平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算課件人教A必修

平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示本課件將深入講解平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示，并介紹相關(guān)坐標(biāo)運(yùn)算。平面向量的概念定義具有大小和方向的量稱為向量。表示方法用帶箭頭的線段表示向量，箭頭指向的方向表示向量的方向，線段的長度表示向量的長度（大?。Ｌ攸c向量可以平移，但不能旋轉(zhuǎn)。平面向量的坐標(biāo)表示坐標(biāo)系的建立建立一個平面直角坐標(biāo)系，用兩個互相垂直的數(shù)軸來確定平面上點的坐標(biāo)位置。水平方向的數(shù)軸稱為x軸，垂直方向的數(shù)軸稱為y軸。向量的坐標(biāo)表示用一個有序的數(shù)對表示向量。第一個數(shù)表示向量在x軸上的投影長度，第二個數(shù)表示向量在y軸上的投影長度。平面向量的線性運(yùn)算加法兩個向量相加，結(jié)果仍然是一個向量。數(shù)乘一個實數(shù)乘以一個向量，結(jié)果仍然是一個向量。點積兩個向量的點積是一個實數(shù)，表示兩個向量的投影長度乘積。平面向量的加法1平行四邊形法則首尾相接2三角形法則首尾相連3坐標(biāo)法則對應(yīng)坐標(biāo)相加平面向量的數(shù)乘1定義數(shù)乘的結(jié)果還是向量，方向取決于數(shù)的符號。2運(yùn)算將向量的長度乘以數(shù)的絕對值，方向保持或反轉(zhuǎn)。3幾何意義向量長度縮放，方向保持或反轉(zhuǎn)。平面向量的點積1定義兩個向量a和b的點積，記作a·b，定義為：a·b=|a||b|cosθ，其中θ為向量a和b的夾角。2性質(zhì)點積滿足交換律、分配律、結(jié)合律。3應(yīng)用點積可用于計算兩個向量的夾角、判斷向量是否垂直。點積的性質(zhì)1交換律a?b=b?a2分配律a?(b+c)=a?b+a?c3結(jié)合律(ka)?b=k(a?b)平面向量的正交定義如果兩個非零向量a和b的夾角為90°，則稱向量a和b相互正交，記作a⊥b。性質(zhì)如果a⊥b，則a·b=0。向量的正交分解將向量分解為兩個互相垂直的向量將一個向量分解成兩個互相垂直的向量，其中一個向量與已知方向平行，另一個向量與已知方向垂直分解的唯一性對于任何一個向量，它在給定方向上的正交分解是唯一的分解的應(yīng)用向量的正交分解在物理、工程等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，比如力的分解、速度的分解等向量的正交分解的計算1投影向量將向量a投影到向量b上，得到投影向量a12正交向量向量a與投影向量a1的差向量，得到正交向量a23計算公式a1=(a·b)/|b|^2*b，a2=a-a1平面向量正交分解的應(yīng)用力學(xué)中的分解力求功和做功求向量的投影平面坐標(biāo)系的建立1選擇原點平面內(nèi)任意一點作為原點O2確定軸過原點O作兩條互相垂直的直線，作為x軸和y軸3建立方向確定x軸和y軸的正方向，并規(guī)定單位長度平面坐標(biāo)系中向量的坐標(biāo)表示2坐標(biāo)表示用一對有序?qū)崝?shù)表示向量，如(x,y)1起點向量起點在坐標(biāo)原點(0,0)3終點向量終點坐標(biāo)即向量的坐標(biāo)平面坐標(biāo)系中向量的代數(shù)運(yùn)算1加法對應(yīng)坐標(biāo)相加2數(shù)乘每個坐標(biāo)乘以數(shù)3點積對應(yīng)坐標(biāo)相乘再相加平面坐標(biāo)系中向量的加法坐標(biāo)表示設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=(x1+x2,y1+y2).平行四邊形法則將a和b的起點重合，以a和b為鄰邊作平行四邊形，則a+b為平行四邊形的對角線.三角形法則將a的終點與b的起點重合，則a+b為從a的起點指向b的終點的向量.平面坐標(biāo)系中向量的數(shù)乘1定義數(shù)乘向量是指將一個向量乘以一個實數(shù)，得到一個新的向量2坐標(biāo)表示如果向量a=(x,y)，則數(shù)乘向量ka=(kx,ky)3幾何意義數(shù)乘向量改變了向量的長度和方向，但方向可能保持不變平面坐標(biāo)系中向量的點積1公式設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則向量a與向量b的點積為a·b=x1x2+y1y2。2性質(zhì)點積滿足交換律、分配律、結(jié)合律等性質(zhì)，并可以通過點積求解向量的模長、夾角等信息。3應(yīng)用在物理學(xué)、力學(xué)等領(lǐng)域，點積可以用來計算功、投影等。平面坐標(biāo)系中向量正交分解的坐標(biāo)表示向量坐標(biāo)表示正交分解a=(x,y)(x,y)a=x(1,0)+y(0,1)b=(x1,y1)(x1,y1)b=x1(1,0)+y1(0,1)平面坐標(biāo)系中向量正交分解的計算1向量投影利用向量投影公式計算向量在坐標(biāo)軸上的投影。2坐標(biāo)值根據(jù)投影長度確定向量在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)值。3分解向量將投影長度作為分解向量的模，坐標(biāo)軸方向作為分解向量的方向。平面坐標(biāo)系中向量正交分解的應(yīng)用物理例如，求解力合成的方向和大小，就可以將力分解為水平方向和豎直方向的兩個分力，再利用平行四邊形法則求解合力。幾何例如，求解三角形的面積，就可以將三角形的高向量分解為兩個互相垂直的向量，再利用面積公式進(jìn)行計算。工程例如，在建筑設(shè)計中，可以將建筑物的受力情況分解為水平方向和豎直方向的兩個分力，再進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計。平面向量在坐標(biāo)系中的幾何意義平面向量在坐標(biāo)系中可以用坐標(biāo)表示，這使得我們能夠?qū)⑾蛄颗c坐標(biāo)系中的點聯(lián)系起來，從而用代數(shù)方法來研究向量。平面向量在坐標(biāo)系中的幾何意義主要體現(xiàn)在：向量的大小可以用向量坐標(biāo)的模長來表示向量的方向可以用向量坐標(biāo)的傾斜角來表示平面向量在坐標(biāo)系中的代數(shù)運(yùn)算1加法坐標(biāo)分別相加2數(shù)乘每個坐標(biāo)都乘以數(shù)3點積對應(yīng)坐標(biāo)相乘再相加平面向量在坐標(biāo)系中的正交分解定義將一個向量分解成兩個互相垂直的向量，其中一個向量平行于坐標(biāo)軸，另一個向量垂直于坐標(biāo)軸。方法利用投影定理，可以求出向量在坐標(biāo)軸上的投影向量，進(jìn)而得到向量在坐標(biāo)軸上的分量。應(yīng)用方便向量運(yùn)算，例如向量加減法、數(shù)乘、點積等。平面向量在坐標(biāo)系中的應(yīng)用1物理速度、加速度等物理量的表示和計算。2幾何直線、圓、曲線等的方程的表示和求解。3工程力學(xué)、結(jié)構(gòu)分析、圖形設(shè)計等領(lǐng)域的應(yīng)用。平面向量在坐標(biāo)系中的幾何性質(zhì)向量長度向量的長度可以用坐標(biāo)表示，即向量坐標(biāo)的平方和的平方根.向量方向向量的方向可以用向量與坐標(biāo)軸正方向的夾角來表示.向量共線兩個向量共線當(dāng)且僅當(dāng)它們的方向相同或相反，即它們的坐標(biāo)成比例.平面向量在坐標(biāo)系中的代數(shù)性質(zhì)向量加法的性質(zhì)交換律:a+b=b+a結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)向量數(shù)乘的性質(zhì)結(jié)合律:(k*m)*a=k*(m*a)分配律:k*(a+b)=k*a+k*b分配律:(k+m)*a=k*a+m*a平面向量在坐標(biāo)系中的正交性質(zhì)垂直若兩個非零向量a和b垂直，則它們的點積為零：a·b=0坐標(biāo)軸向量與坐標(biāo)軸垂直，則對應(yīng)坐標(biāo)為零投影向量在坐標(biāo)軸上的投影長度等于該坐標(biāo)的絕對值平面向量在坐標(biāo)系中的綜合應(yīng)用向量與幾何圖形利用平面向量可以解決幾何圖形中的許多問題，例如：求點坐標(biāo)、求線段長度、求角的大小等。向量與物理問題在物理問題中，許多物理量可以用向量來表示，例如：速度、加速度、力等。向量與數(shù)學(xué)問題平面向量可以用來解決一些數(shù)學(xué)問題，例如：求解方程組、求解不等式等。課程總結(jié)平面向量概念平面向量表示方向和大小，引入坐標(biāo)表示方便運(yùn)算。線性運(yùn)算加法、數(shù)乘