數(shù)學(xué)建模之模型解的分析與檢驗(yàn)第三講4講義教材

3.6模型解的分析和檢驗(yàn)始于現(xiàn)實(shí)世界并終于現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)建模工作最終要得到現(xiàn)實(shí)問題的解答

求出模型的數(shù)學(xué)解以后，必須對(duì)解的意義進(jìn)行分析、檢驗(yàn)需討論以下類似問題：1.這個(gè)解說明了什么問題？2.是否達(dá)到了建模的目的？3.模型的適用范圍怎樣？

例3.6.1《格列佛游記》中小人國的小人們?yōu)楣浪愀窳蟹鸬氖沉?，利用身體的相似性，建立了一個(gè)數(shù)學(xué)模型

4.所建模型是否合理？是否合乎實(shí)際？是否有原理性錯(cuò)誤、常識(shí)性錯(cuò)誤？……W=aH3

W是人的體重，H是人的身高.a=W/H3=3/0.5=24,檢驗(yàn)：先確定參數(shù)a，新生嬰兒身長約50厘米，重約3千克,代入模型得

得模型為W=24H3

這是一個(gè)適用于肥胖人群的體重－身高模型。據(jù)此可計(jì)算得

身高為1.5米的兒童體重為W(1.5)=81(千克)；身高為2米的運(yùn)動(dòng)員體重為W(2)=192(千克).檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪菙?shù)學(xué)建模工作的重要環(huán)節(jié)根據(jù)比例系數(shù)k的定義有

LT－2=[k]LT－1

[k]=T－1

注意到exp(－kt)是無量綱量，可驗(yàn)證模型的量綱正確.

2.檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠衽c物理定律相符?

若忽略空氣阻力（即k=0）,應(yīng)有

h=0.5gt2

驗(yàn)證模型是否與此物理定律相符.能否將k=0代入模型？參見講義p59.3.

參數(shù)的靈敏度分析取參數(shù)k的值為0.05(克/秒),可算得即,若回聲在4秒聽到，模型測(cè)算出洞深73.50米.

又若參數(shù)k有微小變化，測(cè)算值會(huì)怎樣變化？令k=0.045,參數(shù)的相對(duì)變化幅度為︱0.045－0.05︱/0.05=10%，

計(jì)算得h2=h(4)≈73.98，洞深預(yù)測(cè)值相對(duì)變化幅度為

？（73.5－73.89）/73.5＜1%.

說明模型對(duì)空氣阻力比例系數(shù)k不敏感,即對(duì)洞深預(yù)測(cè)影響不大,可忽略空氣阻力.

4.

進(jìn)一步分析空氣的影響

若完全忽略空氣的影響,有

h1=h(4)=0.5gt2=0.5×9.81×42≈78.48(米)，絕對(duì)誤差為78.48－73.50≈5(米)，？結(jié)果分析說明被忽略的空氣因素對(duì)模型產(chǎn)生較明顯的影響.模型中用到隱含假設(shè)：石頭撞擊地面的聲音能立即聽到.相對(duì)誤差為（78.48－73.50）/73.50≈7%，未考慮聲音在空氣中的傳播速度.

傳播速度大約為330米／秒,則石頭著地聲音的傳播時(shí)間大約為h／330≈73.5／330≈0.223（秒）取修正時(shí)間為t=4－0.223=3.777（秒）

可得h(3.777)≈65.77(米)

結(jié)論聲速的影響遠(yuǎn)甚于空氣阻力的影響.

通過對(duì)模型的分析、檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)由于模型假設(shè)不合理,考慮因素不合適,造成模型不合理.需重新進(jìn)行問題的前期分析工作1.

量綱一致性檢驗(yàn)；2.

假設(shè)的合理性檢驗(yàn)；3.

對(duì)模型參數(shù)的靈敏度分析；4.