河南省九師聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期12月月考數(shù)學試題

高二數(shù)學考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊第一章~第三章第2節(jié)（約40%），第三章第3節(jié)~選擇性必修第二冊第四章（約60%）．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在數(shù)列中，，則（）A. B. C.16 D.32【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式計算．【詳解】，則，則是公比為2的等比數(shù)列，∴，故選：D．2.已知直線在軸上的截距是，其傾斜角是直線的傾斜角的2倍，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)截距的定義，可得所求直線與軸的交點，根據(jù)直線求得傾斜角，通過斜率定義，可得答案.【詳解】由直線在軸上的截距是，則直線過，可得，解得；由直線，設該直線的傾斜角為，則，解得，設直線的傾斜角為，斜率為，由，則，由，則，解得.故選：A.3.頂點在原點，關(guān)于軸對稱，并且經(jīng)過點的拋物線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，利用待定系數(shù)法求出拋物線方程，從而得解.【詳解】依題意，設拋物線方程為，將代入得，則，所以所求拋物線方程為.故選：C.4.已知等差數(shù)列的前項和為，若，則的最大值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】由等差數(shù)列的前項和性質(zhì)求得，然后由基本不等式得最大值．【詳解】等差數(shù)列，則，，要使得最大，則，此時，當且僅當時取等號，故選：B．5.已知數(shù)列中，，則數(shù)列前2024項的和為（）A.0 B.1012 C.2024 D.4048【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題目中的遞推公式，利用列舉法，寫出數(shù)列前若干項，可得數(shù)列的周期性，可得答案.【詳解】由題意可得，，，，，…則可得下表：易知數(shù)列存在周期性，最小正周期為，由，則.故選：C.6.《九章算術(shù)》中有問題：“今有蒲生一日，長三尺，莞生一日，長一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是說今有蒲第一天長高三尺，莞第一天長高一尺，以后蒲每天長高為前一天的一半，莞每天長高為前一天的兩倍，要使莞的長度大于蒲的長度（蒲與莞原先的長度忽略不計），需要經(jīng)過的時間最少為（）A.3天 B.4天 C.5天 D.6天【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，蒲生長長度與莞生長長度都構(gòu)成了等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式得到關(guān)于的不等式，解之即可得解.【詳解】由題意，蒲第一天長高三尺，以后蒲每天長高前一天的一半，所以蒲生長長度構(gòu)成首項為，公比為的等比數(shù)列，其前項和為，又由莞第一天長高一尺，每天長高前一天的兩倍，則莞生長長度構(gòu)成首項為，公比為的等比數(shù)列，其前項和為，由題意得，即，則，令，則，，解得，即，又，，所以需要經(jīng)過的時間最少為3天.故選：.7.記曲線圍成的平面圖形的面積為，曲線圍成的平面圖形的面積為，則（）A. B. C.16 D.【答案】D【解析】【分析】依次討論兩曲線中的正負，去掉絕對值得到曲線的圖形，再利用數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】對于曲線，當，時，曲線；當，時，曲線；當，時，曲線；當，時，曲線；因為，所以，不同時為0，畫出曲線的大致圖象，如圖，則曲線圍成的面積可分割為一個邊長為的正方形和四個半徑為的半圓，故面積為，故A正確；對于曲線，當，時，曲線；當，時，曲線；當，時，曲線；當，時，曲線；則曲線圍成的面積為上圖虛線圍成的邊長為的正方形，故面積為，所以.故選：D.8.已知拋物線的準線交軸于點，過點作直線交于兩點，且，則直線的斜率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用拋物線方程得到的坐標，進而假設直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達定理與向量的坐標表示求得、，進而求出，從而得解.【詳解】因為拋物線的準線為，所以，因為直線l交E于兩點，所以直線l的斜率存在且不為0，故可設直線l的方程為，，，聯(lián)立，消去y得，所以，即，，，因為，所以，得，聯(lián)立，解得或，所以，滿足.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列數(shù)列中，為遞增數(shù)列的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用數(shù)列的單調(diào)性的定義逐項判斷即可.【詳解】對于A.，所以，所以為遞增數(shù)列，故A正確；對于B，，所以為遞減數(shù)列，故B錯誤；對于C，因為，則，，所以不單調(diào)，故C錯誤；對于D，，所以，所以為遞增數(shù)列，故D正確.故選：AD.10.如圖，在正方體中，為底面的中心，分別為的中點，點滿足，則（）A.平面 B.平面C. D.四點共面【答案】ABD【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量坐標運算判斷A、B、C，求出點坐標，再推導出，即可判斷D.【詳解】以為坐標原點，以分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，不妨設正方體棱長為2，則,,，則，，，，設平面的法向量，則，令，則，即，因，且平面，所以平面，故A正確；因為，平面，所以平面，故B正確；因為，，，，所以，故C錯誤；因為，所以，即，所以，，所以，所以，所以四點共面，故D正確.故選：ABD11.已知為圓上任意一點，，線段的垂直平分線交直線于點，記點的軌跡為曲線，設在曲線上，且，則（）A.曲線的方程為B.曲線的離心率為C.經(jīng)過且與曲線只有一個公共點的直線恰有兩條D.四邊形面積的最小值為8【答案】AC【解析】【分析】由雙曲線的定義結(jié)合其標準方程即可判斷A，再由雙曲線離心率的計算公式即可判斷B，分直線斜率存在與不存在討論，即可判斷C，由條件將問題轉(zhuǎn)化為四邊形面積的一半，然后聯(lián)立直線與雙曲線的方程，結(jié)合韋達定理代入計算，即可判斷.【詳解】對于A，圓：的圓心為，半徑，因為線段的垂直平分線交直線于點M，則，所以，所以點M的軌跡是以，為焦點的雙曲線，其中，，所以，所以曲線H的方程為，故A正確；對于B，因為，，所以該雙曲線的離心率為2，故B錯誤；對于C，當直線的斜率不存在時，經(jīng)過且與曲線H相切的直線是，符合題意；當直線斜率存在時，經(jīng)過的直線與曲線H的漸近線平行時，也滿足條件，所以符合條件的直線恰有兩條，故C正確；對于D，因為，，則A，B分別在兩支上，且A，B都在x軸上方或x軸下方，不妨設都在x軸上方，又，則A在第二象限，B在第一象限，如圖所示，延長交雙曲線于點N，延長交雙曲線于點Q，由對稱性知四邊形為平行四邊形，且面積為四邊形面積的2倍.由題設，直線AN的方程為，直線BQ的方程為，聯(lián)立消去x并整理得，且，，，，易得，因為，所以，所以，兩條直線AN與BQ間的距離，所以，令，，所以，因為在上單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞增，當即時，取得最小值為12，故D錯誤.故選：AC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題D選項的關(guān)鍵是采用設線法聯(lián)立雙曲線方程，得到韋達定理式，再利用弦長公式表示出面積，求出其最值即可.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.如圖，若三棱柱的所有棱長都是，是棱的中點，則兩點之間的距離等于______．【答案】【解析】【分析】取空間的一個基底，表示出向量，再借助空間向量數(shù)量積求出距離.【詳解】三棱柱的所有棱長都是，，，則，所以兩點之間的距離等于.故答案為：13.若數(shù)列滿足，且為其前項和，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】先由的通項公式分析得只有，為負數(shù)，從而判斷得的最小值為或或，再依次求得的前6項，得到或或的值，從而得解.【詳解】令，解得，所以數(shù)列中，只有，為負數(shù)，所以的最小值為或或，又，，，，，，則，所以的最小值為.故答案為：.14.已知拋物線為拋物線上任意一點，過點向圓作切線，切點分別為，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】利用兩點間的距離求得拋物線上的點到圓心的距離，利用可求最小值.【詳解】圓的標準方程是，則圓心為，半徑為，設，，所以，.所以的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知是數(shù)列的前項和，若是等差數(shù)列，．（1）求；（2）求數(shù)列的通項公式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的概念，設出公差，利用題目中的等式，求得公差，可得答案；（2）利用前項和與通項之間的關(guān)系，可得答案.【小問1詳解】設，由數(shù)列是等差數(shù)列，即數(shù)列為等差數(shù)列，則設公差為，由，則，由，即，，即，則，，由，可得，解得，所以等差數(shù)列的首項為，公差為，可得，即，.【小問2詳解】當時，，符合題意；當時，，將代入上式，可得也適合，所以.16.如圖，在三棱臺中，平面是邊長為2的正三角形，．（1）求證：；（2）求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）先證明平面，繼而利用線面垂直的性質(zhì)證明；（2）可建立空間直角坐標系，利用空間向量求解，所求角的正弦值即為直線的方向向量與平面的法向量的夾角的余弦值的絕對值.【小問1詳解】如圖，取的中點，連接，.，，則是平行四邊形，故，結(jié)合平面，則平面；而平面，故，是等邊三角形的中線，.和在平面內(nèi)，且，所以平面；平面，故.【小問2詳解】中已證，平面，且，故，與兩兩垂直，可分別以，和為軸，軸，軸正向，建立空間直角坐標系：，，,，，，；設平面的一個法向量為，則，即令，可求得.根據(jù)線面角的定義，所求角的正弦值即為與所成角的余弦值的絕對值，，將坐標代入計算得：，，，.故與平面所成角的正弦值為.17.已知橢圓的離心率為，左焦點為是上任意一點，且的最大值為3．（1）求的方程；（2）設的右頂點為，直線的方程為，若直線交于兩點，求證：直線的斜率之和為，【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）由題意得出關(guān)于的方程組，解得后再求出即得；（2）設，直線方程代入橢圓方程應用韋達定理得，然后代入化簡即得．【小問1詳解】由題意．解得，則，所以橢圓方程為；【小問2詳解】設，又，由得，則，，所以.18.設為拋物線的焦點，為上三個不同的點，且，．（1）求的方程；（2）設過點的直線交于兩點．①若直線交圓于兩點，其中位于第一象限，求的最小值；②過點作的垂線，直線交于兩點，設線段的中點分別為，求證：直線過定點．【答案】（1）（2）①；②證明見解析【解析】【分析】（1）由拋物線方程可得焦點坐標與準線方程，根據(jù)向量的坐標運算以及拋物線的定義，建立方程組，可得答案；（2）①利用分類討論，分直線斜率是否存在兩種情況，表示出直線，聯(lián)立拋物線方程，寫出韋達定理，結(jié)合拋物線定義以及圓的性質(zhì)，整理代數(shù)式，利用基本不等式，可得答案；②同①寫出韋達定理，根據(jù)中點坐標公式，利用點斜式方程，可得答案.小問1詳解】由拋物線，則，準線方程為，由為上三個不同的點，設，則，由，則，由，且，則，所以，解得，故橢圓的方程為.【小問2詳解】①由題意作圖如下：由，整理可得，則圓心為F1,0，半徑，當直線的斜率不存在時，直線的方程為，代入拋物線，解得，則，將代入圓，解得，則，所以，此時；當直線的斜率存在時，由題意可得，直線的方程可設為，設聯(lián)立可得，消去整理可得，，，易知，，所以，由，則，當且僅當，即時，等號成立，綜上所述，的最小值為.②證明：由題意可作圖如下：由題意可知直線的斜率存在且不為零，可設該直線方程為，由①可得，設，則，由直線垂直直線，且垂足為，則該直線方程為，聯(lián)立，消去整理可得，，設，則，設，且線段的中點分別為，則，，，，當時，直線斜率存在，直線的斜率，可得方程為，則，整理可得，令，解得，所以直線過定點.當時，直線斜率不存在，易知，直線DE的方程為，此時直線過；綜上所述，所以直線過定點.19.對于各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列，若，都有，其中為非零常數(shù)，則稱數(shù)列是數(shù)列.（1）判斷無窮數(shù)列和是不是數(shù)列？若是，求出相應的常數(shù)的值；若不是，請說明理由；（2）若是數(shù)列，且，①記的前項和為，求證：；②對任意的正整數(shù)，設，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）是數(shù)列，；不是數(shù)列（2）①證明見解析；②【解析】【分析】（1）利用數(shù)列新定義，依次分析判斷兩個數(shù)列即可得解；（2）①利用數(shù)列新定義推得是等差數(shù)列，從而求得與，再利用作差法即可得證；②分類討論n為奇數(shù)和偶數(shù)時數(shù)列的通項公式，再分別利用指數(shù)型裂項相消法與錯位相減求