河南省名校大聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期階段性測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省名校大聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期階段性測試數(shù)學(xué)試題考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，故選：B2.已知三個(gè)向量共面，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)楣裁?，所以設(shè)，所以，解得，故選：C.3.在一次文物展覽中，要將5件不同的文物從左到右擺成一排進(jìn)行展示，其中有2件特殊的文物需要相鄰擺放，則不同的排列方法有（）A.24種 B.48種 C.96種 D.120種【答案】B【解析】先把2件特殊的文物放一起，看做一個(gè)整體與其余3個(gè)全排列，共有種不同的排法，故選：B4.已知在四面體中，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足.記，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】如圖，因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，點(diǎn)滿足，則，，又點(diǎn)滿足，即，于是，所以.故選：A5.已知分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為上的一點(diǎn)，且，則的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以漸近線方程為，故選：C.6.已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線.若直線過定點(diǎn)，且與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線的方程為（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】設(shè)，∵M(jìn)是線段中點(diǎn)，∴，整理可得，∵A在圓上，∴，整理可得曲線的方程為：．曲線E是以圓心，半徑的圓，所以若直線l與曲線E只有一個(gè)公共點(diǎn)，即直線l與曲線E相切．當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，方程為，是圓切線，滿足題意；當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，即，∴圓心到直線l的距離，解得，所以直線l的方程為，即．綜上，直線l的方程為或．故選：D．7.過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，過的中點(diǎn)作另一條直線交軸于點(diǎn)，若，且，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】拋物線y2=2pxp>0直線的斜率為，則直線的方程為，代入拋物線方程得，即，解得，∴，∴，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，所以，即，又，∴，∴，∴，所以直線的方程為，令，得，所以，∴，∴，解得．故選：B．8.已知直線過定點(diǎn),圓的方程為，若是直線與圓的一個(gè)交點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由直線可得，令，解得，所以直線過定點(diǎn)，因?yàn)閳A的方程為，而，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部，即直線與圓相交，點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn)，因?yàn)?，設(shè)，所以，其中，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為故選：C二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.的取值范圍為B.圓關(guān)于直線對稱C.若直線被圓截得的弦長為，則D.若，過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則【答案】BCD【解析】圓可化為，所以，解得，故A錯(cuò)誤；因?yàn)閳AC的圓心為在直線上，所以圓關(guān)于直線對稱，故B正確；因?yàn)閳A心到直線的距離為，又弦長為，所以，可得圓C的半徑為1，即，得，故C正確；當(dāng)時(shí)，圓C的半徑為，，所以切線長為，故D正確.故選：BCD10.已知，且，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.C.D.若為奇數(shù)，則【答案】ACD【解析】對于A，組合數(shù)的性質(zhì)為，在中，令，那么，所以，故A正確；對于B，組合數(shù)的遞推公式為，令，則，移項(xiàng)可得，故B錯(cuò)誤；對于C，，，所以，故C正確；對于D，根據(jù)二項(xiàng)式定理，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，為奇數(shù)時(shí)，，兩式相加得，則，故D正確；故選：ACD.11.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過的直線與交于兩點(diǎn)，若，則（）A. B.的面積等于C.的斜率為 D.的離心率為【答案】BC【解析】根據(jù)，設(shè)，根據(jù)橢圓的定義可得，所以，則，所以，即，因?yàn)?，所以點(diǎn)在下頂點(diǎn)或上頂點(diǎn)，如圖所示：對于A，，所以，不能得到，故A錯(cuò)誤；對于B，由A可得，所以，，因?yàn)?，所以，故B正確；對于C，若點(diǎn)在下頂點(diǎn)，則該直線的傾斜角為，此時(shí)斜率為，若點(diǎn)在上頂點(diǎn)，則該直線傾斜角為，此時(shí)斜率為，所以的斜率為，故C正確；對于D，在中，，所以，離心率為，故D錯(cuò)誤；故選：BC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的展開式中，若第三項(xiàng)的系數(shù)為15，則__________.【答案】6【解析】的展開式的通項(xiàng)為，則第三項(xiàng)的系數(shù)為，即，即，解得(舍)或．故答案為：6．13.如圖，將兩個(gè)相同的四棱錐與對稱擺放組成一個(gè)多面體，已知平面，四邊形是邊長為2的正方形，若平面與平面的夾角為，則該多面體的體積為__________.【答案】【解析】∵平面，平面，∴，，又，，平面，∴平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則,，設(shè)平面的法向量為，由，令，則，，設(shè)平面的法向量為，由，令，則，，若平面與平面的夾角為，則，解得，所以該多面體的體積為.故答案為：.14.現(xiàn)用3種不同的顏色給正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)涂色，要求相鄰頂點(diǎn)的顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為__________.【答案】30【解析】如圖，考慮B，C，E三點(diǎn)的涂色情況，若B，C，E三點(diǎn)涂三種顏色，則該三點(diǎn)共有種涂色方法，此時(shí)A有1種涂色方法，D有1種涂色方法，則共有種涂色方法；若B，C，E三點(diǎn)涂兩種顏色，則E與B同色，或E與C同色，當(dāng)E與B同色時(shí)，該三點(diǎn)共有種涂色方法，此時(shí)A有2種涂色方法，D有1種涂色方法，則共有種涂色方法，同理當(dāng)E與C同色時(shí)，共有種涂色方法，綜上，不同的涂色方法種數(shù)為．故答案為：30．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（1）求的展開式中的常數(shù)項(xiàng)；（2）已知，求的值.解：（1）展開式通項(xiàng)為．由，可得．因此展開式的常數(shù)項(xiàng)為第5項(xiàng)：．（2）已知式中令得，令得，又，所以，所以．16.已知雙曲線的焦距為，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求的方程；（2）已知斜率為且不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)在直線上，求的值.解：（1）由題意得，即，所以，因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)，所以代入可得，解得，，所以的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，，的中點(diǎn)為.聯(lián)立，消去整理得：，所以，，則，，所以.因?yàn)樵谥本€上，所以，又，所以.17.如圖,在三棱錐中,底面，且為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且，求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）∵平面，且平面，∴，∵，平面，且，∴平面，又平面，∴，∵，且D為的中點(diǎn)，∴，又，且平面，因此平面．（2）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以過點(diǎn)A且平行于的直線為x軸，所在的直線分別為y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，∵，∴，∴，由于G在棱上，令，那么，∵，∴，解得，∴，又，設(shè)平面的法向量為，∴，令，則，，∵平面，∴是平面的法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，∴平面與平面夾角的余弦值為．18.一個(gè)袋中裝有2個(gè)紅球和4個(gè)白球，這些球除了顏色以外完全相同.每次從袋中隨機(jī)取出一個(gè)球，取出的球不放回.（1）求第二次取出是紅球的概率；（2）若第三次取球時(shí)發(fā)現(xiàn)取出的是紅球，求此時(shí)袋中沒有紅球的概率；（3）設(shè)2個(gè)紅球都被取出時(shí)，已經(jīng)取出的白球個(gè)數(shù)為，求的分布列.解：（1）第二次取出的是紅球是兩個(gè)互斥事件的和事件，分別為第一次取出紅球，第二次取出紅球；第一次取出白球，第二次取出紅球；所以概率.（2）記第三次取球時(shí)發(fā)現(xiàn)取出的是紅球?yàn)槭录嗀，第三次取球后袋中無紅球?yàn)槭录﨎,則,，所以.（3）由題意，的可能取值為，則，，，，,所以分布列為：0123419.已知橢圓的離心率為，上?下頂點(diǎn)和左?右焦點(diǎn)形成的四邊形的面積為.（1）求的方程；（2）設(shè)是上任意一點(diǎn)，線段上一點(diǎn)滿足，求的取值范圍；（3）