二模模擬卷01-新題型（解析版）

試卷第=page2020頁，共=sectionpages2121頁二模模擬卷01-新題型數(shù)學注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設集合，則=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接根據(jù)交集的定義即可得出答案.【詳解】解：因為，，所以.故選：B.2．設復數(shù)（是虛數(shù)單位），則A． B． C． D．【答案】B【分析】由復數(shù)的運算法則計算即可.【詳解】，故選B.【點睛】本題主要考查復數(shù)的四則運算，屬于基礎題型.3．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則（

）A．－2 B．－1 C．0 D．2【答案】A【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】由且，由，因為該函數(shù)是偶函數(shù)，所以定義域關于原點對稱，因此有，即，定義域為，因為，所以該函數(shù)是偶函數(shù)，符合題意，故選：A4．已知橢圓的焦距是2，則離心率e的值是（

）A． B．或 C．或 D．或【答案】B【分析】對焦點所在位置進行分類討論，利用、進行求解.【詳解】因為橢圓的焦距是2，所以，當橢圓焦點在軸上，，所以，當橢圓焦點在軸上，，所以，故A，C，D錯誤.故選：B.5．的展開式中，項的系數(shù)為，則A． B． C． D．【答案】C【詳解】由展開式的公式得到項的系數(shù)為.系數(shù)為故答案為C．6．六氟化硫，化學式為，在常壓下是一種無色、無味、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結構為正八面體結構（正八面體是每個面都是正三角形的八面體），如圖所示.若此正八面體的棱長為2，若它的內(nèi)切球的表面積為，外接球表面積為，則的值為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正八面體的結構特征結合條件可得外接球的半徑，利用等積法可得內(nèi)切球半徑，進而即得.【詳解】如圖正八面體，連接和交于點，因為，，所以，，又和為平面內(nèi)相交直線，所以平面，所以為正八面體的中心，設正八面體的外接球的半徑為，內(nèi)切球半徑為，因為正八面體的棱長為，所以，，，則，，，設內(nèi)切球與平面切于點，所以平面，所以即為正八面體內(nèi)切球半徑，因為，，所以，即，所以.故選：A.7．設實數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用隱零點結合函數(shù)單調(diào)性和最值可得答案，或者利用同構結合單調(diào)性可得答案.【詳解】實數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，即為，設，，，令，可得，由指數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)在第一象限的圖象，可得和有且只有一個交點，設為，當時，，遞增；當時，，遞減．即有在處取得極小值，且為最小值．即有，；當時，，此時恒成立，符合題意；當時，由可得，即；由兩邊取對數(shù)可得，所以，即，因為，所以，所以，解得，所以的最小值為．故選：A．另解：因為，不等式恒成立，即為，當時，，此時恒成立；當時，上式可化為，令，由可得在遞增，所以，即有，由的導數(shù)為，當時，遞減．時，遞增，可得時，取得最大值．則，的最小值為．故選：A．8．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將變形為，然后從對數(shù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性考慮，結合指數(shù)函數(shù)的值域，得到，進而得到，，，結合，，得到，，求出.【詳解】要比較，，中的大小，等價于比較，，中的大小，∵，由定義域可知，故，∵在定義域上單調(diào)遞減，，，∵，∴，∵，∴，故，則，，，由定義域可知：，又∵，∴，則，，故，∵，，∴，，.故選：A.【點睛】方法點睛：對數(shù)比較大小的方法有：（1）對于真數(shù)相同的對數(shù)，可利用倒數(shù)法加以解決，有時也可把對數(shù)轉化為指數(shù)式進行比較；（2）當?shù)讛?shù)與真數(shù)都不相同時，一般可選取適當?shù)摹懊浇椤保ㄍǔＲ浴?”或“1”為媒介），分別與要比較的數(shù)比較大小，從而間接地得出要比較的數(shù)的大小關系；（3）作差（商）比較法是比較兩個數(shù)值大小的常用方法，即對兩值作差（商），看其值與0或1的關系，從而確定所比兩值的大小關系．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．在數(shù)列中，（為非零常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”，稱為“公方差”，下列對“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（

）A．是等方差數(shù)列B．若正項等方差數(shù)列的首項，且是等比數(shù)列，則C．等比數(shù)列不可能為等方差數(shù)列D．存在數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等方差數(shù)列【答案】BC【分析】根據(jù)等方差數(shù)列的定義依次分析四個選項可得答案.【詳解】對于A，因為，，，，所以不是等方差數(shù)列，故A錯誤；對于B，因為，，，所以，，因為是等比數(shù)列，所以，所以，所以，因為，所以，所以，又，所以，故B正確；對于C，設等比數(shù)列的公比為，則，則當時，，若為常數(shù)，則必有，此時，則數(shù)列不可能是等方差數(shù)列，故C正確；對于D，假設存在數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等方差數(shù)列，則當時，且，若，則，則，不合題意，若，則，得，又，所以為常數(shù)，必有，與假設矛盾，故存在數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等方差數(shù)列.故D錯誤；故選：BC10．已知拋物線的焦點為，過點的直線交于兩點，點在準線上的射影為，則（

）A．若，則B．若點的坐標為，則的最小值為4C．D．若直線過點且與拋物線有且僅有一個公共點，則滿足條件的直線有2條【答案】AC【分析】根據(jù)拋物線的弦長、定義、直線和拋物線的位置關系等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】拋物線方程為，所以，焦點，準線方程.A選項，若，則，A選項正確.B選項，點在拋物線內(nèi)，根據(jù)拋物線的定義可知的最小值是到準線的距離，即最小值是，所以B選項錯誤.C選項，設直線的方程為，由消去并化簡得，所以，則，所以，所以C選項正確.D選項，直線和直線都過，且與拋物線有一個公共點，當過的直線斜率存在時，設直線方程為，由消去并化簡得，由，解得，所以直線與拋物線有一個公共點，所以滿足條件的直線有條，D選項錯誤.故選：AC【點睛】思路點睛：求解直線和拋物線位置關系有關問題，可設出直線的方程，然后將直線方程和拋物線方程聯(lián)立，化簡后寫出根與系數(shù)關系、判別式等等，再結合拋物線的定義來對問題進行求解.11．下列說法正確的是（

）A．用0，1，2，3，4能組成48個不同的3位數(shù).B．將10個團員指標分到3個班，每班要求至少得2個，有15種分配方法.C．小明去書店看了4本不同的書，想借回去至少1本，有16種方法.D．甲、乙、丙、丁各寫了一份賀卡，四人互送賀卡，每人各拿一張賀卡且每人不能拿到自己寫的賀卡，有9種不同的方法.【答案】BD【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求出三位數(shù)的個數(shù)判斷A，根據(jù)隔板法和分步乘法計數(shù)原理求出分配方法數(shù)，判斷B，利用間接法求出滿足要求的方法數(shù)判斷C，利用分步乘法計數(shù)原理求出滿足條件的方法數(shù)，判斷D.【詳解】對于A，第一步先排百位數(shù)，有4種排法，第二步排十位數(shù)有5種排法，第三步排個位數(shù)有5種排法，由分步乘法計數(shù)原理可得共有個不同的三位數(shù)，A錯誤；對于B，第一步，每個班先各分一個團員指標，有一種方法，第二步，再將余下7個團員指標排成一排，7個指標之間有6個空，用2塊隔板插入其中的兩個空，每種插空方法就是一種將7個指標分給3個班，每班至少一個指標的分配方法，故第二步有種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得滿足條件的分配方法有15種，B正確；對于C，因為借回至少1本的反面為1本都不借，又小明所有的借書方法數(shù)為種，所以借回至少1本的方法數(shù)為種，C錯誤；對于D，第一步甲先拿賀卡，有3種方法，第二步安排甲拿到的賀卡的主人拿，有3種方法，第三步余下兩人拿賀卡，由于其中一人不能拿自己的賀卡，故只有一種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得共種方法，D正確；故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知三棱錐，其中平面，則三棱錐外接球的表面積為.【答案】【分析】根據(jù)題意設底面的外心為G，O為球心，所以平面ABC，，根據(jù)正弦定理求得外接圓的半徑，結合球的性質(zhì)、球的表面積公式進行求解即可．【詳解】根據(jù)題意設底面的外心為G，O為球心，所以平面ABC，

因為平面ABC，所以，設是PA中點，因為，所以，因為平面平面ABC，所以，因此，因此四邊形ODAG是平行四邊形，故，∵，∴，又外接圓的半徑，由正弦定理得，所以該外接球的半徑滿足，所以外接球的表面積為.故答案為：．13．如圖，正方體的棱長為6，點是棱的中點，與的交點為，點在棱上，且，動點（不同于點）在四邊形內(nèi)部及其邊界上運動，且，則直線與所成角的余弦值為.【答案】【分析】方法一：通過平移，在三角形中求解；方法二：通過建立空間直角坐標系來求解線線角.【詳解】解法一：易知.因為平面，所以，所以平面，又平面，所以，在棱上取一點，且，連接，則，所以，所以動點的軌跡為線段（不包括）.取棱的中點，連接，易知則即異面直線與所成的角.連接，因為，，，所以.解法二：以為坐標原點，直線，，分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，易知，，，，設，則，，.由題意知，得，所以，則，又不與點重合，所以，所以，所以直線與所成角的余弦值為.故答案為：.14．對，記，則對于任意，函數(shù)的最小值是.【答案】1【分析】根據(jù)新定義，作出函數(shù)的圖象即可得到結果.【詳解】由題意可知：作出函數(shù)的圖象：∴函數(shù)的最小值是，故答案為【點睛】本題以新定義為載體，考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)的最值，考查數(shù)形結合思想，屬于基礎題.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明在、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知函數(shù)．(1)當時，求證：在上是增函數(shù)；(2)若在區(qū)間上存在最小值，求的取值范圍；(3)若僅在兩點處的切線的斜率為1，請直接寫出的取值范圍．（結論不要求證明）【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）求導，討論導函數(shù)的符號證明增減性即可；（2）對分類討論，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性即可求解的取值范圍；（3）僅在兩點處的切線的斜率為1，即有兩個不同解，轉化為與或與的圖象有兩個交點求解即可.【詳解】（1）當，即時，，令解得，當時，，當時，，又連續(xù)，所以在上是增函數(shù).（2），當時，，①當時，在上恒成立，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上不存在最小值：②當時，令解得，此時，0極小值所以存在最小值，且，綜上a的取值范圍是．（3）僅在兩點處的切線的斜率為1，即有兩個不同解，解法一：方程有兩個不同的解，即與的圖象有兩個交點，令，則，所以圖象大致如下，由圖象可知與的圖象有兩個交點，則的取值范圍為.解法二：方程有兩個不同的解，即與的圖象有兩個交點，在同一坐標系上畫和的圖象如圖，由圖象可得當時與的圖象有兩個交點，即的取值范圍為.16．（15分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，底面，.(1)證明：平面平面；(2)點M在平面內(nèi)，直線平面，求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)根據(jù)線面垂直判定定理證明面，再根據(jù)面面垂直判定定理證明平面平面；(2)先求四棱錐的高，再根據(jù)錐體體積公式求解即可.【詳解】（1）連接交于點O，∵底面平面，∴，又∵，，平面，∴面，∵平面，∴平面平面；（2）連接，過A作交于點N，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以重合，因為，所以，又，，,所以，所以，∴點M到底面的距離為，又∴.17．（15分）某快遞公司收取快遞費用的標準是：重量不超過的包裹收費10元；重量超過的包裹，除收費10元之外，超過的部分，每超出（不足，按計算）需再收5元.該公司對近60天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計如下表：（1）某人打算將三件禮物隨機分成兩個包裹寄出，求該人支付的快遞費不超過30元的概率；（2）該公司從收取的每件快遞的費用中抽取5元作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的作為其他費用.前臺工作人員每人每天攬件不超過150件，工資100元，目前前臺有工作人員3人，那么，公司將前臺工作人員裁員1人對提高公司利潤是否更有利？【答案】(1)(2)公司將前臺工作人員裁員1人對提高公司利潤不利【詳解】試題分析：(1)根據(jù)表格結合古典概型概率計算公式求出結果；(2)分別算出裁員1人前后的利潤情況，從而作出判斷.試題解析：（1）由題意，寄出方式有以下三種可能：所有3種可能中，有1種可能快遞費未超過30元，根據(jù)古典概型概率計算公式，所示概率為；（2）將題目中的天數(shù)轉化為頻率，得若不裁員，則每天可攬件的上限為450件，公司每日攬件數(shù)情況如下：故公司平均每日利潤的期望值為（元）；若裁員1人，則每天可攬件的上限為300件，公司每日攬件數(shù)情況如下：故公司平均每日利潤的期望值為（元）故公司將前臺工作人員裁員1人對提高公司利潤不利.18．（17分）雙曲線C：，點是C上位于第一象限的一點，點關于原點O對稱，點關于y軸對稱．延長至E使得，且直線和C的另一個交點F位于第二象限中．(1)求的取值范圍；(2)證明：不可能是的三等分線.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求得點，求出直線BE的方程，將該直線的方程與雙曲線C的方程聯(lián)立，求出點F的坐標，由可得出，進而可得出關于的不等式，結合可求得的取值范圍；（2）計算得出，可得出，計算出，可得出，由此可證得結論成立.【詳解】（1）由題設得，、，設點，由題意可得，即，即，得，則，直線BE的斜率為，所