中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：勾股定理（六大題型60題）（解析版）

專題04勾股定理（六大題型，60題）（解析版）

目錄

一、題型一：勾股數(shù)問題，難度三星，10題.......................................

二、題型二：以直角三角形三邊為邊長的圖形面積，難度四星，10題..................6

三、題型三：勾股定理與折疊問題，難度四星，10題...............................14

四、題型四：勾股定理的證明方法，難度三星，10題...............................25

五、題型五：以弦圖為背景的計算題，難度四星，10題.............................36

六、題型六：用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題，難度三星，10題.......................44

一、題型一：勾股數(shù)問題，難度三星，10題

1.（23-24八年級?甘肅張掖?階段練習(xí)）下列各組數(shù)中是勾股數(shù)的是（）

A.2,3,4B.10,14,15C.8,11,12D.6,8,10

【答案】D

【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義和勾股定理逆定理逐項分析即可解答.

【詳解】解:A.因為2?+32W42,則A選項不是勾股數(shù)，不符合題意；

B、因為IO?+14?2152,則B選項不是勾股數(shù)，不符合題意；

C、因為82+112/122,則C選項不是勾股數(shù)，不符合題意；

D、因為6+8?=102,則D選項是勾股數(shù)，符合題意.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了勾股數(shù)、勾股定理逆定理等知識點，已知三角形ABC的三邊滿足/+廿=02,

則三角形ABC是直角三角形；若a、b、c為正整數(shù)，則a、b、c為勾股數(shù).

2.（23-24八年級?廣東佛山?階段練習(xí)）在下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（）

A.0.3,0.4,0.5B.4,5,6C.0.5,1.2,1.3D.10,24,26

【答案】D

【分析】本題主要考查了勾股數(shù)的定義，根據(jù)勾股數(shù)的定義解答即可；掌握勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需

驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方成為解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、0.32+0.42=0.52,但不是正整數(shù)，故選項錯誤；

B、42+52^62,不能構(gòu)成直角三角形，故選項錯誤；

C、0.52+1.22=1.32,但不是正整數(shù),故選項錯誤；

D,102+242=26\能構(gòu)成直角三角形，是整數(shù)，故選項正確.

故選D.

3.（22-23八年級?廣東茂名?期中）下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）

A.5,12,13B.6,8,10C.12,16,20D.32,42,52

【答案】D

【分析】利用勾股數(shù)的定義進行分析即可.此題考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握滿足〃+62=02的三個正整

數(shù)，稱為勾股數(shù).

【詳解】解：A、52+122=132,是勾股數(shù)，不符合題意；

B、62+82=102,是勾股數(shù)，不符合題意；

C、162+122=202,是勾股數(shù)，不符合題意；

D,162+92^252,不是勾股數(shù)，符合題意；

故選：D.

4.（23-24八年級?四川巴中?期末）勾股定理最早出現(xiàn)在《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，弦隅五”，觀察

下列勾股數(shù)：3,4,5；5,12,13；7,24,25；…這類勾股數(shù)的特點如下：勾為奇數(shù)，弦與股相

差1,柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差2的一類勾股數(shù)，如：6,8,10；8,15,17；若此類勾股

數(shù)的勾為2加（機＞0,旭為正整數(shù)），則弦是（結(jié)果用含加的式子表示）（）

A.m2+1B.m2-1C.2m+2D.2m+3

【答案】A

【分析】本題考查勾股數(shù)，勾股定理，根據(jù)題意得為偶數(shù)，設(shè)其股是。，則弦為（。+2）,根據(jù)勾股定

理列方程即可得到結(jié)論.解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理.

【詳解】解：：，"為正整數(shù)，

為偶數(shù)，設(shè)其股是a,

***弦為（a+2）,

根據(jù)勾股定理得：3）2+/=（〃+2）2,

解得：a=m2—If

???弦是：6r+2=m2-l+2=m2+l.

故選：A.

5.（23-24八年級.山東棗莊.階段練習(xí)）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）

A.4,5,6B.0.5,1.2,1.3C.1,2,3D.5,12,13

【答案】D

【分析】本題考查勾股定理數(shù)定義及計算，根據(jù)勾股定理數(shù)定義，逐項驗證即可得到答案，熟記勾股定

理是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、由42+52=41/36=62,該組數(shù)不是勾股數(shù)，不符合題意；

B、由勾股數(shù)定義可知，各數(shù)必須是正整數(shù)，0.5,1.2,1.3不是勾股數(shù)，不符合題意；

C、由仔+22=5W9=32,該組數(shù)不是勾股數(shù)，不符合題意；

D、由52+122=169=132,該組數(shù)是勾股數(shù)，符合題意；

故選：D.

6.（23-24八年級?河南洛陽?階段練習(xí)）下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）

A.3,4,5B.4,5,6C.6,8,10D.9,12,15

【答案】B

【分析】此題主要考查了勾股數(shù)，解答此題要用到勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股數(shù)是

正整數(shù)，同時還需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方進行分析判斷即可.

【詳解】解：A、32+42=52,能構(gòu)成直角三角形，是整數(shù)，故是勾股數(shù)，不符合題意；

B、42+52^62,不能構(gòu)成直角三角形，不是勾股數(shù)，符合題意；

C、62+82=102,能構(gòu)成直角三角形，是整數(shù)，故是勾股數(shù)，不符合題意；

D、92+122=152,能構(gòu)成直角三角形，是整數(shù)，故是勾股數(shù)，不符合題意.

故選：B.

7.（23-24八年級?廣東佛山?階段練習(xí)）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）

A.1.5,2,2.5B.—,—,—C.3,4,5D.叢,^/4>卡）

【答案】C

【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗證兩小邊的平方和是否等于最長

邊的平方.

【詳解】解：A、1.5,2,2.5都不是正整數(shù)，所以不是勾股數(shù)，故不符合題意；

B、都不是正整數(shù)，所以不是勾股數(shù)，故不符合題意；

C、32+42=5"能構(gòu)成直角三角形，所以是勾股數(shù)，故符合題意；

D、百,在，石都不是正整數(shù)，所以不是勾股數(shù)，故不符合題意.

故選：C.

【點睛】此題主要考查了勾股數(shù)，解答此題要用到勾股數(shù)的定義.

8.（21-22八年級?河南鄭州?期末）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.0.6,0.8,1B.-C.6,8,10D.1,2,下

345

【答案】C

【分析】本題主要考查了勾股數(shù)，熟練掌握勾股數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵.

根據(jù)勾股數(shù)的定義：三邊是正整數(shù)且兩小邊的平方和等于第三邊的平方，進行求解即可.

【詳解】A、三個數(shù)不都是整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；

B、三個數(shù)都不是整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；

C、62+82=10\是勾股數(shù)，符合題意；

D、三個數(shù)不都是整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；

故選：C.

9.（23-24八年級.河北承德?期末）如圖是“畢達哥拉斯樹”的“生長”過程：如圖1,一個邊長為。的正方

形，經(jīng)過第一次“生長”后在它的上側(cè)長出兩個小正方形，面積分別為6和8,且三個正方形所圍成的三角

形是直角三角形，則a的值為；再經(jīng)過一次“生長”后變成了圖2.如此繼續(xù)“生長”下去，第2024次

“生長”后，這棵“畢達哥拉斯樹”上所有正方形的面積之和為（填數(shù)字）.

【答案】y/14：28350

【分析】本題主要考查的是勾股定理、圖形的變化規(guī)律等知識，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直

角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)正方形的面積公式求出第一個正方形的面積，即可求得a的值；再根據(jù)勾股定理求出經(jīng)過一次“生長

后在它的上側(cè)生長出兩個小正方形的面積和，總結(jié)規(guī)律，然后按照規(guī)律解答即可.

圖1圖2

???第一個正方形的邊長為a,

...第一個正方形的面積為

由勾股定理得，AB2=AC2+BC2,

：.AC2+BC2=AB2=a2,即經(jīng)過一次“生長”后在它的上側(cè)生長出兩個小正方形的面積和為二,

."2=8+6,即a=J五，“生長”第1次后所有正方形的面積和為2/,

同理：“生長”第2次后所有正方形的面積和為3a2,

則“生長”第2024次后所有正方形的面積和為2025〃=2025x14=28350,

故答案為：舊,28350.

10.（23-24八年級?湖北恩施?期末）觀察下列表格中數(shù)組的規(guī)律.

組別數(shù)字等式

13,4,532=4+5

25,12,1352=12+13

37,24,2572=24+25

49,40,4192=40+41

根據(jù)上表的規(guī)律，寫出第〃組的三個數(shù)字滿足的等式：.

【答案】（2n+l）2=4n2+4n+l

【分析】根據(jù)題意，找出規(guī)律列式表示即可；本題主要考查勾股數(shù)，找規(guī)律，準確得出規(guī)律并列式是解

題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)題意，第一列數(shù)字都為奇數(shù)，且后一排比上一排大2,第三列比第二列大1,

且三個數(shù)成勾股數(shù)

根據(jù)表格規(guī)律：第一列數(shù)字是組數(shù)的2倍加1

...第九組第一列數(shù)字為2力+1,

設(shè)第二列數(shù)為x,則第三列數(shù)為x+1,由勾股定理得：

（2w+l）2+x2=（x+1）~

解得：x=2//+2n

x+l=2rr+2/1+1

第n組的三個數(shù)字滿足的等式是：（2及+1）?=（2/+24+（2〃2+2〃+1）=4n2+4w+1,

故答案為：（2"+1）2=4"2+4〃+1.

二、題型二：以直角三角形三邊為邊長的圖形面積，難度四星，10題

11.（23-24八年級?浙江寧波?期末）如圖，在ABC中，ZACB=90,以,ABC的各邊為邊作三個正方

形，點G落在印上，若AC+3c=7,空白部分面積為10,則的長為（）

A.723B.721C.MD.726

【答案】A

【分析】本題考查勾股定理，正方形的性質(zhì)，完全平方公式，解題的關(guān)鍵是證明

BAN"AFM（ASA）,得到四邊形月VCN的面積=ABC的面積，得出空白部分的面積=正方形ABGF

的面積—2x,ABC的面積，AB2-2X|AC-BC=100,AC+BC=1,AB2+2ACBC=49@,由①和②得

AB2=23,即可得出答案.

【詳解】解：四邊形A3G廠是正方形，

:.AB=AF,ABAN=NF=90。,

:.AMAF+ABAC=90°,

ZACB=90。,

ZABN+ABAC=90°,

:.ZABN=ZMAF,

AB=AF,ZBAN=ZF,

BAN^AFM（ASA）,

：.54N的面積—AFM的面積，

???四邊形月VCN的面積=ABC的面積，

二空白部分的面積=正方形ABGV的面積-2x.ABC的面積,

AB2-2X-AC-BC=10@,

2

AC+BC=1,

.-.（AC+BC）2=72,

AC~+BC~+2ACBC=49,

AB2=AC2+BC2,

.-.AB2+2ACBC=49②，

由①和②得AB?=23,

AB=V23（舍去負值）.

故選：A.

12.（23-24八年級?江蘇南通?階段練習(xí)）分別以Rt^ABC的三條邊向外作三個正方形，連接EC,BG,

若設(shè)AEBC正方形BCH則之間的關(guān)系為（）

S=S[,5ABCG=S2,S/=S3,S],S2,S3

A.251+25,=S3B.3S|+3S2=S3

C.1+邑=33D.2St+2S2=3S}

【答案】A

【分析】本題考查勾股定理；根據(jù)勾股定理可得AB2+AC2=BC2,再由正方形、三角形面積公式可得

S正方形ABED=鉆2，S正方物CGF=AC~，$3=S正為彩BCIH=BC~,AB"=2S,,AC?=2S?，即可得出答案.

【詳解】解：如圖，過點A作AK_LHI于點K,交BC于點J,

RtZXABC中，ZBAC=90°,

AB2+AC2=BC2,

四邊形筋團、四邊形ACG/、四邊形BCfflr均為正方形,

-S正方物4sH,=AB,S正方形ACGF=AC，S3=S正方形BC/H=BC,

:正方形ABED與ESC同底等高，

S正方形ABED=2sEBC=2S],

AB2=2S],

正方形ACGP與EBC同底等高，

S正方衫ACGF=2S,BCG=2s2,

2

AC=2s2,

S正方影BCIH=S3，

2St+2S2=S3,

故選：A.

13.（21-22八年級下.浙江杭州?期末）如圖，在邊長為6的正方形中有兩個小正方形，若兩個小正方形的

面積分別記為1,邑，則百+s2的值為（）

A.6B.12C.16D.17

【答案】D

【分析】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì).由圖可得，S,的邊長為3,由AC=/C，

BC=CE=限口，可得AC=2CE>,CD=2,EC=2應(yīng);然后，分別算出S1、S2的面積，即可解答.

【詳解】解：如圖:

設(shè)正方形Sj的邊長為x,

_ABC和CAE都為等腰直角三角形,

:.AB=BC,DE=DC,ZABC=Z￡>=90°,

:.AC=6BC，同理可得：BC=CE=-JiCD，

AC=y/2BC=2CD>又AD=AC+CD=6,

:.CD=2,

:.EC2=22+22,即EC=2夜；

.?.\的面積為￡。2=（2&）2=8；

ZMAO=ZMOA=45°,

:.AM=MO,

MO=MN,

:.AM=MN,

.1M為AN的中點，

；?邑的邊長為3,

'，'S］的面積為3x3=9,

Sx+S2=8+9=17.

故選：D.

14.（22-23八年級下?貴州遵義?期中）有一個邊長為1的大正方形，經(jīng)過2次“生長”后，在它的左右肩上

生出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過1次“生長”后，形成的圖形如

圖所示，如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，那么“生長”了2023次后形成的圖形中所有的正方

形的面積和是（）

A.2024B.2023C.22002D,22002-1

【答案】A

【分析】本題考查了勾股定理以及規(guī)律型：圖形的變化類，根據(jù)勾股定理求出“生長”了1次后形成的圖形

中所有的正方形的面積和，結(jié)合圖形總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可，能夠根據(jù)勾股定理發(fā)現(xiàn)每一次得到

的新的正方形的面積和與原正方形的面積之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意得，正方形A的面積為1,

B

由勾股定理得，正方形8的面積+正方形C的面積=1,

“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2,

同理可得，“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3,

“生長”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4,

二“生長”了2023次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2024,

故選：A.

15.（23-24八年級?浙江寧波?期末）如圖，在ABC中，CDJ_AB于點O.分別以AC、BC、AD.BD為

邊向外作正方形，得到較大的三個正方形的面積分別為15、30、38,那么最小的正方形面積為（）

A.5B.6C.7D.7.5

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理及正方形的面積，熟記勾股定理是解題關(guān)鍵，由正方形的面積公式可得

AC2=15,BD2=30,BC2=38結(jié)合勾股定理即可求解.

【詳解】解：在ABC中，CD1AB,

ZADC=ZBDC=90°,

???三個正方形的面積分別為15、30、38,

AC2=15,BD2=30,BC2=38,

在RtACD及Rt,BOC中，由勾股定理可得：

AC2=AD2+CD2,BC2=BD2+CD2,

=8,

AD2=7,

故選：C.

16.（2024八年級?全國?競賽）如圖，分別以直角三角形的三邊為直徑的三個半圓的面積從小到大依次為

“SQS3,則外S]、S3之間的關(guān)系正確的是（）

A.S]+S?>S3或S[+邑<S3B.+=

C.S,+S2=S3D.S；+S；=S；

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、圓的面積等知識，由勾股定理表示出三邊的關(guān)系，表示出三個半

圓的面積即可得出答案，熟練運用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

（1hc

【詳解】解：設(shè)直角三角形的三邊分別為。，"C,則三個半圓的半徑分別為

由勾股定理得：即

S]+S2=S3

故選：C.

17.（23-24八年級?浙江湖州?期末）如圖，在直角三角形A3c中，ZACB=90°,以AB,AC,BC為邊

作正方形ABDE,正方形3CGV,正方形AC腦V.設(shè)ABC的面積為a，V3DE的面積為S?,△DHG的

面積為S3,四邊形CHET的面積為S”四邊形A7MV的面積為S5,則下列結(jié)論正確的是（）

A.S,+S4=S2+S3+S5B.S2+S5=Sj+S3+S4

C.Sj+S5=S2+S3+S4D.S4+S5=S,+S2+S3

【答案】A

【分析】本題考查勾股定理，根據(jù)圖形列出面積的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.設(shè)四邊形的面積為

222

S6,2XCLA的面積為S7,AB=AC+BC,列出等式即可求解.

【詳解】解：設(shè)四邊形038的面積為$6，△C7X的面積為S’,

ZACB=90°,以A3,AC,BC為邊作正方形正方形BCGF,正方形ACW,

根據(jù)勾股定理得：AB2=AC2+BC2,

Sj+S6+S4+S7=S7+S5+S2+S3+Sf,

Sj+S4-S2+S3+s5.

故選：A.

18.(21-22八年級下?廣西桂林?期中)如圖，直線/上有三個正方形a,b,c,若a,c的面積分別為4和

9,則6的面積為.

【答案】13

【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，同角的余角相等等知識.證明

出一BAC空ECD(AAS)是解題關(guān)鍵.根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=2,DE=3,AC=CD,

ZABC=ZCED=ZACD=90°,再根據(jù)同角的余角相等可得出/A4c=/DCE,即可證

BAC絲AECD（AAS）,最后結(jié)合全等三角形的性質(zhì)和勾股定理可求解.

【詳解】解:如圖，

,?a,6,c都為正方形，a,c的面積分別為4和9,

:.AB=n=2,DE=-J^=3,AC=CD,ZABC=ZCED=ZACD=90°,

ZBAC+ZBCA=90°,Z.DCE+NBCA=90°,

?*.NBAC=NDCE,

：...BAC^ECD(AAS),

CE=AB=2,

；?CD=yJCE2+DE2=A/13,

：.b=CD2=13.

故答案為：13.

19.(23-24八年級?廣東梅州?期末)如圖，RtAABC,ZC=90°,分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影

部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙"，當(dāng)AC=4,3C=7時，則陰影部分的面積為一.

B

【答案】14

【分析】本題考查了勾股定理和三角形的面積、圓的面積，能把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面

積是解此題的關(guān)鍵.根據(jù)勾股定理求出AB,分別求出三個半圓的面積和的面積，即可得出答案.

【詳解】解：在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=7,

由勾股定理得：AB=^AC-+BC1=A/42+72=765-

???陰影部分的面積+gx4x7-g"亨］=14,

故答案為：14.

20.（23-24八年級?山東棗莊?期末）在我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖

1),后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今.

ba

圖3圖4

(1)勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從圖1,圖2,圖3的證明方法中任選一種來證明

該定理.

(2)如圖4所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月形圖案(圖中陰影部分)的面積分

別為S-S。,直角三角形面積為S3,請判斷S-邑，S3的關(guān)系并證明.

【答案】(1)任選一個即可，證明見解析

⑵-3,理由見解析

【分析】本題考查了勾股定理的證明，解決本題的關(guān)鍵是學(xué)會利用面積法證明勾股定理.

(1)根據(jù)圖中面積關(guān)系即可得證；

(2)根據(jù)勾股定理及圓的面積公式解答即可得證.

【詳解】(1)解：在圖1中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的

222

和.即c2=gabx4+(b-a)2,化簡得：a+b^c^

在圖2中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和.即

(tz+b)~—c+—abx4,化簡得：cr+b2=<?',

在圖3中，梯形的面積等于三個直角三角形的面積的和.即:(a+6)(a+6)=gabx2+；c2,化簡得：

/+/=C2;

(2)解：，，s2,S3滿足的關(guān)系是H+邑=邑，

S]+S?SR—ab,

2

“2+廿=。2,

：.sr+s2=s3.

三、題型三：勾股定理與折疊問題，難度四星，10題

21.(23-24八年級下.山東德州.階段練習(xí))將長方形紙片A3CD如圖折疊，B,。兩點恰好重合在AD邊上

的同一點P處折痕分別是MH,NG,若NMPN=第0,PM=3,MN=5,分別記PHM,PNG,_PMN

的面積為邑，邑，則岳，邑，邑之間的數(shù)量關(guān)系是（）

B.383=25+2s2

C.83=582-5S]D.2S=3s2—

【答案】C

【分析】

本題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，通過勾股定理得「N=F芋=4，再證明

PG=PN=4,PH=PM=3,進而即可求解.

【詳解】解：：將長方形紙片A3CD如圖折疊，B,C兩點恰好重合在AD邊上的同一點P處,

：.BM=PM,CN=PN,

'：ZMPN=90°,PM=3,MN=5,

...在RtzXAWP中，由勾股定理得PN=j52_3?=4,

,/PDBC,

，Z3=Z1,

又：Z2=Z1,

，N2=N3,

：.PG=PN=4,

同理：PH=PM=3,

設(shè)紙片寬為〃，

S|=；x3"S2=1x4/bS3=)x5〃，

S3=5s2—5S],

故選：C.

22.（23-24八年級?江蘇徐州?階段練習(xí)）如圖，在直角坐標系中，及△"<7的頂點A在x軸上，頂點B在

y軸上，ZACB=90°,OBAC,點C的坐標為（1,2）,點。和點c關(guān)于AB成軸對稱，且AD交>軸于

點E.則點E的坐標為

【答案】[o,|j/（O,O.75）

【分析】本題考查了等腰三角形的判定，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出

ZABE=ZBAC,再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出NS4c=/54￡>,則NABE=/S4D,進而得出設(shè)

OE=x,則BE=AE=2-x,在RtAAOE中，根據(jù)勾股定理可得OA1+OE2=AE2,列出方程求解即可.

【詳解】解：AC,

ZABE=NBAC,

:點。和點C關(guān)于AB成軸對稱,

：.ABAC=ABAD,DB=CB,

/?ZABE=ZBAD,

：.BE=AE,

VC（1,2）,

OA—1,OB=2,

設(shè)OE=x,貝!JBE=AE=2-%,

在RtAAOE中，根據(jù)勾股定理可得Ol+OE2=4￡2,

BP12+X2=（2-X）2,

解得：％=[3,

4

點E的坐標為

故答案為：

23.(23-24八年級?吉林長春?階段練習(xí))如圖，在.中，AB=20,AC=12,BC=16,把ABC折

疊，使AB落在邊AC所在的直線上，且點B的對應(yīng)點為點折痕為AD,則重疊部分(陰影部分)的

【答案】36

【分析】本題考查了翻折變換的性質(zhì)以及勾股定理等知識，根據(jù)已知得出BO=Z?O=16-x,=8是解題

關(guān)鍵.利用勾股定理求出8=6,然后利用三角形面積公式求解即可.

【詳解】解：VA5=20,AC=12,BC=16,

?*.AC2+BC2=122+162=202=AB2,

ZACB=90°,

設(shè)CD=x,

???翻折，

/.BD=Biy=16-x,AB'=AB=20,

：.B'C=AB'-AC=8,

在RtZ\B'CD中，CD1+B'C2=B'D2,

A%2+82=(16-X)2,

解得尤=6,

陰影部分面積為:x6xl2=36.

故答案為：36.

24.(23-24八年級?四川成都?階段練習(xí))如圖，一次函數(shù)廣乙+萬分別與坐標軸交于A(8,0),8(0,15),點

“為,軸上一點，把直線沿AM翻折，點8剛好落在無軸的負半軸上，則點M的坐標為.

【分析】本題綜合考查了翻折變換以及一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，題中利用折疊知識與直線的關(guān)系

以及直角三角形等知識求出線段的長是解題的關(guān)鍵.

設(shè)沿直線AM將折疊，點2正好落在無軸上的C點，則有AB=AC,而AB的長度根據(jù)己知可以求

出，所以C點的坐標由此求出；又由于折疊得到=在直角△CWO中根據(jù)勾股定理可以求出

OM,也就求出河的坐標.

【詳解】解：如圖所示，當(dāng)點M在y軸正半軸上時，

設(shè)沿直線AM將AB折疊，點2正好落在龍軸上的C點,

則有AB=AC,

A（8,0）,B（0,15）,

.\OA=8,OB=15,

AB=V82+152=17=AC，

:.CO=AC-AO=n-8=9,

點C的坐標為（—9,0）.

設(shè)M點坐標為（0,6）,貝l]OM=6,CM=BM=15-b,

CM2=CO1+OM2,

.?.（15-Z?）2=92+Z?2,

，〃吟.

25.（22-23八年級?浙江紹興?期中）如圖，ABC是一張直角三角形的紙片，ZC=90°,AC=6,

8c=8,現(xiàn)將../IBC折疊，使點8與點A重合，折痕為DE,則DE的長為.

D

E.........B

【答案我

【分析】本題考查了勾股定理與折疊問題;

設(shè)CD=x,則AD=3D=8-x,在RtaACD中，利用勾股定理求出x,可得AD的長，然后求出AE,再

利用勾股定理求出DE即可.

【詳解】解：由折疊得：AD=BD,AE=BE,

設(shè)8=尤，貝UAD=3D=8—x,

在Rt^ACD中，AC2+CD2=AD2,

：.62+X2=（8-X）2,

7

解得：x=J，

4

25

：.AD=S-x=—

4

又「AB=VAC2+BC2=10，

：.AE=BE=5,

故答案為：*

26.（23-24八年級?河南鄭州?階段練習(xí)）如圖，在_ABC中，AB=AC=10,BC=16,。是BC邊上的動

點，點8關(guān)于直線AD的對稱點為連接A8'交3c于E,當(dāng)△DE3'為直角三角形時，8。的長

是

A

【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用及等腰直角三角形的性質(zhì).當(dāng)/?即=90。時，先求

出AE及3Z的長，再在Rt△aDE中利用勾股定理求出30；當(dāng)NBZ)E=90。時，作AHL3C,證明出

皿/為等腰直角三角形即可求出3。即可.

【詳解】解：當(dāng)N3'ED=90。時，如圖，

:.BE=CE=8,

AB=10,

AE=6,

由折疊得班＞=3'D，AB'=AB=10,

.-.B'E=4,

設(shè)=

:.DE=S-x,

在RtAB'DE中，(8-x)2+42=x2,

;.x=5,即BD=5；

當(dāng)NBN〉E=90。時，如圖，作AHJLBC,

ZB'DE=9Q°,

ZADB=ZADB'=135°,

:.ZADH=45°,

：.DH=AH=6,

BD=BH-DH=8-6=2.

故答案為：5或2.

27.（23-24八年級?寧夏中衛(wèi)?階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，長方形A3CO的邊OC、分別在

x軸、y軸上，AB=6,點E在邊BC上，將長方形ABCO沿AE折疊，若點8的對應(yīng)點尸恰好是邊0C

的三等分點，則點E的坐標是.

【分析】本題主要考查了勾股定理與折疊問題，坐標與圖形，由折疊的性質(zhì)可得AF=AB=6,

BE=EF,ZAFE=ZB=90°,再分當(dāng)點尸靠近點C時，CF=2,OF=4,當(dāng)點F靠近點。時，貝|

CF=4,OF=2,兩種情況利用勾股定理先求出Q4的長，進而得到3C的長，設(shè)出CE的長，進而得到

E尸的長，在Rt^EFC中，由勾股定理建立方程求解即可.

【詳解】解:在長方形ABCO中，CO=AB=6,ZBCO=ZB=ZAOC=90°,

由折疊的性質(zhì)可得AF=AB=6,BE=EF,ZAFE=NB=90。，

歹恰好是邊OC的三等分點，

；?當(dāng)點P靠近點C時，CF=2,OF=4,

在RtVAFO中，OA=/67=2小，

：.BC=OA=2y[5,

設(shè)CE=x,則BE=EF=26-尤，

在RtZXEFC中，由勾股定理得到跖2=。尸+6￡2,

二（2君一尤『=2?+尤2,

???點E1的坐標是

當(dāng)點F靠近點。時，則CF=4,OF=2,

在RtVAFO中，OA=46。-展=44,

BC=OA=4夜，

設(shè)CE=x,則BE=EF=4>/^_x，

在RtAEFC中，由勾股定理得到EF-=CF2+CE2,

A（4A/2-X）2=42+X2,

解得X=&,

?e?點E的坐標是卜6,0）；

綜上所述，點E的坐標是卜，華）或卜6,夜），

故答案為：或卜6,虛）.

28.（23-24八年級.河南鄭州.期末）如圖，RtaACB中，ZACB=90°,AB=IO,BC=8,點。為線段CB

上一個動點，將一AD3沿直線AD翻折得到VADE,線段AE交直線CB于點凡若..DEF為直角三角形，

則3。的長是.

【答案】2或5

【分析】本題考查勾股定理與折疊問題，分/FDE=90。和NDEE=90。，兩種情況進行討論求解即可.

【詳解】解：?.,NACB=90°,AB=10,BC=8,

?*-AC=A/102-82=6：

:折疊，

/.AB=AE^10,BD^DE,

當(dāng)一DE尸為直角三角形時，分兩種情況，

①當(dāng)/FDE=90。時，過點E作EGJ.AC,交AC的延長線于點G,

則四邊形。CGE為長方形，

.?.EG=CD,CG=DE=BD,

設(shè)3￡>=x,貝！J：CG=x,CD=S-x,

:.AG=AC+CG=6+x,

在Rt.AG石中，AE2=AG2+EG2,

：.102=（6+X）2+（8-X）2,

解得：x=0（舍去）或x=2；

/.BD=2；

②當(dāng)NDFE=90。時，此時點尸與點C重合，如圖:

EF=AE-AC=4,

設(shè)BD=x,則：CD=S-x,

由勾股定理，得：X2=42+（8-X）2,

解得:x=5；

BD=5,

綜上：BD=2或3。=5；

故答案為：2或5.

29.（23-24八年級?四川成都?期末）如圖，長方形紙片A3CD中，已知AD=8,折疊紙片使AB邊與對角

線AC重合，點B落在點尸處，折痕為AE,且3E=3.

(1)求CF的長；

(2)求A3的長.

【答案】⑴C尸=4

(2)AB=6

【分析】本題考查勾股定理與折疊問題，掌握折疊的性質(zhì)，利用勾股定理進行求解，是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到==/8=90。，進而得到NEFC=90。，利用勾股定理進行求解

即可；

(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)，得至=設(shè)AB=Ab=x,在RtaABC中，利用勾股定理進行求解即可.

【詳解】(1)解：：長方形紙片ABCD中，AD=8,折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，

/.BE=EF=3,ZAFE=NB=90°,BC=AD=8,

；.NEFC=90°,CE=BC-BE=5,

CF=y/CE2-EF2=4；

(2)?.?折疊，

：.AB=AF,

^AB=AF=x,貝I：AC=AF+CF=x+4,

在RtA4BC中，AC2=AB2+BC2,

(X+4)2=X2+82,

x=6,

：.AB=6.

30.(23-24八年級?山東青島?階段練習(xí))如圖，已知RtZXABC,兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,點。為

3C上一點，現(xiàn)將Rt^ABC沿AD折疊，使點C落在斜邊上的點E處，試求CO的長.

【分析】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，先根據(jù)勾股定理求得AB的長，再根據(jù)折疊的性

質(zhì)求得AE,BE的長，從而利用勾股定理可求得CD的長，熟記性質(zhì)并表示出RtDEB的三邊,然后利用

勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解:設(shè)CD=xcm,

AC=6cm,BC=8cm,

AB=10cm,

根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，

CD=DE=無cm,AC=AE=6,

BD=（8-x）cm,

BE=10cm-6cm=4cm,

在Rt中，BE2+DE-=BD2,

：.42+X2=（8-X）\

解得:x=3（cm）,

CO的長為3cm.

四、題型四：勾股定理的證明方法，難度三星，10題

31.（23-24八年級?陜西榆林?期中）如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形拼成的正方形圖案，

已知大正方形的面積為49,小正方形的面積為4,若用x,y表示直角三角形的兩條直角邊長（x>y）,下

列四個說法：①x+y=9；②y-x=2；③2孫+4=49；@x2+y2=49.其中正確的是（）

A.①②B.②④C.③④D.①②③④

【答案】C

【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理、直角三角形的面積公式和完全平方公式是解

題的關(guān)鍵.

根據(jù)勾股定理和正方形的性質(zhì)即可得到無2+丁=A￥=49,即可判定④；根據(jù)圖形可知X-y=CE=2,

即可判斷②；根據(jù)四個直角三角形的面積與小正方形的面積之和為大正方形的面積，可得2孫+4=49,

即可判斷③；進而得到（x+'）2=94,即可判斷①.

【詳解】解：如圖所示，

正方形ABGF的面積為49,

：-AB2^49,

B

：,是直角三角形，

根據(jù)勾股定理得：x2+y=AB2=49,故④正確；

正方形CDHE的面積為4,

：.CE=CD=EH=DH=2,

?.x—y=CE=2,故②錯誤；

由圖可知，四個直角三角形的面積與小正方形的面積之和為大正方形的面積，

列出等式為4x；移+4=49,

即2個+4=49,故③正確；

由2孫+4=49可得2xy=45,

22

又：X+y=49,

兩式相加得：X2+2xy+y2=49+45,

整理得：（尤+y）~=94,

x+y—5/94豐9,故①錯誤；

故正確的是③④.

故選：C.

32.（23-24八年級.河北石家莊.期末）在學(xué)習(xí)勾股定理時，甲、乙兩位同學(xué)給出了不同的方案，可以利用

面積驗證勾股定理/+62=°2的是（）

甲：由四個全等的直角三角形按圖1所示的方式拼成一個大正方形

乙：如圖2,分別以直角三角形的三條邊為邊向外作三個正方形

A.甲、乙均可以B.甲可以，乙不可以

C.乙可以，甲不可以D.甲、乙均不可以

【答案】A

【分析】本題主要考查了勾股定理的幾何證明，掌握數(shù)形集合思想是解題的關(guān)鍵.

甲：分別用兩種方法表示大正方形的面積，然后化簡即可判斷；乙：先算出三個正方形的面積，看是否

滿足/+匕2=°2即可判斷.

【詳解】解：甲：大正方形的面積可以表示為：C?或4*；濡+3_°）2=/+62,即

先根據(jù)正方形的面積計算出片、b\即可/+從=。2；

所以甲、乙均可驗證/+62=°2.

故選A.

33.（23-24七年級?浙江寧波?期末）勾股定理的證明方法多樣，如圖是“水車翼輪法”證明勾股定理：將正

方形AC/G沿分割線用，分割成四個全等四邊形，再將這四個四邊形和正方形ABED拼成大正方形

BCHI.若AB=2.BC=回，則AL的長為.

【答案】43

【分析】本題考查了勾股定理的證明，正確得出AG-A￡=OP+ON是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖,

G

J

在直角ABC中，由勾股定理得，

AC=sjBC2-AB2=J(^)2-22=5,

；.AG=AC=5,

將正方形AC尸G沿分割線JK,LM分割成四個全等四邊形，再將這四個四邊形和正方形ABED拼成大

正方形BCHI,

:.OP=ALNP=GL,

:.AG-AL^OP+ON,

5—AL=AL+2,

/.AL=-.

2

3

故答案為：—.

34.(23-24八年級?福建泉州?期末)把兩個全等的直角三角形拼成如圖所示的形狀，使點A,E,。在同

一條直線上，利用此圖的面積表示式可以得到一個關(guān)于。，b,c的代數(shù)恒等式，則這個恒等式

是.

【答案】a2+b2^c2

【分析】本題考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問

題是解題的關(guān)鍵.先證3EC是等腰直角三角形，由面積和差關(guān)系可得結(jié)論.

【詳解】Y^ABE與ZXDEC,

：.ZABE=ZDEC,BE=CE,

,?ZABE+ZAEB^90°,

ZAEB+NCED=90。,

/.ZBEC=90°,

HEC是等腰直角三角形，

?s,

,?MBEC-萬，

,**SBEC=S梯形MCD―2S鉆后,

.c2_(〃+')(〃+1)ab

??—=-----------2x—,

222

a2+b2=c2?

故答案為：〃+〃=/.

35.(23-24八年級?浙江溫州?期中)圖1是一幅“青朱出入圖”，運用“割補術(shù)”，通過三個正方形之間的面

積轉(zhuǎn)化證明勾股定理(/+/=°2).如圖2,小明連結(jié)”,GK,"G后發(fā)現(xiàn)m=HG.

(2)當(dāng)四邊形。"KG的面積為22時，正方形的面積為.

【答案】340

【分析】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一性質(zhì)，三角形全等的判定和性

質(zhì)，熟練掌握勾股定理，正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)過點H作于點根據(jù)7/D=HG得到M)=MG,四邊形4甌＞是矩形，繼而得到

MD=AH.證明，ZMHqOCE得到CE=AH,結(jié)合正方形的性質(zhì)，得至I]6=4/=。6=。0=朋3,計算

即可.

(2)根據(jù)(1),設(shè)CE=AH=CG=DM=MG=x,則ZM=DC=AB=3C=3x,BH=2x,

根據(jù)DCE四EKT得至"KE=DC=3x,繼而得到38=CK=2x,BK=CE=x,利用圖形面積分割法計

算即可.

【詳解】(1)過點H作H拉，8于點

HD=HG,

：.MD=MG,四邊形AHMD是矩形，

/.MD=AH.

???四邊形A5CD,四邊形DHIE,四邊形EFGC都是正方形，

：.DA=DC=AB=BCfDM=DE=HI=IE,FG=GC=CE=EF,

ZDAH=NDCE=ZDEI=90°,

..’DH=DE

*[DA=DC，

；?DAH瑪DCE(HL),

:.CE=AH,

：.CE=AH=CG=DM=MG,

：.CD=CG+DM+MG=3CG=3CEf

.??區(qū)=3,

CE

(2)根據(jù)(1),謖CE=AH=CG=DM=MG=x,則DA=OC=AB=5C=3x,BH=2x,

根據(jù)DCE^EKI

:.KE=DC=3x,

：.BH=CK=2x,BK=CE=x,

???四邊形DHKG的面積為22,

g(2x+3%)x3x-gx2%xx-；x2xx%=22,

解得％=2,%=—2(舍去)，

；?CE=2,CD=6

???正方形DHIE的面積為DE2=CD2+CF2=62+22=40,

故答案為：40.

36.（22-23八年級?四川成都?期末）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在證明勾股定理時，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”,

后人稱之為"趙爽弦圖如圖，AB=c,BE=a,AE=b(b>a).

(1)請你利用這個圖形，推導(dǎo)勾股定理：a2+b2=c\

(2)若直角三角形ABE的面積為54,c=15,求小正方形瓦G8的邊長.

【答案】(1)/+/==2

(2)小正方形EFGH的邊長為3

【分析】

本題考查勾股定理的證明，完全平方公式，整體思想，面積法，掌握面積法以及整體思想是解題的關(guān)鍵

(1)將正方形A3co的面積用四個全等的直角三角形的面積加正方形歷6〃的面積表示，再整理即可；

(2)根據(jù)直角三角形ABE的面積為54,c=15列出等式，再求出(方-。)？即可.

【詳解】(1)

解：，正方形A3CD由4個全等的直角三角形和一個小正方形EFGH組成，AB=c,BE=a,AE=b(b>a),

c~—4x—ab+(b-a)~,

2

整理,得"廬一；

(2)

「直角三角形ABE的面積為54,c=15,

.二"=54,=,2=