遼寧省五校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省五校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】集合，集合，所以.故選：C.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由全稱命題的否定是特稱可得命題“”的否定是.故選：D.3.如圖，在平行四邊形ABCD中，為對角線的交點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故選：A.4.已知函數(shù)，則（）A.2 B.3 C.5 D.33【答案】B【解析】函數(shù)，則，所以.故選：B.5.如圖，①②③④對應(yīng)四個冪函數(shù)的圖像，則①對應(yīng)的冪函數(shù)可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由圖可知，①對應(yīng)的冪函數(shù)：函數(shù)的定義域為，在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增，且圖象呈現(xiàn)上凸趨勢，則指數(shù)的值滿足，排除選項AD；又的定義域為R，的定義域為，故符合題意.故選：C.6.已知a，b均為正實數(shù)，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由a，b均為正實數(shù)，，得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以.故選：D.7.某中學(xué)的學(xué)生社團(tuán)準(zhǔn)備進(jìn)行一次針對本校學(xué)生在食堂加塞插隊行為的調(diào)查，為了消除被調(diào)查者的顧慮，使他們能如實作答，學(xué)生社團(tuán)精心設(shè)計了一份問卷：學(xué)生社團(tuán)隨機(jī)選取了400名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，問卷全部被收回，且有效．已知問卷中有115張勾選“是”．根據(jù)上述的調(diào)查結(jié)果，估計該校學(xué)生在食堂有加塞插隊行為的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意，拋擲一枚硬幣，得到正面或反面是等可能的，則回答第一個問題的人數(shù)為人，回答第二個問題的人數(shù)為人，又身份證號碼最后一個數(shù)是否為奇數(shù)是等可能，則回答第一個問題選擇是的人數(shù)為，因此回答第二個問題選擇是的人數(shù)為人，所以估計該校學(xué)生在食堂有加塞插隊行為的概率為.故選：A.8.已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可得令，定義域為，則，所以，即為奇函數(shù)，又由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在定義域上為增函數(shù)，所以，等價于，解得或.故選：B.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列各組向量中，不能作為基底的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】要使平面中兩個向量作為基底，必須滿足是非零向量，且不共線，即不存在倍數(shù)關(guān)系，故A正確；對于B，由，B正確；對于D，由，D正確；對于C，兩向量不存在倍數(shù)關(guān)系，所以C錯誤.故選：ABD.10.在高一年級隨機(jī)抽取10名男生和10名女生的競賽成績（滿分100分），按從低到高的順序排列，得到下表中的樣本數(shù)據(jù)：男生82858687889090929496女生82848587878788889092則下列說法正確是（）A.男生樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)是86B.男生樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于女生樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)C.女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變D.女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的方差不變【答案】BC【解析】對于A：，所以男生樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)是，故A錯誤；對于B:男生樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，女生樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為87，故B正確；對于C：女生樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，故C正確；對于D：女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，但是極差變小，所以方差變小，故D錯誤.故選：BC.11.定義域為R的函數(shù)滿足，且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則（）A.的圖像關(guān)于點對稱 B.的圖像關(guān)于點對稱C. D.若，則【答案】ACD【解析】由，得，所以，所以的圖像關(guān)于點對稱，故選項A正確；由得，即，所以的圖像關(guān)于點對稱，又因為函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則，所以，所以，所以，即，所以是周期函數(shù)，且周期為，故選項B錯誤，C正確；若，且的圖像關(guān)于點對稱，所以，所以，所以，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則______．【答案】【解析】由，得，而，所以.13.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是_______________．【答案】【解析】由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，得.14.若，則的最大值為______．【答案】1【解析】因為，所以，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知集合，集合．（1）當(dāng)時，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時，，所以或，又，所以或.（2）因為“”是“”的充分不必要條件，所以是的真子集，則，所以，，當(dāng)時，，，由題意，解得；當(dāng)時，，，由題意，解得；綜上實數(shù)的取值范圍為或．16.某校的體育組為了了解本校高一學(xué)生的體能狀況，隨機(jī)抽取了名高一學(xué)生進(jìn)行體能測試，將所得評分（百分制）按體育組制定的體能測試評價標(biāo)準(zhǔn)整理，得到頻率分布直方圖．已知評分在[70，80）中的學(xué)生有100人．體能測試評價標(biāo)準(zhǔn)如下表：測試評分[0,40）[90,100]體能等級EDCBA（1）求的值及頻率分布直方圖中的值；（2）在抽取的體能等級為的學(xué)生中，按照測試評分的分組，分為兩層，通過分層抽樣抽取出三人進(jìn)行體能訓(xùn)練．根據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，經(jīng)體能訓(xùn)練后，測試評分在40,50中的學(xué)生的體能等級轉(zhuǎn)為的概率為，測試評分在中的學(xué)生的體能等級轉(zhuǎn)為的概率為，假設(shè)經(jīng)體能訓(xùn)練后的等級轉(zhuǎn)化情況相互獨立，求在抽取出的三人中，經(jīng)體能訓(xùn)練后至少有一人的體能等級轉(zhuǎn)為的概率.解：（1）由已知條件可得，又因為每組的小矩形的面積之和為1.所以，解得.（2）由（1）可知：，所以調(diào)查評分在40,50中的人數(shù)是調(diào)查評分在中人數(shù)的，若按分層抽樣抽取3人，則調(diào)查評分在40,50中有1人，在中有2人，設(shè)事件“在抽取的3人中，經(jīng)心理疏導(dǎo)后至少有一人的心理等級轉(zhuǎn)為B”.因為經(jīng)心理疏導(dǎo)后的等級轉(zhuǎn)化情況相互獨立，所以，所以，故經(jīng)心理疏導(dǎo)后至少有一人的心理等級轉(zhuǎn)為B的概率為·17.若函數(shù)的定義域、值域均為，則稱為區(qū)間上的方正函數(shù)．（1）若為區(qū)間上的方正函數(shù)，求實數(shù)的值；（2）是否存在實數(shù)對，使得函數(shù)為區(qū)間上的方正函數(shù)？若存在，請寫出符合要求的所有實數(shù)對，若不存在，請說明理由．解：（1）因為，函數(shù)圖象開口向上，且對稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由題意，為區(qū)間上的方正函數(shù)，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，解得或（舍去）.因此，若為區(qū)間上的方正函數(shù)，則實數(shù)的值為.（2）不存在，理由如下：對函數(shù)，因為，所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，又當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，由奇函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減.如存在實數(shù)對，使得函數(shù)為區(qū)間上的方正函數(shù)，則，即，又，顯然，所以，，所以，即，解得，這與矛盾.故不存在實數(shù)對，使得函數(shù)為區(qū)間上的方正函數(shù).18.如圖1所示，在中，點在線段BC上，滿足是線段AB上的點，且滿足，線段CG與線段AD交于點．（1）若，求實數(shù)x，y的值；（2）若，求實數(shù)的值；（3）如圖2，過點的直線與邊AB，AC分別交于點E，F(xiàn)，設(shè)，，求的最小值．解：（1）因為，所以，所以，所以.（2）由題意可知：，，又因為三點共線，所以存在實數(shù)使得，，所以，解得：，所以.（3）易知，由（2）知，又因為三點共線,所以，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為.19.已知函數(shù)為偶函數(shù)．（1）求實數(shù)的值；（2）判斷在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義進(jìn)行證明；（3）設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為，若關(guān)于的方程有唯一的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）因為是偶函數(shù)，所以f-x=f即，整理得恒成立，又不恒為0，所以，即.（2）在上是單調(diào)遞增函數(shù)．證明如下：任取，設(shè)，則因，所以，又因為，所以，所以，即，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)．（3）函數(shù)的反函數(shù)為，方程有