中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)題型訓(xùn)練壓軸題04二次函數(shù)的應(yīng)用大題專練（七大類型）（解析版）

專題04二次函數(shù)的應(yīng)用大題專練（七大類型）類型一、銷售問題例1．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考一模）為鼓勵大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市政府出臺相關(guān)政策，本市企業(yè)提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售，政府還給予大學(xué)畢業(yè)生一定補貼．已知某種品牌服裝的成本價為每件100元，每件政府補貼20元，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：y=?3x+900．(1)若第一個月將銷售單價定為160元，政府這個月補貼多少元?(2)設(shè)獲得的銷售利潤（不含政府補貼）為w（元），當(dāng)銷售單價為多少元時，每月可獲得最大銷售利潤?(3)若每月獲得的總收益（每月總收益=每月銷售利潤+每月政府補貼）不低于28800元，求該月銷售單價的最小值．【答案】(1)8400元(2)200元(3)140元【分析】（1）把x=160代入y=?3x+900，求出銷售的件數(shù)，從而得到政府補貼金額；（2）根據(jù)總利潤=數(shù)量×單件利潤列出函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的最值求解；（3）每月獲得的總收益為w'，列出函數(shù)關(guān)系式，再令w'=28800【詳解】（1）解：在y=?3x+900中，令x=160，則y=420，∴政府這個月補貼420×20=8400元；（2）由題意可得：w=?3x+900∵a=?3<0，∴當(dāng)x=200時，w有最大值30000．即當(dāng)銷售單價定為200元時，每月可獲得最大利潤30000元．（3）設(shè)每月獲得的總收益為w'由題意可得：w'令w'=28800，則解得：x=140或x=240，∵a=?3<0，則拋物線開口向下，對稱軸為直線x=190，∴當(dāng)140≤x≤240時，w≥28800，∴該月銷售單價的最小值為140元．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)最值的求解，此題難度不大．類型二、圖形面積問題例2．（2023春·湖北武漢·九年級校聯(lián)考期中）春回大地，萬物復(fù)蘇，又是一年花季到．某花圃基地計劃將如圖所示的一塊長40m，寬20m的矩形空地劃分成五塊小矩形區(qū)域．其中一塊正方形空地為育苗區(qū)，另一塊空地為活動區(qū)，其余空地為種植區(qū)，分別種植A，B，C三種花卉．活動區(qū)一邊與育苗區(qū)等寬，另一邊長是10m．A，B，C三種花卉每平方米的產(chǎn)值分別是2百元、3百元、4百元．(1)設(shè)育苗區(qū)的邊長為xm，用含x的代數(shù)式表示下列各量：花卉A的種植面積是_____m2，花卉B的種植面積是______m2，花卉C的種植面積是_______(2)育苗區(qū)的邊長為多少時，A，B兩種花卉的總產(chǎn)值相等？(3)若花卉A與B的種植面積之和不超過560m2，求A，B，【答案】(1)(x2?60x+800)；(2)32m或10m(3)168000元【分析】（1）根據(jù)正方形和長方形的面積計算公式可直接得到答案；（2）根據(jù)A，B兩種花卉的總產(chǎn)值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案；（3）先根據(jù)花卉A與B的種植面積之和不超過560m2建立不等式，得到x≥8，再設(shè)A，B，C三種花卉的總產(chǎn)值之和y百元，得到y(tǒng)關(guān)于【詳解】（1）解：∵育苗區(qū)的邊長為xm，活動區(qū)的邊長為10m，∴花卉A的面積為：40?x20?x=(x花卉B的面積為：x40?x?10=(?x花卉C的面積為：x20?x=(?x故答案為：(x2?60x+800)；(?（2）解：∵A，B花卉每平方米的產(chǎn)值分別是2百元、3百元，∴A，B兩種花卉的總產(chǎn)值分別為2×x2?60x+800∵A，B兩種花卉的總產(chǎn)值相等，∴200×x∴x2解方程得x=32或x=10，∴當(dāng)育苗區(qū)的邊長為32m或10m時，A，B兩種花卉的總產(chǎn)值相等；（3）解：∵花卉A與B的種植面積之和為：x2?60x+800+?∴?30x+800≤560，∴x≥8，∵設(shè)A，B，C三種花卉的總產(chǎn)值之和y百元，∴y=2x∴y=?5x∴y=?5(x?5)∴當(dāng)x≥8時，y隨x的增加而減小，∴當(dāng)x=8時，y最大，且y=?5(8?5)故A，B，C三種花卉的總產(chǎn)值之和的最大值168000元．【點睛】本題考查一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立正確的方程和函數(shù)表達式．類型三、拱橋問題例3．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考一模）如圖，國家會展中心大門的截面圖是由拋物線ADB和矩形OABC構(gòu)成.矩形OABC的邊OA=34米，OC=9米，以O(shè)C所在的直線為x軸，以O(shè)A所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線頂點D的坐標(biāo)為(1)求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；(2)近期需對大門進行粉刷，工人師傅搭建一木板OM，點M正好在拋物線上，支撐MN⊥x軸，ON=7.5米，點E是OM上方拋物線上一動點，且點E的橫坐標(biāo)為m，過點E作x軸的垂線，交OM于點F.①求EF的最大值.②某工人師傅站在木板OM上，他能刷到的最大垂直高度是125【答案】(1)y=?1(2)①當(dāng)m=72時，EF有最大值16【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)表達式；（2）①先求出點M坐標(biāo)為152,3，再求出直線OM的解析式為y=25x，進而求出EF=?15②根據(jù)師傅能刷到的最大垂直高度是125米，得到當(dāng)EF>125時，他就不能刷到大門頂部，令EF=125，得到?15【詳解】（1）解：由題意知，拋物線頂點D的坐標(biāo)為92設(shè)拋物線的表達式為y=ax?將點A0,34解得a=?1∴拋物線對應(yīng)的函數(shù)的表達式為y=?1（2）解：①將x=7.5代入y=?15x?∴點M15∴設(shè)直線OM的解析式為y=kxk≠0將點M152,3∴k=2∴直線OM的解析式為∴EF=?15m?92∵?∴當(dāng)m=72時，EF有最大值，為②∵師傅能刷到的最大垂直高度是125∴當(dāng)EF>12令EF=125解得m1又∵EF是關(guān)于m的二次函數(shù)，且圖象開口向下，∴他不能刷到大門頂部的對應(yīng)點的橫坐標(biāo)m的范圍是32【點睛】本題考查為二次函數(shù)的實際應(yīng)用，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)、應(yīng)用等知識，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．類型四、投球問題例4．（2023·浙江麗水·統(tǒng)考一模）某天，小明在足球場上練習(xí)“落葉球”（如圖1），足球運動軌跡是拋物線的一部分，如圖2，足球起點在A處，正對一門柱CD，距離AC=12m，足球運動到B的正上方，到達最高點2.5m，此時AB=10m．球門寬DE=5m(1)以水平方向為x軸，A為原點建立坐標(biāo)系，求足球運動軌跡拋物線的函數(shù)表達式．(2)請判斷足球能否進球網(wǎng)？并說明理由．(3)小明改變踢球方向，踢球時，保持足球運動軌跡拋物線形狀不變的前提下，足球恰好在點E處進入球網(wǎng)．若離A點8m處有人墻GH，且GH∥CF，人起跳后最大高度為2.2m，請?zhí)角蟠藭r足球能否越過人墻，并說明理由．【答案】(1)足球運動軌跡拋物線的函數(shù)表達式為y=?(2)足球不能進球網(wǎng)，理由見解析(3)足球能越過人墻，理由見解析【分析】（1）由題意得拋物線的頂點坐標(biāo)為?10，2.5，設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為y=ax+102+2.5（2）將x=?12代入，求y值，然后和2比大小，進而可得結(jié)論；（3）由題意，設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為y=?140x2+bx．如圖，四邊形CDEF是矩形，則CF=DE=5，在Rt△ACF中，由勾股定理求得AF=13，將?13,2代入得，2=?140×?132?13b，解得b=?249【詳解】（1）解：由題意得拋物線的頂點坐標(biāo)為?10，2.5，設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為將0，0代入得，0=100a+2.5，解得∴足球運動軌跡拋物線的函數(shù)表達式為y=?1（2）解：足球不能進球網(wǎng)，理由如下：當(dāng)x=?12時，y=?1∵2.4>2，∴足球不能進球網(wǎng)．（3）解：足球能越過人墻，理由如下：∵足球運動軌跡拋物線形狀不變，并經(jīng)過點0,0，∴設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為y=?1如圖，由題意知，四邊形CDEF是矩形，則CF=DE=5，在Rt△ACF中，由勾股定理得AF=∵足球恰好在點E處進入球網(wǎng)，∴拋物線經(jīng)過點?13,2，將?13,2代入得，2=?140×∴y=?1∵GH∥∴△AGH∽△ACF，∴AHAF=AGAC，即把x=?263代入得，∵409180∴足球能越過人墻．【點睛】本題考查了二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．類型五、噴水問題例5．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）如圖①，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線l的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口H離地豎直高度OH=1.5米．如圖②，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE=2米，豎直高度EF=1米．下邊緣拋物線可以看作由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2米，高出噴水口0.5米，灌溉車到l的距離OD為d米．(1)求上邊緣拋物線的函數(shù)表達式，并求噴出水的最大射程OC；(2)求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點B的坐標(biāo)；(3)要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶（即矩形DEFC位于上邊緣拋物線和下邊緣拋物線所夾區(qū)域內(nèi)），求d的取值范圍．【答案】(1)6米(2)y=?18(3)2≤d≤2【分析】（1）根據(jù)頂點式求上邊緣二次函數(shù)解析式即可，再求出y=0時，x的值，由此即可得；（2）法一：根據(jù)對稱性求出平移方式，再根據(jù)平移方式即可求出點B的坐標(biāo)；法二：先根據(jù)二次函數(shù)平移的特點求出下邊緣的解析式，進而求出B的坐標(biāo)即可；（3）要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，則上邊緣拋物線至少要經(jīng)過F點，下邊緣拋物線OB≤d，計算即可．【詳解】（1）解：如圖，由題意得A2,2是上邊緣拋物線的頂點，則設(shè)y=a又∵拋物線經(jīng)過點0,1.5，∴4a+2=1.5，∴a=?1∴上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為y=?1當(dāng)y=0時，?1∴x1=6，∴噴出水的最大射程OC為6m（2）法一：∵上邊緣拋物線對稱軸為直線x=2，∴點0,1.5的對稱點為4,1.5，∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m∴將點C向左平移4m得到點B的坐標(biāo)為法二：∵下邊緣拋物線可以看做是上邊緣拋物線向左平移t個單位長度得到的，∴可設(shè)y=?1將點0,1.5代入得t1=4，∴下邊緣拋物線的關(guān)系式為y=?1∴當(dāng)y=0時，0=?1解得x1=2，∴點B的坐標(biāo)為2,0；（3）解：如圖，先看上邊緣拋物線，∵EF=1，∴點F的縱坐標(biāo)為1．當(dāng)拋物線恰好經(jīng)過點F時，?1解得x=2±22∵x>0，∴x=2+22當(dāng)x>0時，y隨著x的增大而減小，∴當(dāng)2≤x≤6時，要使y≥1，則x≤2+22∵當(dāng)0≤x<2時，y隨x的增大而增大，且x=0時，y=1.5>0.5，∴當(dāng)0≤x≤6時，要使y≥0.5，則0≤x≤2+22∵DE=2，灌溉車噴出的水要澆灌到整個綠化帶，∴d的最大值為2+22再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是OB≤d，∴d的最小值為2．綜上所述，d的取值范圍是2≤d≤22【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用中的噴水問題，構(gòu)造二次函數(shù)模型并把實際問題中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)上的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．類型六、幾何動點問題例6．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm，AD=10cm，點P、Q分別是線段CD和AD上的動點．點P以2cm/s的速度從點D向點C運動，同時點Q以1cms的速度從點A向點D運動，當(dāng)其中一點到達終點時，兩點停止運動，將PQ沿AD(1)當(dāng)t為何值時，PQ∥AC？(2)求四邊形BCPQ的面積Scm2關(guān)于時間(3)是否存在某時刻t，使點Q在∠PP'D【答案】(1)t=(2)S=(3)存在，t=5【分析】（1）過點A作AK⊥CD于點K，由勾股定理得AC=10，繼而得到AC=AD，可證四邊形ABCK是矩形，繼而得出CD=16，由平行線分線段成比例得到DPDC=DQDA，由題意得，（2）過點Q作QT⊥CD，交CD于點T，交AB于點H，先由銳角三角函數(shù)推出QT=6?35t，再根據(jù)四邊形BCPQ（3）設(shè)PP'交AD于點E，過點Q作QF⊥DP'于點F，由折疊的性質(zhì)得∠ADP=∠ADP'，PP【詳解】（1）解：過點A作AK⊥CD于點K，∵∠ABC=90°，∴由勾股定理得AC=A∵AD=10cm∴AC=AD，∴△ACD是等腰三角形，∴CD=2CK，又∵AB∥∴∠ABC=∠BCD=∠AKC=90°，∴四邊形ABCK是矩形，∴CK=AB=8，∴CD=16，若PQ∥AC，∴DP由題意得，DP=2t,AQ=t則DQ=10?t，∴2t解得t=40所以，t=409時，（2）過點Q作QT⊥CD，交CD于點T，交AB于點H，∴AK=HT=BC=6，由（1）知CK=DK=8，AD=10，∴cos∠D=∴sin∴QT=6?3∴QH=6?(6?3∵四邊形BCPQ的面積=∴S=1整理得S=3即四邊形BCPQ的面積Scm2關(guān)于時間ts（3）如圖，設(shè)PP'交AD于點E，過點Q作QF⊥DP由折疊的性質(zhì)得∠ADP=∠ADP'，∵AD平分∠PDP'，∴QT=QF=6?3∵點Q在∠PP'D∴QF=QE=6?3∴DE=DQ+EQ=10?t+6?3∵cos即16?8解得t=5，經(jīng)檢驗t=5是分式方程的解且符合題意，所以t=5時，點Q在∠PP【點睛】本題考查了勾股定理、矩形的性質(zhì)與判定、平行線分線段成比例、軸對稱的性質(zhì)、解直角三角形、角平分線的性質(zhì)定理等知識，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．類型七、圖形運動問題例7．（2023·天津·校聯(lián)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，四邊形AOBC是正方形，頂點A?4，0，點B在y軸正半軸上，點C在第二象限，△MON的頂點M(1)如圖①，求點B，(2)將正方形AOBC沿x軸向右平移，得到正方形A'O'B'C'，點A，O，B，C的對應(yīng)點分別為A'，①如圖②，當(dāng)1<t≤4時，正方形A'O'B'C'與△MON重合部分為五邊形，直線B'C'分別與y軸，MN交于點E，②若平移后重合部分的面積為92，則t【答案】(1)B0，(2)①S=?12t2【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形即可解答；（2）①求得△B'FH是等腰直角三角形，得到B②分當(dāng)1<t≤4和5<t<9時兩種情況討論，分別求解即可．【詳解】（1）解：由A?4,0，得AO=4∵四邊形AOBC正方形，∴OB=BC=4．∴B0，4（2）解：①∵M0，5，N∴OM=ON=5，∠OMN=∠ONM=45°．由平移知，四邊形A'O'B'∴四邊形OO∴B'E=OO'=t∴∠EFM=45°，∴EF=ME=1，B'∵∠B∴∠B∴B當(dāng)1<t≤4時，S=OO②當(dāng)1<t≤4時，由題意得S=?1解得t=5?15或5+當(dāng)t=5時，點O'與點N此時S=1∴5<t<9，∴A'由題意得12解得t=6或t=12（舍去）；綜上，t的值是5?15或6故答案為：5?15或6【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，圖形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意分別畫出圖形，通過面積的和差關(guān)系求出S關(guān)于t的函數(shù)表達式是解題的關(guān)鍵．一．解答題（共24小題）1．（2023?寧波一模）抗擊疫情期間，某商店購進了一種消毒用品，進價為每件8元，銷售過程中發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與每件售價x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系（其中8≤x≤15，且x為整數(shù)），部分對應(yīng)值如下表：每件售價（元）91113每天的銷售量（件）1059585（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式．（2）若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤，則每件消毒用品的售價為多少元．（3）設(shè)該商店銷售這種消毒用品每天獲利w（元），問：當(dāng)每件消毒用品的售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】（1）y＝﹣5x+150（8≤x≤15）；（2）13元；（3）當(dāng)每件消毒用品的售價為15元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是525元．【分析】（1）待定系數(shù)法求解即可；（2）由題意知，利潤w＝（x﹣8）（﹣5x+150）＝﹣5（x﹣19）2+605，令w＝425，則﹣5（x﹣19）2+605＝425，計算求解滿足要求的x值即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)以及x的取值范圍進行求解即可．【詳解】解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，（8≤x≤15），將（9，105），（11，95）代入得105=9k+b95=11k+b解得k=?5b=150∴y＝﹣5x+150，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣5x+150（8≤x≤15）；（2）由題意知，利潤w＝（x﹣8）（﹣5x+150）＝﹣5（x﹣19）2+605，令w＝425，則﹣5（x﹣19）2+605＝425，解得x＝13或x＝25（不合題意，舍去），∴每件消毒用品的售價為13元；（3）由（2）知w＝﹣5（x﹣19）2+605（8≤x≤15），∵﹣5＜0，∴當(dāng)8≤x≤15時，w隨著x的增大而增大，∴當(dāng)x＝15時，w＝525，此時利潤最大，∴當(dāng)每件消毒用品的售價為15元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是525元．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)圖象與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．2．（2023?萊西市一模）某公司電商平臺經(jīng)銷一種益智玩具，先用3000元購進一批．售完后，第二次購進時，每件的進價提高了20%，同樣用3000元購進益智玩具的數(shù)量比第一次少了25件．銷售時經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該種益智玩具的周銷售量y（件）是關(guān)于售價x（元/件）的一次函數(shù)，如表僅列出了該商品的售價x（元/件），周銷售量y（件）的三組對應(yīng)值數(shù)據(jù)．x407090y1809030（1）求第一次每件玩具的進價；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）售價x為多少時，第一周的銷售利潤W最大？并求出此時的最大利潤．【答案】（1）第一次每件玩具的進價為20元（2）y＝﹣3x+300（3）當(dāng)x＝60時，第一周的銷售利潤W最大，此時的最大利潤為4800元【分析】（1）設(shè)第一次每件玩具的進價為m元，則第二次每件玩具的進價為（1+20%）m元，根據(jù)題意列出方程求解即可；（2）用待定系數(shù)法將x＝40，y＝180；x＝70，y＝9代入y＝kx+b，求解即可；（3）根據(jù)題意得到W＝y(tǒng)（x﹣20）＝﹣3（x﹣60）2+4800，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行解答即可．【詳解】解：（1）設(shè)第一次每件玩具的進價為m元，則第二次每件玩具的進價為（1+20%）m元，由題意得，3000m解得m＝20，經(jīng)檢驗m＝20是原方程的解且符合題意，答：第一次每件玩具的進價為20元；（2）設(shè)y＝kx+b，把x＝40，y＝180；x＝70，y＝9分別代入得，40k+b=18070k+b=90解得k=?3b=300∴y＝﹣3x+300，即y關(guān)于x的函數(shù)解析式是y＝﹣3x+300；（3）W＝y(tǒng)（x﹣20）＝（﹣3x+300）（x﹣20）＝﹣3x2+360x﹣6000＝﹣3（x﹣60）2+4800，∵a＝﹣3＜0，拋物線開口向下，∴當(dāng)x＝60時，第一周的銷售利潤W最大，此時的最大利潤為4800．【點睛】此題考查了分式方程的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識，讀懂題意，正確列式是解題的關(guān)鍵．3．（2023?天山區(qū)一模）一名高校畢業(yè)生響應(yīng)國家創(chuàng)業(yè)號召，回鄉(xiāng)承包了一個果園，并引進先進技術(shù)種植一種優(yōu)質(zhì)水果，經(jīng)核算這批水果的種植成本為16元/千克、設(shè)銷售時間為x（天），通過一個月（30天）的試銷，該種水果的售價P（元/千克）與銷售時間x（天）滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系（其中0≤x≤30，且x為整數(shù)）．已知該種水果第一天銷量為60千克，以后每天比前一天多售出4千克．（1）直接寫出售價P（元/千克）與銷售時間x（天）的函數(shù)關(guān)系式；（2）求試銷第幾天時，當(dāng)天所獲利潤最大，最大利潤是多少？【答案】（1）P=?（2）試銷第30天時，當(dāng)天所獲利潤最大，最大利潤是1408元．【分析】（1）分當(dāng)0≤x≤20時，當(dāng)20＜x≤30時兩種情況求出對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式即可；（2）分當(dāng)0≤x≤20時，當(dāng)20＜x≤30時兩種情況根據(jù)利潤＝（售價﹣成本價）×數(shù)量列出W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)0≤x≤20時，設(shè)售價P（元/千克）與銷售時間x（天）的函數(shù)關(guān)系式為P＝kx+b，把（0，34），（20，24）代入得20k+b=24b=34∴k=?1∴P=?1由函數(shù)圖象可知當(dāng)20＜x≤30時，P＝24；綜上所述，P=?（2）設(shè)第x天的利潤為W，∵該種水果第一天銷量為60千克，以后每天比前一天多售出4千克，∴第x天的銷售量為60+4（x﹣1）＝（4x+56）千克，當(dāng)0≤x≤20時，∴W=(?12x+34?16)(4x+56)=?2x2+72x﹣28x+1008＝﹣2x2+44x+1008＝﹣2（x∵﹣2＜0，∴當(dāng)x＝11時，W最大，最大為1250；當(dāng)20＜x≤30時，W＝（24﹣16）（4x+56）＝32x+448，∵32＞0，∴當(dāng)x＝30時，W最大，最大為32×30+448＝1408；∵1408＞1250，∴試銷第30天時，當(dāng)天所獲利潤最大，最大利潤是1408元．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的實際應(yīng)用，正確理解題意列出對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．4．（2023?武漢模擬）某市新建了一座室內(nèi)滑雪場，該滑雪場地面積雪厚達40cm，整個賽道長150m，全天共可容納約3300人滑雪嬉戲．小明和小華相約去體驗滑雪，小明從賽道頂端A處下滑，測得小明離A處的距離s（單位：m）隨運動時間x（單位：s）變化的數(shù)據(jù)，整理得下表．滑行時間x/s01234滑行距離s/m06142436經(jīng)驗證小明離A處的距離s與運動時間x之間是二次函數(shù)關(guān)系．小明出發(fā)的同時，小華在距賽道終點30m的B處操控一個無人機沿著賽道方向以2m/s的速度飛向小明，無人機離A處的距離y（單位：m）與運動時間x（單位：s）之間是一次函數(shù)關(guān)系．（1）直接寫出s關(guān)于x的函數(shù)解析式和y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）小明滑完整個賽道需要耗時多久？（3）小明出發(fā)多久后與無人機相遇？?【答案】（1）s關(guān)于x的函數(shù)解析式為s＝x2+5x，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝﹣2x+120；（2）小明滑完整個賽道需要耗時10s；（3）小明出發(fā)8s與無人機相遇．【分析】（1）設(shè)s關(guān)于x的函數(shù)解析式為s＝ax2+bx+c，用待定系數(shù)法可得s＝x2+5x；根據(jù)題意得y＝150﹣30﹣2x＝﹣2x+120，（2）在s＝x2+5x中，令s＝150可解得小明滑完整個賽道需要耗時10s；（3）由x2+5x＝﹣2x+120可解得小明出發(fā)8s與無人機相遇．【詳解】解：（1）設(shè)s關(guān)于x的函數(shù)解析式為s＝ax2+bx+c，將（0，0），（1，6），（2，14）代入得：c=0a+b+c=6解得a=1b=5∴s＝x2+5x；根據(jù)題意得y＝150﹣30﹣2x＝﹣2x+120，∴s關(guān)于x的函數(shù)解析式為s＝x2+5x，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝﹣2x+120；（2）在s＝x2+5x中，令s＝150得：150＝x2+5x，解得x＝10或x＝﹣15（舍去），∴小明滑完整個賽道需要耗時10s；（3）由x2+5x＝﹣2x+120得：x＝8或x＝﹣15，∴小明出發(fā)8s與無人機相遇．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式和一元二次方程．5．（2023?邯鄲模擬）將小球（看作一點）以速度v1豎直上拋，上升速度隨時間推移逐漸減少直至為0，此時小球達到最大高度，小球相對于拋出點的高度y（m）與時間t（s）的函數(shù)解析式為兩部分之和，其中一部分為速度v1（m/s）與時間t（s）的積，另一部分與時間t（s）的平方成正比．若上升的初始速度v1＝10m/s，且當(dāng)t＝1s時，小球達到最大高度．?（1）求小球上升的高度y與時間t的函數(shù)關(guān)系式（不必寫范圍），并寫出小球上升的最大高度；（2）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，y軸表示小球相對于拋出點的高度，x軸表示小球距拋出點的水平距離，向上拋出小球時再給小球一個水平向前的均勻速度v2（m/s），發(fā)現(xiàn)小球運動的路線為一拋物線，其相對于拋出點的高度y（m）與時間t（s）的函數(shù)解析式與（1）中的解析式相同．①若v2＝5m/s，當(dāng)t=32s時，小球的坐標(biāo)為（152，154），小球上升的最高點坐標(biāo)為（5，5）②在小球的正前方的墻上有一高3536m的小窗戶PQ，其上沿P的坐標(biāo)為（6，154），若小球恰好能從窗戶中穿過（不包括恰好去中點P，Q，墻厚度不計），請直接寫出小球的水平速度【答案】（1）y＝﹣5t2+10t，小球上升的最大高度是5m；（2）①（152，154）；（5，5）；y=?15x②185＜v【分析】（1）根據(jù)題意可設(shè)y＝at2+10t，根據(jù)當(dāng)t＝1s時，小球達到最大高度，有?102a=1，故a＝﹣5，y＝﹣5t2+10t，令t＝1得y（2）①把t=32s代入（1）中所求解析式，求出此時小球縱坐標(biāo)，再根據(jù)s＝vt可得出此時的橫坐標(biāo)；根據(jù)（1）中t＝1②先分別求出小球剛好到P，Q點時t的值，再求出對應(yīng)的v2的值，即可得出v2的范圍．【詳解】解：（1）根據(jù)題意可設(shè)y＝at2+10t，∵當(dāng)t＝1s時，小球達到最大高度，∴拋物線y＝at2+10t的對稱軸為直線t＝1，即?10解得a＝﹣5，∴上升的高度y與時間t的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣5t2+10t，在y＝﹣5t2+10t中，令t＝1得y＝5，∴小球上升的最大高度是5m；（2）①當(dāng)t=32s時，y＝﹣5×（32）2x＝v2t＝5×3∴小球的坐標(biāo)為（152，15由（1）可知，t＝1s時，取得最大高度，x＝v2t＝5×1＝5，∴小球上升的最高點坐標(biāo)為（5，5）；由題意可知，x＝v2t，∴t=x∴y＝﹣5×（x5）2+10×x5=?1∴小球上升的高度y與小球距拋出點的水平距離x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=?15x2+2故答案為：（152，15②∵PQ=3536m，P的坐標(biāo)為（6，∴Q（6，259當(dāng)小球剛好擊中P點時，﹣5t2+10t=15解得t＝1.5或t＝0.5，∵t＞1，∴t＝1.5，此時v2=6t=4m當(dāng)小球剛好擊中Q點時，﹣5t2+10t=25解得t=53或t∵t＞1，∴t=5此時v2=6t=18∴v2的取值范圍為：185＜v【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，讀懂題意，理解小球的水平距離和豎直距離是解題關(guān)鍵．6．（2023?嶗山區(qū)一模）跳臺滑雪簡稱“跳雪”，選手不借助任何外力、從起滑臺P處起滑，在助滑道PE上加速，從跳臺E處起跳，最后落在山坡MN或者水平地面上．運動員從P點起滑，沿滑道加速，到達高度OE＝42m的E點后起跳，運動員在空中的運動軌跡是一條拋物線．建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，OM＝38m，ON＝114m，設(shè)MN所在直線關(guān)系式為y＝kx+b．甲運動員起跳后，與跳臺OE水平距離xm、豎直高度ym之間的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m010203040豎直高度y/m4248504842（1）求甲運動員空中運動軌跡拋物線的關(guān)系式；（2）運動員得分由距離得分+動作分+風(fēng)速得分組成距離得分：運動員著陸點到跳臺OE水平距離為50m，即得到60分，每比50m遠1米多得2分；反之，當(dāng)運動員著陸點每比50m近1米扣2分．距離分計算采取“2舍3入法”，如60.2米計為60米，60.3米則計為60.5米．動作得分：由裁判根據(jù)運動員空中動作的優(yōu)美程度打分．風(fēng)速得分：由逆風(fēng)或者順風(fēng)決定．甲運動員動作分、風(fēng)速加分如下表：距離分動作分風(fēng)速加分50﹣2.5請你計算甲運動員本次比賽得分．【答案】（1）y=?150x2+（2）甲運動員本次比賽得分為147.5分．【分析】（1）利用待定系數(shù)法可得結(jié)論；（2）根據(jù)題意知，是求水平距離的，即把y＝0時對應(yīng)的x值求出取正數(shù)值，代入到總分的式子即可算出．【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過點（10，48），（30，48），∴對稱軸是：直線x=10+30∴頂點坐標(biāo)為（20，50），設(shè)甲運動員空中運動軌跡拋物線的關(guān)系式為：y＝a（x﹣20）2+50，將（0，42）代入得：a（0﹣20）2+50＝42，∴a=?1∴甲運動員空中運動軌跡拋物線的關(guān)系式為：y=?150（x﹣20）2+50=?150x（2）根據(jù)題意可得，當(dāng)y＝0時，即?150（x﹣20）解得：x1＝70，x2＝﹣30（舍），則60+2×（70﹣50）+50+（﹣2.5）＝147.5，所以甲運動員本次比賽得分為147.5分．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵：一是要會用待定系數(shù)法求解析式，二是會求與x軸的交點．7．（2023?鎮(zhèn)平縣模擬）為培養(yǎng)學(xué)生勞動實踐能力，某學(xué)校在校西南角開辟出一塊勞動實踐基地．如圖①是其中蔬菜大棚的橫截面，它由拋物線AED和矩形ABCD構(gòu)成．已知矩形的長BC＝12米，寬AB＝3米，拋物線最高點E到地面BC的距離為6米．（1）按圖①所示建立平面直角坐標(biāo)系，求拋物線AED的解析式；（2）冬季到來，為防止大雪對大棚造成損壞，學(xué)校決定在大棚兩側(cè)安裝兩根垂直于地面且關(guān)于y軸對稱的支撐柱PQ和NM，如圖②所示．①若兩根支撐柱的高度均為5.25米，求兩根支撐柱之間的水平距離；②為了進一步固定大棚，準(zhǔn)備在兩根支撐柱上架橫梁PN，搭建成一個矩形“腳手架”PQMN，為了籌備材料，需求出“腳手架”三根支桿PQ，PN，MN的長度之和w的最大值，請你幫管理處計算一下．【答案】（1）拋物線AED的解析式為：y=?112x（2）①兩根支撐柱之間的水平距離為6米；②“腳手架”三根支桿PQ，PN，MN的長度之和w的最大值為18米．【分析】（1）由題意可得出頂點E的坐標(biāo)，設(shè)出拋物線解析式為y＝ax2+6，然后再把點A的坐標(biāo)代入即可求出；（2）①根據(jù)（1）中解析式可得出當(dāng)y＝5.25時對應(yīng)x的值，兩個x值相減即可得出水平距離；②設(shè)N點坐標(biāo)為（m，?112m2+6），列出w關(guān)于【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝12（米），∴點A（﹣6，3），點D（6，3），根據(jù)題意和圖象可得，頂點E的坐標(biāo)為（0，6），∴可設(shè)拋物線AED的解析式為：y＝ax2+6，把點A（﹣6，3）代入解析式可得：36a+6＝3，解得：a=?1∴拋物線AED的解析式為：y=?112x（2）①當(dāng)y＝5.25時，?112x解得x＝±3，3﹣（﹣3）＝3+3＝6（米），∴兩根支撐柱之間的水平距離為6米；②設(shè)N點坐標(biāo)為（m，?112m則MQ＝2m，MN=?112m∴w＝2m+2（?112m2+6）=?16m2+2m+12=?16∵?1∴當(dāng)m＝6時，w有最大值，最大值為18，∴“腳手架”三根支桿PQ，PN，MN的長度之和w的最大值為18米．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵求出函數(shù)的解析式．8．（2023?寶應(yīng)縣一模）科學(xué)研究表明：一般情況下，在一節(jié)45分鐘的課堂中，學(xué)生的注意力隨教師講課的時間變化而變化．經(jīng)過實驗分析，在0≤x≤8時，學(xué)生的注意力呈直線上升，學(xué)生的注意力指數(shù)y與時間x（分鐘）滿足關(guān)系y＝2x+68，8分鐘以后，學(xué)生的注意力指數(shù)y與時間x（分鐘）的圖象呈拋物線形，到第16分鐘時學(xué)生的注意力指數(shù)y達到最大值92，而后學(xué)生的注意力開始分散，直至下課結(jié)束．（1）當(dāng)x＝8時，注意力指數(shù)y為84，8分鐘以后，學(xué)生的注意力指數(shù)y與時間x（分鐘）的函數(shù)關(guān)系式是y=?18x2+4x（2）若學(xué)生的注意力指數(shù)不低于80，稱為“理想聽課狀態(tài)”，則在一節(jié)45分鐘的課中學(xué)生處于“理想聽課狀態(tài)”所持續(xù)的時間有多長？（精確到1分鐘）（3）現(xiàn)有一道數(shù)學(xué)壓軸題，教師必須持續(xù)講解24分鐘，為了使效果更好，要求學(xué)生的注意力指數(shù)在這24分鐘內(nèi)的最低值達到最大，則該教師上課后從第幾分鐘開始講解這道題？（精確到1分鐘）（參考數(shù)據(jù)：6【答案】（1）84，y=?18x2+4（2）在一節(jié)45分鐘的課中學(xué)生處于“理想聽課狀態(tài)”所持續(xù)的時間約有20分鐘；（3）教師上課后從第4分鐘開始講解這道題，能使學(xué)生的注意力指數(shù)在這24分鐘內(nèi)的最低值達到最大．【分析】（1）根據(jù)題意把x＝8代入y＝2x+8即可得出答案，由題意可設(shè)出拋物線的頂點解析式為：y＝a（x﹣16）2+92，再把（8，84）代入即可解出答案；（2）根據(jù)y≥80，可列出2x+68≥80和?18x2+4x+60（3）設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)題中條件可列出方程：2t+68=?18（t+24﹣16）【詳解】解：（1）根據(jù)題意，把x＝8代入y＝2x+68可得：y＝84，由題意可知，拋物線的頂點坐標(biāo)為（16，92），∴可設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x﹣16）2+92，把（8，84）代入可得：64a+92＝84，解得：a=?1∴y=?18（x﹣16）2+92=?18x故答案為：84，y=?18x2+4（2）由學(xué)生的注意力指數(shù)不低于80，即y≥80，當(dāng)0≤x≤8時，由2x+68≥80可得：6≤x≤8；當(dāng)8＜x≤45是，則?18x2+4x+60≥80，即?18（x﹣16）整理得：（x﹣16）2≤96，解得：8＜x≤16+46，∴16+46?6＝10+46答：在一節(jié)45分鐘的課中學(xué)生處于“理想聽課狀態(tài)”所持續(xù)的時間約有20分鐘；（3）設(shè)教師上課后從第t分鐘開始講解這道題，∵10+46＜∴0≤t＜6，要使學(xué)生的注意力指數(shù)在這24分鐘內(nèi)的最低值達到最大，則當(dāng)x＝t和當(dāng)x＝t+24時對應(yīng)的函數(shù)值相同，即2t+68=?18（t+24﹣16）2+92，整理得：（t+16）解得：t1=86∴t≈4，答：教師上課后從第4分鐘開始講解這道題，能使學(xué)生的注意力指數(shù)在這24分鐘內(nèi)的最低值達到最大．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵：一是利用頂點式求出解析式，二是利用條件列出不等式，三是求出根據(jù)當(dāng)x＝t和當(dāng)x＝t+24時對應(yīng)的函數(shù)值相同求出t的值．9．（2023?昭陽區(qū)一模）新華書店銷售一個系列的兒童書刊，每套進價100元，銷售定價為140元，一天可以銷售20套．為了擴大銷售，增加盈利，減少庫存，書店決定采取降價措施．若一套書每降價1元，平均每天可多售出2套．設(shè)每套書降價x元時，書店一天可獲利潤y元．（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若要書店每天盈利1200元，則每套書銷售定價應(yīng)為多少元？（3）當(dāng)每套書銷售定價為多少元時，書店一天可獲得最大利潤？這個最大利潤為多少元？【答案】（1）y＝﹣2x2+20x+400；（2）若要書店每天盈利1200元，則每套書銷售定價應(yīng)為130元或120元；（3）當(dāng)每套書銷售定價為125元時，書店一天可獲得最大利潤，最大利潤為1250元．【分析】（1）根據(jù)題意先用含有x的式子表示出銷售量，然后根據(jù)銷售利潤＝銷售量×單件利潤，即可寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)（1）所求，列出方程﹣2x2+60x+800＝1200，解出x的值，然后再利用140減去x即可算出售價；（3）把一般式配成頂點式，即可求出當(dāng)x＝15時，y有最大值，然后利用140減去x即可算出售價．【詳解】解：（1）由題意可得：銷售量＝（20+2x）套，則y＝（20+2x）（140﹣x﹣100）＝（2x+20）（40﹣x）＝﹣2x2+60x+800，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣2x2+60x+800；（2）由題意可得：當(dāng)y＝1200時，即﹣2x2+60x+800＝1200，解得：x1＝10，x2＝20，∴140﹣10＝130（元），140﹣20＝120（元），答：若要書店每天盈利1200元，則每套書銷售定價應(yīng)為130元或120元；（3）由（1）可知：y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，∵﹣2＜0，∴當(dāng)x＝15時，y有最大值，最大值為1250，此時，售價＝140﹣15＝125（元），答：當(dāng)每套書銷售定價為125元時，書店一天可獲得最大利潤，最大利潤為1250元．【點睛】本題主要考查的是一元二次方程以及二次函數(shù)的實際應(yīng)用，解題關(guān)鍵：一是寫出函數(shù)關(guān)系式，二是配成頂點式．10．（2023?大豐區(qū)一模）比薩斜塔是意大利的一座著名斜塔，據(jù)說物理學(xué)家伽利略曾在塔頂上做過著名的自由落體試驗：在地球上同一地點，不同質(zhì)量的物體從同一高度同時下落，如果除地球引力外不考慮其他外力的作用，那么它們的落地時間相同．已知：某建筑OA的高度為44.1m，將一個小鐵球P（看成一個點）從A處向右水平拋出，在水平方向小鐵球移動的距離d（m）與運動時間t（s）之間的函數(shù)表達式是：d＝7t，在豎直方向物體的下落距離h（m）與下落時間t（s）之間的函數(shù)表達式為h＝4.9t2．以點O為坐標(biāo)原點，水平向右為x軸，OA所在直線為y軸，取1m為單位長度，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，已知小鐵球運動形成的軌跡為拋物線．（1）求小鐵球從拋出到落地所需的時間；（2）當(dāng)t＝1時，求小鐵球P此時的坐標(biāo)；（3）求拋物線的函數(shù)表達式，并寫出自變量x的取值范圍．【答案】（1）小鐵球從拋出到落地所需的時間為3秒；（2）（7，39.2）；（3）y=?110x2+44.1（0≤x【分析】（1）根據(jù)題意可知，當(dāng)小鐵球落地時，此時下落高度h＝OA＝44.1（m），解出t的值即可；（2）由t＝1，分別先算出d和h的值，則此時點P橫坐標(biāo)與d的值相同，然后根據(jù)h的值和OA的長算出此時的縱坐標(biāo)，即可求出此時的坐標(biāo)；（3）根據(jù)（1）中條件求出點B的坐標(biāo)，然后根據(jù)頂點坐標(biāo)A設(shè)出解析式，再把點B代入即可算出答案．【詳解】解：（1）根據(jù)題意可得，OA的高度為44.1m，且豎直方向物體的下落距離h（m）與下落時間t（s）之間的函數(shù)表達式為h＝4.9t2，∴當(dāng)h＝44.1時，小鐵球落到地面，∴4.9t2＝44.1，解得：t1＝3，t2＝﹣3（舍），答：小鐵球從拋出到落地所需的時間為3秒；（2）當(dāng)t＝1時，則d＝7×1＝7，h＝4.9×12＝4.9，∴yp＝44.1﹣4.9＝39.2，∴小鐵球P此時的坐標(biāo)為（7，39.2）；（3）由（1）可知小鐵球從拋出到落地所需的時間為3秒，∴d＝7×3＝21，∴OB＝21（m），即B（21，0），根據(jù)題意可得，頂點坐標(biāo)為A（0，44.1），∴可設(shè)拋物線解析式為：y＝ax2+44.1，將點B（21，0）代入得：441a+44.1＝0，解得：a=?1∴拋物線的函數(shù)表達式為：y=?110x2+44.1（0≤x【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的實際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是求出點B的坐標(biāo)．11．（2023?南昌模擬）一個運動員跳起投籃，球的運行路線可以看做是一條拋物線，如圖1所示，圖2是它的示意圖，球的出手點D到地面EB的距離為2.25m（即DE＝2.25m，當(dāng)球運行至F處時，水平距離為2.5m（即F到DE的距離為2.5m），達到最大高度為3.5m，已知籃圈中心A到地面EB的距離為3.05m，籃球架AB可以在直線EB上水平移動．（1）請建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求該拋物線的解析式；（2）若籃球架離人的水平距離EB為4.5m，問該運動員能否將籃球投入籃圈？若能，說明理由；若不能，算一算將籃球架往哪個方向移動，移動多少距離，該運動員此次所投的籃球才能投入籃圈．【答案】（1）該拋物線的解析式為y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5；（2）將籃球架往E方向移動0.5m，該運動員此次所投的籃球才能投入籃圈．【分析】（1）以EB為x軸，DE為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意得出D，F(xiàn)坐標(biāo)，設(shè)出拋物線解析式的頂點式，再把D的坐標(biāo)代入解析式求出a即可；（2）把y＝3.05代入解析式求出x的值，與4.5比較即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）以E為原點，以EB為x軸，DE為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則D（0，2.25），F(xiàn)（2.5，3.5），設(shè)該拋物線的解析式為y＝a（x﹣2.5）2+3.5，將（0，2.25）代入，得2.25＝a（0﹣2.5）2+3.5，解得：a＝﹣0.2，∴該拋物線的解析式為y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5；（2）當(dāng)y＝3.05時，3.05＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5，解得x1＝1（舍去），x2＝4，∵4.5＞4，∴該運動員不能將籃球投入籃圈，4.5﹣4＝0.5（m），∴將籃球架往E方向移動0.5m，該運動員此次所投的籃球才能投入籃圈．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出函數(shù)解析式．12．（2023?義烏市校級模擬）某種電纜在空中架設(shè)時，兩端掛起的電纜下垂都可以近似的看成拋物線的形狀；如圖，若在一個斜坡CD上按水平距離間隔90米架設(shè)兩個塔柱，每個塔柱固定電纜的位置離地面高度為20米，如果按如圖建立坐標(biāo)系（x軸在水平方向上），那么下垂的電纜可以看成拋物線y=1（1）求出圖中點A及點B的坐標(biāo)；（2）求斜坡坡面CD所在直線的解析式；（3）假設(shè)這種電纜下垂的安全高度是12米，即電纜距離坡面鉛直高度的最小值大于或等于12米時，符合安全要求，否則不符合安全要求；探索：上述這種電纜的架設(shè)是否符合安全要求．【答案】（1）A（﹣6，0），B（30，454（2）坡面CD所在直線的解析式為y=18x（3）這種電纜的架設(shè)不符合安全要求．【分析】（1）先令y＝0，解方程求出A點坐標(biāo)，再根據(jù)兩個塔柱的水平距離間隔90米，求出OE＝30，再把x＝30代入拋物線解析式，求出y的值即可；（2）根據(jù)已知和（1）中結(jié)論可以求出C，D坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（3）設(shè)電纜與坡面的鉛直高度為H米，得出H=1240x2+14x﹣（18x?252）=【詳解】解：（1）令y＝0，則1240x2+1解得x1＝0，x2＝﹣6，∴OA＝6，∵AE＝90，∴OE＝30，當(dāng)x＝30時，y=1240×302+∴A（﹣6，0），B（30，454（2）∵AC＝BD＝20，A（﹣60，0），B（30，454∴C（﹣60，﹣20），D（30，?35設(shè)直線CD解析式為y＝kx+b，則?60k+b=?2030k+b=?解得k=1∴坡面CD所在直線的解析式為y=18x（3）設(shè)電纜與坡面的鉛直高度為H米，則：H=1240x2+14x﹣（=1240（x+15）2+11∵1240∴x＝﹣15時，H有最小值11910∵11910∴這種電纜的架設(shè)不符合安全要求．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，應(yīng)熟練運用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．13．（2023?城關(guān)區(qū)一模）如圖1為某居民小區(qū)計劃修建的圓形噴水池的效果圖，在池中心需安裝一個柱形噴水裝置OA，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高高度為3m．水柱落地處離池中心的水平距離為3m．小剛以柱形噴水裝置OA與地面交點O為原點，原點與水柱落地處所在直線為x軸，柱形噴水裝置所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．水柱噴出的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2．（1）求表示該拋物線的函數(shù)表達式；（2）若不計其他因素，求柱形噴水裝置的高度．【答案】（1）該拋物線函數(shù)表達式為y=?3（2）柱形噴水裝置的高度為94m【分析】（1）由題意可知，拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，3），設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x﹣1）2+3，將（3，0）代入得，求出a的值即可；（2）令y＝0，得出y的值即可．【詳解】解：（1）由題意可知，拋物線的頂點為（1，3），因此設(shè)該拋物線的函數(shù)表達式為y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），∵該拋物線經(jīng)過點（3，0），∴0＝a（3﹣1）2+3，解得a=?3∴該拋物線函數(shù)表達式為y=?3（2）當(dāng)x＝0時，y=?3解得y=9答：柱形噴水裝置的高度為94m【點睛】本題考查了二次函數(shù)在實際生活中的運用，重點是二次函數(shù)解析式的求法，利用頂點式求出解析式是解題關(guān)鍵．14．（2023?城陽區(qū)一模）某農(nóng)戶家的菜地上有一個蔬菜大棚，其橫截面頂部為拋物線型，現(xiàn)對其橫截面建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．大棚的一端固定在墻體AO離地面高53米的點A處，另一端固定在地面的點B處，已知大棚上橫截面拋物線頂部某點離地面的垂直高度y（米）與其離墻體AO的水平距離x（米）之間的關(guān)系滿足y=?112x2+bx+（1）求拋物線的表達式；（2）求大棚的最高點到地面的距離；（3）該農(nóng)戶想在大棚橫截面拋物線頂部兩側(cè)，緊貼拋物線頂部安裝照明燈，且照明燈到地面垂直高度為4724【答案】（1）拋物線的表達式為y=?112x2+2（2）大棚的最高點到地面的距離為3米；（3）兩個照明燈的水平距離是52米．【分析】（1）把A（0，53），B（10，0）代入y=?112x2+bx+（2）把（1）中解析式化為頂點式，由函數(shù)的性質(zhì)求最值；（3）當(dāng)y=4724時，?112x2+23x+5【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過A（0，53），B則?1解得b=2∴拋物線的表達式為y=?112x2+2（2）y=?112x2+23x+53∵?1∴當(dāng)x＝4時，y有最大值，最大值為3，∴大棚的最高點到地面的距離為3米；（3）當(dāng)y=4724時，?112x2整理得2x2﹣16x+7＝0，解得x1＝4+522，x2∴|x1﹣x2|＝4+522?4∴兩個照明燈的水平距離是52米．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，不僅要求對二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)很熟練，還要結(jié)合具體的實際意義解此類題目．15．（2023?亳州二模）如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口H離地豎直高度為hm，如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象．把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，上邊緣拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.5m．灌溉車到綠化帶的距離OD為dm．當(dāng)OH＝1.5m，DE＝3m，EF＝0.5時，解答下列問題.（1）①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；②求出點B的坐標(biāo)；（2）要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，試求出d的取值范圍．【答案】（1）①噴出水的最大射程OC為6m；②點B的坐標(biāo)為（2，0）；（2）d的取值范圍是2≤d≤23?【分析】（1）①由頂點A（2，2）得，設(shè)y＝a（x﹣2）2+2，再根據(jù)拋物線過點（0，1.5），可得a的值，從而解決問題；②由對稱軸知點（0，1.5）的對稱點為（4，1.5），則下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4cm得到的，可得點B的坐標(biāo)；（2）根據(jù)EF＝0.5，求出點F的坐標(biāo)，利用增減性可得d的最大值為最小值，從而得出答案．【詳解】解：（1）①如圖1，由題意得A（2，2）是上邊緣拋物線的頂點，設(shè)y＝a（x﹣2）2+2，又∵拋物線過點（0，1.5），∴1.5＝4a+2，∴a=?1∴上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為y=?18（x﹣2）當(dāng)y＝0時，0=?18（x﹣2）解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），∴噴出水的最大射程OC為6m；②∵對稱軸為直線x＝2，∴點（0，1.5）的對稱點為（4，1.5），∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m得到的，∴點B的坐標(biāo)為（2，0）；（2）∵EF＝0.5，∴點F的縱坐標(biāo)為0.5，∴0.5=?18（x﹣2）解得x＝2±23，∵x＞0，∴x＝2+23，當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)2≤x≤6時，要使y≥0.5，則x≤2+23，∵當(dāng)0≤x≤2時，y隨x的增大而增大，且x＝0時，y＝1.5＞0.5，∴當(dāng)0≤x≤6時，要使y≥0.5，則0≤x≤2+23，∵DE＝3，灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，∴d的最大值為2+23?3＝23再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是d≥OB，∴d的最小值為2，綜上所述，d的取值范圍是2≤d≤23?【點睛】本題是二次函數(shù)的實際應(yīng)用，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與方程的關(guān)系等知識，讀懂題意，建立二次函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵．16．（2023?市南區(qū)一模）榴蓮靠著獨特風(fēng)味和口感深受廣大消費者喜愛，多數(shù)品質(zhì)較好的榴蓮都需要進口，所以價格居高不下，今年情況有所不同，國產(chǎn)高品質(zhì)榴蓮在三亞成功掛果上市，某水果店購進一批三亞榴蓮，進價為10元/kg，設(shè)售價為x元/kg，圖中線段是總進價y1（元）與x關(guān)系的圖象，拋物線是總銷售額y2（元）與x關(guān)系的圖象，y2經(jīng)過原點．假定購買和銷售數(shù)量相同，當(dāng)售價為15元時，銷售量為200kg．（總利潤＝總銷售額﹣總進價）（1）直接寫出t、p、q的值；（2）分別求出y1，y2與x的關(guān)系式；（3）當(dāng)售價定為多少，該水果店出售這批榴蓮所獲利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）t＝10，p＝2000，q＝3000；（2）y1與x的關(guān)系式為y1＝﹣100x+3500；y2與x的關(guān)系式為y2＝﹣10x2+350x；（3）當(dāng)售價定為22.5元時，該水果店出售這批榴蓮所獲利潤最大，最大利潤是1562.5．【分析】（1）根據(jù)圖象和題意確定t，p，q的值；（2）用待定系數(shù)法求出y1，y2的函數(shù)解析式即可；（3）根據(jù)總利潤＝總銷售額﹣總進價列出函數(shù)解析式，由函數(shù)的性質(zhì)求最值．【詳解】解：（1）∵當(dāng)售價為15元時，銷售量為200kg，∴q＝200×15＝3000，此時進價為10×200＝2000（元），∴p＝2000；當(dāng)總進價為2500元時，y1＝y(tǒng)2，即利潤為0，此時進價＝售價，∴t＝10；（2）設(shè)y1＝kx+b，把（10，2500）和（15，2000）代入解析式：10k+b=250015k+b=2000解得k=?100b=3500∴y1＝﹣100x+3500；設(shè)y2＝mx2+nx，把（10，2500）和（15，3000）代入解析式得：100m+10n=2500225m+15n=3000解得m=?10n=350∴y2＝﹣10x2+350x，∴y1與x的關(guān)系式為y1＝﹣100x+3500；y2與x的關(guān)系式為y2＝﹣10x2+350x；（3）該水果店出售這批榴蓮所獲利潤為w元，w＝y(tǒng)2﹣y1＝﹣10x2+350x﹣（﹣100x+3500）＝﹣10x2+450x﹣3500＝﹣10（x﹣22.5）2+1562.5，∵﹣10＜0，∴當(dāng)x＝22.5時，w有最大值，最大值1562.5，∴當(dāng)售價定為22.5元時，該水果店出售這批榴蓮所獲利潤最大，最大利潤是1562.5．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．17．（2023?臨潼區(qū)二模）2023兔年春節(jié)期間，全國各地舉辦焰火晚會，慶祝農(nóng)歷新年的到來．九年級學(xué)生王毅也在父母的陪同下前往指定區(qū)域燃放一種手持煙花，這種煙花每隔2s發(fā)射一枚花彈，每枚花彈的飛行路徑視為同一條拋物線，飛行相同時間后發(fā)生爆炸，王毅燃放的手持煙花發(fā)射出的第一枚花彈的飛行高度h（單位：m）隨飛行時間t（單位：s）變化的規(guī)律如下表：飛行時間t/s00.514.5……飛行高度h/m29.51633.5……（1）求第一枚花彈的飛行高度h與飛行時間t的函數(shù)表達式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）為了安全，要求花彈爆炸時的高度不低于30m．王毅發(fā)現(xiàn)在第一枚花彈爆炸的同時，第二枚花彈與它處于同一高度，請分析花彈的爆炸高度是否符合安全要求．【答案】（1）h＝﹣2t2+16t+2；（2）花彈的爆炸高度符合安全要求．【分析】（1）用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可求解；（2）這種煙花每隔2秒發(fā)射一發(fā)花彈，每一發(fā)花彈的飛行路徑，爆炸時的高度均相同，得第二發(fā)花彈的函數(shù)解析式，令第一發(fā)和第二發(fā)花彈的解析式相等，從而求出二者高度相等的時間，再代入函數(shù)解析式即可解得時間，從而得高度，進一步就可得結(jié)論．【詳解】解：（1）∵每枚花彈的飛行路徑視為同一條拋物線，∴設(shè)其解析式為：h＝at2+bt+c，把點（0，2），（0.5，9.5），（1，16）代入得：c=20.25a+0.5b+c=9.5解得a=?2b=16故相應(yīng)的函數(shù)解析式為：h＝﹣2t2+16t+2；（2）∵這種煙花每隔2s發(fā)射一發(fā)花彈，每一發(fā)花彈的飛行路徑、爆炸時的高度均相同，小杰發(fā)射出的第一發(fā)花彈的函數(shù)表達式為h＝﹣2（t﹣4）2+34，∴第二發(fā)花彈的函數(shù)表達式為h′＝﹣2（t﹣6）2+34．皮皮發(fā)現(xiàn)在第一發(fā)花彈爆炸的同時，第二發(fā)花彈與它處于同一高度，則令h＝h′，得﹣2（t﹣4）2+34＝﹣2（t﹣6）2+34，解得t＝5，此時h＝h′＝32＞30m，故花彈的爆炸高度符合安全要求．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，需要先根據(jù)表格中數(shù)據(jù)描點，得出函數(shù)圖象，再求出其解析式，分析變化趨勢，可以代值驗算，第三問需要從實際問題分析轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)模型，從而得解．18．（2023?武侯區(qū)校級模擬）2023年3月，成都市政府印發(fā)《成都市促進新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的實施意見》，其中大力促進新能源汽車消費成為抓手之一．已知某商家對一款新能源汽車進行銷售，市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：月銷量y（單位：輛）與銷售價x（單位：萬元/輛，且14≤x≤21）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如表：x1617181920y3027242118（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若商家購進這款汽車的價格為12萬元，試問：當(dāng)x為多少時，總利潤最大？并求出此時利潤的最大值．【答案】（1）y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣3x+78（14≤x≤21）；（2）當(dāng)x為19萬元時，總利潤最大，利潤最大為147萬．【分析】（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，用待定系數(shù)法可得y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣3x+78（14≤x≤21）；（2）設(shè)利潤為W萬元，可得W＝（x﹣12）（﹣3x+78）＝﹣3x2+114x﹣936＝﹣3（x﹣19）2+147，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．【詳解】解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，將（16，30），（17，27）代入得：16k+b=3017k+b=27解得k=?3b=78∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣3x+78（14≤x≤21）；（2）設(shè)利潤為W萬元，根據(jù)題意得：W＝（x﹣12）（﹣3x+78）＝﹣3x2+114x﹣936＝﹣3（x﹣19）2+147，∵﹣3＜0，∴當(dāng)x＝19時，W取最大值，最大值為147，答：當(dāng)x為19萬元時，總利潤最大，利潤最大為147萬．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式．19．（2023?驛城區(qū)校級二模）如圖，在一次足球比賽中，守門員在距地面1米高的P處大力開球，一運動員在離守門員6米的A處發(fā)現(xiàn)球在自己頭上的正上方距離地面4米處達到最高點Q，球落到地面B處后又一次彈起．已知足球在空中的運行軌跡是一條拋物線，在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度為1米．（1）求足球第一次落地之前的運動路線的函數(shù)解析式及第一次落地點B與守門員（點O）的距離；（2）運動員（點A）要搶到第二個落點C，他應(yīng)再向前跑多少米？（假設(shè)點O，A，B，C在同一條直線上，結(jié)果保留根號）【答案】（1）y=?112（x﹣6）2+4，第一次落地點B與守門員（點O）的距離為4（2）83米．【分析】（1）根據(jù)題意可知足球第一次落地之前的運動路線對應(yīng)的拋物線的頂點坐標(biāo)為（6，4），過點（0，1），然后即可求得相應(yīng)的函數(shù)解析式，再令y＝0求出相應(yīng)的x的值，即可得到第一次落地點B與守門員（點O）的距離；（2）根據(jù)題意可知BC的長度與第一段函數(shù)解析式中y＝3時對應(yīng)的兩個橫坐標(biāo)差的絕對值的長度相等，然后即可得到BC的長，從而可以計算出AC的長度，本題得以解決．【詳解】解：（1）設(shè)足球第一次落地之前的運動路線的函數(shù)解析式為y＝a（x﹣6）2+4，∵點（0，1）在該函數(shù)圖象上，∴a（0﹣6）2+4＝1，解得a=?1即足球第一次落地之前的運動路線的函數(shù)解析式為y=?112（x﹣6）當(dāng)y＝0時，0=?112（x﹣6）解得x1＝43+6，x2＝﹣43∴第一次落地點B與守門員（點O）的距離為43+（2）將y＝3代入y=?112（x﹣6）2+4，得x3＝23+6，x4＝﹣∴BC＝（23+6）﹣（﹣23+6）＝4∴AC＝AB+BC＝（43+6﹣6）+43=8即他應(yīng)再向前跑83米．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式．20．（2023?青島一模）振華公司對其辦公樓大廳一塊6×6米的正方形ABCD墻面進行了如圖所示的設(shè)計裝修（四周陰影部分是八個全等的矩形，用材料甲裝修，中心區(qū)域是正方形EFGH，用材料乙裝修）．兩種材料的成本如下：材料甲乙單價（元/米2）800600?設(shè)矩形的較短邊AM的長為x米，裝修材料的總費用為y元．（1）求y與x之間的關(guān)系式；（2）當(dāng)中心區(qū)域的邊長EF不小于2米時，預(yù)備材料的購買資金28000元夠用嗎？請說明理由．【答案】（1）y＝﹣3200x2+9600x+21600；（2）預(yù)備材料的購買資金28000元夠用．【分析】（1）根據(jù)圖形邊長即可表示出MN的長；根據(jù)正方形和長方形的面積乘以每平方米的單價即可寫出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)題意確定x的取值范圍，根據(jù)函數(shù)的增減性即可得結(jié)論．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，得AD＝AB＝6，AM＝MN＝x，四周陰影部分是八個全等的矩形，∴EF＝6﹣4x．y＝800×8x（6﹣2x）+600（6﹣4x）2＝﹣3200x2+9600x+21600．答：y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝﹣3200x2+9600x+21600．（3）∵MN不小于2，∴6﹣4x≥2，∴0＜x≤1．y＝﹣3200x2+9600x+21600，＝﹣3200（x?32）∵﹣3200＜0，圖象開口向下．當(dāng)y＝28000時，即﹣3200（x?32）解得x1＝2，x2＝1．根據(jù)圖象可知：0≤x≤1時，y的最大值不超過28000，但不符合0＜x≤1的要求．答：預(yù)備材料的購買資金28000元夠用．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．21．（2023?萊西市一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，AD＝10cm，點P、Q分別是線段CD和AD上的動點．點P以2cm/s的速度從點D向點C運動，同時點Q以1cm/s的速度從點A向點D運動，當(dāng)其中一點到達終點時，兩點停止運動，將PQ沿AD翻折得到QP'，連接PP'交直線AD于點E，連接AC、BQ．設(shè)運動時間為t（s），回答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時，PQ∥AC？（2）求四邊形BCPQ的面積S（cm2）關(guān)于時間t（s）的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某時刻t，使點Q在∠PP'D平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）409（2）S=35t2?425t+72（0（3）5．【分析】（1）過A作AH⊥CD于H，由勾股定理得DH＝8（cm），再證△DPQ∽△DCA，得DQDA（2）過Q作QG⊥BA于G，交CD于F，證△QGA∽△AHD，得QGAH=AQAD，求出QG=35t（3）過A作AH⊥CD于H，點Q在∠P′PD平分線上，過Q作QF⊥CD于F，由角平分線的性質(zhì)得QE＝QF，再求出DE=85t，則QE=135t﹣10，得135t【詳解】解：（1）如圖1，過A作AH⊥CD于H，則四邊形ABCH是矩形，∴CH＝AB＝8cm，AH＝BC＝6cm，在Rt△ADH中，由勾股定理得：DH=AD2∴CD＝CH+DH＝16（cm），當(dāng)PQ∥AC時，△DPQ∽△DCA，∴DQDA=DP解得：t=40即當(dāng)t為409時，PQ∥AC（2）如圖3，過Q作QG⊥BA于G，交CD于F，則GF＝AH＝6cm，AH∥QF，∴△QFD∽△AHD，∵AB∥CD，∴△QGA∽△QFD，∴△QGA∽△AHD，∴QGAH即QG6=t10，解得：∴QF＝6?35∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是梯形，∴四邊形BCPQ的面積S＝S梯形ABCD﹣S△ABQ﹣S△PDQ=12×（8+16）×6?12×8×35t?12×2t×（6?35t）=35t（3）存在，理由如下：如圖4，過A作AH⊥CD于H，點Q在∠P′PD平分線上，過Q作QF⊥CD于F，由（3）可知，QF＝6?35由翻折的性質(zhì)得：DE⊥PP'，∴QE＝QF，∠DEP＝90°，∴cosD=DEPD=解得：DE=85∴QE＝DE﹣DQ=85t﹣（10﹣t）=13∴135t﹣10＝6?3解得：t＝5，即存在某時刻t，使點Q在∠P′PD平分線上，t的值為5．【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的判定與性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、相似三角形的判定由V型在、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)定義、梯形面積公式、三角形面積公式等知識，本題綜合性強，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．22．（2023?市南區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm．點E從A出發(fā)，沿AB方向向B勻速運動，速度是1cm/s；同時，點F從B出發(fā)，沿BC方向向C勻速運動，速度是2cm/s．將△AEF沿AF折疊，E的對稱點為G．設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜4），請回答下列問題：（1）t為何值時，BE＝BF；（2）設(shè)四邊形ABFG的面積為S（cm2），求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時刻t，使得點G落在線段AC上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；（4）是否存在某一時刻t，使得四邊形AEFG為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）t=103；（2）S=35t2+6t；（3）存在某一時刻t，使得點G落在線段AC上，此時t【分析】（1）利用勾股定理求得BC，利用折疊的性質(zhì)表示出線段AE，BF，BE，列出關(guān)于t的方程即可求得結(jié)論；（2）過點F作FH⊥AB于點H，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得線段FH，利用三角形的面積公式和中點的性質(zhì)計算即可得出結(jié)論；（3）利用折疊的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)定理列出關(guān)于t的方程即可得出結(jié)論；（4）利用反證法解答，假設(shè)四邊形AEFG為菱形，則AE＝EF＝t，過點E作EM⊥BC于點M，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得線段FE，F(xiàn)M，EM，在Rt△EFM中，利用勾股定理列出關(guān)于t的方程，解方程，Δ＜0，原方程無解，則結(jié)論可得．【詳解】解：（1）BC=AB2由題意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，∴BE＝（10﹣t）cm，∵BE＝BF，∴10﹣t＝2t，∴t=10∴t為103時，BE＝BF（2）過點F作FH⊥AB于點H，如圖，∵∠FHB＝∠C＝90°，∠B＝∠B，∴△BFH∽△BAC，∴BFFH∴2tFH∴FH=65由題意：△AEF≌△AGF，∴S△AEF＝SAGF．∵S四邊形ABFG＝S△AFB+S△AGF＝S△ABF+S△AEF，∴S=12AB?FH+12?FH=12×10×65∴S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為S=35t（