2019年高考數(shù)學一輪復習（文科）天天練38

天天練38推理與證明一、選擇題1．要證明eq\r(3)＋eq\r(7)<2eq\r(5)可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是()A．綜合法B．分析法C．反證法D．歸納法答案：B解析：綜合法由已知條件入手開始證明，分析法從所求的結論入手尋找使其成立的條件，反證法適合證明含有“存在”“唯一”等字眼的題目，歸納法適合證明與正整數(shù)有關的題目．結合以上特點，本題的證明適合采用分析法．2．(2018·洛陽一模)下列四個推導過程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是()A．大前提——無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，小前提——π是無理數(shù)，結論——π是無限不循環(huán)小數(shù)B．大前提——無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，小前提——π是無限不循環(huán)小數(shù)，結論——π是無理數(shù)C．大前提——π是無限不循環(huán)小數(shù)，小前提——無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，結論——π是無理數(shù)D．大前提——π是無限不循環(huán)小數(shù)，小前提——π是無理數(shù)，結論——無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)答案：B解析：A中小前提不是大前提的特殊情況，不符合三段論的推理形式，故A錯誤；C、D都不是由一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，所以C、D都不正確，只有B正確，故選B.3．用數(shù)學歸納法證明1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N*，n>1)時，第一步應驗證不等式()A．1＋eq\f(1,2)<2B．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)<2C．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)<3D．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)<3答案：B解析：本題考查數(shù)學歸納法．依題意得，當n＝2時，不等式為1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)<2，故選B.4．(2017·新課標全國卷Ⅱ，7)甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，則()A．乙可以知道四人的成績B．丁可以知道四人的成績C．乙、丁可以知道對方的成績D．乙、丁可以知道自己的成績答案：D解析：由甲說：“我還是不知道我的成績”可推知甲看到乙、丙的成績?yōu)椤?個優(yōu)秀，1個良好”．乙看丙的成績，結合甲的說法，丙為“優(yōu)秀”時，乙為“良好”；丙為“良好”時，乙為“優(yōu)秀”，可得乙可以知道自己的成績．丁看甲的成績，結合甲的說法，甲為“優(yōu)秀”時，丁為“良好”；甲為“良好”時，丁為“優(yōu)秀”，可得丁可以知道自己的成績．故選D.5．(2018·山東菏澤模擬)設m，n，t都是正數(shù)，則m＋eq\f(4,n)，n＋eq\f(4,t)，t＋eq\f(4,m)三個數(shù)()A．都大于4B．都小于4C．至少有一個大于4D．至少有一個不小于4答案：D解析：依題意，令m＝n＝t＝2，則三個數(shù)為4,4,4，排除A，B，C選項，故選D.6．用三段論推理：“任何實數(shù)的絕對值大于0，因為a是實數(shù)，所以a的絕對值大于0”A．大前提錯誤B．小前提錯誤C．推理形式錯誤D．是正確的答案：A解析：大前提是任何實數(shù)的絕對值大于0，顯然是不正確的．故選A.7．(2018·合肥一模)用反證法證明某命題時，對結論：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個是偶數(shù)”的正確假設為()A．自然數(shù)a，b，c中至少有兩個偶數(shù)B．自然數(shù)a，b，c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)C．自然數(shù)a，b，c都是奇數(shù)D．自然數(shù)a，b，c都是偶數(shù)答案：B解析：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個是偶數(shù)”說明有且只有一個是偶數(shù)，其否定是“自然數(shù)a，b，c均為奇數(shù)或自然數(shù)a，b，c中至少有兩個偶數(shù)”．8．(2018·大同質(zhì)檢)分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明“設a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證：eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a”，則索的因應是()A．a(chǎn)－b>0B．a(chǎn)－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0答案：C解析：要證eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a，需證b2－ac<3a2，因為a＋b＋c＝0，所以即證(a＋c)2－ac<3a2，即證a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0，即證－2a2＋ac＋c2<0，即證2a2－ac－c2>0，即證(2a＋c)(a－c)>0，即證(a－c)(a－b二、填空題9．(2018·河北唐山一中調(diào)研)用數(shù)學歸納法證明：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)時，從“n＝k到n＝k＋1”答案：2(2k＋1)解析：首先寫出當n＝k時和n＝k＋1時等式左邊的式子．當n＝k時，左邊等于(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝(k＋1)(k＋2)…(2k)，①當n＝k＋1時，左邊等于(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，②∴從n＝k到n＝k＋1的證明，左邊需增加的代數(shù)式是由eq\f(②,①)得到eq\f(2k＋12k＋2,k＋1)＝2(2k＋1)．10．(2018·山東日照一模)有下列各式：1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)>1,1＋eq\f(1,2)＋…＋eq\f(1,7)>eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,15)>2，…，則按此規(guī)律可猜想此類不等式的一般形式為：________.答案：1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n＋1－1)>eq\f(n＋1,2)(n∈N*)解析：觀察各式左邊為eq\f(1,n)的和的形式，項數(shù)分別為3,7,15，…，∴可猜想第n個式子中左邊應有2n＋1－1項，不等式右邊分別寫成eq\f(2,2)，eq\f(3,2)，eq\f(4,2)，…，∴猜想第n個式子中右邊應為eq\f(n＋1,2)，按此規(guī)律可猜想此類不等式的一般形式為：1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n＋1－1)>eq\f(n＋1,2)(n∈N*)．11．(2018·長沙二模)在平面幾何中有如下結論：正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,4).推廣到空間可以得到類似結論：已知正四面體P－ABC的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則eq\f(V1,V2)＝________.答案：eq\f(1,27)解析：由平面圖形類比空間圖形，由二維類比三維，如圖，設正四面體P－ABC的棱長為a，E為等邊三角形ABC的中心，O為內(nèi)切球與外接球的球心，則AE＝eq\f(\r(3),3)a，PE＝eq\f(\r(6),3)a.設OA＝R，OE＝r，則r＝eq\f(\r(6),3)a－R，又在Rt△AOE中，OA2＝OE2＋AE2，即R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)a－R))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))2，∴R＝eq\f(\r(6),4)a，r＝eq\f(\r(6),12)a，∴正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比是31，故正四面體P－ABC的內(nèi)切球體積V1與外接球體積V2之比等于127，即eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,27).三、解答題12．(2018·安徽合肥測試)給出四個等式：1＝1；1－4＝－(1＋2)；1－4＋9＝1＋2＋3；1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)；……(1)寫出第5,6個等式，并猜測第n(n∈N*)個等式；(2)用數(shù)學歸納法證明你猜測的等式．解析：(1)第5個等式：1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5；第6個等式：1－4＋9－16＋25－36＝－(1＋2＋3＋4＋5＋6)；猜測第n(n∈N*)個等式為12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1(1＋2＋3＋…＋n)．(2)證明：①當n＝1時，左邊＝12＝1，右邊＝(－1)0×eq\f(1×1＋1,2)＝1，左邊＝右邊，等式成立；②假設當n＝k(k∈N*)時，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1eq\f(kk＋1,2)，則當n＝k＋1時，12－