4.3 任意角的三角函數(shù)

授課題目4.3任意角的三角函數(shù)選用教材高等教育出版社《數(shù)學(xué)》（基礎(chǔ)模塊上冊(cè)）授課時(shí)長(zhǎng)3課時(shí)授課類(lèi)型新授課教學(xué)提示角的三角函數(shù)值的符號(hào)．教學(xué)目標(biāo)αα0π余弦值，逐步提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．教學(xué)重點(diǎn)任意角三角函數(shù)的定義及應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)αα終邊上點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)；各象限的角的三角函數(shù)值的符號(hào)的推斷．教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖引入三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，在研究三角形、圓和其他多邊形等幾何圖形的性質(zhì)時(shí)有導(dǎo)航、工程學(xué)以及物理學(xué)等方面都有廣泛的應(yīng)用.講解介紹傾聽(tīng)思考介紹知識(shí)背景情境導(dǎo)入4.3.1任意角的三角函數(shù)定義在義務(wù)教育階段，我們學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù).sinA角A的對(duì)邊BC，斜邊 ABcosA角A的鄰邊AC，斜邊 ABtanA角A的對(duì)邊BC.角的鄰邊 AC弦函數(shù)、正切函數(shù)等三角函數(shù)如何定義呢？ 引導(dǎo)提問(wèn)啟發(fā)指導(dǎo)回憶思考作答交流借助原有為新知學(xué)習(xí)知識(shí)做好鋪墊，體會(huì)從特殊到一般的思想方法探索新知α為平面直角Oxy中的任意一個(gè)角,在其終邊上任取O不重合的一點(diǎn)P(x,y),則|OM|＝|x|, |MP|＝PO的距離OP＝r＝x2y2r＞0.由相似三角形的性質(zhì)可知：比值yxyr r x(x≠0)α的大小,Pα終邊上的位置無(wú)關(guān).因此，對(duì)任意角α義：yα的正弦，即sin＝y(tǒng)，r r講解說(shuō)明介紹觀察思考理解將銳角三角形中的三條邊與點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)起來(lái)，幫助學(xué)生更加直觀認(rèn)識(shí)問(wèn)題感受發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣xα的余弦，即cos＝x，r ryα的正切tanα，即tan＝y(tǒng)x(x≠0)．

x 引導(dǎo) 思考cosαα為自變量的函數(shù)，分別稱(chēng)為函數(shù)與余弦函數(shù)R．當(dāng)+kkZPx=0，2tanαtanαα為自變量的函數(shù)，稱(chēng)為正切函數(shù)，其定義域?yàn)?/p>

+kkZ．2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù)．例1已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(?4,3),求角α 提問(wèn) 思的正弦、余弦和正切．解因?yàn)閤＝?4，y＝3，所以 引導(dǎo) 分r＝(?4)2+32＝5．

直接利用定義求三角函數(shù)值由三角函數(shù)的定義，得

y 講解 解

加強(qiáng)對(duì)y 3例題 sinα＝r＝5，辨析 x 4

P(?4，3)

32 強(qiáng)調(diào) 交1

定義的理解x?1?2?3cosα＝r＝?5，x?1?2?3y 3 ?4 Otanα＝x＝?4．例2求終邊在射線(xiàn)y=2x(x≥0)上的角的正弦、余弦和正切.解在射線(xiàn)y=2x(x≥0)上取點(diǎn)P(1，2)，則x=1，提問(wèn) 思

示例求特殊角三角函數(shù)提升直觀想y=2，r=12225．所以sin=y=2=25，r 5 5cos=x=1=5，r 5 5tan=y=2=2.x 1溫馨提示由三角函數(shù)的定義可知,角α值只與這個(gè)角有關(guān),P在角置無(wú)關(guān)．因此,點(diǎn)P便．探究與發(fā)現(xiàn)α為第四象限角，其終邊上的一個(gè)點(diǎn)Px5，且cos=2xsinαtanα4的值．引導(dǎo)講解強(qiáng)調(diào)說(shuō)明強(qiáng)調(diào)分析解決交流理解體會(huì)象核心素養(yǎng)理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)鞏固練習(xí)練習(xí)4.3.1αP的坐標(biāo)如下,求出角α的正弦、余弦和正切.(1) (4,3)； (2)(2,0)； (3)(0,1)(4) (?12,5)； (5)(1,?2).已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a,?1)，且tan=1，求a的值．2α為第二象限角,P的橫坐標(biāo)為?8, |OP|＝10.求角α的正弦、余弦和正切值．提問(wèn)巡視指導(dǎo)思考交流通過(guò)練習(xí)及時(shí)掌握學(xué)生的知識(shí)掌握情況，查漏補(bǔ)缺4.已知角α的終邊在射線(xiàn)y=?3x(x≥0)上,求角的正弦、余弦和正切.引入4.3.2單位圓與三角函數(shù)1的圓稱(chēng)為單位圓O為圓心，1像的繪制都有極為重要的作用．講解傾聽(tīng)為新知學(xué)習(xí)做鋪墊在單位圓上,角的終邊與單位圓的交點(diǎn)P的坐標(biāo)可以用角的三角函數(shù)表示嗎？結(jié)合單提問(wèn)思考位圓與三角函情境導(dǎo)入啟發(fā)作答數(shù)引發(fā)學(xué)生思考引導(dǎo)交流角的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x,y),則r=|OP|=1,由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義,得sinα=yyy，cosα＝xxx．r 1 r 1由此可知，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)P的坐標(biāo)可以表示為(sin,cos).一般地,α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(x,y),那么講解理解發(fā)現(xiàn)規(guī)律體會(huì)數(shù)形結(jié)說(shuō)明記憶合思想方法新知探索啟發(fā)體會(huì)cosα=x，sinα=y，tanα=yx0.xPxy們可以確定當(dāng)角α的終邊在不同的象限時(shí)，sinα，cosαtanα的符號(hào)．探究與發(fā)現(xiàn)30°角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)可以表為 .60°角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)可以表為 .120°角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)可以表示為 .結(jié)合坐標(biāo)軸記示思考憶和總結(jié)更加生動(dòng)提總結(jié)升直觀規(guī)律想象核心素養(yǎng)引發(fā)交流思考討論例3求90°角的正弦、余弦和正切.提問(wèn)思考數(shù)形結(jié)解 90°角的終邊與單位圓的角的交點(diǎn)坐標(biāo)為合加深(0,1)，體會(huì)利所以sin90°=1，cos90°=0，tan90°不存在.引導(dǎo)解決用單位例題辨析講解交流圓求界限角的三角函數(shù)適時(shí)總結(jié)加深溫馨提示認(rèn)識(shí)0°180°270°360°提示填寫(xiě)正切值.總結(jié)表格提提例4 判斷下列各三角函數(shù)值的符號(hào).(1)sin(－325°)； (2)cos35(3)tan4252°； (4)sin19．6解 (1)因?yàn)椋?25°＝35°－360°，所以－325°角是第一象限角，故sin(－325°)＞0；(2)因?yàn)?弧度的角是第二象限角,所以5cos3＜0；5(3)因?yàn)?252°＝292°11×360°，所以4252°角是第四象限角，因此tan4252°＜0；(4)因?yàn)椋?，所以弧度的? 6 6是第三象限角，故sin＜0．6例5 已知cos＞0,且tan＜0,試確定角是第幾象限角．解 因?yàn)閏os＞0,所以角可能是第一或第四象限角,也可能終邊在x軸的正半軸上.又因?yàn)閠an＜0，所以角可能是第二或第四象限角．故滿(mǎn)足cos＞0且tan＜0的角是第四象限角．探究與發(fā)現(xiàn)利用單位圓求 弧度的角的正弦、余弦和3正切值．示例如提問(wèn)思考何確定已知角的三角引導(dǎo)分析函數(shù)值的符號(hào)講解解決強(qiáng)調(diào)交流逆向思維問(wèn)題提問(wèn)思考培養(yǎng)學(xué)生邏輯引導(dǎo)分析推理能力講解解決強(qiáng)調(diào)交流引發(fā)嘗試思考解決鞏固練習(xí)4.3.2練習(xí)判斷下列三角函數(shù)值的符號(hào)：(1)sin156°； (2)cos； (3)cos5（?440°）；(4)tan； (5)sin2； 8 (6)tan556°．計(jì)算：(1)7cos270°+12sin0°+2tan0°?8cos180°；(2)5cos180°?3sin90°+2tan0°?6sin270°；(3)cos?tan0+tan2π?sin+cosπ．2 3 2求下列各角的正弦、余弦和正切值．(1)； (2)?．6 4sinθ＜0