專題02 平面向量（解析版）

試卷第=page2020頁，共=sectionpages2020頁專題02平面向量1．（新課標(biāo)全國Ⅰ卷）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運算可求的值.【詳解】因為，所以，所以即，故，故選：D.2．（新課標(biāo)全國Ⅱ卷）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由得，結(jié)合，得，由此即可得解.【詳解】因為，所以，即，又因為，所以，從而.故選：B.3．（全國甲卷數(shù)學(xué)（理））已知向量，則（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件【答案】C【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.【詳解】對A，當(dāng)時，則，所以，解得或，即必要性不成立，故A錯誤；對C，當(dāng)時，，故，所以，即充分性成立，故C正確；對B，當(dāng)時，則，解得，即必要性不成立，故B錯誤；對D，當(dāng)時，不滿足，所以不成立，即充分性不立，故D錯誤.故選：C.4．（新高考北京卷）已知向量，，則“”是“或”的（

）條件．A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件C．充分且必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)向量數(shù)量積分析可知等價于，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳解】因為，可得，即，可知等價于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，無法得出或，例如，滿足，但且，可知充分性不成立；綜上所述，“”是“且”的必要不充分條件.故選：A.5．（新高考天津卷）在邊長為1的正方形中，點為線段的三等分點，，則；若為線段上的動點，為中點，則的最小值為．【答案】【分析】解法一：以為基底向量，根據(jù)向量的線性運算求，即可得，設(shè)，求，結(jié)合數(shù)量積的運算律求的最小值；解法二：建系標(biāo)點，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求，即可得，設(shè)，求，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運算求的最小值.【詳解】解法一：因為，即，則，可得，所以；由題意可知：，因為為線段上的動點，設(shè)，則，又因為為中點，則，可得，又因為，可知：當(dāng)時，取到最小值；解法二：以B為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，因為，則，所以；因為點在線段上，設(shè)，且為中點，則，可得，則，且，所以當(dāng)時，取到最小值為；故答案為：；.6．（新高考上海卷）已知，且，則的值為．【答案】15【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.【詳解】，，解得．故答案為：15．一、單選題1．（2024高三上·黑龍江哈爾濱·期末）若，，則實數(shù)（

）A．6 B． C．3 D．【答案】B【分析】利用向量數(shù)量積坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】因為，所以，即，所以，因為，，所以，所以，解得.故選：B.2．（2024·山東德州·三模）已知向量，，，若，則實數(shù)（

）A．-6 B．-5 C．5 D．6【答案】C【分析】利用向量的坐標(biāo)運算及向量的夾角公式即可求解.【詳解】由，，所以，由，得，所以，因為，，所以，解得.故選：C.3．（2024·河北衡水·三模）已知是單位向量，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先計算向量的模，再計算與的數(shù)量積，進(jìn)而可得夾角的余弦值，可得答案.【詳解】，故．，設(shè)與的夾角為，則，又，故，故選：A．4．（2024高三上·安徽池州·期末）已知向量，若，則下列關(guān)系一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量線性運算的坐標(biāo)表示以及向量平行的坐標(biāo)關(guān)系可直接求得答案.【詳解】，由可得，，整理得．故選：D.5．（2024高三上·云南保山·期末）如圖，已知正方形的邊長為4，若動點在以為直徑的半圓上（正方形內(nèi)部，含邊界），則的取值范圍為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件及極化恒等式，結(jié)合向量的線性運算即可求解.【詳解】取的中點，連接，如圖所示，

所以的取值范圍是，即，又由，所以.故選：B.6．（2024·河南·三模）已知向量，向量在上的投影向量為，則（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)投影向量的定義式，結(jié)合題意即可求得.【詳解】由向量，可得，因向量在上的投影向量為，由題意，，解得.故選：A.7．（2024·湖南長沙·二模）已知向量中，是單位向量，與的夾角為，則（

）A．2 B． C． D．-1【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義及運算律求解.【詳解】，所以.故選：B8．（2024·浙江紹興·二模）已知，是單位向量，且它們的夾角是，若，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由得，列出方程求解即可．【詳解】由得，，即，解得，故選：B．9．（2024·河北·三模）已知平面向量，，滿足，，與的夾角為，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．與有關(guān)【答案】C【分析】根據(jù)向量模長的坐標(biāo)表示可得，進(jìn)而可得，結(jié)合投影向量的定義分析求解.【詳解】由題意可知：，所以在方向上的投影向量為.故選：C.10．（2024·廣東廣州·三模）設(shè)向量，，當(dāng)，且時，則記作；當(dāng)，且時，則記作，有下面四個結(jié)論：①若，，則；②若且，則；③若，則對于任意向量，都有；④若，則對于任意向量，都有；其中所有正確結(jié)論的序號為（

）A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①④【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合向量的坐標(biāo)運算逐項分析①③，舉反例判斷②④.【詳解】對于①：若，，則，所以，故①正確；對于②：取，滿足，則，滿足，但，故②錯誤；對于③：若，則，且，設(shè)，則，可知，所以，故③正確；對于④：取，可知，但，即，故④錯誤；故選：C.11．（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知兩個向量，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用垂直關(guān)系的向量表示，結(jié)合模的坐標(biāo)表示求解即得.【詳解】由，得，則，即，因此，所以.故選：B12．（2024·四川雅安·三模）已知平面向量，則向量在向量方向上的投影是（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)運算求解投影即可.【詳解】因為向量，所以向量在向量方向上的投影是.故選：C.13．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知向量的夾角為，且，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的數(shù)量積運算公式結(jié)合已知直接計算即可.【詳解】因為，所以，即，因為，向量的夾角為，所以，所以，即.故選：A.14．（2024·河北承德·二模）在中，為中點，連接，設(shè)為中點，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用平面向量基本定理將用表示出來，再用向量的線性運算把用表示即可.【詳解】由于，所以，故選：D15．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）設(shè)，向量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由向量垂直得，再利用向量夾角的坐標(biāo)運算求解即可.【詳解】因為，又，所以，得到，所以，得到，所以.故選：D16．（2024·山東·二模）在中，交于點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可由坐標(biāo)法求解，以A為原點建立坐標(biāo)系寫出各點的坐標(biāo)即可求解.【詳解】解：由題可建立如圖所示坐標(biāo)系：由圖可得：，又，故直線的方程：，可得，所以，故選：C.二、多選題17．（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知向量，，為非零向量，下列說法正確的有（

）A．若，，則B．已知向量，，則C．若，則和在上的投影向量相等D．已知，，，則點A，B，D一定共線【答案】CD【分析】根據(jù)向量的線性運算、投影向量的意義和向量共線定理即可判斷出正確答案.【詳解】對于A，若，，則與可能平行，故A錯誤；對于B，設(shè)，則，解得，所以，故B錯誤；對于C，若，則，所以，所以和在上的投影向量相等，故C正確；對于D，因為，，所以,所以點A，B，D一定共線，故D正確.故選：CD.18．（2024·河南·三模）已知平面向量，則下列說法正確的有（

）A．一定可以作為一個基底B．一定有最小值C．一定存在一個實數(shù)使得D．的夾角的取值范圍是【答案】BC【分析】對A：借助基底的定義與向量共線定理計算即可得；對B：借助模長定義計算即可得；對C：借助模長與數(shù)量積的關(guān)系計算即可得；對D：找出反例即可得.【詳解】對A：若，即，即，此時不能作基底，故A錯誤；對B：，故有最小值，故B正確；對C：若，則有即，即，即，解得，即當(dāng)時，，故C正確；對D：由A知，若，則，即只能同向不能反向，故的夾角不可能為，故D錯誤.故選：BC.19．（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物，巢房是嚴(yán)格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底（由三個相同的菱形組成）巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜，如圖是一個蜂巢的正六邊形開口ABCDEF，它的邊長為1，點P是△DEF內(nèi)部（包括邊界）的動點，則（

）A．B．C．若P為EF的中點，則在上的投影向量為D．的最大值為【答案】AD【分析】對于A：根據(jù)正六邊形的性質(zhì)結(jié)合向量的線性運算求解；對于C：根據(jù)結(jié)合投影向量的定義分析判斷；對于BD：建系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求解.【詳解】對于選項A：因為，故A正確；對于選項C：由題意可知：，若P為EF的中點，所以在上的投影向量為，故C錯誤；對于選項BD：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則，可得，所以，故B錯誤；設(shè)，可知，則，可得，則，可知當(dāng)，即點與點重合時，的最大值為，故D正確；故選：AD.20．（2024·甘肅張掖·一模）下列命題錯誤的是（

）A．對空間任意一點與不共線的三點，若，其中，，且，則四點共面B．已知，，與的夾角為鈍角，則的取值范圍是C．若，共線，則D．若，共線，則一定存在實數(shù)使得【答案】BCD【分析】根據(jù)空間向量基本定理判斷A，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示及平面向量共線的坐標(biāo)表示判斷B，利用特殊值判斷C、D.【詳解】對于A：因為，則，所以，即，所以，所以四點共面，故A正確；對于B：因為，，與的夾角為鈍角，所以且與不共線反向，若，則，解得；若與共線，則，解得，綜上可得或，故B錯誤；對于C：若、同向且，此時，即不成立，故C錯誤；對于D：若，，顯然與共線，但是不存在使得，故D錯誤.故選：BCD21．（2024·江西宜春·三模）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出了阿波羅尼斯圓的定義：在平面內(nèi)，已知兩定點A，B之間的距離為a（非零常數(shù)），動點M到A，B的距離之比為常數(shù)（，且），則點M的軌跡是圓，簡稱為阿氏圓．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點M滿足，則下列說法正確的是（

）A．面積的最大值為12 B．的最大值為72C．若，則的最小值為10 D．當(dāng)點M不在x軸上時，MO始終平分【答案】ABD【分析】設(shè)點，由條件可得點M的軌跡方程，即可判斷A，由向量數(shù)量積的運算律代入計算，即可判斷B，由點與圓的位置關(guān)系，即可判斷C，由角平分線定理即可判斷D【詳解】對于A，設(shè)點，由，得，化為，所以點M的軌跡是以點為圓心、4為半徑的圓，所以面積的最大值為，故A正確；對于B，設(shè)線段AB的中點為N，，當(dāng)點M的坐標(biāo)為時取等號，故的最大值為72，故B正確；對于C，顯然點在圓外，點在圓內(nèi)，，當(dāng)B，M，Q三點共線且點M在線段BQ之間時，，故C錯誤；對于D，由，，有，當(dāng)點M不在x軸上時，由三角形內(nèi)角平分線分線段成比例定理的逆定理知，MO是中的平分線，故D正確．故選：ABD．三、填空題22．（2024·湖南長沙·三模）在，已知，.則.【答案】【分析】先由可得角，由可得，結(jié)合角的關(guān)系，解方程即可得答案.【詳解】設(shè)，，，由得，所以.又，因此，.由，得；于是，所以，∴，即.∵，∴，∴，∴或，∴或.又∵，∴，，，則.故答案為：23．（2024·江西·二模）在中，已知，為線段的中點，若，則．【答案】【分析】根據(jù)題意，由向量的線性運算公式可得，由平面向量基本定理可得、的值，進(jìn)而計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，在中，已知，則，由于為線段的中點，則，又，、不共線，故，，所以．故答案為：．24．（2024·四川遂寧·三模）已知向量，，若，那么m的值為．【答案】2【分析】由，得，即，即可求解.【詳解】解：向量，，若，則，即，解得．故答案為：225．（2024·河北·二模）已知是半徑為2的圓上三個動點，①若，則的最大值為，②若，則的最小值為.【答案】6【分析】①設(shè)的中點為，連接，由平面向量的運算律可得，當(dāng)過圓心，即為等腰三角形時，取得最大值，代入即可得出答案；②由可知當(dāng)在上的投影長最長時，即與圓相切時，可取到最小值，求解即可.【詳解】①若，設(shè)的中點為，連接，則，當(dāng)過圓心，即為等腰三角形時，取得最大值，如下圖，則，所以的最大值為.②若為鈍角時，取到最小值，如圖，為的中點，在上的投影向量為.由可知當(dāng)在上的投影長最長時，即與圓相切時，可取到最小值.，當(dāng)時，的最小值為.故答案為：；.26．（2024·河北保定·二模）已知向量的夾角的余弦值為，，且，則．【答案】4【分析】利用向量數(shù)量積的定義，由已知得，代入，求的值.【詳解】向量的夾角的余弦值為，，則，由，解得(負(fù)值舍去)．故答案為：4.27．（2024·全國·模擬預(yù)測）若向量與的夾角為，，，則．【