四川省自貢市2025屆高三上學(xué)期第一次診斷性考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省自貢市2025屆高三上學(xué)期第一次診斷性考試數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁(yè)19題．全卷滿分150分．考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．3，非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別是，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】由題意得，則，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.故選：C3.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】的定義域?yàn)镽，且，故為偶函數(shù)，A正確；B選項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，，，故不為偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，，故是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，且，故為奇函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：A4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，解得，則.故選：D5.同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上點(diǎn)數(shù)，設(shè)兩枚骰子朝上點(diǎn)數(shù)分別是，設(shè)，則的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，朝上點(diǎn)數(shù)共有種情況，若其一為2，另一個(gè)從中選擇，此時(shí)的情況數(shù)為種情況，若均為2，情況數(shù)為1，故的情況數(shù)共有種，故的概率為.故選：B6.已知，且與的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則的最大值為（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】因?yàn)榕c的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，所以，又，所以，則，故的最大值為.故選：B.7.根據(jù)變量和的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，由一元線性回歸模型得到經(jīng)驗(yàn)回歸模型，求得殘差圖．對(duì)于以下四幅殘差圖，滿足一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差假設(shè)的是（）A. B.C D.【答案】A【解析】對(duì)于A，殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，故A正確；對(duì)于B，殘差與觀測(cè)時(shí)間有線性關(guān)系，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，殘差的方差不是一個(gè)常數(shù)，隨著觀測(cè)時(shí)間變大而變小再變大，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，殘差與觀測(cè)時(shí)間是非線性關(guān)系，故D錯(cuò)誤.故選：A.8.已知空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集，對(duì)任意，都存在不全為零的實(shí)數(shù)滿足．若，則的一個(gè)充分條件是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】不全為0的實(shí)數(shù)，使得，所以3個(gè)向量無(wú)法構(gòu)成三維空間坐標(biāo)系的一組基，即向量共面，對(duì)于A，，若，則與共線，與共線，所以可以屬于，此時(shí)三者不共面，故A不正確；對(duì)于B，，若，則與共線，所以可以屬于，此時(shí)三者不共面，故B不正確；對(duì)于C，，若，則與，所以可以屬于，此時(shí)三者不共面，故C不正確；對(duì)于D，顯然三者可以構(gòu)成一組基，與條件不符合，故可以推出，故D正確．故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全得部分分，有選錯(cuò)得0分．9.函數(shù)，若在區(qū)間單調(diào)遞減，且，下列正確的是（）A. B.在區(qū)間單調(diào)遞增C.函數(shù)的最小正周期為2 D.圖象的對(duì)稱軸是【答案】ABC【解析】AC選項(xiàng)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，，故在上單調(diào)遞增，所以為函數(shù)位于軸右側(cè)第一個(gè)最大值點(diǎn)，且為函數(shù)位于軸右側(cè)第一個(gè)對(duì)稱中心，故，，解得，，故函數(shù)的最小正周期為，AC正確；B選項(xiàng)，時(shí)，，由于在上單調(diào)遞增，故在區(qū)間單調(diào)遞增，B正確；D選項(xiàng)，，故不是圖象的對(duì)稱軸，D錯(cuò)誤.故選：ABC10.不相同的數(shù)列與，且都不為常數(shù)數(shù)列，，則下列正確的是（）A.數(shù)列均為無(wú)窮等差數(shù)列，則中最多一個(gè)元素；B.數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則中最多兩個(gè)元素；C.數(shù)列單調(diào)遞增，數(shù)列單調(diào)遞減，則中最多一個(gè)元素；D.數(shù)列均為無(wú)窮等比數(shù)列，則中最多三個(gè)元素．【答案】AC【解析】對(duì)于A，若與均等差數(shù)列，不妨設(shè)各自公差分別為，，則，所以，因?yàn)榕c是兩個(gè)不同的無(wú)窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列，所以：（i）若，則，則；（ii）若，則，則不存在；（iii）若，，則；綜上A正確；對(duì)于B，設(shè)，，若中至少四個(gè)元素，則關(guān)于的方程至少有4個(gè)不同的正數(shù)解，若，，考慮關(guān)于的方程奇數(shù)解的個(gè)數(shù)和偶數(shù)解的個(gè)數(shù)，若，，則由和的散點(diǎn)圖可得：關(guān)于的方程至多有兩個(gè)不同的解，矛盾；當(dāng)有偶數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個(gè)偶數(shù)解，且有兩個(gè)偶數(shù)解時(shí)，，否則，因，單調(diào)性相反，方程至多一個(gè)偶數(shù)解，當(dāng)有奇數(shù)解，此方程即為：，方程至多有兩個(gè)奇數(shù)解，且有兩個(gè)奇數(shù)解時(shí)，即，否則，因，單調(diào)性相反，方程至多一個(gè)奇數(shù)解，因?yàn)椋豢赡芡瑫r(shí)成立，故不可能有4個(gè)不同的整數(shù)解，即中最多有3個(gè)元素，故B不正確；對(duì)于C，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，為遞減數(shù)列，前者散點(diǎn)圖呈上升趨勢(shì)，后者的散點(diǎn)圖呈下降趨勢(shì)，兩者至多一個(gè)交點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，若與均為等比數(shù)列，不妨設(shè)各自公比分別為，且，顯然，顯然該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)都相同，故D不正確.故選：AC.11.已知定義在上的函數(shù)滿足，且是奇函數(shù)，則（）A. B.C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D.若，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，，，，，即是周期的周期函數(shù)，，A正確；對(duì)于C，為奇函數(shù)，，即，關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，C正確；對(duì)于B，，令，則，，又，，B錯(cuò)誤；對(duì)于D，且關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，，，，又，，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；當(dāng)時(shí)，，，，，，，，D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.在多項(xiàng)式的展開(kāi)式中，的系數(shù)為16，則______．【答案】1【解析】的展開(kāi)式通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則的展開(kāi)式中的系數(shù)為，解得.故答案為：113.高為8的正四棱錐的頂點(diǎn)都在半徑為5的球面上，則該正四棱錐的表面積為_(kāi)_____．【答案】128【解析】如圖所示，設(shè)在底面的投影為，易知正四棱錐的外接球球心在上，因?yàn)檎睦忮F的高為8，外接球的半徑為5，所以，，所以，，則，故中，邊的高為，所以該正四棱錐的側(cè)面積為，故該正四棱錐的表面積為．故答案為：128．14.曲線上兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)在曲線上，則的取值范圍是______．【答案】【解析】與關(guān)于對(duì)稱，又上兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)在曲線上，故與有2個(gè)交點(diǎn)，即有2個(gè)不同的實(shí)根，即有2個(gè)不同的實(shí)根，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，h'x>0，當(dāng)時(shí)，h故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，且趨向于0時(shí)，hx趨向于，當(dāng)趨向于時(shí)，hx趨向于0，作出的圖象，如下：且的圖象為過(guò)定點(diǎn)的直線，當(dāng)與hx相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，此時(shí)，又根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式得，所以，故，由于在0,+∞上單調(diào)遞增，且，故有唯一解，故切線斜率為，數(shù)形結(jié)合得到時(shí)，有2個(gè)不同的實(shí)根，故的取值范圍是0,1.故答案為：0,1四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為為鈍角，．（1）求；（2）從以下①②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求的面積．①；②．解：（1）因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)闉殁g角，所以為銳角，即，所以，由正弦定理可得：，即，可得，因?yàn)闉殁g角，所以；（2）若選①：，由（1）可得，則由余弦定理可得：，整理得：，解得或（舍），所以若選②：因?yàn)?，為銳角，所以，由正弦定理可得：，即，可得，又因?yàn)?16.數(shù)列的前項(xiàng)和（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)恒成立，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，顯然滿足上式，故的通項(xiàng)公式為；（2），所以，故，變形得到，其中，由于在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，故當(dāng)或時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的最小值為，所以.所以的取值范圍是.17.如圖平面．（1）若平面，證明：；（2）若，求平面和平面夾角的余弦值．（1）證明：因?yàn)?，故，所以⊥，又平面，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫妫浴?，因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以，因?yàn)椤停?；?）解：由（1）知，⊥，又，故，因?yàn)?，在中，由余弦定理得，即，解得，因?yàn)?，所以⊥，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，故，，，設(shè)平面法向量為，則，所以，令，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則，設(shè)平面和平面夾角為，則.18.已知函數(shù)．（1）時(shí)，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）設(shè)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，比較與的大小并說(shuō)明理由．解：（1）時(shí)，，且，則恒成立，故在上單調(diào)遞增，又故函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1．（2），則，令，即有兩個(gè)根，則，所以，則，所以，令，所以，則函數(shù)在上遞減，所以恒成立，所以，即，故.19.某學(xué)校為豐富學(xué)生活動(dòng)，積極開(kāi)展乒乓球選修課，甲乙兩同學(xué)進(jìn)行乒乓球訓(xùn)練，已知甲第一局贏的概率為，前一局贏后下一局繼續(xù)贏的概率為，前一局輸后下一局贏的概率為，如此重復(fù)進(jìn)行.（1）求乙同學(xué)第2局贏的概率；（2）記甲同學(xué)第i局贏的概率為；（ⅰ）求（