高三理科數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義模塊二專題六第四講算法復(fù)數(shù)推理與證明

專題六概率與統(tǒng)計(jì)、算法、復(fù)數(shù)、推理與證明第四講算法、復(fù)數(shù)、推理與證明1．對復(fù)數(shù)的考查主要是復(fù)數(shù)概念、復(fù)數(shù)四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)的幾何意義．2．對程序框圖的考查主要以循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖為載體考查學(xué)生對算法的理解．3．對合情推理的考查主要以歸納推理為主，考查學(xué)生的觀察、歸納和概括能力.1．(2017·全國卷Ⅱ)eq\f(3＋i,1＋i)＝()A．1＋2i B．1－2iC．2＋i D．2－i[解析]eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i.故選D.[答案]D2．(2017·全國卷Ⅰ)設(shè)有下面四個(gè)命題：p1：若復(fù)數(shù)z滿足eq\f(1,z)∈R，則z∈R；p2：若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R，則z∈R；p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R，則z1＝eq\o(z,\s\up16(－))2；p4：若復(fù)數(shù)z∈R，則eq\o(z,\s\up16(－))∈R.其中的真命題為()A．p1，p3 B．p1，p4C．p2，p3 D．p2，p4[解析]對于命題p1，設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，由eq\f(1,z)＝eq\f(1,a＋bi)＝eq\f(a－bi,a2＋b2)∈R，得b＝0，則z∈R成立，故命題p1正確；對于命題p2，設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，由z2＝(a2－b2)＋2abi∈R，得a·b＝0，則a＝0或b＝0，復(fù)數(shù)z可能為實(shí)數(shù)或純虛數(shù)，故命題p2錯誤；對于命題p3，設(shè)z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，由z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i∈R，得ad＋bc＝0，不一定有z1＝eq\o(z,\s\up16(－))2，故命題p3錯誤；對于命題p4，設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則由z∈R，得b＝0，所以eq\o(z,\s\up16(－))＝a∈R成立，故命題p4正確．故選B.[答案]B3．(2017·天津卷)閱讀下面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入N的值為24，則輸出N的值為()A．0 B．1C．2 D．3[解析]執(zhí)行程序框圖，輸入N的值為24時(shí)，24能被3整除，執(zhí)行是，N＝8,8≤3不成立，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體；8不能被3整除，執(zhí)行否，N＝7,7≤3不成立，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體；7不能被3整除，執(zhí)行否，N＝6,6≤3不成立，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體；6能被3整除，執(zhí)行是，N＝2,2≤3成立，退出循環(huán)，輸出N的值為2，故選C.[答案]C4．(2017·全國卷Ⅰ)下面程序框圖是為了求出滿足3n－2n>1000的最小偶數(shù)n，那么在和eq\x()兩個(gè)空白框中，可以分別填入()A．A>1000？和n＝n＋1B．A>1000？和n＝n＋2C．A≤1000？和n＝n＋1D．A≤1000？和n＝n＋2[解析]本題求解的是滿足3n－2n>1000的最小偶數(shù)n，可判斷出循環(huán)結(jié)構(gòu)為當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，即滿足條件要執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件要輸出結(jié)果，所以判斷語句應(yīng)為A≤1000？，另外，所求為滿足不等式的偶數(shù)解，因此eq\x()中語句應(yīng)為n＝n＋2，故選D.[答案]D5．(2017·北京卷)三名工人加工同一種零件，他們在一天中的工作情況如圖所示，其中點(diǎn)Ai的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，點(diǎn)Bi的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，i＝1,2,3.(1)記Qi為第i名工人在第一天中加工的零件總數(shù)，則Q1，Q2，Q3中最大的是________；(2)記pi為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，則p1，p2，p3中最大的是________．[解析]設(shè)線段AiBi的中點(diǎn)為Ci(xi，yi)．(1)由題意知Qi＝2yi，i＝1,2,3，由題圖知y1最大，所以Q1，Q2，Q3中最大的是Q1.(2)由題意知pi＝eq\f(2yi,2xi)＝eq\f(yi,xi)，i＝1,2,3.eq\f(yi,xi)的幾何意義為點(diǎn)Ci(xi，yi)與原點(diǎn)O連線的斜率．比較OC1，OC2，OC3的斜率，由題圖可知OC2的斜率最大，即p2最大．[答案](1)p1(2)p2考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算1．復(fù)數(shù)的除法復(fù)數(shù)的除法一般是先將分母實(shí)數(shù)化，即分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)再進(jìn)一步化簡．2．復(fù)數(shù)運(yùn)算中常見的結(jié)論(1)(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i；(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i；(3)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.[對點(diǎn)訓(xùn)練]1．(2017·全國卷Ⅲ)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝2i，則|z|＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2) D．2[解析]解法一：∵(1＋i)z＝2i，∴z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(21＋i,2)＝1＋i.∴|z|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).解法二：∵(1＋i)z＝2i，∴|1＋i|·|z|＝|2i|，即eq\r(12＋12)·|z|＝2，∴|z|＝eq\r(2).[答案]C2．(2017·北京卷)若復(fù)數(shù)(1－i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)[解析]∵復(fù)數(shù)(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1<0，,1－a>0，))∴a<－1，故選B.[答案]B3．(2017·山東卷)已知a∈R，i是虛數(shù)單位．若z＝a＋eq\r(3)i，z·eq\o(z,\s\up16(－))＝4，則a＝()A．1或－1 B.eq\r(7)或－eq\r(7)C．－eq\r(3) D.eq\r(3)[解析]∵z＝a＋eq\r(3)i，∴eq\o(z,\s\up16(－))＝a－eq\r(3)i，又∵z·eq\o(z,\s\up16(－))＝4，∴(a＋eq\r(3)i)(a－eq\r(3)i)＝4，∴a2＋3＝4，∴a2＝1，∴a＝±1.故選A.[答案]A4．(2017·西安模擬)若z＝(a－eq\r(2))＋ai為純虛數(shù)，其中a∈R，則eq\f(a＋i7,1＋ai)＝()A．i B．1C．－i D．－1[解析]∵z為純虛數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－\r(2)＝0，,a≠0，))∴a＝eq\r(2)，∴eq\f(a＋i7,1＋ai)＝eq\f(\r(2)－i,1＋\r(2)i)＝eq\f(\r(2)－i1－\r(2)i,1＋\r(2)i1－\r(2)i)＝eq\f(－3i,3)＝－i.[答案]C復(fù)數(shù)問題的解題思路以復(fù)數(shù)的基本概念、幾何意義、相等的條件為基礎(chǔ)，結(jié)合四則運(yùn)算，利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式列方程或方程組解決問題．考點(diǎn)二程序框圖1．當(dāng)需要對研究的對象進(jìn)行邏輯判斷時(shí)，要使用條件結(jié)構(gòu)，它是根據(jù)指定條件選擇執(zhí)行不同指令的控制結(jié)構(gòu)．2．注意直到型循環(huán)和當(dāng)型循環(huán)的本質(zhì)區(qū)別：直到型循環(huán)是先執(zhí)行再判斷，直到滿足條件才結(jié)束循環(huán)；當(dāng)型循環(huán)是先判斷再執(zhí)行，若滿足條件，則進(jìn)入循環(huán)體，否則結(jié)束循環(huán)．3．循環(huán)結(jié)構(gòu)主要用在一些有規(guī)律的重復(fù)計(jì)算的算法中，如累加求和、累乘求積等．[對點(diǎn)訓(xùn)練]1．(2017·全國卷Ⅱ)執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的a＝－1，則輸出的S＝()A．2 B．3C．4 D．5[解析]由程序框圖可得S＝0，a＝－1，K＝1≤6；S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，K＝2≤6；S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，K＝3≤6；S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，K＝4≤6；S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，K＝5≤6；S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，K＝6≤6；S＝－3＋1×6＝3，a＝－1，K＝7>6，退出循環(huán)，輸出S＝3.故選B.[答案]B2．(2017·西安八校聯(lián)考)如圖給出的是計(jì)算eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＋…＋eq\f(1,2014)＋eq\f(1,2016)的值的程序框圖，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的是()A．i≤2014? B．i≤2016?C．i≤2018? D．i≤2020?[解析]依題意得，S＝0，i＝2；S＝0＋eq\f(1,2)，i＝4；…；S＝0＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2014)＋eq\f(1,2016)，i＝2018，輸出的S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＋…＋eq\f(1,2014)＋eq\f(1,2016)，所以題中的判斷框內(nèi)應(yīng)填入的是“i≤2016？”，選B.[答案]B3．(2017·江西南昌三模)263年左右，我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，多邊形面積可無限逼近圓面積，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”．利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率”．如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖，則輸出n的值為()(參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)A．12 B．24C．36 D．48[解析]執(zhí)行程序框圖，可得n＝6，S＝3sin60°＝eq\f(3\r(3),2)≈2.598，不滿足條件S≥3.10，繼續(xù)循環(huán)；n＝12，S＝6×sin30°＝3，不滿足條件S≥3.10，繼續(xù)循環(huán)；n＝24，S＝12×sin15°≈3.1056，滿足條件S≥3.10，退出循環(huán)，輸出n的值為24.故選B.[答案]B求解程序框圖2類?？紗栴}的解題技巧(1)程序框圖的運(yùn)行結(jié)果問題先要找出控制循環(huán)的變量及其初值、終值．然后看循環(huán)體，若循環(huán)次數(shù)較少，可依次列出即可得到答案；若循環(huán)次數(shù)較多，可先循環(huán)幾次，找出規(guī)律．要特別注意最后輸出的是什么，不要出現(xiàn)多一次或少一次循環(huán)的錯誤，尤其對于以累和為限定條件的問題，需要逐次求出每次迭代的結(jié)果，并逐次判斷是否滿足終止條件．(2)程序框圖的填充問題最常見的是要求補(bǔ)充循環(huán)結(jié)構(gòu)的判斷條件，解決此類問題的方法是創(chuàng)造參數(shù)的判斷條件為“i>n？”或“i<n？”，然后找出運(yùn)算結(jié)果與條件的關(guān)系，反解出條件即可．考點(diǎn)三推理與證明1．歸納推理的思維過程eq\x(實(shí)驗(yàn)、觀察)→eq\x(概括、推廣)→eq\x(猜測一般性結(jié)論)2．類比推理的思維過程eq\x(實(shí)驗(yàn)、觀察)→eq\x(聯(lián)想、類推)→eq\x(猜測新的結(jié)論)[對點(diǎn)訓(xùn)練]1．(2017·全國卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，則()A．乙可以知道四人的成績B．丁可以知道四人的成績C．乙、丁可以知道對方的成績D．乙、丁可以知道自己的成績[解析]由題意可知，“甲看乙、丙的成績，不知道自己的成績”說明乙、丙兩人是一個(gè)優(yōu)秀一個(gè)良好，則乙看了丙的成績，可以知道自己的成績；丁看了甲的成績，也可以知道自己的成績．故選D.[答案]D2．(2017·山西孝義期末)我們知道：在平面內(nèi)，點(diǎn)(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離公式d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))，通過類比的方法，可求得：在空間中，點(diǎn)(2,4,1)到直線x＋2y＋2z＋3＝0的距離為()A．3 B．5C.eq\f(5\r(21),7) D．3eq\r(5)[解析]類比平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離公式，可得空間中點(diǎn)(x0，y0，z0)到直線Ax＋By＋Cz＋D＝0的距離公式為d＝eq\f(|Ax0＋By0＋Cz0＋D|,\r(A2＋B2＋C2))，則所求距離d＝eq\f(|2＋2×4＋2×1＋3|,\r(12＋22＋22))＝5，故選B.[答案]B3．(2017·安徽合肥模擬)《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請歸但求穿墻術(shù)．得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟．”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”：2eq\r(\f(2,3))＝eq\r(2\f(2,3))，3eq\r(\f(3,8))＝eq\r(3\f(3,8))，4eq\r(\f(4,15))＝eq\r(4\f(4,15))，5eq\r(\f(5,24))＝eq\r(5\f(5,24))，…，則按照以上規(guī)律，若9eq\r(\f(9,n))＝eq\r(9\f(9,n))具有“穿墻術(shù)”，則n＝()A．25 B．48C．63 D．80[解析]由2eq\r(\f(2,3))＝eq\r(2\f(2,3))，3eq\r(\f(3,8))＝eq\r(3\f(3,8))，4eq\r(\f(4,15))＝eq\r(4\f(4,15))，5eq\r(\f(5,24))＝eq\r(5\f(5,24))，…，可得若9eq\r(\f(9,n))＝eq\r(9\f(9,n))具有“穿墻術(shù)”，則n＝92－1＝80，故選D.[答案]D合情推理的解題思路(1)在進(jìn)行歸納推理時(shí)，要先根據(jù)已知的部分個(gè)體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論．(2)在進(jìn)行類比推理時(shí)，要充分考慮已知對象性質(zhì)的推理過程，然后通過類比，推導(dǎo)出類比對象的性質(zhì)．(3)歸納推理關(guān)鍵是找規(guī)律，類比推理關(guān)鍵是看共性．熱點(diǎn)課題24數(shù)學(xué)歸納法[感悟體驗(yàn)]已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝1－eq\f(4,an＋3)，數(shù)列{bn}滿足bn＝eq\f(1,an＋1)(n∈N*)．(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)證明：eq\f(1,b\o\al(2,1))＋eq\f(1,b\o\al(2,2))＋…＋eq\f(1,b\o\al(2,n))<7.[解](1)由a1＝1，得b1＝eq\f(1,2)；由a1＝1，得a2＝0，b2＝1；由a2＝0，得a3＝－eq\f(1,3)，b3＝eq\f(3,2)；由a3＝－eq\f(1,3)，得a4＝－eq\f(1,2)，b4＝2，由此猜想bn＝eq\f(n,2).下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝eq\f(1,2)符合通項(xiàng)公式bn＝eq\f(n,2)