整式乘法與因式分解 章節(jié)復(fù)習(xí)卷（20個知識點+50題練習(xí)）（解析版）

第09章整式乘法與因式分解章節(jié)復(fù)習(xí)卷（20個知

識點+50題練習(xí)）

知識點

知識點1.單項式乘單項式

運算性質(zhì)：單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式

里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.

注意：①在計算時，應(yīng)先進行符號運算，積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積；②注意按順序運

算；③不要丟掉只在''個單項式里含有的字母因式；④此性質(zhì)對于多個單項式相乘仍然成

立.

知識點2.單項式乘多項式

（1）單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的

每一項，再把所得的積相加.

（2）單項式與多項式相乘時，應(yīng)注意以下幾個問題：

①單項式與多項式相乘實質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為單項式乘以單項式；②用單項式去乘多項式中的每

一項時，不能漏乘；③注意確定積的符號.

知識點3.多項式乘多項式

（1）多項式與多項式相乘的法則：

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積

相加.

（2）運用法則時應(yīng)注意以下兩點：

①相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏②多項式與多項式相乘，仍得多項式，

在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)等于原多項式的項數(shù)之積.

知識點4.完全平方公式

（1）完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2.

可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放”.

（2）完全平方公式有以下幾個特征：①左邊是兩個數(shù)的和的平方；②右邊是一個三項式,

其中首末兩項分別是兩項的平方，都為正，中間一項是兩項積的2倍其符號與左邊的運算

符號相同.

（3）應(yīng)用完全平方公式時，要注意：①公式中的a,b可是單項式，也可以是多項式；②

對形如兩數(shù)和(或差)的平方的計算，都可以用這個公式；③對于三項的可以把其中的兩

項看做一項后，也可以用完全平方公式.

知識點5.完全平方公式的幾何背景

(1)運用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導(dǎo)過程，通過幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對

完全平方公式做出幾何解釋.

(2)常見驗證完全平方公式的幾何圖形

Q+6)2=°2+2必+廬.(用大正方形的面積等于邊長為a和邊長為b的兩個正方形與兩個長

寬分別是6的長方形的面積和作為相等關(guān)系)

知識點6.完全平方式

完全平方式的定義：對于一個具有若干個簡單變元的整式4如果存在另一個實系數(shù)整式

B,使/=爐，則稱/是完全平方式.

a2±2ab+b2=(a±2)2

完全平方式分兩種，一種是完全平方和公式，就是兩個整式的和括號外的平方.另一種是完

全平方差公式，就是兩個整式的差括號外的平方.算時有一個口訣“首末兩項算平方，首末

項乘積的2倍中間放，符號隨中央.(就是把兩項的乘方分別算出來，再算出兩項的乘積，

再乘以2,然后把這個數(shù)放在兩數(shù)的乘方的中間，這個數(shù)以前一個數(shù)間的符號隨原式中間的

符號，完全平方和公式就用+,完全平方差公式就用-,后邊的符號都用+)”

知識點7.平方差公式

(1)平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差.

(a+6)(a-b)=a1-b2

(2)應(yīng)用平方差公式計算時，應(yīng)注意以下幾個問題：

①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；

②右邊是相同項的平方減去相反項的平方；

③公式中的a和6可以是具體數(shù)，也可以是單項式或多項式；

④對形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘的算式，都可以運用這個公式計算，且會比用多項式乘以

多項式法則簡便.

知識點8.平方差公式的幾何背景

（1）常見驗證平方差公式的幾何圖形（利用圖形的面積和作為相等關(guān)系列出等式即可驗證

平方差公式）.

圖圖

圖（3?

（2）運用幾何直觀理解、解決平方差公式的推導(dǎo)過程，通過幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對平

方差公式做出幾何解釋.

知識點9.整式的除法

整式的除法：

（1）單項式除以單項式，把系數(shù)，同底數(shù)塞分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式

里含有的字母，則連同他的指數(shù)一起作為商的一個因式.

關(guān)注從法則可以看出，單項式除以單項式分為三個步驟①系數(shù)相除②同底數(shù)幕相除③

對被除式里含有的字母直接作為商的一個因式.

（2）多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加.

說明：多項式除以單項式實質(zhì)就是轉(zhuǎn)化為單項式除以單項式.多項式除以單項式的結(jié)果仍是

一個多項式.

知識點10.整式的混合運算

（1）有乘方、乘除的混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序運算，其運算順序和有理數(shù)

的混合運算順序相似.

（2）“整體”思想在整式運算中較為常見，適時采用整體思想可使問題簡單化，并且迅速地

解決相關(guān)問題，此時應(yīng)注意被看做整體的代數(shù)式通常要用括號括起來.

知識點11.整式的混合運算一化簡求值

先按運算順序把整式化簡，再把對應(yīng)字母的值代入求整式的值.

有乘方、乘除的混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序運算，其運算順序和有理數(shù)的混合

運算順序相似.

知識點12.因式分解的意義

1、分解因式的定義：

把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解

因式.

2、因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運算，二者是一個式子的不同表現(xiàn)形

式.因式分解是兩個或幾個因式積的表現(xiàn)形式，整式乘法是多項式的表現(xiàn)形式.例如：

X2-1;二一4fX+1）fX-1}

霍代乘法

3、因式分解是恒等變形，因此可以用整式乘法來檢驗.

知識點13.公因式

1、定義：多項式加a+加6+/MC中，各項都含有一個公共的因式"2,因式"2叫做這個多項式各

項的公因式.

2、確定多項式中各項的公因式，可概括為三“定”：

①定系數(shù)，即確定各項系數(shù)的最大公約數(shù)；

②定字母，即確定各項的相同字母因式（或相同多項式因式）；

③定指數(shù)，即各項相同字母因式（或相同多項式因式）的指數(shù)的最低次幕.

知識點14.因式分解-提公因式法

1、提公因式法：如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項

式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

2、具體方法：

（1）當(dāng)各項系數(shù)都是整數(shù)時，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項

的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項式，多項式的次數(shù)取最低

的.

（2）如果多項式的第一項是負的，一般要提出“-”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)成為

正數(shù).

提出“-”號時，多項式的各項都要變號.

3、口訣：找準(zhǔn)公因式，一次要提凈；全家都搬走，留1把家守；提負要變號，變形看奇

偶.

4、提公因式法基本步驟:

(1)找出公因式；

(2)提公因式并確定另一個因式：

①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)再確定字母；

②第二步提公因式并確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公

因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個因式,也可用公因式分別除去原多項式的每一項，

求的剩下的另一個因式；

③提完公因式后，另一因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.

知識點15.因式分解-運用公式法

1、如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法.

平方差公式：a2-b2=(a+6)(a-b)$

完全平方公式：cr+2ab+b2—(a±b)2；

2、概括整合：

①能夠運用平方差公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符

號相反.

②能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(shù)(或式)

的平方和的形式，另一項是這兩個數(shù)(或式)的積的2倍.

3、要注意公式的綜合應(yīng)用，分解到每一個因式都不能再分解為止.

知識點16.提公因式法與公式法的綜合運用

先提取公因式，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解即可.

知識點17.因式分解-分組分解法

1、分組分解法一般是針對四項或四項以上多項式的因式分解，分組有兩個目的，一是分組

后能出現(xiàn)公因式，二是分組后能應(yīng)用公式.

2、對于常見的四項式，一般的分組分解有兩種形式：①二二分法，②三一分法.

例如：①ax+ay+bx+by

=x(a+6)+y(a+6)

=(a+6)(x+j)

②2xy-x2+l-y2

(x2-2xy+y2)+1

=1-(尤_y)2

=(1+x-y)(1-x+y^)

知識點18.因式分解-十字相乘法等

借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項式分解因式的

方法，通常叫做十字相乘法.

①x?+(0+q)xtpq型的式子的因式分解.

這類二次三項式的特點是：二次項的系數(shù)是1；常數(shù)項是兩個數(shù)的積；

可以直接將某些二次項的系數(shù)是1的二次三項式因式分解：

x2+(p+q)x+pq—(x+p)(x+q)

@ax2+bx+c(aWO)型的式子的因式分解

這種方法的關(guān)鍵是把二次項系數(shù)a分解成兩個因數(shù)對，a2的積田P2，

把常數(shù)項C分解成兩個因數(shù)Q,C2的積CJC2，并使O1C2+。2cl正好是一

次項6,那么可以直接寫成結(jié)果：ax2+bx+c=(aix+ci)(aix+c^).

知識點19.實數(shù)范圍內(nèi)分解因式

實數(shù)范圍內(nèi)分解因式是指可以把因式分解到實數(shù)的范圍(可用無理數(shù)的形式來表示)，

一些式子在有理數(shù)的范圍內(nèi)無法分解因式，可是在實數(shù)范圍內(nèi)就可以繼續(xù)分解因式.

例如：/-2在有理數(shù)范圍內(nèi)不能分解，如果把數(shù)的范圍擴大到實數(shù)范圍則可分解

x2-2=x2-(V2)2=(x+V2)(x-揚

知識點20.因式分解的應(yīng)用

1、利用因式分解解決求值問題.

2、利用因式分解解決證明問題.

3、利用因式分解簡化計算問題.

【規(guī)律方法】因式分解在求代數(shù)式值中的應(yīng)用

1.因式分解是研究代數(shù)式的基礎(chǔ)，通過因式分解將多項式合理變形，是求代數(shù)式值的常用

解題方法，具體做法是根據(jù)題目的特點，先通過因式分解將式子變形，然后再進行整體代

入.

2.用因式分解的方法將式子變形時，根據(jù)已知條件，變形的可以是整個代數(shù)式，也可以是

其中的一部分.

練習(xí)卷

單項式乘單項式（共3小題）

1.（2024春?張家港市期中）下列式子運算正確的是（）

A.3a2+2/=5/B.3a2-2a2=1C.3a2-2a2=6a4D.（2a2）3-6a6

【分析】直接利用合并同類項法則以及單項式乘單項式、積的乘方運算法則分別計算，進而

得出答案.

【解答】解：A.3a2+2a2=5a2,故此選項不合題意；

B.3a2-2a2=a2,故此選項不合題意；

C.3?2-2a2=6a4,故此選項符合題意；

D.（2°2）3=8/,故此選項不合題意.

故選：C.

【點評】此題主要考查了合并同類項以及單項式乘單項式、積的乘方運算，正確掌握相關(guān)運

算法則是解題關(guān)鍵.

2.（2024春?徐州期中）^x3-（-3x2y）2=_x7y2_.

【分析】先算乘方，然后根據(jù)單項式乘單項式的運算法則計算即可.

【解答】解：|X3.（-3X2J；）2

=.9x4y2

=x7y2,

故答案為：X7/?

【點評】本題考查了單項式乘單項式，熟練掌握其運算法則是解題的關(guān)鍵.

3.（2024春?姑蘇區(qū)校級期中）計算：

（1）|-2|—（2—萬）°+（—；尸；

（2）a3-（-b3）2+（-2ab2）3.

【分析】（1）先算絕對值，零指數(shù)神，負整數(shù)指數(shù)幕，再算加減即可；

（2）先算積的乘方，再算單項式乘單項式，最后合并同類項即可.

【解答】解：(1)|-21-(2-%)°+(—；)-'

=2-1-3

=-2；

(2)a3-(-b3)2+(-2ab2>)3

=a3-b6-Sa3b6

=a3b6-Sa3b6

=-la3b6.

【點評】本題主要考查單項式乘單項式，積的乘方，實數(shù)的運算，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運

算法則的掌握.

二.單項式乘多項式(共3小題)

4.(2023春?吳江區(qū)月考)下列運算中，結(jié)果正確的是()

A.x3-x3=x6B.3x2+2x2=5x4C.(x2)3=x5D.x(x+y)=x2+y

【分析】根據(jù)同底數(shù)基的乘法，合并同類項，募的乘方，單項式乘多項式運算法則分別判斷

即可.

【解答】解：x3-x3=x6,

故N符合題意；

3x2+2x2=5x2,

故3不符合題意；

(X2)3=X6,

故C不符合題意；

x(x+y)-x2+xy,

故。不符合題意，

故選：A.

【點評】本題考查了同底數(shù)塞的乘法，合并同類項，暴的乘方，單項式乘多項式，熟練掌握

這些知識是解題的關(guān)鍵.

5.(2023春?玄武區(qū)校級期中)3x2(4x-3)=_12/-9/_,2ab-()=6a2bc.

【分析】利用單項式乘多項式的法則，整式的除法的法則進行運算即可.

【解答】解:3X2(4X-3)

=3x2?4x-3x2x3

=12x3-9x2；

6a2bc4-(2ab)=3ac，

故答案為：16x3-9x2；3ac.

【點評】本題主要考查單項式乘多項式，整式的除法，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌

握.

6.(2023春?工業(yè)園區(qū)校級月考)計算：

(1)y3,y2-(3y2)3+/+V；

4

(2)(-3a)(5/-§a+D-(2a)3.

【分析】(1)直接利用積的乘方運算法則以及整式的除法運算法則、同底數(shù)幕的乘法運算法

則分別計算，再合并同類項得出答案；

(2)直接利用單項式乘多項式以及積的乘方運算法則化簡，進而計算得出答案.

【解答】解：(1)原式=丁一27;/+V

-2/-27/；

(2)原式=-15/+4〃-3a-8/

=—23(7+4礦—3a.

【點評】此題主要考查了積的乘方運算、整式的除法運算、同底數(shù)塞的乘法運算、單項式乘

多項式，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵.

三.多項式乘多項式(共3小題)

7.(2024春?蘇州期中)如圖，在數(shù)學(xué)興趣活動中，小吳將兩根長度相同的鐵絲，分別做成

甲、乙兩個長方形，面積分別為岳，星，則岳-星的值是()

m+5

m+3

甲乙m+2

A.16mB.16m+27C.27D.3

【分析】先根據(jù)題意，求出鐵絲的長度，從而求出圖乙中長方形的長，再根據(jù)長方形的面積

公式求出d，s2,從而求出答案即可.

【解答】解：由題意得：鐵絲的長度為：2（加+3+加+5）=2（2加+8）=4掰+16,

d=（機+3）（加+5）

=m2+5加+3機+15

=m2+8m+15,

圖乙中長方形的長為：［（4加+16）-2（加+2）］+2

=（4m+16-2m-4）+2

=（2加+12）+2

=加+6,

S2=（加+6）（加+2）

—m-\-2m+6m+12

=m2+8m+12,

*S*j—S?

=（m2+8m+15）-（m2+8m+12）

-m8m+15—m2-8m-12

=3,

故選：D.

【點評】本題主要考查了多項式乘多項式，解題關(guān)鍵是熟練掌握多項式乘多項式法則，理解

圖甲和圖乙的周長相等.

8.（2024春?姑蘇區(qū)校級期中）若（「+町+2）（2^-4）的結(jié)果中不含產(chǎn)項，則a的值為

2.

【分析】先根據(jù)多項式乘多項式法則計算出結(jié)果，再根據(jù)結(jié)果不含/項，列出關(guān)于。的方

程，解方程即可.

【解答】解：（/+e+2）（2y-4）

=2y3-4y2+2ay2-4ay+—8

3

=2y+(2〃-4)/+(4-4a)y-8,

?.■（/+町+2）（2y-4）的結(jié)果中不含丁項,

2a—4=0,

2。=4,

解得：a=2,

：.a的值為：2,

故答案為：2.

【點評】本題主要考查了多項式乘多項式，解題關(guān)鍵是熟練掌握多項式乘多項式法則.

9.（2023春?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，某市有一塊長為（3a+6）米，寬為（2a+6）米的長方形

地塊，規(guī)劃部門計劃將陰影部分進行綠化，中間將修建一座雕像.

（1）求綠化的面積是多少平方米？（用代數(shù)式表示）

【分析】（1）根據(jù)多項式乘多項式的法則求出陰影部分的面積；

（2）代入a=3,6=2計算即可.

【解答】解：（1）陰影部分的面積=（3a+6）（2。+6）-（。+4

=6a2+5ab+b2-a2-lab-b1

=5a2+3ab；

（2）當(dāng)a=3,6=2時，原式=5x3?+3x3x2=63（平方米）.

【點評】本題考查的是多項式乘多項式，多項式與多項式相乘的法則多項式與多項式相乘,

先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加.

四.完全平方公式（共3小題）

10.2024春?儀征市期中）小剛把（2025x+2022）2展開后得到◎?+云+c,把（2024%+2023）2

展開后得到加f+q,則a的值為（）

A.1B.-1C.4049D.-4049

【分析】根據(jù)完全平方公式分別展開，即可求出.、加的值，然后根據(jù)平方差公式計算即

可.

【解答】解：(2025x+2022)2

=20252X2+2X2025XX2022+20222,

V(2025%+2022)2展開后得到ax2+bx+c,

a=2025",

(2024x+2023>

=20242/+2*2024Xx2023+20232,

(2024x+2023)2展開后得到mx2+nx+q,

m=20242,

a-m

=20252-20242

=(2025+2024)x(2025-2024)

=4049x1

=4049,

故選：C.

【點評】本題考查了完全平方公式、平方差公式，熟練掌握這兩個公式是解題的關(guān)鍵.

11.(2023春?新吳區(qū)期中)已知x+y=8,xy=6,求(x-=40.

【分析】根據(jù)和的平方等于平方和加積的2倍，計算平方和，再根據(jù)完全平方公式的形式,

可得答案.

【解答】解：,.,(x+y)2=x2+y2+2xy=64,

x2+y2-64-2xy=64-2x6=52；

(x-=JC~-2xy+=52-2x6=40.

故答案為：40.

【點評】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方式是解題關(guān)鍵.

12.(2023春?興化市月考)若a+b=5,ab=3,

(1)求/+/的值；

（2）求a-6的值.

【分析】（1）直接利用完全平方公式將原式變形進而得出答案;

（2）直接利用完全平方公式將原式變形進而得出答案.

【解答】解：（1）'：a+b=5,ab=3,

（a+b）2=25,

a2+2ab+b2=25,

a2+Z?2=25—lab=25—6=19；

（2）va2+b2=19,ab=3,

a2+b2-2ab=13,

（"6）2=13,

a-b=±VTs.

【點評】此題主要考查了完全平方公式，正確應(yīng)用完全平方公式是解題關(guān)鍵.

五.完全平方公式的幾何背景（共3小題）

13.（2024春?淮安期中）如圖，C為線段上的一點，分別以NC,8c為邊在N8的兩

側(cè)作正方形和正方形8WG.若48=6,且兩正方形的面積之和工+邑=20,圖中

陰影部分面積為

【分析】圖2中大正方形的面積可以用邊長的平方、各部分圖形面積之和兩種方法來表示,

從而得到一個乘法公式設(shè)圖3中正方形/CDE的邊長為x,正方形2CFG的邊長為y,則

x+y=6,x2+y2=2Q,根據(jù)三角形面積公式將陰影部分的面積用x和y表示出來，根據(jù)之

前得到的乘法公式求得刈并代入計算即可.

【解答】解：圖2中大正方形的面積可以表示為（0+6>,也可以表示為1+246+/,

(a+6)2=+2ab+b~.

設(shè)圖3中正方形的邊長為x,正方形8CFG的邊長為y,貝Ux+y=6,

S]+S?=x~+y1=20')

S陰影=,CD+^CF-AC=^xy+-xy=xy,

■：x+y=6,

(x+j)2=x2+2xy+y1=36,

xy=S,

，陰影部分的面積為8.

故答案為：8.

【點評】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握長方形、正方形和三角形的面積公式是本

題的關(guān)鍵.

14.（2024春?徐州期中）如圖，用四個完全相同且長、寬分別為x,武x>y）的長方形紙片

圍成一個大正方形/BCD,中間是空的小正方形EFGH.已知/5=7,EF=3,則下列關(guān)

系式中不正確的是（）

A.x-y=3B.xy=10C.f一/=21D./+「=40

【分析】根據(jù)拼圖得出x+y=7,X-7=3,進而求出無=5,y=2,再代入分別計算肛,

x2+y2,x2-r的值即可.

【解答】解：由拼圖可知，AB=x+y=-!,EF=x-y=3,

所以x=5,y=2,

所以孫=5x2=10,/+「=25+4=29,x2-/=25-4=21,

因此選項。符合題意，

故選：D.

【點評】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的關(guān)

鍵.

15.（2023春?宜興市月考）如圖1是一個長為2m、寬為2〃的長方形，沿圖中虛線用剪刀

均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成正方形/BCD.

（1）觀察如圖2填空：正方形/8C。的邊長為陰影部分的小正方形的邊長

為;

（2）觀察圖2,試猜想式子（加+“）2,（加-"）2,加〃之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）根據(jù)（2）中的等量關(guān)系，解決如下問題:

①已知a-6=5,ab=-6,求a+6的值;

29

②已知a>0,a——=1,求a+—的值.

圖1圖2

【分析】（1）根據(jù)圖形，正方N8CD的邊長為等于小長方形兩邊的和，陰影部分的正方形

的邊長等于小長方形兩邊的差；

（2）陰影部分的面積可以直接用邊長的平方求解，也可用大正方形的面積減去四個小長方

形是面積，由此解答即可；

（3）先利用（2）中的結(jié)論求（a+2y的值，然后求解即可.

a

【解答】（1）解：正方43CQ的邊長為加+〃，陰影部分的正方形的邊長為加-〃；

故答案為：m+n,m-n；

(2)解：(m+H)2=(m-n)2+4mn,

理由如下：（加+〃）2=加2+2加〃+/

=m—2mn+n2+4mn

=(m-n)2+4mn；

(3)①由(2)(Q+6)2=(Q-6)2+4ab,

a—b=5,ab=-6

.?.(a+b)2=52+4x(-6)=1,

Q+6=±1；

②由(2)5+2)2=5_2)2+4°.2=伍_2)2+8,

aaaa

21

*.*ci----=I，

a

2

(a+-)2=l2+8=9,

a

25

aH—=±3,

a

又。>0,

2

ClH--->0,

a

2c

6ZH----3.

a

【點評】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，熟練掌握完全平方公式的幾何背景進行

求解是解決本題的關(guān)鍵.

六.完全平方式(共3小題)

16.(2023春?阜寧縣期中)若x?-ZHX+25是完全平方式，則機=()

A.-10B.10C.±10D.7或-1

【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可求出m的值.

【解答】解：；》2-加工+25是完全平方式，

m=±10,

故選：C.

【點評】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

17.(2024春?泰興市期中)4x?-4x+正是完全平方式，則常數(shù)加=i.

【分析】根據(jù)完全平方式的特征進行計算，即可解答.

【解答】解：?.?4/-4工+加是完全平方式，

4x~-4.x+加=(2x)2_2.2%-1+12,

.?.加=F=1,

故答案為：1.

【點評】本題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方式的特征是解題的關(guān)鍵.

18.（2024春?玄武區(qū)期中）綜合與實踐.

學(xué)習(xí)整式乘法時，老師拿出三種型號的卡片，如圖1,N型卡片是邊長為。的正方形，2型

卡片是邊長為b的正方形，C型卡片是長和寬分別為a,6的長方形.

（1）選取1張/型卡片，2張C型卡片，1張8型卡片，在紙上按照圖2的方式拼成一個

邊長為（a+6）的大正方形，通過用不同方式表示大正方形的面積，可得到乘法公式

(a+=。~+2ab+b~

（2）如果用若干張N,B,C三種卡片拼成的一個長方形，邊長分別為（2a+6）和

（a+2b）,在虛線框中畫出你的拼圖;

r

（3）選取1張/型卡片，4張C型卡片按圖3的方式不重疊地放在長方形MVP0框架內(nèi),

已知NP的長度固定不變，"N的長度可以變化，圖中兩陰影部分（長方形）的面積分別表

示為工，邑.若。=岳-邑，且0為定值，則a與b的關(guān)系是

【分析】（1）方法一：根據(jù)圖2中大正方形的邊長為（a+6）可得出面積；方法二：根據(jù)圖2

中大正方形是由兩個小正方形（邊長分別為a,6）和兩個長方形（長為a,寬為6）組成可

得出面積；由此即可得出乘法公式;

(2)回出一個長方形的兩鄰邊分別為(2a+6)和(a+26)即可;

(3)設(shè)MN=x,則x的長度可以變化，根據(jù)圖形得S]=-ab,S2=3bx-3ab,則

Q=-S2=(a-3b)x-x2+lab,然后根據(jù)0為定值，x的長度可以變化得a-36=0,由

此可得a與b的關(guān)系.

【解答】解：(1)方法一：?.?圖2中大正方形的邊長為(a+6),

該大正方形的面積為：(a+6)2,

方法二：?.?圖2中大正方形是由兩個小正方形(邊長分別為a,6)和兩個長方形(長為a,

寬為6)組成，

.?.該大正方形的面積為：a2+2ab+b2,

.?.可得到的乘法公式為：(。+6)2=/+2浦+62,

故答案為：(a+b)2=a2+2ab+b2.

(2)用卡片/,B,C拼成的一個長方形，邊長分別為(2a+b)和(a+26),如下圖所示：

(3)設(shè)MN=x,則x的長度可以變化，

?.?四邊形ACVP0為長方形，

PQ=MN=x,

2

：.S]=a(x-a-b)-ax—a-ab,S2=3b(a—x)=3bx—3ab,

22

Q-Sl-S2-(ax—a—ab)—(3bx-3ab)=(a-3b)x—a+lab,

???0為定值，x的長度可以變化，

:.a-3b=0,

二。與b的關(guān)系是：a=36.

故答案為：a=36.

【點評】此題主要考查了幾何背景下的完全平方公式，準(zhǔn)確識圖，熟練掌握正方形，長方形

的面積公式，完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解決問題的關(guān)鍵.

七.平方差公式(共3小題)

19.(2024春?玄武區(qū)期中)下列各式中，不能使用平方差公式計算的是()

A.{a+1)(-6/-1)B.(?-1)(-6Z-1)C.{a+1)(6Z-1)D.{a+1)(1-a)

【分析】對選項中的算式進行計算即可得出答案.

［解答］解：-,?(fl+l)(-a-1)=-(a+l)(a+1)=-(a+1)2,

，(a+1)(-?-1)不能使用平方差公式計算，

故選項/符合題意；

*.*(a-1)(—a—1)-—(a-l)(a+1)=-a2+1?

(a-l)(-a-l)能夠使用平方差公式計算，

故選項2不符合題意；

:(a+l)(6t-1)=a?-1,

+1)(-1)能夠使用平方差公式計算，

故選項C不符合題意；

(a+1)(1—a)=(1+a)(l—a)—1—,

(a+1)(1-a)能夠使用平方差公式計算，

故選項。不符合題意.

故選：A.

【點評】此題主要考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是解決問題的關(guān)

鍵.

20.(2024春?玄武區(qū)校級期中)計算：(x+y)(-x+y)=_/-x2_,("34=.

【分析】根據(jù)平方差公式、完全平方公式分別計算即可.

【解答】解：(x+y)(-x+y)

=(7+x)(y-x)

=y2-x2；

(a-3by=/-6ab+9b2；

故答案為：y2-x2：a2-6ab+9b2.

【點評】本題考查了平方差公式、完全平方公式，熟練掌握這兩個公式是解題的關(guān)鍵.

21.(2023春?鼓樓區(qū)校級月考)運用適當(dāng)?shù)墓接嬎悖?/p>

(1)(-l+3x)(-3x-l)；

(2)(x+1)2-(1-3x)(1+3x).

【分析】(1)根據(jù)平方差公式進行計算即可.

(2)根據(jù)平方差公式、完全平方公式進行計算即可.

【解答】解：(1)原式=(-4-(3x)2=1-9x2；

(2)原式=x?+2x+l-(lx?)

=X2+2X+1-1+9尤2

=10x2+2x.

【點評】本題考查了整式的混合運算，掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.

八.平方差公式的幾何背景(共2小題)

22.(2023春?工業(yè)園區(qū)校級月考)如圖，將邊長為x的大正方形剪去一個邊長為1的小正

方形(陰影部分)，并將剩余部分沿虛線剪開，得到兩個長方形，再將這兩個長方形拼成一

個大的長方形，這兩個圖能解釋一個等式是()

A.x2—X-x(x-1)B.x2—i-(x+l)(x-1)

C.x2-2x+l=(x-l)2D.x?+2x+1=(x+1)-

【分析】根據(jù)圖形可以用代數(shù)式表示出圖1和圖2的面積，由此得出等量關(guān)系即可.

【解答】解：由圖可知，

圖1的面積為：x2-l2,

圖2的面積為：(x+l)(x-l),

所以X2_]=(X+l)(x-1).

故選：B.

【點評】本題考查平方差公式的幾何背景，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的代數(shù)

式.

23.(2023春?寶應(yīng)縣期中)《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽著作，是數(shù)學(xué)

發(fā)展史的一個里程碑.在該書的第2卷“幾何與代數(shù)”部分，記載了很多利用幾何圖形來論

證的代數(shù)結(jié)論，利用幾何給人以強烈印象將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中.

(1)我們在學(xué)習(xí)許多代數(shù)公式時，可以用幾何圖形來推理，觀察下列圖形，圖中各四邊形

均為長方形，找出可以推出的代數(shù)公式；(如圖，下面各圖形均滿足推導(dǎo)各公式的條件，只

需填寫對應(yīng)公式的序號).

(圖1)(圖2)

公式①：(a+b)2=a2+2ab+b2

公式②：(a+b+c)d=ad+bd+bd

公式③：(a+b)(c+d)=ac+ad+be+bd

圖1對應(yīng)公式②，圖2對應(yīng)公式,圖3對應(yīng)公式.

(2)請仿照(1)設(shè)計幾何圖形來推理說明公式(a-b)2=Y-2仍+/:

(3)《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式(。+頌"6)="-6?的方法,

如圖，請寫出證明過程.(圖中各四邊形均為長方形)

a

A

DF

a

M

v

E+<

?

【分析】(1)根據(jù)各個圖形中面積之間關(guān)系可得答案;

(2)仿照(1)根據(jù)式子特點不難設(shè)計幾何圖形;

(3)用代數(shù)式表示圖形中各部分面積，再由面積之間關(guān)系可得結(jié)論.

【解答】解：(1)圖1“整體”上看長是g+6+c),寬為d的長方形，因此面積為

(q+b+c)d，

從"部分”上看三個長方形面積的和為ad+bd+cd,因此(Q+b+c)d=ad+bd+bd,

二.圖①對應(yīng)公式②，

圖2“整體”上看長是(a+b),寬為(c+d)的長方形，因此面積為(a+6)(c+d),

從“部分”上看四個長方形面積的和為ac+ad+bc+bd,因此有

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd，

.?.圖②對應(yīng)公式③，

圖3“整體”上看長是(a+6),寬為(a+b)的長方形,因此面積為伍+有伍+b),

從"部分”上看四個部分面積的和為/+2a6+/,因止匕有(。+6)(。+6)=/+2a6+62,

圖③對應(yīng)公式①，

故答案為②，③，①;

(2)答案如圖所示：

(3)由圖可知：矩形5CEF和矩形片都是正方形，?.?/K=al/=5尸-=b,

BD=BC-CD=a-b,

?0-S矩形板c=

4K-AC=a(a-b)=BF-BD-S^DBFG,

?*,S正方形5CE尸=a'

~S矩形co應(yīng)+S矩形。即G+S正方形EGHL，

=S矩形C￡>〃L+S矩形,c+b,

/=S矩形AKHD+廿’

?，-S^AKHD=AK-AD=(a-b)(a+b),

a2=(a-b)(〃+b)+b2,

(Q+b)(a—b)=￡—b2.

【點評】本題考查了完全平方公式，多項式乘多項式及平方差公式的幾何背景，掌握完全平

方公式，平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提.

九.整式的除法(共3小題)

24.(2023春?清江浦區(qū)校級期中)下列計算正確的是()

A.(mn)2=m2n2B.m2+m3=m5C.m2-i-n2=1D.m2-m3=m6

【分析】根據(jù)積的乘方運算可判斷力,根據(jù)合并同類項可判斷5,根據(jù)同底數(shù)幕的除法可

判斷C,根據(jù)同底數(shù)累的乘法可判斷。，從而可得答案.

【解答】解：（加"）2=,故/符合題意；

病+病豐M，病與加3不是同類項，不能合并，故8不符合題意；

加工/不是同底數(shù)累的除法，運算錯誤，故C不符合題意；

m2-m3=m5,運算錯誤，故。不符合題意；

故選：A.

【點評】本題考查的是積的乘方運算，合并同類項，同底數(shù)幕的除法，同底數(shù)神的乘法，熟

記運算法則是解本題的關(guān)鍵.

25.（2023春?宿城區(qū)校級期中）若一個長方形的面積為4/r，其長為2//,則寬為

lab2_.

【分析】根據(jù)整式的除法運算即可求出答案.

【解答】解：寬為4a3b4+2/我=2曲.

故答案為：2ab2.

【點評】本題考查整式的除法運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用整式的除法運算法則，本題

屬于基礎(chǔ)題型.

26.（2024春?儀征市期中）計算：

（1）（-2）2+2024°-（1）-2；

（2）—2<?8a~.

【分析】（1）先計算平方、零次幕和負整數(shù)指數(shù)幕，再計算加減；

（2）先計算積的乘方和同底數(shù)暴相除，再計算減法.

【解答】解：（1）（-2）2+2024°-（；產(chǎn)；

=4+1—4

=1;

（2）（2*2-2/+/.

=4a6-2a6

=2a6.

【點評】此題考查了實數(shù)及整式的混合運算能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確確定運算順序和方法，并能

進行正確地計算.

一十.整式的混合運算（共3小題）

27.（2023春?廣陵區(qū)期末）如圖，AB=\Q,C為線段上一點（/C<5C）,分別以/C、

99

8C為邊向上作正方形NCDE和正方形8CFG,^^-5^=5,則％比=_一_.

8

【分析】設(shè)正方形ACDE^］邊長為x,根據(jù)S^EF-S^EC=5,可得

工（10一刈？+5x-'xl0x-Lx2=5,即可解出正方形/CDE的邊長為？，正方形8CFG為口,

22222

,199

從而可得SMEC=彳5。?/E=k?

2o

【解答】解：設(shè)正方形4CDE的邊長為x,則正方形5CFG為（10-x）,

(x+10-X)X12

二?S梯形4EFC=2=5x，S的CF=2(10—X)，

12

?e-S四邊形/時E=/(10一%)+5x,

..c_c_c

?U&4EC_J

—=

一（s四邊形48尸E_S^BE）S^EC5，

Bp1（10-x）2+5x-|xl0x-|x2=5,

解得％=2,

2

Q11

二.正方形/CDE的邊長為2,正方形3c尸G為10-x=—,

22

1111999

由22228

故答案為：—.

8

【點評】本題考查正方形與一元而方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出一元二次方程

求出正方形ACDE和正方形5c廠G的邊長.

28.（2024春?徐州期中）下列計算正確的是（）

A.-ma2+ma2=0B.（一ab）5=a5b5

C.(a+b)2=a2+b2D.(a+b)(a+b)=a2-b2

【分析】根據(jù)合并同類項、積的乘方、完全平方公式和平方差公式判斷即可.

【解答】解：/選項中，-ma?+ma°=。,所以工選項正確；

2選項中，(~ab)5=-a5b5,所以2選項錯誤；

C選項中，(a+b)2=a2+2ab+b2,所以C選項錯誤；

。選項中，(a+b)(a+b)=a2+2ab+b1,所以。選項錯誤.

故選/.

【點評】本題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

29.(2023春?惠山區(qū)期中)計算：

(1)(-2)°+(-1)2019-2X(1)-2；

(2)a2-a4+(-2a2)3；

(3)(X+2)2+X(3-X)；

(4)(x+y-3)(x-+3).

【分析】(1)先算零指數(shù)幕，負整數(shù)指數(shù)幕和乘方運算，再算加減；

(2)先算同底數(shù)幕的乘法，積的乘方，哥的乘方，再合并同類項；

(3)先展開，再合并同類項；

(4)先用平方差公式，再用完全平方公式計算即可.

【解答】解:(1)原式=l+(-l)-2x4

=1-1-8

=—8；

(2)原式=/-8°6

=-7a6；

(3)=x2+4x+4+3x-x2

=7x+4；

(4)M^=[X+(7-3)][X-(7-3)]

=4-(y-3)2

=x2-y2+6y-9.

【點評】本題考查整式的混合運算；解題的關(guān)鍵是掌握整式相關(guān)運算的法則.

一十一.整式的混合運算一化簡求值(共2小題)

30.(2023春?宿城區(qū)校級期中)我們知道，同底數(shù)幕的乘法法則為曖""=屋+"(其中

0*0,〃八力為正整數(shù))，類似地我們規(guī)定關(guān)于任意正整數(shù)m、〃的一種新運算：

h(m+n)=/z(m)-h(n)；比如A(2)=3,貝U〃(4)=〃(2+2)=3x3=9,〃(6)

=以2+2+2)=3x3x3=27.若〃(1)=k(k*0),那么/?(“)?力(2023)的結(jié)果是

左〃+2023

【分析】根據(jù)/?(〃?+")=以加)?〃(")，通過對所求式子變形，然后根據(jù)同底數(shù)嘉的乘法計算

即可解答本題.

【解答】解：vh(jn+n)=7z(m)-h(n),h(1)=k(k0),

力5)/(2023)

(\/、

=h1+1+...+1,h1+1+…+1

I)7V20后個7

=/z(l)-//(1)????/z(l)x/i(l)./z(l)..../z(l)

zPb20另個

=左〃?公。23

_左“+2023

故答案為：左〃+2023.

【點評】本題考查同底數(shù)塞的乘法、新定義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用新運算求出

所求式子的值.

31.(2024春?雨花臺區(qū)校級期中)先化簡，再求值：(％-1)?-2(%+3)(-3+x),其中

x——2.

【分析】先根據(jù)完全平方公式和平方差公式去括號，然后合并同類項化簡，最后代值計算即

可得到答案.

【解答】解：(x-l)2-2(x+3)(-3+x)

=X2-2X+1-2(X2-9)

=x2—2x+l—2x2+18

=—%2—2x+19,

當(dāng)x=-2時，原式=-(-2)2-2x(-2)+19=19.

【點評】本題主要考查了整式的化簡求值，熟練掌握整式的混合運算是關(guān)鍵.

一十二.因式分解的意義(共2小題)

32.(2023春?大豐區(qū)期中)若V+mx-15=(x+3)(x+”),則加的值是()

A.-5B.5C.-2D.2

【分析】把等式的右邊展開得x2+mx-l5=x2+nx+3x+3n,然后根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等列

式求解即可.

【解答】解：?/x2+ffix-15=(x+3)(x+ri),

:.x2+mx-\5=x1+nx+3x+3n,

3n=-15,機=〃+3,

解得n=—5Jm=—5+3=—2.

故選：c.

【點評】本題考查因式分解與多項式的乘法是互為逆運算，根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等列出等式是

解本題的關(guān)鍵.

33.(2023春?新吳區(qū)期中)下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是()

A.a(x-y)=ax-ayB.x2-l-(x+l)(x-1)

C.(x+l)(x+3)=x2+4x+3D.x2+2x+\-x(x+2)+1

【分析】根據(jù)因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，可得答案.

【解答】解：/、是整式的乘法，故/錯誤；

8、把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，故8正確；

C、整式的乘法，故C錯誤；

。、沒把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，故。錯誤；

故選：B.

【點評】本題考查了因式分解的意義，因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式,

注意因式分解與整式乘法的區(qū)別.

一十三.公因式(共2小題)

34.(2024春?天寧區(qū)期中)多項式9尤3/-12//中各項的公因式是_3/：2_.

【分析】利用確定公因式的方法求解即可.

【解答】解：9x,r+12x2/中各項的公因式是：3/—.

故答案為：3j2x2.

【點評】此題考查了公因式，掌握公因式定義是關(guān)鍵.

35.（2023春?宿遷期中）多項式6--16丁的公因式為（）

A.2x2B.6x2C.6x3D.48x3

【分析】根據(jù)公因式為系數(shù)的最大公因數(shù)乘以相同字母的最低次幕，求解即可.

【解答】解：多項式6Y一16與的公因式為2一；

故選：A.

【點評】本題考查公因式.熟練掌握公因式是系數(shù)的最大公因數(shù)乘以相同字母的最低次事,

是解題的關(guān)鍵.

一十四.因式分解-提公因式法（共2小題）

36.（2023春?句容市期末）因式分解：

【分析】結(jié)合多項式的特點，直接應(yīng)用提取公因式法進行因式分解即可.

【解答】解：m2-m=m（m-1）

故答案為：-1）.

【點評】本題考查因式分解，正確運用因式分解的方法是本題解題關(guān)鍵.

37.（2023春?秦淮區(qū)校級月考）把多項式6/6-30/+12仍因式分解時，應(yīng)提取的公因式

是（）

A.abB.3crbC.3ab°D.3ab

【分析】公因式的確定：系數(shù)取最大公約數(shù)，相同字母取最低次幕.

【解答】解：6a2b-3ab2+I2ab=3ab（2a-/>+4）,

故選：D.

【點評】本題主要考查了因式分解，掌握公因式的確定是解題的關(guān)鍵.

一十五.因式分解-運用公式法（共2小題）

38.（2024春?寶應(yīng)縣期中）將下列多項式分解因式，所得結(jié)果為（2x-y）（2x+y）的是（）

A.4犬+rB.4x2-y2C.-4x2-y2D./-4x2

【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可.

【解答】解：，、4x2+y2,無法因式分解，故此選項錯誤，不符合題意；

B、4x2-y1-(2x-y\2x+y),正確，符合題意；

C、-4/+「=3+2工)3一2幻，原計算錯誤，不符合題意

D、-4x2-無法因式分解，不符合題意；

故選：B.

【點評】此題主要考查了運用公式法分解因式，熟練應(yīng)用平方差公式是解題關(guān)鍵.

39.(2023春?宿遷期中)若4「+如+9能用公式法進行因式