中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)（10個(gè)高頻考點(diǎn)）解析版

專題12二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反三）

【考點(diǎn)1二次函數(shù)的定義】.....................................................................1

【考點(diǎn)2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)】..............................................................3

【考點(diǎn)3二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系】.........................................................6

【考點(diǎn)4二次函數(shù)的對(duì)稱性】..................................................................11

【考點(diǎn)5二次函數(shù)的最值】....................................................................21

【考點(diǎn)6待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式】.....................................................29

【考點(diǎn)7二次函數(shù)圖象的平移】...............................................................42

【考點(diǎn)8二次函數(shù)與一元二次方程】...........................................................50

【考點(diǎn)9利用二次函數(shù)的圖象確定一元二次方程的近似根】.......................................58

【考點(diǎn)10二次函數(shù)與不等式】..................................................................65

?加蘆,工二

【要點(diǎn)1二次函數(shù)的概念】

一般地，形如y=a/+bx+c（a、b、c是常數(shù)，aW0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù).其中x、y是變量，a、b、c

是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).y=a/+bx+c（a、b、c是常數(shù)，aWO）也叫做二

次函數(shù)的一般形式.

【考點(diǎn)1二次函數(shù)的定義】

【例1】（2022?安徽合肥??？家荒＃┮阎獃=（ni+2）浦加+2是關(guān)于x的二次函數(shù)，那么根的值為

【答案】2

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義未知數(shù)的指數(shù)為2,系數(shù)不為0,列式計(jì)算即可；

【詳解】解：???y=（m+2）x㈤+2是y關(guān)于x的二次函數(shù)，

.,.|m|=2Jlm+2^0,

解得m=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的定義，熟知二次函數(shù)解析式未知數(shù)系數(shù)不為0且指數(shù)為2是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1]（2022?湖南懷化?中考真題）下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（）

A.y=2x+1B.y=—2x+1C.y=x2+2D.y=|x—2

【答案】C

【詳解】根據(jù)二次函數(shù)的定義，形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常數(shù)，axO)的函數(shù)叫做二次函數(shù),

所給函數(shù)中是二次函數(shù)的是y=x2+2.

故選C.

【變式1-2](2022?重慶永川?統(tǒng)考一模)某長方體木塊的底面是正方形，它的高比底面邊長還多50cm,把

這個(gè)長方體表面涂滿油漆時(shí)，如果每平方米費(fèi)用為16元，那么總費(fèi)用與底面邊長滿足的函數(shù)關(guān)系是()

A.正比例函數(shù)關(guān)系B.一次函數(shù)關(guān)系

C.反比例函數(shù)關(guān)系D.二次函數(shù)關(guān)系

【答案】D

【分析】設(shè)底面邊長為xcm,則正方體的高為(x+50)cm,設(shè)總費(fèi)用為y元，則可表示出y與x的函數(shù)關(guān)系,

根據(jù)關(guān)系式即可作出選擇.

【詳解】設(shè)底面邊長為xcm,則正方體的高為(x+50)cm,設(shè)總費(fèi)用為y元，

由題意得：y=16[2%2+4x(%+50)]=96x2+3200x,

這是關(guān)于一個(gè)二次函數(shù).

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了列函數(shù)關(guān)系并判斷函數(shù)形式，關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式.

【變式1-3](2022■江蘇徐州?統(tǒng)考一模)請選擇一組你喜歡的a、b、c的值，使二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a*0)

的圖象同時(shí)滿足下列條件：①開口向下；②當(dāng)x<2時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>2時(shí)，y隨x的增大而減

小.這樣的二次函數(shù)的解析式可以是.

【答案】答案不唯一，只要滿足b=-4a,a<0即可，如y=-x?+4x+3,y=-2x?+8x—3等.

【詳解】試題分析：仔細(xì)分析題中要求根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)果.

答案不唯一，如y=—(x+l)2或y=—(x+1產(chǎn)-2.

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

點(diǎn)評(píng)：二次函數(shù)的性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，是中考必考題，一般難度不大，需熟練掌握.

【要點(diǎn)2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)】

二次函數(shù)的圖象是一條拋物線。當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下。|。|越大,

拋物線的開口越??；|。|越小，拋物線的開口越大。

y=ax2y=ax2+/cy=a(x-h)2y=a(x~h)2+ky=ax2+bx+c

b

對(duì)稱軸y軸y軸x=hx=hx--------

la

(b4ac—b2

(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)

I2a94a/

頂點(diǎn)。>0時(shí)，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)，此時(shí)y有最小值；。<0時(shí)，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)，此時(shí)y有最大

值。最小值（或最大值）為0（k或--------）。

4a

1）

X<o（h或——）時(shí)，y隨X的增大而減??；x>0（/7或——）時(shí)，y隨X的增大而增大。

2a2a

增a>0

即在對(duì)稱軸的左邊，y隨x的增大而減??；在對(duì)稱軸的右邊，y隨x的增大而增大。

減

Z?b

x<o（h或----）時(shí)，y隨x的增大而增大；x>0（/）或-----）時(shí)，y隨x的增大而減小。

性

a<02a2a

即在對(duì)稱軸的左邊，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右邊，y隨x的增大而減小。

【考點(diǎn)2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)】

【例2】（2022?湖北荊門?統(tǒng)考中考真題）拋物線y=1+3上有兩點(diǎn)A（月，”），B（尤2,以），若”〈力,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.0<x/<%2B.X2<Jr；<0

C.X2<X6O或0WX/C&D.以上都不對(duì)

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，即可判定.

【詳解】回拋物線y=/+3開口向上，在其圖象上有兩點(diǎn)A（尤/,”），B（尤2，>2），且以<>2，

回⑶I<|X2|,

EI0<X7<X2>或％2<尤60，或尤2>0,X/40且無2+X/>0,或無2<0,尤7>0且刈+彳/<0,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

【變式2-1]（2022?湖南郴州，統(tǒng)考中考真題）關(guān)于二次函數(shù)y=（久一1）2+5,下列說法正確的是（）

A.函數(shù)圖象的開口向下B.函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-1,5）

C.該函數(shù)有最大值，是大值是5D.當(dāng)?shù)?gt;1時(shí)，y隨尤的增大而增大

【答案】D

【分析】由拋物線的表達(dá)式和函數(shù)的性質(zhì)逐一求解即可.

【詳解】解：對(duì)于尸（X-1）2+5,

Elo=l>0,故拋物線開口向上，故A錯(cuò)誤；

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,5）,故B錯(cuò)誤；

該函數(shù)有最小值，最小值是5,故C錯(cuò)誤；

當(dāng)%>1時(shí)，y隨x的增大而增大，故D正確，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，主要考查函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，要求學(xué)生非常熟悉函數(shù)與

坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)等點(diǎn)坐標(biāo)的求法，及這些點(diǎn)代表的意義及函數(shù)特征.

【變式2-2］（2022?青海西寧?統(tǒng)考中考真題）如圖，"BC中，BC=6,BC邊上的高為3,點(diǎn)。，E,尸分別

在邊BC,AB,AC上，且E脫BC.設(shè)點(diǎn)E到的距離為x,△￡>￡廠的面積為》則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大

致是（）

【分析】過點(diǎn)A向作AH02C于點(diǎn)X,所以根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出EF進(jìn)而求出函數(shù)關(guān)系式，由

此即可求出答案.

【詳解】解：過點(diǎn)A向2C作A/ffiBC于點(diǎn)

解得：EF=2(3-尤)，

則OZJEF的面積y=?2(3-x)x=-x2+3x=-(^-j)2+^,

故y關(guān)于x的函數(shù)圖象是一個(gè)開口向下、頂點(diǎn)坐標(biāo)為(|,》的拋物線.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象，主要利用了相似三角形的性質(zhì)，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3](2022?江蘇鹽城?統(tǒng)考中考真題)若點(diǎn)P(w,①在二次函數(shù)y=/+2刀+2的圖象上，且點(diǎn)P到y(tǒng)

軸的距離小于2,貝切的取值范圍是.

【答案】1Wn<10

【分析】先判斷一2<m<2,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得：n=m2+2m+2=(m+I)2+1,再利用二次

函數(shù)的性質(zhì)求解n的范圍即可.

【詳解】解：???點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離小于2,

—2<m<2,

???點(diǎn)在二次函數(shù)y=/+2%+2的圖象上，

???n=m2+2m+2=(m+l)2+1,

?,?當(dāng)血=一1時(shí)，九有最小值為1.

當(dāng)m=2時(shí)，n=(2+I)2+1=10,

??.九的取值范圍為1<n<10.

故答案為：1W荏V10

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握''二次函數(shù)的增減性〃是解本題的關(guān)鍵.

【要點(diǎn)3二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)之間的關(guān)系】

①二次項(xiàng)系數(shù)a：總結(jié)起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，。的正負(fù)決定開口方向，時(shí)的大小決定

開口的大小.

b

②一次項(xiàng)系數(shù)6：在a確定的前提下，b決定了拋物線對(duì)稱軸的位置，對(duì)稱軸x=——在y軸左邊則ab>。,

2a

在y軸的右側(cè)則ab<0,概括的說就是“左同右異”

③常數(shù)項(xiàng)c：總結(jié)起來，c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置.

【考點(diǎn)3二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系】

【例3】（2022?遼寧朝陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)（a為常數(shù)，且axO）的圖象過點(diǎn)（-1,

0）,對(duì)稱軸為直線尤=1,且2<c<3,則下列結(jié)論正確的是（）

A.abc>0B.3a+c>0

C.a2m2+abm<a2+ab（相為任意實(shí)數(shù)）D.-l<a<-|

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案.

【詳解】解：A.拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，則仍<0,而c>0,

故a6c<0,不正確，不符合題意；

B.函數(shù)的對(duì)稱軸為直線X=-2=L則6=-2a,

2a

團(tuán)從圖象看，當(dāng)時(shí)，y=a-b+c=3a+c=0,

故不正確，不符合題意；

C.團(tuán)當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)有最大值為y=a+b+c,

0am2+bm+c<a+6+c（m為任意實(shí)數(shù)），

2

0am+bm<a+b9

團(tuán)〃VO,

2

團(tuán)a27n2_|_abm>a+ab（m為任意實(shí)數(shù)）

故不正確，不符合題意；

D.IE--=1,故氏-2”，

2a

取=-1，y=O,故a-b+c=O,

0c=-3a,

EI2<c<3,

02<-3a<3,

0-l<a<-I，故正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用圖象與系數(shù)的關(guān)系，本題屬于中等題型.

【變式3-1]（2022?內(nèi)蒙古?中考真題）如圖，拋物線y=a/+6x+c（a片0）的對(duì)稱軸為直線久=1,拋

物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（一1,0））,下列結(jié)論：?abc<0；②3a+c=0；③當(dāng)y>0時(shí)，尤的取值

范圍是—1《比<3；④點(diǎn)（―2,%），（2,%）都在拋物線上，則有其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)拋物線的開口，對(duì)稱軸，特殊值彳=；可判斷①②正確，根據(jù)圖像可得，當(dāng)y>0時(shí)，是x軸上

方的圖像，可判斷③錯(cuò)誤，求出乃=4a-2b+c,y2=4a+2b+c,結(jié)合①②的結(jié)論即可判斷出④正

確.

【詳解】回拋物線的開口向下，a<0,對(duì)稱軸為x=l,

勖=—2a>0,

回拋物線交于y軸正半軸，

配>0,

回abc<0,故①正確；

團(tuán)拋物線與％軸交于（-1,0）,

團(tuán)當(dāng)x=-l時(shí)，a—Z）+c=0,

勖=-2a,

團(tuán)將b=—2a代入a—b+c=0,得3〃+c=0,故②正確；

根據(jù)圖像可得，當(dāng)>0時(shí)，是x軸上方的圖像，拋物線過點(diǎn)卜L。），對(duì)稱軸為m1，

根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得，拋物線過點(diǎn)⑶0）,

啦>0時(shí)，有一1<%<3,故③錯(cuò)誤；

團(tuán)拋物線與％軸的兩個(gè)交點(diǎn)為：（-1,0）,⑶0）,對(duì)稱軸為ml,

當(dāng)x=-2時(shí)，yi=4a—2b+c,

當(dāng)x=2時(shí)，丫2=4a+2b+c,

團(tuán)b=-2a,3a+c=0,a<0,

團(tuán)y】=4a—2（—2a）+（—3CL）—5aV0,y2—4a+2（-2a）+（-3a）=-3a>0,

0y1<O<y2>故④正確，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解決這類題需要掌握：a看拋物線開U方向，b往往看對(duì)稱軸,

c看拋物線與y軸的交點(diǎn)，以及拋物線的對(duì)稱性以及代入特殊點(diǎn)等.

【變式3-2］（2022,湖北荊門?統(tǒng)考中考真題）拋物線y=a『+bx+c（a,b,。為常數(shù)）的對(duì)稱軸為x=-2,

過點(diǎn)（1,-2）和點(diǎn)（孫yo）,且c>0.有下列結(jié)論：①a<0；②對(duì)任意實(shí)數(shù)機(jī)都有：am2+bm>^a-2i>；

③16a+c〉4b；④若x（）>-4,則y（）>a其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)拋物線>=加+次+。（a,b,c為常數(shù)）的對(duì)稱軸為x=-2,過點(diǎn)（1,-2）且c>0,即可判

斷開口向下，即可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷②；根據(jù)拋物線的對(duì)稱性即可判斷③；根據(jù)拋

物線的對(duì)稱性以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷④.

【詳解】El拋物線>=加+笈+。（a,b,c為常數(shù)）的對(duì)稱軸為x=-2,過點(diǎn)（1,-2）,且c>0,

回拋物線開口向下，則。<0,故①正確；

團(tuán)拋物線開口向下，對(duì)稱軸為元=-2,

13函數(shù)的最大值為4a-2b+c,

團(tuán)對(duì)任意實(shí)數(shù)7"者B有：am2+bm+c<4a-2b+c,BPam2+bm<^a-2b,故②錯(cuò)誤；

回對(duì)稱軸為x=-2,c>0.

El當(dāng)x=-4時(shí)的函數(shù)值大于0,即16a-4Z?+c>0,

E116a+c>4i>,故③正確；

回對(duì)稱軸為x=-2,點(diǎn)（0,c）的對(duì)稱點(diǎn)為（-4,c）,

團(tuán)拋物線開口向下，

團(tuán)若-4<配<0,R0yo>c.若&20,My0<c,故④錯(cuò)誤;

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系，掌握二

次函數(shù)的性質(zhì).

【變式3-3]（2022?遼寧丹東?統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y=d+bx+cQ/0）與無軸交于點(diǎn)A（5,0）,

與y軸交于點(diǎn)C,其對(duì)稱軸為直線尤=2,結(jié)合圖象分析如下結(jié)論：?abc>0；②b+3a<0；③當(dāng)x>0時(shí)，

y隨尤的增大而增大；④若一次函數(shù)y=fcr+6（麻0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,則點(diǎn)Eb）在第四象限；⑤點(diǎn)M

。=半.其中正確的有（）

6

C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】①正確，根據(jù)拋物線的位置判斷即可；②正確，利用對(duì)稱軸公式，可得6=-4“，可得結(jié)論；③

錯(cuò)誤，應(yīng)該是x>2時(shí)，y隨x的增大而增大；④正確，判斷出人>0,可得結(jié)論；⑤正確，設(shè)拋物線的解析

式為y=a（x+1）（x-5）=a（x-2）2-9a,可得M（2,-9a）,C（0,-5a）,過點(diǎn)M作軸于

點(diǎn)H,設(shè)對(duì)稱軸交無軸于點(diǎn)K.利用相似三角形的性質(zhì)，構(gòu)建方程求出。即可.

【詳解】解：回拋物線開口向上，

團(tuán)〃〉0,

團(tuán)對(duì)稱軸是直線％=2,

團(tuán)-2=2,

2a

勖=-4?<0

國拋物線交y軸的負(fù)半軸，

團(tuán)cVO,

團(tuán)〃bc>0,故①正確，

團(tuán)Z?=-4〃，a>0,

HZ?+3?=-?<0,故②正確，

觀察圖象可知，當(dāng)0<公2時(shí)，y隨x的增大而減小，故③錯(cuò)誤，

一次函數(shù)y=kx+b(bO)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,

Sb<0,

0A->O,此時(shí)￡(k,b)在第四象限，故④正確.

回拋物線經(jīng)過(-1,0),(5,0),

回可以假設(shè)拋物線的解析式為y=〃(x+1)(x-5)=a(x-2)2-9a,

0M(2,-9a),C(0,-5a),

過點(diǎn)M作MHSy軸于點(diǎn)H,設(shè)對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)K.

HAM0CM,

SSAMC=SKMH=90Q,

^\CMH=^1KMA,

加必=90°,

^MHC^MKA,

^MHCH

團(tuán)—MK=丁AK,

加2=工,

6

加〉0,

刖=漁，故⑤正確,

6

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方

程解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

【考點(diǎn)4二次函數(shù)的對(duì)稱性】

【例4】(2022?四川自貢?統(tǒng)考中考真題)已知A(-3,-2),B(l,-2),拋物線y=a/+Zzr+c(a>0)頂點(diǎn)在線段

上運(yùn)動(dòng)，形狀保持不變，與x軸交于C,。兩點(diǎn)(C在。的右側(cè))，下列結(jié)論：

①C2-2;

②當(dāng)x>0時(shí)，一定有y隨x的增大而增大；

③若點(diǎn)。橫坐標(biāo)的最小值為-5,點(diǎn)C橫坐標(biāo)的最大值為3；

④當(dāng)四邊形ABC。為平行四邊形時(shí)，。=也

其中正確的是()

A.①③B.②③C.①④D.①③④

【答案】D

【分析】根據(jù)頂點(diǎn)在線段A8上拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c)可以判斷出c的取值范圍，可判斷①；

根據(jù)二次函數(shù)的增減性判斷②；先確定x=l時(shí)，點(diǎn)。的橫坐標(biāo)取得最大值，然后根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求

出此時(shí)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，即可判斷③；令y=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系與頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)求出CD的長度的表達(dá)

式，然后根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可得然后列出方程求出a的值，判斷④.

【詳解】解:回點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為(-3,-2)和(1,-2),

回線段與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2),

又回拋物線的頂點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，拋物線與〉軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c),

團(tuán)C-2,(頂點(diǎn)在y軸上時(shí)取故①正確；

回拋物線的頂點(diǎn)在線段A2上運(yùn)動(dòng)，開口向上，

國當(dāng)尤>1時(shí)，一定有y隨尤的增大而增大，故②錯(cuò)誤；

若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最小值為-5,則此時(shí)對(duì)稱軸為直線x=-3,

根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最大值為1+2=3,故③正確;

令y=0,貝!Ja^+bx+c=Q,

設(shè)該方程的兩根為力，X2,則切+%2=-2,X]X2=-^

aa

0CZ)2=(X1-X2)2=(X7+X2)2-^XlX2=(--)2—4x-=--學(xué),

aa

根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，與口=-2,

4a

聆士=_8,即匕絲￡=8,

aa

回四邊形ACDB為平行四邊形，

SCD^AB^l-(-3)=4,

吟=42=16,解得故④正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有①③④.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，主要利用了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的對(duì)稱性，根與系

數(shù)的關(guān)系，平行四邊形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，要注意頂點(diǎn)在y軸上的情況.

【變式4-1](2022?四川成都?統(tǒng)考中考真題)如圖，二次函數(shù)丫=a/+bx+c的圖像與x軸相交于4(-1,0),

B兩點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線x=1,下列說法正確的是()

A.cz>0B.當(dāng)x>—l時(shí)，y的值隨x值的增大而增大

C.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0)D.4a+26+c>0

【答案】D

【分析】結(jié)合二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，根據(jù)條件與圖像，逐項(xiàng)判定即可.

【詳解】解：A、根據(jù)圖像可知拋物線開口向下，即a<0,故該選項(xiàng)不符合題意；

B、根據(jù)圖像開口向下，對(duì)稱軸為x=l,當(dāng)x>l,y隨久的增大而減??；當(dāng)x<l,y隨x的增大而增大，故

當(dāng)-1<X<1時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>l,y隨x的增大而減小，故該選項(xiàng)不符合題意；

C、根據(jù)二次函數(shù)y=a/+法+c的圖像與x軸相交于力(-1,0),B兩點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線x=L可得對(duì)稱軸

x=還產(chǎn)=1,解得4=3,即B(3,0),故該選項(xiàng)不符合題意；

D、根據(jù)8(3,0)可知，當(dāng)x=2時(shí)，y-4a+2b+c>0,故該選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，根據(jù)圖像得到拋物線開口向下，根據(jù)對(duì)稱軸以及拋物線與x軸交

點(diǎn)4(-1,0)得到B(3,0)是解決問題的關(guān)鍵.

【變式4-2](2022?北京昌平?統(tǒng)考二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=a/+bx-l(a>0).

吁了

3-

2-

1

I________I________I________]__________I_____I_________I_______I_________I_______I_______I_________

-4-3-2-1O1234567x

-1

(1)若拋物線過點(diǎn)(4,—1).

①求拋物線的對(duì)稱軸；

②當(dāng)-1<%<0時(shí)，圖像在x軸的下方，當(dāng)5<x<6時(shí)，圖像在x軸的上方，在平面直角坐標(biāo)系中畫出符合

條件的圖像，求出這個(gè)拋物線的表達(dá)式；

(2)若(-4,乃)，(-2,%)，(1,乃)為拋物線上的三點(diǎn)且為〉%>必，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線"=3直接寫

出t的取值范圍.

【答案】⑴①x=2；@y=|x2--1

(2)-3<t<-|

【分析】①把(4,-1)代入解析式，確定6=-4〃，代入直線比=-/計(jì)算即可.

②根據(jù)對(duì)稱軸為直線x=2,且2-(-1)=5-2,判定拋物線經(jīng)過(-1,0)和(5,0),代入解析式確定a,b的

值即可.

(2)方法一：根據(jù)％=-5=3得到b=-2at,從而解析式變形為y=a/-2atx—l(a>0),把(―4,y1)，

(-2/2)，(1,%)分別代入解析式，根據(jù)丫3>%>%，列出不等式組，解不等式組即可.

方法二：根據(jù)每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)離對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近判斷y的大小.

(1)

解：①把(4,-1)代入解析式y(tǒng)=a/+取一i(a>0),得

—1=16a+45—1,

解得。二-4a,

團(tuán)對(duì)稱軸為直線”=—2=--=2.

2a2a

回當(dāng)-l<x<0時(shí)，圖像在x軸的下方，

當(dāng)5<x<6時(shí)，圖像在久軸的上方，

對(duì)稱軸為直線x=2,且2-（-1）=5-2,

回拋物線經(jīng)過（-1,0）和（5,0）,

（a-b-1^0

125a+5b-1=0

解得15，

b=-54

14

By=-x￡7--X—1.

⑵

^\x=——=t,

2a

助二-2”,

團(tuán)解析式變形為y=ax2-2atx-l（a>0）,

把（一4,丫1）,（一2,丫2），（1,%）分別代入解析式，得出=。-2at-l,yi=16a+8at-1,丫2=4a+4at—1,

皿>>>2，

ct—2at-l>16a+8at—1

a—2at—1>4a+4at—1,

{16a+8at-1>4Q+4at—1

（3

t<--

2

解得（t<，

U-3

故t的取值范圍是—3VtV—|.

方法二：若（一4,yJ,（-2,丫2），（1/3）為拋物線上的三點(diǎn)且丫3>丫1>為，對(duì)稱軸為X=3

vy=i%2_-1,a=|>0,開口向上，

①當(dāng)tv-4,則丫1〈丫2〈丫3，不符合題意，

②當(dāng)一4<t<一2時(shí)，???y3>>y2

**?t—（—4）>—2—t

解得t>-3

，-3VtV—2

③當(dāng)一2<t<1,vy3>yi>y2

???t-(-2)<1-1,1-1>t-(-4)

解得t<—I，t<—|

3

—2<t<——

綜上所述，—3<tV—T

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法，拋物線的對(duì)稱性，二次函數(shù)與不等式的綜合，熟練掌握待定系數(shù)法，對(duì)

稱性，與不等式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3］(2022?吉林長春?統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=/一版(6是常數(shù))經(jīng)過

點(diǎn)(2,0).點(diǎn)A在拋物線上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為機(jī)(小70).以點(diǎn)A為中心，構(gòu)造正方形PQMN,PQ=2\m\,

且PQ1x軸.

⑴求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式：

(2)若點(diǎn)8是拋物線上一點(diǎn)，且在拋物線對(duì)稱軸左側(cè).過點(diǎn)B作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)C,連接8C.當(dāng)

BC=4時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

⑶若根>0,當(dāng)拋物線在正方形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而增大時(shí)，或者y隨x的增大而減小時(shí)，求

相的取值范圍；

⑷當(dāng)拋物線與正方形PQMN的邊只有2個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為［時(shí)，直接寫出m的值.

【答案】(l)y=x2-2x

(2田(T3)

(3)0<m<［或zn>3

(4)m=—g或m=［或m=|.

【分析】(1)將點(diǎn)(2,0)代入y=/-bx,待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(2)設(shè)以利病-2m),根據(jù)對(duì)稱性可得。(2-犯病—2m),根據(jù)=4,即可求解；

(3)根據(jù)題意分兩種情況討論，分別求得當(dāng)正方形PQMN點(diǎn)Q在久軸上時(shí)，此時(shí)M與。點(diǎn)重合，當(dāng)PQ經(jīng)過拋

物線的對(duì)稱軸第=1時(shí)，進(jìn)而觀察圖像即可求解；

(4)根據(jù)題意分三種情況討論，根據(jù)正方形的性質(zhì)以及點(diǎn)的坐標(biāo)位置，即可求解.

(1)

解：回拋物線y=/-匕刀(6是常數(shù))經(jīng)過點(diǎn)(2,0)

回4-2b=0

解得b=2

y=x2—2x

(2)

如圖,

則對(duì)稱軸為直線x=1,

設(shè)B(m,巾2—2m),則C(2—m,m?—2小)

BC=2—m—m=4

解得m=-1

(3)

,??點(diǎn)A在拋物線上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為加小*0).以點(diǎn)A為中心，構(gòu)造正方形PQMN,PQ=2|m|,且PQlx

軸

MN=PQ=2\m\,且M,N在y軸上，如圖,

①當(dāng)拋物線在正方形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而增大時(shí)，如圖，當(dāng)正方形PQMN點(diǎn)Q在%軸上時(shí)，此

時(shí)M與。點(diǎn)重合，

???PN=PQ

???0P的解析式為y=x

???A(jn,m),將4(m,7n)代入y=x2-2x

即?^2—2m—m=0

解得血1=0,TH2=3

m>0

??.4(3,3)

觀察圖形可知，當(dāng)山23時(shí)，拋物線在正方形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而增大；

②當(dāng)拋物線在正方形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而減小時(shí)，當(dāng)PQ經(jīng)過拋物線的對(duì)稱軸x=1時(shí),

MQ=PQ=2\m\,m>0

2m=1

解得m=I，

觀察圖形可知，當(dāng)時(shí)，拋物線在正方形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨尤的增大而增大;

綜上所述，"2的取值范圍為0<爪W(或m23

(4)

①如圖，設(shè)正方形與拋物線的交點(diǎn)分別為E,F,當(dāng)yE-即=［時(shí)，則MN=：

4是正方形PQMN的中心，A(jn,m2-2m)

...|煤=|MW=|

NO

即m=—|

V

②如圖，當(dāng)4點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸左側(cè)，y軸右側(cè)時(shí),

???A(m,m2—2m)

.?.MN=2m

199

???=374+-MN=yAm=—2m+m=—m

???交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為三，

4

尸的縱坐標(biāo)為ZU?_m_2

4

F的橫坐標(biāo)為MQ=PQ=2m

???F(2m,m2—m—

??,尸在拋物線y=x2-2x_t,

3

?-m7—m——=(2m)7—2x2m

4

解得Hl=I

③當(dāng)4在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，正方形與拋物線的交點(diǎn)分別為。，S,設(shè)直線ZM交匯軸于點(diǎn)T,如圖,

3

貝WN=7s=7

3

.?.OM=0T=-

4

即M（O，J，NG，O）

設(shè)直線MN解析式為y=kx+b

（~k+b=O

則3.

k=-l

解得,3

b=-4

???直線MN解析式為y--x+

聯(lián)立y=x2-2x

解得Xi=|,x2=-|（舍去）

即4的橫坐標(biāo)為I，即m=|,

綜上所述，m=-|或m=[或m=|.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，二次函數(shù)的對(duì)稱性，正方形的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)5二次函數(shù)的最值】

【例5】（2022,浙江衢州?統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y=a（x-—a（a力0）,當(dāng)時(shí)，y的

最小值為一4,貝l]a的值為（）

A.［或4B.［或一］C.一］或4D.一］或4

【答案】D

【分析】分兩種情況討論，并且利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答.

【詳解】解：二次函數(shù)y=a(%-l)2-a(aW0)的對(duì)稱軸為：直線久=1,

(1)當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)一14%41時(shí)，y隨％的增大而減小，當(dāng)1工久工4,y隨汽的增大而增大，

當(dāng)％=1時(shí)，y取得最小值，

???y=a(l—l)2—a=—4,

???a=4；

(2)當(dāng)aVO時(shí)，當(dāng)一14%<1時(shí)，y隨汽的增大而增大，當(dāng)14%工4,y隨工的增大而減小，

.,?當(dāng)％=4時(shí)，y取得最小值，

???y=a(4—l)2—a=-4,

1

CL=---.

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1］(2022?浙江麗水?統(tǒng)考中考真題)如圖，已知點(diǎn)M(Xi，yi),N(>2，y2)在二次函數(shù)V=雙*一2)2-

⑴若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(3,1).

①求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

②若％=%,求頂點(diǎn)到MN的距離；

(2)當(dāng)/3久W久2時(shí)，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為L點(diǎn)N在對(duì)稱軸的異側(cè)，求。的取值范圍.

【答案】(D①y=2x2-8x+7；②］

14

(2/勺

【分析】(1)①將點(diǎn)(3,1)代入y=a(x-2)2-l(a>0)中即可求出二次函數(shù)表達(dá)式；

②當(dāng)月=乃時(shí)，此時(shí)MN為平行x軸的直線，將M(Xi，yJ,N(X2，y2)代入二次函數(shù)解析式中求出小+%i=4,

再由犯-%!=3求出直線MN為y=最后根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；

(2)分兩種情形：若M,N在對(duì)稱軸的異側(cè)，>y2；若M、N在對(duì)稱軸的異側(cè)，<y2,x,<2,分別求

解即可.

【詳解】(1)解：①將點(diǎn)(3,1)代入y=a(x-2)2—l(a>0)中，

01=a(3-2)2-1,解得a=2,

回二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=2(%—2)2—1=2%2-8%+7；

②當(dāng)月=為時(shí)，此時(shí)"N為平行x軸的直線，

將M(X],%)代入二次函數(shù)中得到：-2xr2一8%I+7,

將N(>2，y2)代入二次函數(shù)中得到：丫2=2g2-8%2+7,

fflyi=y-i，

02/2-8尤1+7=2冷2—8%2+7,

整理得到：(X]+%2)(比1-42)-4(%-犯)=。，

-17

又回二2—=3,代入上式得到：％2+=4,解出％1=-,x2=5，

17

2\28

力Xzll-X-y--

-=-J222

v2

又???二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1),

回頂點(diǎn)(2,-1)到MN的距離為T+1=|；

(2)解：若M,N在對(duì)稱軸的異側(cè)，y1>y2,

以7+3>2,

耿>-1,

團(tuán)股一%i=3

回%14p

0-K%!<

回函數(shù)的最大值為y產(chǎn)〃(xy-2)2-1,最小值為-1,

團(tuán)y-(-1)=1,

1

加工;----,

(Xi-2)2

01-2）2<9,

4

0i<a<-；

99

若M、N在對(duì)稱軸的異側(cè)，yi<y2,xi<2,

團(tuán)%1>

叱<%iV2,

回函數(shù)的最大值為y=a（乃-2）2-l,最小值為-1,

既（-1）=1,

i

團(tuán)〃二;----,

屋<01+I）2<9,

回―<a<一,

99

綜上所述，a的取值范圍為2<a<.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖像與性質(zhì)及二次函數(shù)的最值等問題：當(dāng)

開口向上（向下）時(shí)，自變量的取值離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就越大（越?。?

【變式5-2］（2022?山東濟(jì)南?濟(jì)南育英中學(xué)校考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=/一

2尤—3與無軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，D為拋物線頂點(diǎn).連接AO交y軸于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在第四象

限的拋物線上，連接ZP、BE交于點(diǎn)G,設(shè)卬=5447?6：54/?6「，則卬的最小值是（）

A“.—24B-.25—C〃.-5Dr.—145

2524816

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件設(shè)P（m,zn2一2m-3）,其中0V?nV3,求得直線/P的解析式，直線BE的解析式，

82

聯(lián)立即可求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，根據(jù)w=i~2幺：1產(chǎn)——=__令z=-3m+8血+3=-3（nt-+

2

^B-\yp\-lAB\yG\-3m+8m+3\3）

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得Z的最大值，即可求得W的最小值.

【詳解】回點(diǎn)尸在第四象限的拋物線上，AP,8E交于點(diǎn)G,如圖,

當(dāng)y=0時(shí)，久2—2x—3=0,

解得%工=-1,X2=3,

即4(—1,0),8(3,0),

國。為拋物線頂點(diǎn)，

00(1,-4),

設(shè)直線2。的解析式為y=ax+b,

071(-1,0),￡)(1,-4),

團(tuán)

la+b=—4

解得：￡=—3

lb=-2

團(tuán)直線4)的解析式為y=-2%-2,

當(dāng)％=0時(shí)，y=—2,

團(tuán)E(0,-2),

設(shè)P(m,m2-2m—3),其中0VTHV3,

設(shè)直線/尸的解析式為y=ex+d,

l?L4(—1,0),P(m,m2—2m—3),

—c+d=0

回

m2—2m—3=cm+d

解得:㈡二

團(tuán)直線4P的解析式為y=(m-3)x4-m-3.

設(shè)直線BE的解析式為y=ex+f,

M(3,0),E(0,-2),

3e+/=0

=-2

2

e=-

解得3

'=-2

回直線BE的解析式為y=|萬一2,

y=(jn—3)x+m—3

聯(lián)立方程組，得:

{y=|乂-2

3—3771

X=

3771-11

解得：<24-8m

y=

3m-ll

24-8m

0yG

00<m<3,

團(tuán)24—8m>0,3m-11<0,

―24-8171?

IS-------------<0,

3m-ll

1.nl,8(m-3)

團(tuán)W_S“BG_____2—B|yGl_____________37n-ll_______________________

m2+2m+3

S^BGP豺B|yp「豺8|淚3^-ii~-3m2+8m+3,

2

令z=—3m2+8m+3=—3(jn-+y,

團(tuán)一3<0,

團(tuán)當(dāng)m=3時(shí)，z取得最大值g,w取得最小值為備=卷

團(tuán)W有最小值，最小值為||.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法與三角形面積計(jì)算，二次函數(shù)的性質(zhì)求最值問題，運(yùn)

用轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3](2022?天津?yàn)I海新?統(tǒng)考二模)己知：拋物線y=—緊2+9+。⑵。為常數(shù))，經(jīng)過點(diǎn)A(-

2,0),C(0,4),點(diǎn)B為拋物線與無軸的另一個(gè)交點(diǎn).

⑴求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)SP8C的面積最大時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)設(shè)點(diǎn)M,N是該拋物線對(duì)稱軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN=2,點(diǎn)M在點(diǎn)N下方，求四邊形AMNC周長的最

小值.

14

2++4

-%-X

【答案】(l)y33

(2)(3,5)

(3)275+2V10+2

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)首先點(diǎn)B的坐標(biāo)，再求出直線BC的解析式，過點(diǎn)尸作尸Mx軸于R交于點(diǎn)。，設(shè)點(diǎn)P(m,-1m2+

+4),Q(m,-|m+4),當(dāng)m=3時(shí)，S”BC有最大值，即可求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)由四邊形AMNC的周長=4M+MN+CN+4C,得到當(dāng)AM+CN最小時(shí)，四邊形AMNC的周長最小,

得出AM+CN=AM+DM,求出力M+DM的最小值即可得到結(jié)論.

【詳解】(])解：回拋物線y=—1/+b比+c經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0),C(0,4),

J-l-2b+c=O

Ic=4

解得F=3

Ic=4

國該拋物線的解析式：y=-jx2+^x+4

(2)解：回點(diǎn)B是拋物線y=+(x+4與光軸的交點(diǎn)，

14

0--xo2+-%+4=0,

33

回％1=-2,&=6,

團(tuán)點(diǎn)3的坐標(biāo)為(6,0),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+n,

團(tuán)點(diǎn)5(6,0),C(0,4)

團(tuán)(6k+n=0

In=4

解得尸號(hào)，

In=4

團(tuán)直線BC解析式為：y=—1%+4,

如圖，過點(diǎn)P作尸fWx軸于R