AEAF=90°

NEAF=-^BAE=-X90°=45°,

22

由AADGmAAFG得,ZDAG=/.FAG=^Z.FAD=[x45°=22.5",

ZAFG=^ADG=90°,

又NAFB=45°

：.ZGFC=45°,

，ZFGC=45°,

GC=FC.

設(shè)48=x,則BF=x,AF=缶=AD=BC,

'-FC=BC-BF=V2x-x=(V2-l)x

GF=V2FC=(2-V2)x

：.牝=^^=&一1.

AFy[2x

（3）

如圖，連接FD,

YDG=FG

；.AG是五。的垂直平分線，即點尸與點D關(guān)于AG軸對稱，

連接PD交AG于點。，則產(chǎn)0+歹。的最小值為PD的長；

過點尸作PR14。交AD于點R,

'：ADAF=Z.BAF=45°

/.ZAPR=45°.

：.AR=PR

又4R2+PR2=AP2=C）2=《

-'?AR=PR=-a,

4

?'?DRAD-AR=V2a--a=-V2a

44

在RtADPR中,DP2=AR?+PR2

:,DP=V4R2+pR2=J亭/+（呼a）2=ya

；.PQ+FQ的最小值為fa

【點睛】

本題主要考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，最短路徑問題，矩形的性質(zhì)以及勾

股定理等知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.

6.（2022?吉林長春?中考真題）如圖，在團4BCD中，AB=4,AD=BD=履，點M為邊力B

的中點，動點尸從點A出發(fā)，沿折線AD-DB以每秒舊個單位長度的速度向終點8運動,

連結(jié)PM.作點A關(guān)于直線PM的對稱點4,連結(jié)AP、A'M.設(shè)點尸的運動時間為/秒.

D

/2WMB

⑴點。到邊AB的距離為；

(2)用含t的代數(shù)式表示線段DP的長；

⑶連結(jié)AD,當線段4。最短時，求ADPA的面積；

⑷當M、4、C三點共線時，直接寫出f的值.

【答案】(1)3

(2)當0SE1時，DP-V13-V13t；當1＜江2時，PD=V13t-V13；

(3)|

/八2T20

(4年或五

【解析】

【分析】

(1)連接根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得ZJMLAB,再由勾股定理，即可求解；

(2)分兩種情況討論：當0W日1時，點P在4。邊上；當1〈日2時，點尸在8。邊上，即

可求解；

(3)過點尸作PELQM于點E,根據(jù)題意可得點A的運動軌跡為以點M為圓心，AM長為

半徑的圓，可得到當點。、A'、M三點共線時，線段4D最短，此時點尸在A。上，再證明

APDE^￡\ADM,可得DE=3-3t,PE=2—2t,從而得到4E=DE-4。=2-33在

七△4PE中，由勾股定理可得t=|,即可求解；

(4)分兩種情況討論：當點4位于M、C之間時，此時點尸在上；當點A(2")位于C

M的延長線上時，此時點P在BD上，即可求解.

(1)

解：如圖，連接AM,

'：AB=4,AD=BD=同,點M為邊4B的中點,

：.AM=BM=2,DMLAB,

-'-DM=y/AD2-AM2=3,

即點。到邊AB的距離為3；

故答案為：3

(2)

解：根據(jù)題意得：當把區(qū)1時，點P在AO邊上，

DP=V13-V13t;

當1<E2時，點P在2。邊上，PD=Vnt—VI^；

綜上所述，當0SV1時，￡)P=V13-V13t;當1c仁2時，PD=V13C-V13;

(3)

1/作點A關(guān)于直線PM的對稱點4,

：.A'M=AM=2,

，點A的運動軌跡為以點M為圓心，AM長為半徑的圓，

，當點D、A'、M三點共線時，線段4D最短，此時點尸在AQ上,

：.A'D=1,

根據(jù)題意得：A'P=AP=V13t,￡>P=V13-VT3t,

由(1)得：DMLAB,

'：