數(shù)學(xué)分析課件二重積分概念

數(shù)學(xué)分析課件二重積分概念一、平面圖形的面積

我們首先定義平面圖形的面積.所謂一個(gè)平面圖形P是有界的,是指構(gòu)成這個(gè)平面圖形的點(diǎn)集是平面上的有界點(diǎn)集,即存在一矩形R,使得設(shè)

P是一平面有界圖形,用平行于二坐標(biāo)軸的某一組直線網(wǎng)

T分割這個(gè)圖形

(圖21-1),這時(shí)直線網(wǎng)

T的網(wǎng)眼(小閉矩形)可分為三類:(i)上的點(diǎn)都是P的內(nèi)點(diǎn);(ii)上的點(diǎn)都是P的外點(diǎn),即第2頁(yè),共34頁(yè)，星期六，2024年，5月(iii)

上含有P的邊界點(diǎn).

將所有屬于第(i)類小矩形(圖

21-1中紫色部分)的面積加起來(lái),記這個(gè)和數(shù)為里表示包含P的那個(gè)矩形R的面積);將所有第(i)類與第(ii)類小矩形的面積加起來(lái)(圖21-1中著色部分),記這個(gè)和數(shù)為則有則有(這第3頁(yè),共34頁(yè)，星期六，2024年，5月由確界存在定理可以推得,對(duì)于平面上所有直線網(wǎng),顯然有通常稱為P的內(nèi)面積,

為P的外面積.

定義1若平面圖形P滿足=,則稱P為可求面積的圖形,并把共同值作為P的面積.

定理21.1

平面有界圖形P可求面積的充要條件是:數(shù)集有上確界,有下確界.記

第4頁(yè),共34頁(yè)，星期六，2024年，5月對(duì)任給的總存在直線網(wǎng)T,使得

證必要性設(shè)有界圖形P的面積為.由定義

1,有

由及的定義知道,分別存在直線網(wǎng)與使得

記T為由與這兩個(gè)直線網(wǎng)合并所成的直線網(wǎng),

可證得第5頁(yè),共34頁(yè)，星期六，2024年，5月于是由(3)可得從而對(duì)直線網(wǎng)T有充分性設(shè)對(duì)任給的存在某直線網(wǎng)T,使得

但所以第6頁(yè),共34頁(yè)，星期六，2024年，5月由的任意性,得

因而平面圖形P可求面

積.推論平面有界圖形

P的面積為零的充要條件是它的外面積即對(duì)任給的存在直線網(wǎng)T,

使得或?qū)θ谓o的平面圖形P能被有限個(gè)面積總和

小于的小矩形所覆蓋.

第7頁(yè),共34頁(yè)，星期六，2024年，5月定理

21.2

平面有界圖形

P可求面積的充要條件是:P的邊界K的面積為零.

證由定理21.1,P可求面積的充要條件是:對(duì)任給的存在直線網(wǎng)T,使得由于

所以也有由上述推論,P的邊界K的面積

為零.定理21.3

若曲線K為定義在上的連續(xù)函數(shù)

的圖象,則曲線

K的面積為零.

第8頁(yè),共34頁(yè)，星期六，2024年，5月證由于在閉區(qū)間上連續(xù),所以它在

上一致連續(xù).因而,當(dāng)

，時(shí),可使在每個(gè)小區(qū)間上的振幅都成

高的小矩形所覆蓋.由于這

n個(gè)小矩形面積的總和

立即若把曲線

K按

分成

n個(gè)小段,則每一小段都能被以為寬,為第9頁(yè),共34頁(yè)，星期六，2024年，5月因此由定理21.1的推論即得曲線

K的面積為零.推論1參量方程所表示的光滑曲線或按段光滑曲線,其面積一定為零.證由光滑曲線的定義，均存在且不同時(shí)為零.

由隱函數(shù)存在性定理,(或

因此(或)在

上有反函數(shù).再由有限覆蓋定理,可把區(qū)間

第10頁(yè),共34頁(yè)，星期六，2024年，5月使得在每一段上，(或

)存在

上的曲線面積為零,從而整個(gè)曲線面積為零.

推論2

由平面光滑曲線或按段光滑曲線所圍的平面圖形都是可求面積的.分成

n段:(或,于是在

上反函數(shù)(或

所以在

有連續(xù)的第11頁(yè),共34頁(yè)，星期六，2024年，5月注平面中并非所有的點(diǎn)集都是可求面積的.例如易知因此是不可求面積的.第12頁(yè),共34頁(yè)，星期六，2024年，5月二、二重積分的定義及其存在性

二重積分的幾何背景是求曲頂柱體的體積.設(shè)為定義在可求面積的有界閉域

D上的非負(fù)連續(xù)函數(shù).求以曲面為頂,D為

底的柱體

(圖21-2)的體積

V.圖21-2第13頁(yè),共34頁(yè)，星期六，2024年，5月采用類似于求曲邊梯形面積的方法.(1)分割:先用一組平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)

T把區(qū)域

D分成n個(gè)小區(qū)域(稱T為區(qū)域D

的一個(gè)分割).以表示小區(qū)域的面積.這個(gè)直

線網(wǎng)也相應(yīng)地把曲頂柱體分割成n個(gè)以為底的小

曲頂柱體(2)近似求和:由于

在D上連續(xù),故當(dāng)每個(gè)相差無(wú)幾,因而可在上任取一點(diǎn)用以

的直徑都很小時(shí),在上各點(diǎn)的函數(shù)值

is第14頁(yè),共34頁(yè)，星期六，2024年，5月為高,為底

的小平頂柱體的體積作為的體積的近似值(如圖21-3),即把這些小平頂柱體的體積加起來(lái),就得到曲頂柱體體積

V的近似值第15頁(yè),共34頁(yè)，星期六，2024年，5月(3)取極限:當(dāng)直線網(wǎng)

T的網(wǎng)眼越來(lái)越細(xì)密,即分割

T的細(xì)度

(

為

的直徑)趨于零時(shí),就

有

這類問(wèn)題在物理學(xué)與工程技術(shù)中也常遇到,如求非

均勻平面的質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等等.這些都是所要討論的二重積分的實(shí)際物理背景.

第16頁(yè),共34頁(yè)，星期六，2024年，5月上面敘述的問(wèn)題都可歸為以下數(shù)學(xué)問(wèn)題.

可求面積的小區(qū)域

以

表示小區(qū)域

的面積,這些小區(qū)域構(gòu)成

D的

為分割

T的細(xì)度.在每個(gè)

上任取一點(diǎn)作一個(gè)分割

T,以

表示小區(qū)域

的直徑,稱

設(shè)

D為

xy平面上可求面積的有界閉域,為定義在

D上的函數(shù).用任意的曲線網(wǎng)把

D分成

n

個(gè)第17頁(yè),共34頁(yè)，星期六，2024年，5月稱它為函數(shù)

在

D上屬于分割

T的一個(gè)積分和.

定義2

設(shè)

是定義在可求面積的有界閉域

D

上的函數(shù).J是一個(gè)確定的實(shí)數(shù),若對(duì)任給的正數(shù)

總存在某個(gè)正數(shù)

使對(duì)于

D的任何分割

T,當(dāng)它的細(xì)度

時(shí),屬于

T的所有積分和都有

和式第18頁(yè),共34頁(yè)，星期六，2024年，5月則稱

在

D上可積,數(shù)

J稱為函數(shù)

在

D上二重積分,記作

其中

稱為二重積分的被積函數(shù),x,y稱為積

分變量,D稱為積分區(qū)域.

當(dāng)

時(shí),二重積分

在幾何上

第19頁(yè),共34頁(yè)，星期六，2024年，5月就表示以

為曲頂,D為底的曲頂柱體的

體積.當(dāng)

時(shí),二重積分

的值

就等于積分區(qū)域

D的面積.

注1由二重積分定義知道,若

在區(qū)域

D上

可積,則與定積分情形一樣,對(duì)任何分割

T,只要當(dāng)

時(shí),(4)式都成立.因此為方便計(jì)算起見(jiàn),常

選取一些特殊的分割方法,如選用平行于坐標(biāo)軸的

直線網(wǎng)來(lái)分割

D,則每一小網(wǎng)眼區(qū)域的

的面積

第20頁(yè),共34頁(yè)，星期六，2024年，5月此時(shí)通常把

記作

注2如定積分那樣類似地可證明:函數(shù)

在

可求面積的

D上可積的必要條件是它在

D上有界.

設(shè)函數(shù)

在

D上有界,T為

D的一個(gè)分割,它

把

D分成

n個(gè)可求面積的小區(qū)域

令

第21頁(yè),共34頁(yè)，星期六，2024年，5月別稱為關(guān)于分割

T的上和與下和.二元函數(shù)的上和與下和具有與一元函數(shù)的上和與下和同樣的性質(zhì),這里就不再重復(fù).下面列出有關(guān)二元函數(shù)的可積性定理,

這里只證明其中的定理

21.7.作和式

它們分第22頁(yè),共34頁(yè)，星期六，2024年，5月定理21.4

在

D上可積的充要條件是:

定理21.5

在

D上可積的充要條件是:對(duì)

于任給的正數(shù)

存在

D的某個(gè)分割

T,使得

定理21.6

有界閉域

D上的連續(xù)函數(shù)必可積.

定理21.7

設(shè)

是定義在有界閉域

D上的有

界函數(shù).若

的不連續(xù)點(diǎn)都落在有限條光滑曲線上,則

在

D上可積.

第23頁(yè),共34頁(yè)，星期六，2024年，5月證

不失一般性,可設(shè)

的不連續(xù)點(diǎn)全部落在

某一條光滑曲線

L上,并記

L的長(zhǎng)度為

l.于是對(duì)任

給的

把

L等分成

段:

在每段

上取一點(diǎn)

使

與其一端點(diǎn)的弧長(zhǎng)為

以

為中心作邊長(zhǎng)為

的正方形

則

第24頁(yè),共34頁(yè)，星期六，2024年，5月現(xiàn)在把區(qū)域

D分成兩部分:

第一部分

第二部分

由于

在

上連續(xù),根據(jù)定理21.6與定理21.5,存在

的分割

使得

又記

以T表示由

與多邊形

的邊界所組成的區(qū)域

D的

第25頁(yè),共34頁(yè)，星期六，2024年，5月分割,則有

其中

是

在

D上的振幅.

由于

在

D

上有界,故

是有限值.再由定理

21.5,這就證得了

在

D上可積.

第26頁(yè),共34頁(yè)，星期六，2024年，5月三、二重積分的性質(zhì)

二重積分與定積分具有類似的性質(zhì),現(xiàn)列舉如下:上也可積,且

2.

若

在

D上都可積,則

1.

若

在

D上可積,k為常數(shù),則

在

D在

D上也可積,且第27頁(yè),共34頁(yè)，星期六，2024年，5月3.

若

在

和

上都可積,且

與

無(wú)公共

內(nèi)點(diǎn),則

在

上也可積,且

4.

若

與

在

D上可積,且

則有

第28頁(yè),共34頁(yè)，星期六，2024年，5月5.

若

在

D上可積,則函數(shù)

在

D上

也可積,且

6.

若

在

D上可積,且

則有

第29頁(yè),共34頁(yè)，星期六，2024年，5月這里

是積分區(qū)域

D的面積.

7.(積分中值定理)若

在