《材料力學(xué)》第四章-扭轉(zhuǎn)

第四章扭轉(zhuǎn)-PAGE8-（共8頁）第四章扭轉(zhuǎn)§4—1工程實(shí)例、概念一、工程實(shí)例1、螺絲刀桿工作時受扭。2、汽車方向盤的轉(zhuǎn)動軸工作時受扭。3、機(jī)器中的傳動軸工作時受扭。4、鉆井中的鉆桿工作時受扭。二、扭轉(zhuǎn)的概念受力特點(diǎn)：桿兩端作用著大小相等方向相反的力偶，且作用面垂直桿的軸線。變形特點(diǎn)：桿任意兩截面繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。軸：主要發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的桿?！?—2外力偶矩、扭矩一、外力：m（外力偶矩）1、已知：功率P千瓦(KW），轉(zhuǎn)速n轉(zhuǎn)／分(r／min；rpm)。外力偶矩：2、已知：功率P馬力(Ps)，轉(zhuǎn)速n轉(zhuǎn)／分(r／min；rpm)。外力偶矩：二、內(nèi)力：T（扭矩）1、內(nèi)力的大?。海ń孛娣ǎ?、內(nèi)力的符號規(guī)定：以變形為依據(jù)，按右手螺旋法則判斷。（右手的四指代表扭矩的旋轉(zhuǎn)方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背離所在截面則扭矩規(guī)定為正值，反之為負(fù)值。）3、注意的問題：（1）、截開面上設(shè)正值的扭矩方向；（2）、在采用截面法之前不能將外力簡化或平移。4、內(nèi)力圖（扭矩圖）：表示構(gòu)件各橫截面扭矩沿軸線變化的圖形。作法：同軸力圖：§4—3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)一、薄壁圓筒橫截面上的應(yīng)力(壁厚,：為平均半徑）實(shí)驗→變形規(guī)律→應(yīng)力的分布規(guī)律→應(yīng)力的計算公式。1、實(shí)驗：2、變形規(guī)律：圓周線——形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動了一個不同的角度?？v向線——傾斜了同一個角度，小方格變成了平行四邊形。3、切應(yīng)變（角應(yīng)變、剪應(yīng)變）：直角角度的改變量。4、定性分析橫截面上的應(yīng)力(1)；（2）因為同一圓周上切應(yīng)變相同，所以同一圓周上切應(yīng)力大小相等。⑶因為壁厚遠(yuǎn)小于直徑，所以可以認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布,而且方向垂直于其半徑方向。5、切應(yīng)力的計算公式：dA→τdA→（τdA）r0；dA=（r0dα）t；二、剪切虎克定律在彈性范圍內(nèi)切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比關(guān)系。三、切應(yīng)力互等定理在相互垂直的兩個面上，切應(yīng)力總是成對出現(xiàn)的，并且大小相等，方向同時指向或同時背離兩個面的交線?！?—4圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力、強(qiáng)度計算一、圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力（超靜定問題）幾何關(guān)系：由實(shí)驗通過變形規(guī)律→應(yīng)變的變化規(guī)律物理關(guān)系：由應(yīng)變的變化規(guī)律→應(yīng)力的分布規(guī)律靜力關(guān)系：由橫截面上的扭矩與應(yīng)力的關(guān)系→應(yīng)力的計算公式。一）、幾何關(guān)系：1、實(shí)驗：2、變形規(guī)律：圓軸線——形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動了一個不同的角度。縱向線——傾斜了同一個角度，小方格變成了平行四邊形。3、平面假設(shè)：變形前的橫截面，變形后仍為平面，且形狀、大小、間距不變，半徑仍為直線。4、定性分析橫截面上的應(yīng)力(1)；（2）因為同一圓周上切應(yīng)變相同，所以同一圓周上切應(yīng)力大小相等，并且方向垂直于其半徑方向。5、切應(yīng)變的變化規(guī)律：二）物理關(guān)系：彈性范圍內(nèi)工作時→→方向垂直于半徑。應(yīng)力分布：實(shí)心截面：空心截面：三）靜力關(guān)系：令→→代入物理關(guān)系式得：——圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力計算式。二、圓軸中τmax的確定橫截面上——（Ip—截面的極慣性矩，單位：m4mm4；—抗扭截面模量，單位：m3mm3）整個圓軸上——等直桿：；變直桿：三、公式的使用條件：1、等直的圓軸2、彈性范圍內(nèi)工作。四、Ip,Wp的確定：1、實(shí)心圓截面——2、空心圓截面——；五、圓軸扭轉(zhuǎn)時斜截面上的應(yīng)力低碳鋼試件：沿橫截面斷開。鑄鐵試件：沿與軸線約成450的螺旋線斷開。因此還需要研究斜截面上的應(yīng)力。方法：取單元體（單元體上的應(yīng)力認(rèn)為是均勻分布的）設(shè)：ef邊的面積為dA則eb邊的面積為dAcosαbf邊的面積為dAsinα；分析：1、σmax：α=±45°。│σmax│=τ（τα=0）。45°斜截面！2、τmax：α=00，│τmax│=τ（σα=0）。橫截面上！結(jié)論：如果材料的抗剪切能力差，構(gòu)件就沿橫截面發(fā)生破壞（塑性材料）；如果材料的抗拉壓能力差，構(gòu)件就沿450斜截面發(fā)生破壞（脆性材料）。六、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度計算1、強(qiáng)度條件：2、強(qiáng)度計算：1）校核強(qiáng)度；2）設(shè)計截面尺寸；（）3）確定外荷載?！?—5圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形、剛度計算一、變形：（相對扭轉(zhuǎn)角）————T=常量——T=常量,且分段。單位：弧度（rad）。GIP——抗扭剛度。注意：“T”代入其“＋、－”號——單位長度的扭轉(zhuǎn)角二、剛度條件：三、剛度計算：1、校核剛度；2、設(shè)計截面尺寸；3、確定外荷載。[例]功率為150kW，轉(zhuǎn)速為15.4轉(zhuǎn)/秒的電動機(jī)轉(zhuǎn)子軸如圖所示，許用切應(yīng)力[t]=30MPa,試校核其強(qiáng)度。解：①求扭矩及扭矩圖②計算并校核切應(yīng)力強(qiáng)度[例]已知：P＝7.5kW,n=100r/min,許用切應(yīng)力[t]＝40MPa,空心圓軸的內(nèi)外徑之比a=0.5。求:：實(shí)心軸的直徑d1和空心軸的外徑D2。解：d1=45mmD2=45mmd2=0.5D2=23mm§4—6等直圓桿的扭轉(zhuǎn)超靜定問題解扭轉(zhuǎn)超靜定問題的步驟：①平衡方程；②幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程；③補(bǔ)充方程：把物理方程（力與變形的關(guān)系）代入幾何方程得；④解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組。[例]長為L=2m的圓桿受均布力偶m=20Nm/m的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為a=0.8，外徑D=0.0226m，G=80GPa，試求：固定端的反力偶。解：①桿的受力圖如圖示，這是一次超靜定問題。平衡方程為：②幾何方程：③力的補(bǔ)充方程：④由平衡方程得：另:此題可由對稱性直接求得結(jié)果。§4—7非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)一、非圓截面桿與圓截面桿的區(qū)別圓桿扭轉(zhuǎn)時——橫截面保持為平面；非圓桿扭轉(zhuǎn)時——橫截面由平面變?yōu)榍妫òl(fā)生翹曲）。二、研究方法：彈性力學(xué)的方法研究三、非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的分類：1、自由扭轉(zhuǎn)（純扭轉(zhuǎn)）；2、約束扭轉(zhuǎn)。四、分析兩種扭轉(zhuǎn)：1、自由扭轉(zhuǎn)：各橫截面翹曲程度不受任何約束（可自由凹凸），任意兩相鄰截面翹曲程度相同。受力特點(diǎn)：兩端受外力偶作用。變形特點(diǎn):相鄰兩截面翹曲完全相同，縱向長度不變，所以縱向應(yīng)變等于零。應(yīng)力特點(diǎn)：橫截面上正應(yīng)力等于零，切應(yīng)力不等于零。2、約束扭轉(zhuǎn)：由于約束條件或受力限制，造成桿各橫截面翹曲程度不同。受力特點(diǎn)：兩端受外力偶作用。變形特點(diǎn)：相鄰兩截面翹曲不相同，縱向長度發(fā)生變化，所以縱向應(yīng)變不等于零。應(yīng)力特點(diǎn)：橫截面上正應(yīng)力不等于零，切應(yīng)力不等于零。五、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)：1、分布：2、應(yīng)力計算：長邊中點(diǎn)（整個橫截面上最大的切應(yīng)力）。短邊中點(diǎn)3、變形：對于狹長矩形（即：）；六、非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的有關(guān)規(guī)律：1、截面周邊各點(diǎn)處切應(yīng)力的方向與周邊平行（相切）。2、在凸角處的切應(yīng)力等于零。扭轉(zhuǎn)變形小結(jié)一、扭轉(zhuǎn)的概念受力特點(diǎn)：桿兩端作用著大小相等方向相反的力偶，且作用面垂直桿的軸線。變形特點(diǎn)：桿任意兩截面繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。二、外力：m（外力偶矩）——功率P千瓦，轉(zhuǎn)速n轉(zhuǎn)／分。——功率P馬力，轉(zhuǎn)速n轉(zhuǎn)／分。三、內(nèi)力：T（扭矩）1、內(nèi)力的大小確定、畫內(nèi)力圖2、內(nèi)力的符號規(guī)定：右手的四指代表扭矩的旋轉(zhuǎn)方向，大拇指代表其矢量方，若其矢量方向背離所在截面則扭矩規(guī)定為正值，反之為負(fù)值。幾何關(guān)系：由實(shí)驗通過變形規(guī)律→應(yīng)變的變化規(guī)律3、注意的問題四、薄壁圓筒橫截面上的應(yīng)力五、剪切虎克定律六、圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力（重點(diǎn)）1、公式推導(dǎo)幾何關(guān)系：由實(shí)驗通過變形規(guī)律→應(yīng)變的變化規(guī)律→物理關(guān)系：由應(yīng)變的變化規(guī)律→應(yīng)力的分布規(guī)律→靜力關(guān)系：由橫截面上的扭矩與應(yīng)力的關(guān)系→應(yīng)力的計算公式→——圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力計算式。2、圓軸中τmax的確定等直桿：；變直桿：變直桿：3、公式的使用條件：（1）、等直的圓軸，（2）、彈性范圍內(nèi)工作。七、圓軸扭轉(zhuǎn)時斜截面上的應(yīng)力：；八、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度計算（重點(diǎn)）1）校核強(qiáng)度；2）設(shè)計截面尺寸；3）確定外荷載