指對(duì)冪等函數(shù)值大小比較的深度剖析（講義）-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（解析版）

專題03指對(duì)幕等函數(shù)值大小比較的深度剖析

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

m占nt口馬囪.田攤己I白?rq

03知識(shí)梳理?方法技巧............................................................4

04真題研析?精準(zhǔn)預(yù)測(cè)............................................................5

05核心精講?題型突破...........................................................11

題型一：直接利用單調(diào)性11

題型二：引入媒介值13

題型三：含變量問(wèn)題15

題型四：構(gòu)造函數(shù)18

題型五：數(shù)形結(jié)合22

題型六：特殊值法、估算法26

題型七：放縮法29

題型八：同構(gòu)法34

重難點(diǎn)突破：泰勒展開(kāi)'帕德逼近估算法38

差情;奏汨?日標(biāo)旦祐

指、對(duì)、幕形數(shù)的大小比較問(wèn)題是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，也是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，命題形式主要以

選擇題為主.每年高考題都會(huì)出現(xiàn)，難度逐年上升.

考點(diǎn)要求目標(biāo)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

預(yù)測(cè)2025年高考趨

2024年北京卷第9題，5分

勢(shì)，指對(duì)幕比較大小或以

2024年天津卷第5題，5分

掌握指對(duì)塞大小2022年新高考I卷第7題，5分小題壓軸，預(yù)計(jì)：

指對(duì)孱比較大小比較的方法與技2022年天津卷第5題，5分(1)以選擇、填空題型呈

巧2022年甲卷第12題，5分現(xiàn)，側(cè)重綜合推理。

2021年H卷第7題，5分

(2)構(gòu)造靈活函數(shù)比較大

2021年天津卷第5題，5分

小將成為考查熱點(diǎn)。

牛nt口偏孑里?二注怙工虧

（1）利用函數(shù)與方程的思想，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性或極值，從而確定a,6,c的大小.

（2）指、對(duì)、幕大小比較的常用方法：

①底數(shù)相同，指數(shù)不同時(shí)，如a%和謨2,利用指數(shù)函數(shù)y=謨的單調(diào)性；

②指數(shù)相同，底數(shù)不同，如久￡和琰利用募函數(shù)y=*a單調(diào)性比較大小；

③底數(shù)相同，真數(shù)不同，如logMi和聯(lián)鵬2利用指數(shù)函數(shù)loga久單調(diào)性比較大??；

④底數(shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同，尋找中間變量0,1或者其它能判斷大小關(guān)系的中間量，借助中間量進(jìn)行大小

關(guān)系的判定.

(3)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

(4)特殊值法

(5)估算法

(6)放縮法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法

(7)常見(jiàn)函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)式:

v2vnpfix

①e*=1+x+_+...+_+xn+1

x2n+1

②sinx=x-^+^---+(-l)n,-+o(x2?l+2)

(2n+l)!'

_r2y4v6Y2n-

@cosx=l--+-『??+(T』+°P)

@ln(l+x)=x-y+y--??+(-l)n^+o(xn+1)

=1+x+X2+—Fxn+o(xn)

(6)(1+x)n=1+71%+嗎!1，%2+o(%2)

0

//慎題砒如糖\\

1.(2024年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,/(x)>f(x-1)+/(x-2),且當(dāng)x<3

時(shí)/(*)=x,則下列結(jié)論中一定正確的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C./(10)<1000D./(20)<10000

【答案】B

【解析】因?yàn)楫?dāng)x<3時(shí)/(x)=%,所以/(I)==2,

又因?yàn)閒(x)>/(x-l)+/(x-2),

貝次(3)>f(2)+/(I)=3/(4)>f(3)+f(2)>5,

/(5)>"4)+/(3)>8/(6)>〃5)+/(4)>13/(7)>/(6)+/⑸>21，

f(8)>f(7)+f(6)>34/(9)>f(8)+f(7)>55,/(10)>f(9)+f(8)>89，

/(ll)>/(IO)+/(9)>144/(12)>/(ll)+/(IO)>233,”13)>/(12)+/(ll)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1000,則依次下去可知f(20)>1000,則B正確；

且無(wú)證據(jù)表明ACD一定正確.

故選:B.

2.(2024年天津高考數(shù)學(xué)真題)設(shè)口=4.2-。汽6=4.2。汽c=log420.2,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】因?yàn)閥=4.2工在R上遞增，且一0,2<0<0.2,

所以0<4.2-02<4.2°<4.20-2,

所以0<4,2-62<1<4,20-2,即0<a<1<6,

因?yàn)閥=log4.2%在(0,+8)上遞增,且0<0.2<1,

所以log4.20.2<log4,2l=0,即c<0,

所以c<a<b,

故選：D

3.(2024年北京高考數(shù)學(xué)真題)已知(修,力)，。2，%)是函數(shù)丫=2*的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則()

A.log??B.log?生

2222

C.Iog2"產(chǎn)<均+%2D.Iog2笠^>久1+%2

【答案】B

【解析】由題意不妨設(shè)%1<&，因?yàn)楹瘮?shù)y=2,是增函數(shù)，所以0<2右<2犯，即0<丫］<先，

對(duì)于選項(xiàng)AB：可得號(hào)>>42%?2到=2?,即左/>2?>0,

根據(jù)函數(shù)y=log2%是增函數(shù)，所以log?左產(chǎn)>Iogz2中=空，故B正確，A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：例如％1=0,%2=D則yi=l,y2=2,

可得log2第=10g2|e（0,l）,即10g2左產(chǎn)<1=X1+久2,故D錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：例如％1=-1,%2=-2，則丫1=7，丫2=7

24

可得log2在手=log2|=log23-3C（-2,-1）,即log2左/>一3=X1+%2，故c錯(cuò)誤，

ZoZ

故選:B.

4.（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)。=1.01。5/=1.01。-6,。=0.6。5,則a,2c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】由y=1.01%在R上遞增，則。=1,O105<b=1,0106,

由y=在［0,+8）上遞增，則a=1.O105>c=O.60-5.

所以力>a>c.

故選：D

5.（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）設(shè)a=2&7,b=c=log21,貝b,6,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

x0.7-i

【解析】因?yàn)?0,7>Q）>0=log2l>log2->故a>b>c.

故選：D.

6.（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知9m=10,。=10血一11/=8加一9,貝1J（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

【解析】［方法一］:（指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)）

由9巾=10可得m=log"。=胃>1,而lg91gli〈（喏U）2=（等丫<1=（lgW）2；所以置>需，即

m>Igll,所以a=10m-11>10電11-11=0.

又lg81gl0-y=（等y<（lg9）2,所以假>需BPlog89>m,

所以b=8m-9<8i°g89-9=0.綜上，a>0>b.

［方法二］:【最優(yōu)解】(構(gòu)造函數(shù))

由9m=10,可得m=OgglOe(1,1.5).

根據(jù)a,b的形式構(gòu)造函數(shù)/(x)=萬(wàn)山一x->1),則/(x)=-1,

令/'(x)=0,解得X。=疝=，由6=log910G(1,1.5)知Xo6(0,1).

/(%)在(1,+8)上單調(diào)遞增，所以/(10)>f(8),BPa>b,

又因?yàn)?'(9)=910^10-10=0,所以a>0>b.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】法—：通過(guò)基本不等式和換底公式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；

法二：利用a,b的形式構(gòu)造函數(shù)〃久)=%巾-根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡(jiǎn)單明了，是

該題的最優(yōu)解.

7.(2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知a=||,b=cos1c=4sini貝|()

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【解析】［方法一］：構(gòu)造函數(shù)

因?yàn)楫?dāng)％G<tanx

故(=4tan：>l,故所以c>b；

設(shè)/(%)=cos%+|x2—l,xE(0,4-oo),

/(%)=—sinx+x>0,所以/(%)在(0,+8)單調(diào)遞增，

故/(?>〃0)=0,所以COS：-II>0,

所以b>a,所以c>b>a,故選A

［方法二］:不等式放縮

因?yàn)楫?dāng)％6(0,Jsin%<x,

取久=:得：cos'=1—2sin2>1—2(焉)=||,故b>a

4sin|+cos：=V17sin(：+0)，其中9E(°，9，且sing=-^=,cos(p=總

當(dāng)4sin工+cos工=時(shí)，-+(?=-,R.(p=---

444*2,24

止匕時(shí)sin；=cos(p=備，cos：=sin(p=意

故cos［=今<=sin：V4sini,故b<c

所以力>a,所以c>b>a,故選A

［方法三］:泰勒展開(kāi)

、幾cCLm.l31Y0.252.1Y0.252,0.254

設(shè)％=0.25,則。=—=1--------,b=cos-?1--------+——，

322424!

.1?.

4-1sm70.252,0.254、-L咨/日、7、4A、4A

c=4sin-=-14------—+——>計(jì)算得c>b>a,故選A.

43!5!

4

［方法四］:構(gòu)造函數(shù)

因?yàn)椤?4tani,因?yàn)楫?dāng)％Gfo,-Ysinx<x<tan第，所以tan工>,即￡>1,所以c>b；設(shè)f(%)=cosx+-%2—

l,xe(0,4-oo),//(x)=—sin%+%>0,所以/(%)在(0,+8)單調(diào)遞增，則/>/(0)=0,所以cos］-||>0,

所以力>a,所以c>b>a,

故選：A.

［方法五］:【最優(yōu)解】不等式放縮

因?yàn)椤?4tan工，因?yàn)楫?dāng)％E(0；),sin%<%<tan%,所以tan^>；即￡>1,所以c>b；因?yàn)楫?dāng)?shù)趢

fo,-Ysinx<x,?。?工得cos工=1—2siM工>1—2(工)=—,故b>a,所以c>b>a.

\2/848\8/32

故選:A.

【整體點(diǎn)評(píng)】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見(jiàn)思路，難點(diǎn)在于構(gòu)造合適的函數(shù)，屬于通性通法；

方法5：利用二倍角公式以及不等式％6(0,9，$!1%<%<121?放縮，即可得出大小關(guān)系，屬于最優(yōu)解.

8.(2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)設(shè)a=0.1ea1,b=，c=-ln0.9,貝U()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【解析】方法一：構(gòu)造法

設(shè)/'CO=ln(l+x)-x［x>-1),因?yàn)?''(>)=*一1=一士，

當(dāng)?shù)凇?一1,0)時(shí)，/'(%)>0,當(dāng)％e(0,+8)時(shí)尸(%)vo,

所以函數(shù)/(%)=ln(l+久)一%在(0,+8)單調(diào)遞減，在(一1,0)上單調(diào)遞增，

所以/(g)Vf(。)=0，所以In譚—-<0>故g>ln￡=—ln0,9,即b>c,

所以/(一百Vf(0)=0,所以1%+總<。,故卷VeF所以1

故a<b,

設(shè)g(X)=xqX+ln(l—x)(0<%<1),貝1=(x+l)ex+―1~)e+1,

x—1x—1

令h(%)=ex(x2—1)+1,〃(%)=ex(x2+2%—1),

當(dāng)0<x<V2—1時(shí)，h!(x)<0,函數(shù)<%)=ex(x2—1)+1單調(diào)遞減,

當(dāng)企-1<%<1時(shí)，"(%)>0,函數(shù)h(%)=ex(%2一1)+1單調(diào)遞增,

又以0)=0,

所以當(dāng)0<x<0—1時(shí)，ft(%)<0,

所以當(dāng)0<%V魚(yú)一1時(shí),g<x)>0,函數(shù)g(%)=xex+ln(l—%)單調(diào)遞增，

所以g(0.1)>g(0)=0,BPO.le01>-ln0.9,所以a>c

故選：C.

方法二：比較法

a=O.le01,b=,c=-ln(l—0.1),

①I(mǎi)na-Info=0.1+ln(l—0.1),

令f(x)=%+ln(l—x),x6(0,0.1］,

則f(x)=1一=/<0,

故/(x)在(0,0.1］上單調(diào)遞減，

可得/(0.1)</(0)=0,即Ina—\nb<0,所以aV力；

(2)a—c=O.le01+ln(l—0.1),

令g(x)=xex+ln(l—%),xG(0,0.1］,

則70)=xex+ex--=(i+x)d)eJ,

令k(x)=(1+x)(l—x)ex—1,所以k'(x)=(1—%2—2x)ex>0,

所以fc(x)在(0,0.1］上單調(diào)遞增，可得fc(x)>k(0)>0,即g'(%)>0,

所以9(T)在(OOI］上單調(diào)遞增，可得g(0.1)>g(0)=0,BPa-c>0,所以a>c.

故c<a<b.

9.(2021年天津高考數(shù)學(xué)試題)設(shè)a=log2()3力=log工04c=0.4。汽則〃，9c的大小關(guān)系為()

2

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

【答案】D

【解析】log20.3<log2l=0,?e-a<0,

logi0.4=—log0.4=log->log2=1,Ab>1,

22222

???0<O.403<0.4°=1,0<c<1,

a<c<b.

故選：D.

10.(2021年全國(guó)新高考n卷數(shù)學(xué)試題)已知a=logs2,fa=log83,c=|,則下列判斷正確的是()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【答案】c

【解析】a=log52<log5V5=|=log82V2<log83=b,即a<c<b.

故選：C.

11.(2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)(理)試題)設(shè)a=21nl.01,b=lnl.02,c=VOT-1.貝U()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【解析】［方法一］:

a=21nl.01=lnl.012=ln(l+0.01)2=ln(l+2x0.01+0.012)>lnl.02=b,

所以6<a；

下面比較c與a,b的大小關(guān)系.

W(x)=21n(l+x)-VfT4^+l,W(0)=0,/⑺—=2雷片),

由于1+4%—(1+x)2=2x—x2=x(2—x)

所以當(dāng)0<x<2時(shí)，1+4%—(1+>0,即+4汽>(1+汽),/(%)>0,

所以/(%)在［0,2］上單調(diào)遞增，

所以/(0.01)>/(0)=0,即21nl.01〉1,即a>c；

令g(x)=ln(l+2x)—V1+4%+1,貝叼(0)=0,g'(%)=---------^==

由于1+4久一(1+2汽)2=-4%2,在心>0時(shí)，1+4X-(1+2%)2<0,

所以9'(久)<0,即函數(shù)或式)在［0,+8)上單調(diào)遞減，所以g(0.01)<g(0)=0,即lnl.02<Vh04-1,即b<c；

綜上，b<c<a,

故選：B.

［方法二］:

令/(%)=In(~~~^)—x—1(%>1)

尸(“)=-§券<O'即函數(shù)/CO在(1，+◎上單調(diào)遞減

/(V1+0.04)</(I)=0”.b<c

令g(x)—2In—x+1(1<%<3)

g'(x)=>°,即函數(shù)9(x)在(1，3)上單調(diào)遞增

g(V1+0.04)(^(1)=0,???a)c

綜上，b<c<a,

故選：B.

核心蠟出?

題型一：直接利用單調(diào)性

【典例1?1】設(shè)a=2i?,b=lg3,c=In],貝！Ja、b、c的大小順序?yàn)?)

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

【答案】A

【解析】由函數(shù)y=ln%,y=lg%在(0,+8)上單調(diào)遞增，可得ln：Vlnl=0,0=Igl<lg3<IglO=1.

因函數(shù)y=2%在R上單調(diào)遞增，則A?>21=2.故In：<Ini=0=Igl<lg3<1<21-2,

即a>b>c.

故選：A

【典例1-2】(2024?高三?黑龍江雞西?期中)已知函數(shù)/(%)=2"+%,g(%)=log2%+%,/1(%)=j十%的零

點(diǎn)分別為a,b,c,則a,b,c的大小順序?yàn)?)

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>a>bD.b>a>c

【答案】B

【解析】由函數(shù)解析式可知三個(gè)函數(shù)在定義域上均為單調(diào)遞增函數(shù).

"(0)=2。+0=1>0,/(-I)=2-1-1=一]<0,故一1<a<0,

'-'9Q)—log21+|——1<0>或1)=log21+1=1>0,故。<b<1,

/i(0)=0,故。=0,

??-a<c<b.

故選：B.

巧

利用指對(duì)募函數(shù)的單調(diào)性判斷

【變式1-11已知a=logstb=logo.52,c=e-2,比較a,b,c的大小為()

A.b>a>cB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

【答案】C

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=logs%在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以a=log56<logs5=1,

又cVl,所以a>c,又因?yàn)楹瘮?shù)y=logo,5%在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以b=log052<log05l=0,因?yàn)閏>0,

所以bVc,綜上，a>c>b.

故選：C.

【變式1.2］已知a=0.33兀，b=G)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))c=tanl,比較a,b,c的大小()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【解析】由三角函數(shù)線可得：不等式tanx>x>sinx,xG(0,§,

則c=tanl>1,

又函數(shù)y=%e為增函數(shù)，y=0.33%為減函數(shù)，

則1>(J)'>Q)e>0,33e>0.33">0,

所以1>b>a,

綜上所述：c>b>a,

故選D.

I命題預(yù)測(cè)］

_53

1.(2024?江西新余?一模)故a=0-b=Qy,c=log3號(hào)，則〃，b,c的大小順序是()

A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

_553

【解析】a=0，=(J>b=Qy>1=log3y>C=log3y,

所以c<b<a,

故選：D

2.已知實(shí)數(shù)a,6滿足2a+a=2,b=logi63,貝U()

A.a>bB.a<bC.a=bD.a,b的大小無(wú)法判斷

【答案】A

【解析】函數(shù)f(%)=2%+%在R上單調(diào)遞增，且/(}=魚(yú)+[<2,則由2。+。=2,得

又b=log163<log164=I，所以a>b.

故選：A

題型二：引入媒介值

【典例2-1】(2024?高三?江西?期中)已知a=ln2,b=cos2,c=\則a,b,c的大小順序?yàn)?)

A.c>a>bB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

【答案】A

【解析】CL=ln2>InVe=$b=cos2<0,c=(1)=22=4,貝！Jc>a>b.

故選：A

q1

【典例2-2】三個(gè)數(shù)a=sin-,b=2"c=ln3一ln2的大小順序是()

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.b<c<a

【答案】B

【解析】a=sin|E(0,1),b=2^>1,c=ln3—ln2=ln|G(0,1),

所以b最大，

因?yàn)間<|<p所以?<sin|<1,

因?yàn)?Ve,所以五，則In]Vin五=±所以sin1>In。,

422222

即c<a<b,

故選：B

國(guó)in

尋找中間變量0,1或者其它能判斷大小關(guān)系的中間量，借助中間量進(jìn)行大小關(guān)系的判定.

2

【變式2-1]已知Q=log23,b=(|))c=cos(-1兀)一sin(-3，比較a,b,c的大小為()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】B

【解析】易知c=cos(_|%)-sin-cos|+sin|=|,

a=log23>log2(2應(yīng))=|=(|)=c>b=(|)\

故選：B

2

【變式2.2］已知a=ln4,b=lg4,c=則()

A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.a<c<b

【答案】A

21

【解析】因?yàn)閘n4>Ine=1,lg4<IglO=1,lg4>IgVlO=&『<g)5=|,

2

所以GJV恒4<In%所以c<b<a.

故選：A.

LI--命--題---預(yù)--測(cè)-J

1.已知a=logo,48,b=log060.5,c=log23,則()

A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【解析】a=log048<log041=0,而0.65=V0.216<A/0.25=0.5<0.6,

則1=log060.6<log0,60.5<log0,60.65=|,又?=log23>log22V2=|,

所以c>b>a.

故選：D

2.已知a=(,b=粵，c=*則()

ln4ln22

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【答案】D

==loe3

【解析】由題意可得：a='^S2?^=^|=log2?c=|=log222=log2V8,

因?yàn)?>%>e,且y=log2》在定義域(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

可得logz3>log2V8>log2e,所以力>c>a.

故選：D.

3.已知二二*&7,b=1.40-7,c=0.714,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

1407

【解析】由于Q=log140.7<log14l=0,0<c=0,7<0.7°=1=1.4°<1,4-=b,

所以a<c<b.

故選：B

題型三：含變量問(wèn)題

bd2a2a

【典例3-1][新考法]若0<2aVbV1,xr=a,x2=(2a),x3=b,x4=(2h),貝!!()

A.gV的V<上B.<x2<x3<x4

C.x2<<x4<x3D.x3<x4<xr<x2

【答案】B

【解析】方法一：因?yàn)閎>0,所以函數(shù)、=/在(0,+8)上單調(diào)遞增.

因?yàn)閍>0,所以a。<(2a)%即汽i<%2?

2a

同理，由函數(shù)y=久2a在(0,+8)上單調(diào)遞增，得爐。<(2h),即％3<%4?

因?yàn)?<2aVb,所以(2a)2avb2a.

因?yàn)?V2aVI,所以y=(2a)%在R上單調(diào)遞減，

所以(2。)匕V(2a)2%所以(2。)匕V爐氣即泡<X3，

所以久1<x2<x3<x4.

方法二：

由0<2a<b<1,令a=b=-,

82

X

因?yàn)楹?lt;9(等<L所以乂1<x2<^3<4-

4ZZ

故選：B.

mn

【典例3-2](2024?高三?河北邢臺(tái)?期中)已知1<7nV?i<2,a=n,b-m,c=lognm,則a,hc的大小

關(guān)系是()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】A

【解析】因?yàn)?<mV荏V2,所以y=nx,y=mx,y=log^%在(0,+8)上均單調(diào)遞增,

m1n1

所以a=n>n>1,b=m>m>1,c=lognm<lognn=1,即a>c,b>c,

對(duì)于a,b,構(gòu)造函數(shù)/(%)=等=>,(%)=

易知e>x>0時(shí)，/'(x)>0,即此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則/(m)</(九)今若<黑，

所以nImn<mlnn=>lnmn<lnnm,

因?yàn)閥=In%在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以血九<nm,

綜上a>b>c.

故選：A

對(duì)變量取特殊值代入或者構(gòu)造函數(shù)

【變式3?1](多選題)已知正數(shù)a,b滿足—lnb)=l,貝lj()

A.e<b<e2B.ea+^->2

ea

C.ea>bD.ea-\nb>1

【答案】BCD

【解析】對(duì)于A中，因?yàn)閍>0,可得0<e<1,又因?yàn)?—ln6=2，所以0<l—Inb<1,

可得0<lnb<l,解得l<6<e,所以A不正確；

對(duì)于B中，由a>0,則e。>1,貝Ue。+^>2卜/=2,

當(dāng)且僅當(dāng)ea=:即a=0時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)閍>0,所以6。+2>2,所以B正確，

對(duì)于C中，由函數(shù)/(%)=ex—x—1,可得/'(%)=ex—1,

當(dāng)久<0時(shí)，/'(%)<0,/(%)單調(diào)遞減；

當(dāng)％>0時(shí)，/<(%)>0,/(%)單調(diào)遞增，

所以丁(%)min=f(0)=0，則f(%)=ex-%-1>0,即e%>x+1,

當(dāng)且僅當(dāng)％=0時(shí)，等號(hào)成立，

因?yàn)閍>0時(shí)，因?yàn)閑a(l—lnb)=1,可得1-Inb=?一。>—a+1,

所以Q>lnb,即/>乩所以C正確；

對(duì)于D中，由l—lnb=e-。，所以e。+1—Inb=e。+。>2,可得e。—lnb>l,所以D正確.

故選：BCD.

【變式3-2](2024?陜西西安?統(tǒng)考一模)設(shè)a>b>0,a-l-b=1且％=-弓),y=logia,z=log/i+i\a/?,則

x,y,z的大小關(guān)系是()

A.x<z<yB.z<y<x

C.y<z<xD.x<y<z

【答案】A

【解析】由a>b>0,。+b=1,可得0<bV：Va<l,

則z=logg+工產(chǎn)力=loga+fett/?=logj_ab=-1

因?yàn)?Vb<1,所以log。。<logbb=1,則'=logz。=~^°Sba>Tog匕b=-1,

因?yàn)閄=-<-1，所以x<z<y.

故選：A.

命題預(yù)測(cè)

1LJ

--------------------A

1.(多選題)若0Va<b<c,且Iga+Igb+Ige=0,則下列各式一定成立的是()

A.2a+2”>4B.ab<1C.a+c2>2D.a2+c>2

【答案】BC

【解析】因?yàn)镮ga+Igb+Ige=0,所以Igabc=0,則abc=1,

又由于0<a<b<c,所以0<a<l,c>1,ab=+貝!JQ/JV1,故B正確；

因?yàn)椋?gt;1,所以a+c2>2芯7=2H>2,故C正確；

bW

當(dāng)a=±b=1,c=2時(shí)，可2。+2匕=&+2<4,故A錯(cuò)誤；

當(dāng)a=看b=叁,c=弓時(shí)，a2+c=|+|<2,故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

2.(多選題)若0Va<b<1,貝IJ()

A.ab<baB.ab+1<a+b

ra

C.<b-D.loga(l+b)>logb(l+a)

【答案】AC

【解析】A選項(xiàng)中，因?yàn)?Va<l,故丫=a”在R上單調(diào)遞減，故a。Va。，

因?yàn)閥=久。在(0,+8)上單調(diào)遞增，故於<b。，綜上，0b<a。<b。,A正確；

B選項(xiàng)中，由于a+b—ab—1=(a—1)(1—6)<0,而已知0Va<bV1,所以B不正確;

C選項(xiàng)中，a1-/?<h1-a<=>(1—h)lna<(1—a)lnhQ

設(shè)"X)=粵(0<X<1)，則尸口)=^?(0<x<1)，

設(shè)g(%)=Inx+：-1(0<x<1),

則g'(久)=妥<o=>g(%)>g(l)=0=>/'(久)>0,

所以/(%)在(0,1)上遞增,這樣f(a)Vf(b),故C正確；

D選項(xiàng)中，取a=gl=g則logaQ+b)=log』=log工零，log>。+。)=1唯?

又2=逋〉u>1,故loga(l+b)=log]<log6(l+a)=log!^,所以D錯(cuò)誤.

3999§39

故選：AC.

題型四：構(gòu)造函數(shù)

【典例4-1】(2024?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))已知口=絆,6=竽,c=；,則a,6,c的大小為()

262e

A.b>c>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

【答案】D

【解析】因?yàn)椤?竽=?=￥1Ine

C=-2e2e

設(shè)/(X)=臂中＞

「?(2%)-21n%_—in%

則/(%)=

3)22x2

所以當(dāng)%€(0,e)時(shí),/'(%)>0,/(%)單調(diào)遞增;

當(dāng)％W(e,+8)時(shí),/\x)<0,/(%)單調(diào)遞減;

所以a=f(2)</(e)=c,b=/(3)</(e)=c,

31n2ln8,ln921n3ln3

又因?yàn)閍=?—=—V—=———=7b，

4121212126

所以C>b>a.

故選：D.

【典例4-2](2024.全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))若。=坐，b=-,c=—,則a,b,c的大小順序?yàn)?)

ez2e4

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

【答案】B

【解析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=臂，則a=/(9),b=f(e),c=/(2),

由f'(x)=詈,令尸(x)>0得0<x<e,令<。得x>e,

則f(%)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減.

因?yàn)?<e,所以f(2)<f(e),所以c<b；

因?yàn)閑<所以f(e)>f(D，所以6>a；

2

令%1冷=e,Ml<Xi<e<x2,則/(尤1)-/(%2)=~f(3)=署-0-署)*1,

令9(乃=皆一讀空xc(l,e),

1-lnx1-lnx02T2

則g'。)=0,

2x2=(ln龍)聲〉

所以g(x)在(l,e)上單調(diào)遞增,

又g(e)=0,所以g(x)<0,所以/(xj<f(x2)>

因?yàn)閉x2=e2,JEL1<2<e<y,所以a=f(])>f(2)=c,所以c<a<b.

故選：B

構(gòu)造函數(shù)比大小是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)題型，它可以從“形”與“數(shù)”兩個(gè)角度入手解題。

“形”的構(gòu)造：不等式兩邊的結(jié)構(gòu)相似時(shí)，我們可以構(gòu)建一個(gè)函數(shù)，通過(guò)分析這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)“若

函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，則%2為2Og(%)?g(x2)；若函數(shù)/(X)單調(diào)遞減，%2X2Og(xjwg(x2)”

判斷.

“數(shù)”的構(gòu)造：觀察到待比較式子間數(shù)與數(shù)的關(guān)系后，我們可據(jù)此構(gòu)造函數(shù).

【變式4-1］［新考法］設(shè)函數(shù)/0)=x+Inx,5(x)=xlnx-1,h(x)=1-(+；+■在(0,+8)上的零點(diǎn)分

別為a,b,c,則a,4c的大小順序?yàn)?)

A.c<b<aB.b>c>a

C.c>a>bD.b>a>c

【答案】B

【解析】因?yàn)?'(x)=x+Inx,f'(x)=1+>0,所以/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又因?yàn)?G)=>E20<0/(1)=10>0,所以存在Q€&1)使得/(a)=0,

所以a€G，1),

因?yàn)間(%)=xlnx—1,g’(x)=In%+1,令“(%)=0,解得％=

當(dāng)久e(o,g)時(shí)，“(%)V。，則g(%)在(0,,上單調(diào)遞減，

當(dāng)汽GG，+8)時(shí)，g'(x)>0,則g(x)在(0*)上單調(diào)遞增，

又因?yàn)間(l)=—1<0,g(2)=21n2-1>0,be(1,2),

又h(x)=1_1+：+?xE(0,+oo),所以"(x)=g+1+[>0,所以h(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

又八?)<0,h(l)>0,所以存在ceg,1)使得Me)=0,所以b最大，

因?yàn)椋?e=,=7^〉為所以In?>1吟=IneF=_|>

8—1.6V2.56Ve8Ve2

/f->)=ln-+->-0.5+->0,aep,-\

J\87888\28/

又=l冶+卷+曰<5?,?，€61)

a<c<b.

故選：B.

【變式4?2]已知a=遮，b=ln(V5+1),c=試比較a,b,c的大小()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

【答案】B

【解析】設(shè)m(%)=Inx-x+1,

則當(dāng)%>1時(shí)m'(%)=(—1V0,m(%)單調(diào)遞減，

故6(遮+1)=ln(V5+1)—(V5+1)+1<m(l)=0,

故ln(V5+1)<逐,進(jìn)而b<a,

設(shè)九(%)=41nx+x—6,

由于函數(shù)y=Inxfly=久均為定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，

所以幾(%)=41nx+%-6為(3,+8)上的單調(diào)遞增函數(shù)，

因此幾(6+1)=41n(V5+1)+(V5+1)-6>n(3)=41n3-3>0,

故41n(麻+1)+(有+1)—6>0nln(V5+l)>弋機(jī)=千，

故b>c,

因此a>b>c,

故選：B

命題預(yù)測(cè)

1.已知a=ln(sinl.O2),b=―:—,c=lnl.02,貝!j()

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<a<c

【答案】c

【解析】因?yàn)閥=sinx在(0彳)內(nèi)單調(diào)遞增，

則0=sinO<sinl,02<sin]=1,即sinl.02G(0,1),

又因?yàn)閥=In%在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

則a=ln(sinl.O2)<Ini=0,c=lnl.02>Ini=0,可得a<c；

令％=0.02,貝帕=~7=fc=1n(l+x),

構(gòu)建/(%)=ln(l+x)--^=,x>0,

則:（%）=土Vl+X——(yiT7_i)2

l+x2(l+x)Vl+x

可知/（%）在（o,+8）上遞減,則y（o.o2）<y（o）=o,即c<司

綜上所述：a<c<b.

故選：C.

2.若a=gb=cos(1—c=-,則a、b、c滿足的大小關(guān)系式是().

332it